Trường THCS Nhơn Mỹ KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN H.S.G CẤP TRƯỜNG Tổ Toán - Lý Môn Toán lớp 9 - Năm học 2008- 2009 Thời gian làm bài: 180 phút. ……………………………………  ……………………………………… Bài 1: (4 điểm) a) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp mà trong chúng không có số nào là số nguyên tố . b) Tìm tất cả các giá trò tự nhiên của n để tổng 2 A = n n + 6+ có giá trò là số chính phương . Bài 2: (5 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c a b b c c a 3 a + b + c≤ + + + + + < . b) 2 2 2 a b c a + b + c b + c c+ a a + b 2 + + ≥ . Bài 3: (5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3 24 + x 12 - x 6+ = . b) ( ) ( ) ( ) ( ) x + 5 x + 6 x + 8 x + 9 40= . Bài 4: (3 điểm) Cho △ABC không là tam giác vuông có BI và CK là hai đường cao ( I ∈ AC ; K ∈ AB). Vẽ đường tròn tâm B bán kính BK và đường tròn tâm C bán kính CI . Đường thẳng IK lần lượt cắt đường tròn ( B ; BK ) và đường tròn ( C ; CI ) tại các điểm khác là D và E . Chứng tỏ rằng KD = IE . Bài 5: (3 điểm) Cho điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ; qua M kẽ các tiếp tuyến MB và MD với đường tròn (O) (B và D là các tiếp điểm). Một đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) tại C và A ( C nằm giữa M và A ). Gọi I là trung điểm của dây BD. Chứng minh rằng: a) AB . CD = AD . BC ; b) · · IAB MAD= . Huỳnh Thanh Tâm 1 ………………………… Hết ……………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a) * Đặt a = 2.3.4.5…2009.2010 (tích của 2009 số tự nhiên); khi đó dễ thấy: a + 2 ; a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 là dãy gồm 2009 số tự nhiên liên tiếp . * Dễ thấy: a + 2 > 2 (1) ( ) a 2 a + 2 2(theo tính chất chia hết của một tổng) (2) 2 2  ⇒   M M M * Từ (1) & (2) chứng tỏ a + 2 có ước thực sự là 2 nên a + 2 là hợp số (tức không là số nguyên tố). * Tương tự ta cũng có a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 đều là hợp số. * Vậy tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp (chẳng hạn như dãy trên) mà trong chúng không có số nào là số nguyên tố . b) * Giả sử A là số chính phương suy ra tồn tại m ∈ ¥ sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 n + n + 6 = m 4 n + n + 6 = 4m 2m - 2n + 1 = 23 2m - 2n - 1 2m + 2n + 1 = 23 (*) ⇔ ⇔ ⇔ * Do m, n ∈ ¥ nên dễ thấy 2m - 2n -1 và 2m + 2n + 1 là các số nguyên , ngoài ra 23 > 0 và 2m + 2n + 1 1≥ ; 2m - 2n - 1 < 2m + 2n + 1 suy ra 1 ≤ 2m - 2n - 1 < 2m + 2n + 1 . * Căn cứ các lập luận trên và chú ý 23 là số nguyên tố nên từ (*) suy ra hệ sau: 2m - 2n - 1 = 1 2m + 2n + 1 = 23 4n + 2 = 22 n = 5    ⇒ ⇔ * Với n = 5 thì A = 36 = 6 2 thõa là số chính phương. * Vậy n = 5 là giá trò tự nhiên duy nhất cần tìm . Bài 2: a) * p dụng BĐT Bunhiacopsky cho bốn số với chú ý a, b, c > 0 ; ta có: * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b 1 1 a b (Dấu "=" a = b) a + b 2 a b (1) Tương tự ta cũng có: b + c 2 b c (2) c + a 2 c a (3) ≤ + + ⇔ ⇔ ≤ + ≤ + ≤ + * Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế cùng biến đổi đơn giản ta được: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c a b b c c a≤ + + + + + * p dụng BĐT trong tam giác, ta có: Huỳnh Thanh Tâm 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a-b c a-b c a b c 2ab a b c 2ab (4) < ⇔ < ⇔ + < + ⇔ + < + * Tương tự ta cũng có: 2 2 2 2 2 2 b c a 2bc (5) c a b 2ca (6) + < + + < + * Cộng (4), (5) & (6) vế theo vế suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a c 2ab a 2bc b 2ca (7)+ + + + + < + + + + + * p dụng BĐT Bunhiacôpsky lần nữa cho sáu số, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z 1 1 1 x y z x + y + z 3 x y z≤ + + + + ⇒ ≤ + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 c + 2ab + a + 2bc + b + 2ca 3 c + 2ab + a + 2bc + b + 2ca 3 a + b + c (8)⇒ ≤ = * Từ (7) & (8) suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 3 a + b + c+ + + + + < b) * p dụng BĐT Cau-chy cho hai số dương ta có: ( ) 2 2 a b + c a b + c + 2 . = a Dấu "=" 2a = b + c b + c 4 b + c 4 ≥ ⇔ (9) * Tương tự ta cũng có: 2 2 b a + c + b (10) a + c 4 c a + b + c (11) a + b 4 ≥ ≥ Cộng (9), (10) & (11) vế theo vế cùng biến đổi đơn giản ta suy ra BĐT cần chứng minh ( Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều ) Bài 3: a) ĐKXĐ : x 12≤ * Đặt 3 a = 24 + x va øb = 12 - x ( với b 0)ta co ùhệ sau:≥ 3 2 a + b = 6 (1) a + b = 36 (2)    *Từ (1) suy ra b = 6 - a , thay vào (2) và biến đổi ta được: a(a - 3)(a + 4) = 0 => a = 0 ; 3; -4. + Nếu a = 0 => x = -24 (thõa ĐKXĐ) + Nếu a = 3 => x = 3 (thõa ĐKXĐ) + Nếu a = -4 => x = -88 (thõa ĐKXĐ) * Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x 1 = -24 , x 2 = 3 và x 3 = -88. b) * Dùng phương pháp nhóm nhân tử và khai triển ta được phương trình tương đương: (x 2 + 14x + 45)(x 2 + 14x + 48) = 40 (*) * Đặt x 2 + 14x + 45 = y (**) ; khi đó phương trình (*) trở thành: y(y + 3) - 40 = 0 ⇔ y 2 + 3y - 40 = 0 ; giải phương trình ẩn y này thu được nghiệm y 1 = 5 và y 2 = -8 . Lần lượt thay y vào (**) ta được x 1 = -4 và x 2 = -10 đây cũng chính là hai nghiệm của phương trình đã cho. Huỳnh Thanh Tâm 3 T S M O E D K I C B A I O D C B A M Bài 4: * Từ BI và CK là hai đường cao của △ABC (gt) ;suy ra I và K cùng nhìn đoạn BC dưới một góc vuông nên bốn điểm B, C, I, K cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC (theo quỹ tích cung chứa góc). * Kẽ BS ⊥ DK tại S; OM ⊥ IK tại M ; CT ⊥ IE tại T. Theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây;suy ra S, M, T lần lượt là trung điểm của KD, KI và IE . * Dễ thấy tứ giác BCTS là hình thang vuông (vì BS // CT do cùng vuông góc DE) và có O là trung điểm của cạnh bên BC (vì BC là đường kính của (O)) và OM // BS // CT suy ra M là trung điểm của ST; kết hợp M là trung điểm của KI (cmt) ; suy ra SK = TI => 2. SK = 2. TI => KD = IE . Bài 5: a) * Dùng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bỡi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau, dễ dàng chứng minh được: △MDC ∽ △MAD (g-g) ; △MBC ∽ △MAB (g-g) ; DC MD BC MB = (1) ; = (2) AD MA AB MA ⇒ * Theo tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau ta có: MD = MB (3) * Từ (1), (2) và (3) suy ra: DC BC = AB.CD = AD.BC AD AB ⇒ . b) * p dụng đònh lý Pô-tô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ABCD ta có: Huỳnh Thanh Tâm 4 AB.CD + AD.BC = AC.BD (4) * Mà AB.CD = AD.BC (5) (câu a) * Từ (4) & (5), suy ra: 2. AB . CD = AC . BD = AC . (2 . BI) => AB.CD = AC.BI · · » CD CA = ;kết hợp ACD ABI (hai góc nội tiếp của đường tròn (O) BI BA cùng chắn cung AD) ⇒ = => △CDA ∽ △BIA (c-g-c) => · · IAB MAD= Huỳnh Thanh Tâm 5 . Trường THCS Nhơn Mỹ KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN H.S.G CẤP TRƯỜNG Tổ Toán - Lý Môn Toán lớp 9 - Năm học 2008- 20 09 Thời gian làm bài: 180 phút. ……………………………………. a) * Đặt a = 2.3.4.5…20 09. 2010 (tích của 20 09 số tự nhiên); khi đó dễ thấy: a + 2 ; a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 là dãy gồm 20 09 số tự nhiên liên tiếp