Sáng kiến kinh nghiệm i. LờI NóI ĐầU Đây là tài liệu nói về phơng pháp học giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học. Tài liệu này là cầu nối giữa lí thuyết và thực hành toán học. Học giải toán là một cách t duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tợng và khá khó đối với học sinh, nhng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trờng THCS. Nội dung giới thiệu: 1. Các bài toán điển hình, mỗi bài toán đều gồm: Đề bài Tìm hiểu đề bài Hớng dẫn cách tìm lời giải Cách giải Khai thác bài toán. 2. Các bài toán tự giải Các vị phụ huynh học sinh, các thầy cô giáo có thể dùng tài liệu này làm tài liệu hớng dẫn con em mình học tập. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp ích nhiều cho học sinh để có thể phát huy nội lực trong giải toán nói riêng và học toán nói chung. - 1 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm ii. Nội dung Giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai A. Các bài tập điển hình Bài 1: a. Tìm hai số biết tổng là 22 và tổng các bình phơng là 250. b. Tìm một số có hai chữ số biết rằng số này gấp 8 lần tổng hai chữ số của nó và nếu thêm 13 và tích hai chữ số đó thì sẽ đợc số viết theo thứ tự ngợc lại. Tìm hiểu đề bài Đây là bài toán tìm số. ở câu a phải tìm hai số khi biết tổng và tổng các bình phơng của chúng. ở câu b phải tìm một số có hai chữ số theo một số điều kiện cho trớc. Hớng dẫn cách tìm lời giải a. Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là 22 - x. Tổng các bình phơng của chúng là x 2 + (22 - x) 2 = 250. Tiếp tục giải phơng trình bậc hai này. b. Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị heo thứ tự là x và y. Số phải tìm sẽ là 10x + y, số viết theo thứ tự ngợc lại là 10y + x. Từ đó mà lập phơng trình. Cách giải a. Gọi số thứ nhất là x (x > 0), số thứ hai sẽ là 22 - x. Theo bài ra ta có phơng trình: x 2 + (22 - x) 2 = 250, hay x 2 + 484 - 44x + x 2 - 250 = 0; 2x 2 - 44x + 234 = 0 hay x 2 - 22x + 117 = 0. Giải ra ta sẽ tìm đợc 1 x = 13; 1 x = 9, thỏa mãn điều kiện ở trên. Vậy hai số phải tìm là 13 và 9. - 2 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm b. Gọi chữ số hàng chục là x (0 < x 9), chữ số hàng đơn vị là y (0 < y 9) với x > y. Theo bài ra ta có hệ phơng trình: ( ) ( ) ( ) 10 8 1 10 13 2 x y x y y x xy + = + + = + (1) 10x + y = 8x + 8y => 2x = 7y => x = 7y x Thay giá trị x vào (2) ta đợc: 10y + 7 2 y = 7 2 y .y +13 => 7y 2 - 27y + 26 = 0 => 1 y = 2; 2 13 7 y = (loại). Từ đó suy ra 7 7.2 7 2 2 y x = = = , thỏa mãn điều kiện ở trên. Vậy số phải tìm là 72. Khai thác bài toán Có thể giải hai bài toán tơng tự: a. Tổng các bình phơng của hai số hơn kém nhau 3 thì bằng 98. Tìm hai số đó. b. Phân tích số 270 thành hai thừa số mà tổng bằng 33. - Với bài toán a ta gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là x + 3. Theo bài ra ta có phơng trình: x 2 + (x + 3) 2 =89 2x 2 + 6x - 80 = 0 => 1 2 5; 8x x = = (loại) Vậy hai số phải tìm là 5 và 8. - Với bài toán b nếu gọi số thừa số thứ nhất là x thì thừa số thứ hai là 33 - x. Theo bài ra ta có phơng trình: x(33 - x) = 270 x 2 - 33x + 270 = 0. => 1 2 18; 15x x = = - 3 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm Vậy số 270 có thể phân tích thành hai thừa số là 18 và 15. Bài 2: a. Đa giác mà số đờng chéo lớn hơn số cạnh là 12 là đa giác gì? b. Đờng cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành hai đọan hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền. Tìm hiểu đề Đây là loại toán có nội dung hình học. Câu a đòi hỏi phải nắm đợc công thức tính số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh. Câu b liên quan đến hệ thức lợng trong tam giác vuông. Hớng dẫn cách tìm lời giải a. Một đa giác lồi n cạnh có số đờng chéo là ( ) 3 2 n n . Từ đó mà lập ph- ơng trình để tìm n khi biết số đờng chéo hơn số cạnh là 12. b. Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6. áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông h 2 = b'.c' (h là độ dài đờng cao, b' và c' là hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền). Từ đó tìm đợc x và độ dài cạnh huyền của tam giác vuông. Cách giải a. Gọi n là số cạnh của đa giác (n là số nguyên dơng). Ta biết rằng số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh là ( ) 3 2 n n Theo bài ra ta có phơng trình: ( ) 1 2 2 8 3 12 5 24 0 3 ( ) 2 n n n n n n n loai = = = = Vậy đa giác phải tìm là bát giác (hình tám cạnh). - 4 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm b. Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6 (m) với x > 0. Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: h2 = b'.c' hay: 9,62 = x(x + 5,6) x2 + 5,6x - 92,16 = 0 => 1 x = 7,2 (thỏa mãn) 2 x = -12,8 (loại) Ta có hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là 7,2m và 7,2 + 5,6 = 12,8m. Vậy cạnh huyền có độ dài là: 7,2 + 12,8 = 20m. Khai thác bài toán Bài toán có nội dung hình học đòi hỏi phải nắm vững kiến thức về hình học. Ta có thể xét thêm bài toán sau: Cho một số điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đờng thẳng qua từng cặp điểm một là ( ) 1 2 n n (đờng thẳng). Theo bài ra ta có phơng trình: ( ) 1 2 n n = 45 n2 - n - 90 = 0 => n = 10 Lu ý: nếu trong n điểm có đúng 3 điểm thẳng hàng thì số đờng thẳng vẽ đợc sẽ giảm đi 2 (vì qua 3 điểm không thẳng hàng thì vẽ đợc 3 đờng thẳng còn qua 3 điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ đợc một đờng thẳng). Bài 3: a. Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc dòng 36 km. Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngợc dòng là 6 km/h. Tìm vận tốc của canô khi xuôi và khi ngợc dòng. - 5 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm b. Một ngời đi xe đạp từ địa điểm M đến địa điểm N trong một thời gian đã định. Khi còn cách N 30 km ngời ấy nhận thấy nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì sẽ đến N chậm mất 1 2 giờ , do đó đã tăng vận tốc lên 5 km/h nên đến sớm hơn 1 2 giờ. Tìm vận tốc xe đạp lúc đầu? Tìm hiểu đề bài Đây là loại toán chuyển động. ở câu a là canô xuôi dòng và ngợc dòng, ở câu b là ngời đi xe đạp sẽ đến nơi chậm và đến nơi sớm hơn thời gian dự định nếu tăng vận tốc. ở cả hai câu đều yêu cầu tìm vận tốc. Hớng dẫn cách tìm lời giải a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h, vận tốc khi ngợc dòng sẽ là x - 6 km/h. Hãy tính thời gian khi xuôi dòng và khi ngợc dòng, từ đó mà lập đợc phơng trình bậc hai. Sẽ tìm đợc hai đáp số. b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h. Hãy tính thời gian đi 30 km lúc đầu và thời gian đi 30 km khi đã tăng vận tốc thêm 5 km/h. Từ đó mà lập đợc phơng trình bậc hai. Cách giải a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h (x > 0), vận tốc khi ngợc dòng sẽ là x - 6 km/h. Thời gian xuôi dòng là 90 x giờ, khi ngợc dòng là 36 6x giờ. Do thời gian xuôi nhiều hơn thời gian ngợc là 2 giờ nên ta có phơng trình: 2 90 36 45 18 2 1 33 270 0 6 6 hay x x x x x x = = + = => 1 15x = (t/m) ; 2 18x = (t/m) Vậy vận tốc canô khi xuôi dòng là 15 km/h hoặc 18 km/h. - 6 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm vận tốc canô khi ngợc dòng là 9 km/h hoặc 12 km/h. b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h, khi đã tăng vận tốc là(x + 5) km/h, (x > 0). Thời gian đi 30 km lúc đầu là 30 x , lúc sau là 30 5x + (giờ) Theo bài ra ta có phơng trình: 30 1 30 1 2 5 2x x = + + . Ta đợc phơng trình bậc hai 2 5 150 0x x+ = . Giải ra ta đợc nghiệm là 1 2 10, 15x x= = (loại). vậy vận tốc xe đạp lúc đầu là 10km/h. Khai thác bài toán Sau đây là bài toán tơng tự Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc với canô xuôi từ bến A là một chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B canô trở ngay về A và gặp bè khi bè trôi đợc 8km. Tính vận tốc riêng của canô biết rằng vận tốc riêng của canô không đổi. Thời gian từ lúc đi đến khi về gặp bè là 2giờ 40phút. Trong bài này cần lu ý là có chiếc bè trôi, nh thế vận tốc bè trôi 3km/h chính là vận tốc dòng nớc. Gọi vận tốc riêng của canô là x km/h ( x>o). Thời gian lúc xuôi là 40 3x + , thời gian lúc ngợc là 32 3x giờ. Theo bài ra ta có phơng trình: 40 32 8 3 3 3x x + = + , ( đổi 2giờ 40 = 8 3 giờ ). Giải ra ta sẽ tìm đợc x= 27. Vậy vận tốc riêng của canô là 27km/h. Bài 4: - 7 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm a) Ngời ta trộn lẫn 8g dung dịch A vời 6g dung dịch B có khối lợng riêng nhỏ hơn nó là 200 kg/m 3 để đợc một dung dịch có khối lợng riêng là 700kg/m 3 . Tìm khối lợng riêng của mỗi dung dịch. b) Hai vòi A và B cùng chảy vào một bể không có nớc và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút. Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu mới đầy bể ? Tìm hiểu đề bài a) Đây là bài toán về hỗn hợp, trộn hai dung dịch A và B để đợc một dung dịch mới. b) Loại toán này là toán về vòi nớc chảy. Hớng dẫn cách tìm lời giải a) Gọi khối lợng riêng của dung dịch A là x kg/m 3 , khối lợng riêng của dung dịch B sẽ là x- 200kg/m 3 . Hãy tính thể tích của dung dịch A và của dung dịch B rồi tính khối lợng của hỗn hợp và thể tích của hỗn hợp. Từ đó mà lập phơng trình của bài toán. b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x, số giờ vò B chảy riêng đầy bể sẽ là x+ 2. Hãy tính xem trong 1 giờ mỗi vòi rồi cả hai vòi chảy vào đợc bao nhiêu phần bể. Từ đó mà lập đợc phơng trình. Cách giải a) Gọi khối lợng riêng của dung dịch A là x kg/m 3 . Khối lợng riêng của dung dịch B sẽ là (x-200) kg/m 3 với x>200. Đổi 8g = 0,008 kg và 6g = 0,006kg. Ta có: Thể tích dung dịch A là 0,008 x , thể tích dung dịch B là 0,006 200x . - 8 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm Khối lợng của hỗn hợp là 0,008 + 0,006 = 0,014. Thể tích của hỗn hợp là 0,014 700 . Theo bài ra ta có phơng trình: 0,008 0, 006 0, 014 200 700x x + = , hay 8 6 14 1 200 700 50x x + = = ; 400(x - 200) + 300x = x 2 - 200 ; x 2 - 900x + 80 000 = 0. Giải ra tìm đợc 1 x = 800, 2 x = 100 ( loại vì nhỏ hơn 200). Vậy khối lợng riêng của dung dịch A là 800kg/m 3 và của dung dịch B là 600 kg/m 3 . b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x( x > 0). Số giờ để vòi B chảy đầy bể sẽ là x + 2. Trong 1 giờ vòi A chảy vào đợc 1 x bể, vòi B chảy vào đợc 1 2x + bể, cả hai vòi chảy trong 1 giờ đợc 35 12 1: 12 35 = bể (đổi 2giờ 55phút thành 35 12 giờ). Theo bài ra ta có phơng trình: 1 1 12 2 35x x + = + hay 35(x+2) +35x =12x(x+2). Thực hiện phép tính đợc phơng trình 6x 2 - 23x- 35 = 0. Giải ra ta đợc hai nghiệm 1 2 7 5, 6 x x= = ( loại). Vậy nếu chảy riêng thì vòi A phải chảy trong 5 giờ và vòi B phải chảy trong 7 giờ mới đầy bể. Khai thác bài toán Bài toán về vòi nớc còn có thể ra dới dạng công việc cùng làm chung, chẳng hạn bài toán sau (giải bằng cách lập hệ phơng trình bậc nhất): - 9 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 7giờ 12 phút thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc 3 4 công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong? Cách giải sẽ nh sau. Gọi số giờ mà ngời thứ nhất làm xong công việc là x, số giờ mà ngời thứ hai làm xong công việc là y (x,y>0). Trong 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc 1 x công việc, ngời thứ hai làm đợc 1 y công việc. Đổi 7 giờ 12 phút thành 36 5 giờ. Theo bài ra ta có hệ phơng trình: Giải ra ta đợc x= 12, y =18, phù hợp với điều kiện ở trên. Vậy muốn làm xong công việc thì ngời thứ nhất phải làm trong 12 giờ, ngời thứ hai làm trong 18 giờ. - 10 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa 1 1 5 36 5 6 3 4 x y x y + = + = [...]... Sách bài tập đại số 9 tập 2 Nhà xuất bản giáo dục 2005 3 Toán bồi dỡng học sinh đại số 9 Nhà xuất bản giáo dục 2002 4.Tuyển tập Toán học tuổi trẻ Và một số tài liệu khác - 15 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm III Danh sách các sáng kiến kinh nghiệm đã viết TT Tên sáng kiến kinh nghiệm Thuộc thể loại Năm viết 1 giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai Toán. .. Bảo, Thành phố Hải Phòng Điện thoại : 0975223450 2 Sản phẩm Tên sản phẩm: giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai 3 Cam kết: Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi Nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với sản phẩm này, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trớc lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của bản cam kết này Vĩnh Bảo, Ngày 15 Tháng 02 năm 2008... Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm - 12 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm B bài tập tự chọn Bài 1: Một rạp hát chứa đợc 300 chỗ ngồi Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi Hỏi rạp hát có mấy dãy ghế? Bài 2: Ngời ta rào một khu vờn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 20m Hỏi hàng rào đó dài bao nhiêu nếu... THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm III Danh sách các sáng kiến kinh nghiệm đã viết TT Tên sáng kiến kinh nghiệm Thuộc thể loại Năm viết 1 giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai Toán học 2007-2008 Toán học 2006-2007 2 Xếp loại - 16 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa . học toán ở trờng THCS. Nội dung giới thiệu: 1. Các bài toán điển hình, mỗi bài toán đều gồm: Đề bài Tìm hiểu đề bài Hớng dẫn cách tìm lời giải Cách giải. phải tìm là 72. Khai thác bài toán Có thể giải hai bài toán tơng tự: a. Tổng các bình phơng của hai số hơn kém nhau 3 thì bằng 98. Tìm hai số đó. b. Phân