sử dụng phơng pháp tham biến để tìm cực tri của một biểu thức I.Phơng pháp Giả sử cần tìm cực tri của một biểu thức Q (x) . Để đơn giản ta chỉ xét biểu thức Q (x) luôn xác định trên tập hợp số thực, nghĩa là nếu Q (x) có mẫu thức thì mẫu thức luôn d- ơng. Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f (x) =Q (x) .- t. Nếu f (x) 0 (hoặc f (x) 0) với mọi x thuộc tập xác định của Q (x) và tồn tại giá trị t 0 để có f (x) =0 (tức là có Q (x) =t 0 ) thì t 0 chínhlà giá trị nhỏ nhất hoặc là giá trị lớn nhất của biểu thức Q (x) . II. Ví dụ cụ thể Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q= Lời giải: Xét f (x) =Q (x) t = vì x 2 +1>0 x R nên dấu của f (x) chính là dấu của tử thức g (x) = x 2 +8x+7- t(x 2 +1) hay g (x) = (1-t)x 2 +8x+7-t (1) xét tam thức g (x) = ax 2 +bx+c=a(x+ ) 2 + với =b 2 -4ac (*) Nếu a=0 thì g (x) = bx+c luôn cùng dấu với c khi b=0 và g (x) =0 khi c=0 Nếu a>0 thì g (x) 0 x khi 0 và g (x) =0 =0 Nếu a<0 thì g (x) 0 x khi 0 và g (x) =0 =0 áp dụng vào (1) ta có: =16 - (1- t)(7- t)=-t 2 +8t+9. =0 khi t=-1 hoặc t=9 Với t=-1 thì a=1-t=2>0 thì a=2>0 nên g (x) 0 f (x) 0 Q (x) có GTNN là-1 và xẩy ra khi f (x) =0 g (x) =0 2(x+2) 2 =0 x=-2. Với t=9 thì a=1-t=-8<0 nên g (x) 0 f (x) 0Q (x) có GTLN là 9 và xẩy ra khi f (x) =0 g (x) =0 2(2x-1) 2 =0 x= Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q= 22 2 43 yx xyy + với (x,y) 0 Lời giải: Vì x 2 +y 2 luôn dơng với (x,y) 0 nên dấu của f (x,y) chính là dấu của tử thức g (x,y) =3y 2 -4xy-t(x 2 +y 2 ) hay g (x,y) = (3- t)y 2 - 4xy- tx 2 (2) Nếu t=3 thì g (x,y) = -3x 2 -4yx. vì =4y 2 0 nên g (x,y) = 0 y=0 ,x=0 (đã loại trừ). Xét (2) theo biến y ta có y =4x 2 +t(3-t)x 2 =(4+3t-t 2 )x 2 ; y =0 x khi t=-1 hoặc t=4. Với t=-1 thì a=3-t=4>0 nên g (x,y) 0 f (x,y) 0 Q (x,y) có GTNN là -1và xẩy ra khi f (x,y) =0 g (x,y) =0 (2y-x) 2 =0 x=2y( 0). Với t=4 thì a=3-t=-1<0 nên g (x,y) 0 f (x,y) 0 Q (x,y) có GTLN là 4 và xẩy ra khi f (x,y) =0 g (x,y) =0 -(y+2x) 2 =0 y=2x ( 0) Ví dụ 3. Tìm u,v đểbiểu thức Q= đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1 Lời giải: Đặt f (X) =Q (X) t = vì x 2 +1>0 x R nên dấu của f (x) chính là dấu của tử thức g (x) = ux +v- t(x 2 +1) hay g (x) = -tx 2 +ux+v-t. Để GTLN Q (X) = 4 khi t 1 =4 (lúđó a 1 =-4<0) và GTNN Q (X) = -1 khi t 2 =-1 (lúc đó a 2 =1>0) xảy ra đồng thời thì dựa vào (*) ta có = = 0 1 2 1 hay =+ =+ 0)1(4 0)4(16 2 2 vu vu = = 16 3 2 u v Nghĩa là (u,v) bằng (4,3) hoặc (-4,3) Bài tập làm thêm Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q sau đây 1) Q= 2) Q= 3) Q= (x-2y+1) 2 +(2x+ay+5) 2 4) Q = 5) Q = 6)Q= 7) Q= . sử dụng phơng pháp tham biến để tìm cực tri của một biểu thức I.Phơng pháp Giả sử cần tìm cực tri của một biểu thức Q (x) . Để đơn giản ta chỉ xét biểu. chínhlà giá trị nhỏ nhất hoặc là giá trị lớn nhất của biểu thức Q (x) . II. Ví dụ cụ thể Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q=