TRNG THPT VIT C- K LK THI CHN I TUYN D THI HC SINH T TON TIN GII CP TNH NM HC 2008 - 2009 Mụn thi: Toỏn, khi 11 ngy 18/04/2009 Thi gian: 120 phỳt, khụng k thi gian giao CHNH THC Bi 1(4.0 im) Cho P(x) = (1 + x + x 2 + x 3 ) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a 15 x 15 1) Tớnh a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + + a 15 2) Tỡm h s a 10. Bi 2(4.0 im) Tìm m để phơng trình: 4 4 6 6 2 4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4x x x x x m+ + = có nghiệm ( ; ) 8 4 x . Bi 3(4.0 im) Cho dóy s (u n ) xỏc nh bi h thc: ( ) 12 8 tan; .211 12 3 * 1 1 = + + = = + Nn u u u u n n n . Tớnh u 2 , u 3 , u 2009 . Bi 4(4.0 im) Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, S l mt im khụng thuc mt phng (ABCD) sao cho tam giỏc SAB u, SC = SD = a 3 . Gi H, K ln lt l trung im ca SA, SB v M l mt im trờn cnh AD, mt phng (HKM) ct BC ti N. Chng minh t giỏc HKNM l hỡnh thang cõn, t AM=x ( ) 0 x a . Tớnh din tớch hỡnh thang HKNM theo a v x. Bi 5(4.0 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca biểu thức: A = 2 11 2 4 5y x y + + với x, y là các số thực tha mãn : x 2 + y 2 2x 6y + 6 = 0 . ---------Hết------------ Họ và tên thí sinh .SBD: . GV: INH VN QUYT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2008-2009 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM 1 (4.0 điểm) 1) Ta có P(1) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + …+ a 15 0.5 = (1 + 1 + 1 + 1) 5 = 4 5 0.5 2) Ta có P(x) = [(1 + x)(1 + x 2 )] 5 1.0 = ( ) 5 5 2 5 5 0 0 . i i i i i i C x C x = = ∑ ∑ 1.0 Hệ số a 10 = 0 5 2 4 4 3 5 5 5 5 5 5 . . . 101C C C C C C+ + = 1.0 (4.0 điểm) +) §a PT vÒ d¹ng: 2 2cos 4 cos4 2 1x x m− = + (1) +) §Æt t = cos4x víi ( ; ) 8 4 x π π ∈ ⇒ t ∈ (-1; 0) +) XÐt f(t) = 2t 2 + t trªn (-1; 0) ta có được Parabol (P) Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®êng th¼ng y = 2m +1 c¾t (P) trªn (-1; 0) +) §S: 1 ( ;1) 2 m∈ − 1.0 1.0 1.0 1.0 Ta có: 2 2 tan 8 tan tan 2 1 4 8 1 tan 8 π π π π = ⇒ = − − Từ giả thiết: 2 3 tan 8 tan 3 8 1 3.tan 8 u π π π π +   = = +  ÷   − 1.0 3 tan tan 3 8 8 tan 2 3 8 1 tan .tan 3 8 8 u π π π π π π π π   + +  ÷     = = +  ÷     − +  ÷   1.0 Dự đoán ( ) tan 1 3 8 n u n π π   = + −     1.0 Chứng minh công thức bằng quy nạp 3 (4.0 điểm) Do đó 2009 tan 2008 tan 251 tan 3 3 8 3 3 u π π π π π     = + = + = =  ÷  ÷     1.0 GV: ĐINH VĂN QUYẾT 4 (4.0 im) Ta cú HK // MN suy ra HKNM l hỡnh thang Hai tam giỏc SAD v SBC bng nhau Nờn MH = KN suy ra HKNM l hỡnh thang cõn Gi S l din tớch hỡnh thang KHNM P l hỡnh chiu ca H lờn MN Ta cú ( ) 1 S = HK + MN HP 2 HK = a 2 MN = a HP = 2 2 HM - MP 2 2 2 2 2 3a 16x 8ax a ax a + x + - 4 2 16 4 + + = = ữ (gúc A bng 120 0 ) Vy S = 2 2 3a 3a 16x 8ax 16 = + + 1.0 HV 1.0 1.0 1.0 5 (4.0 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca biểu thức A = 2 11 2 4 5y x y + + , với x, y là các số thực thoả mãn x 2 + y 2 2x 6y + 6 = 0. Giải: Ta thấy x 2 + y 2 2x 6y + 6 = 0 là phơng trình của đờng tròn (C) tâm I(1;3), bán kính R = 2. Vì x, y thoả mãn x 2 + y 2 2x 6y + 6 = 0 nên ta có A = 2 11 2 4 5y x y + + = 2( 11 2 y + 4 4 20 +x y ) A=2( 2 2 ( 2 6 6) (11 2 )+ + + x y x y y + 2 2 ( 2 6 6) (4 4 20)+ + + +x y x y x y ) A= 2( 2 2 ( 1) ( 4) + x y + 2 2 ( 1) ( 5)+ + x y ) = 2(NM + PM), trong đó N(1;4) nằm bên trong (C), P(-1;5) nằm bên ngoài (C), M(x;y) (C). 1.0 Gọi o M là giao điểm của đoạn thẳng PN với (C) ( ) và cùng hướng o NM NP o M C toạ độ của điểm o M là nghiệm của hệ 2 2 x + y - 2x - 6y + 6 = 0 1 4 0 2 1 x y = 1 5 23 5 x y = = 1 23 ( ; ) 5 5 o M . 1.0 Với mọi M(x;y) (C) ta thấy NM + PM PN = 5 , dấu = xảy ra khi M(x;y) 1 23 ( ; ) 5 5 o M = [ ] ( )PN C . 1.0 Vậy min (A) = 2(NM o +PM ơ ) = 2.PN = 2. 5 , đạt đợc khi 1 5 23 5 x y = = . 1.0 GV: INH VN QUYT x N K H C A B D S M P GV: ĐINH VĂN QUYẾT . C- K LK THI CHN I TUYN D THI HC SINH T TON TIN GII CP TNH NM HC 2008 - 2009 Mụn thi: Toỏn, khi 11 ngy 18/04/2009 Thi gian: 120 phỳt, khụng k thi gian. sinh .SBD: . GV: INH VN QUYT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2008-2009 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM 1 (4.0 điểm) 1) Ta