Bài 1 : phép tịnh tiến phép đối xứng trục I/ Phép tịnh tiến : + Đ/ n : Cho vectơ v r . v T : M M' MM' v = r uuuuur r a + Biểu thức tọa độ : Trong mp Oxy cho M( x; y) , ( ) v a;b r . Gọi M(x;y) = ( ) v T M r . Khi đó : x' x a y' y b = + = + + Tính chất : Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm , biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng + Các ví dụ : Dạng 1 : Xác định ảnh của 1 hình qua phép tịnh tiến VD 1 : Trong mp tọa độ Oxy biết đờng thẳng d cắt trục Ox tại điểm A( -4;0) và cắt trục Oy tại B( 0;5) . Hãy viết PT tham số của đờng thẳng d là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ ( ) v 5;1 r HD : Có VTCP là ( ) AB 4;5 uuur , Gọi A là ảnh của A qua phép tịnh tiến trên thì A(1;1) VD 2 : Trong mp tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có PT : x 2 + y 2 2x + 4y 4 = 0 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ ( ) v 2;5 r VD 3 : Trong hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh A(-1; 0) , B( 0; 4) và giao điểm các đờng chéo là I( 1;1) VD 4 : Trong mp tọa độ Oxy cho ( ) v 2;3= r và đờng thẳng d có PT : 3x 5y + 3 = 0 . Viết PT của đờng thẳng d là ảnh của d qua v T r Dạng 2 : áp dụng phép tịnh tiến dựng hình VD 1 : Cho hai đờng thẳng d và d cắt nhau và 2 điểm A và B không thuộc 2 đơng thẳng đó , sao cho đờng thẳng AB không song song với d và d . Hãy tìm điểm M trên d và điểm M trên d sao cho tứ giác ABMM là hình bình hành . HD : ( ) ( ) BA T d d'' uuur , d cắt d tại M VD 2 : Cho 2 đờng tròn không đồng tâm (O; R) và (O; R) và 1 điểm A trên (O ; R) . Xác định điểm M trên (O :R) và điểm N trên (O ; R) sao cho : MN OA= uuuur uuur Dạng 3 : áp dụng phép tịnh tiến tìm quỹ tích VD 1 : Cho đoạn thẳng AB và đờng tròn (C) tâm O , bán kính R không cắt đờng thẳng AB . Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM. Tìm quỹ tích điểm M khi M chạy trên O VD 2 : Trên đờng tròn tâm O, bán kính R, cho 2 điểm cố định A và B và 1 điểm M di động . Gọi H là trực tâm tam giác AMB, C là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của M qua tâm O a) Chứng minh AHBD là hình bình hành b) Gọi I là trung điểm của đoạn MH . Tìm tập hợp các điểm I và tập hợp các điểm H khi M di động trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC HD : b) Ta có MI = OC ,nên ( ) OC T M I uuur a VD 3 : Cho 2 điểm A, B cố định trên đờng tròn (O; R) . M là 1 điểm thay đổi trên đờng tròn . Gọi I là trung điểm đoạn AM và J là điểm sao cho tứ giác AIJB là hình bình hành . Tìm quỹ tích điểm J khi M thay đổi trên đờng tròn (O) HD : I nằm trên đờng tròn đờng kính OA , lại có : ( ) AB T I J uuur a VD 4 : Trên đờng thẳng d cố định lấy 1 điểm B cố định và A là điểm thay đổi trên d dựng tam giác cân ABM ( MA = MB ) mà đờng tròn ngoại tiếp tam giác có bán kính R không đổi . Tìm quỹ tích điểm M . HD : Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABM , ta có : OM d Lấy BN OM= uuur uuuur , BN uuur cố định . Lại có O chạy trên đờng tròn tâm B bán A B N M O d kính R và ( ) BN T O M uuur a . Vậy quỹ tích điểm M là đờng tròn ( N, R) , ảnh của đờng tròn (B ; R) qua BN T uuur ( trừ ra các giao điểm với đờng thẳng d ) và đờng tròn (N ; R) đối xứng với đờng tròn trên qua đờng thẳng d , với N là điểm đối xứng của N qua d VD 5 : Cho 2 đờng tròn cố định (O) và (O) cắt nhau tại 2 điểm , gọi A là giao điểm . Một đờng thẳng (d) di động qua A và gặp lại 2 đờng tròn trên tại M và N . Trên 2 tia AM và AN lấy 2 điểm B và C sao cho 1 BA AC MN 2 = = uuur uuur uuuur . Tìm tập hợp điểm B và C HD : Lấy các điểm nh hình vẽ , ta có : OABI là hình bình hành nên IB O' A= uur uuuur . Vậy ( ) O' A T I B uuuuur a mà I nằm trên đờng tròn đờng kính OO . CMinh tơng tự đối với C II. phép đối xứng trục + Đ/ n : SGK + Tính chất : Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm , biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng + Các ví dụ : VD 1 : Tìm trục đối xứng của các hình sau : a) Hình gồm 2 đờng tròn không đồng tâm có bán kính bằng nhau ( 2) b) Hình gồm 2 đờng tròn không đồng tâm có bán kính khác nhau (1) c) Đoạn thẳng AB ( 2) d) Đờn thẳng d ( vô số ) VD 2 : Cho trớc đờng thẳng . Gọi d là ảnh của đờng thẳng d qua phép đối xứng trục Đ . Tìm vị trí tơng đối giữa d và để : a) d trùng d b) d // d c) d vuông góc với d Tìm giao điểm của d và d trong trờng hợp này VD 3 : Trong mp tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có PT : ( x -1) 2 + ( y 2) 2 = 4 Viết PT đờng tròn (C) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox . VD 4 : Trong mp tọa độ Oxy cho đờng thẳng d có PT : x 1 y 2 2 3 + = . Hãy viết PT đờng thẳng d là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy HD : M(x; y) d thì M( -x; y) d : (d) : 3x + 2y + 7 = 0 VD 5 : Cho đơng tròn (O ; R) trên đó có 2 điểm A, B , 1 đờng tròn (O ; R) tiếp xúc ngoài với (O ; R) tại điểm A . Một điểm M di động trên (O), tia MA cắt đơng tròn (O) tại điểm thứ 2 A 1 . Qua A 1 kẻ đờng thẳng song song với AB cắt tia MB tại B 1 . Tìm tập hợp điểm B 1 . HD : Gọi gđiểm thứ 2 của B 1 A 1 với (O) là A 2 , kẻ tiếp tuyến chung tại A của (O) và (O) là xAx , ta có : ả à ả ẳ ã ã à ả 1 2 1 1 1 1 B B, A sđA A A Ax xAM B B 2 = = = = = = Vậy A 2 ABB 1 là hình thang cân , do đó A 2 và B 1 đối xứng nhau qua đờng trung trực của AB , mà A 2 lại nằm trên (O) . VD 6 : Trong mp tọa độ Oxy cho đờng thẳng d có PT : x 5y + 7 = 0 và đờng thẳng d có PT : 5x y 13 = 0 . Tìm phép đối xứng trục biến d thành d HD : Do d và d không cùng phơng , nên trục đối xứng cần tìm là đờng phân giác của góc tạo bởi d và d A E M B O I O G N C A B B 1 O O A 1 A 2 x x d