LÝ THUYẾT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN GIẢI TÍCH Kiến thức bổ sung  Cách xét dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai ( ) ( ) 0 2 ≠++= acbxaxxf ( )    < ≤∆ ⇔∈∀≤ 0 0 0 a Rxxf ( )    > ≤∆ ⇔∈∀≥ 0 0 0 a Rxxf Nếu chưa có điều kiện 0 ≠ a thì phải xét trường hợp 0 = a  Nhắc lại công thức so sánh nghiệm Cho phương trình bậc hai: ( ) ( ) 00 2 ≠=++= acbxaxxf có hai nghiệm 21 xx < và hai số βα < . Ta có: • ( ) 0. 21 <⇔<< αα faxx • ( )        <− > >∆ ⇔<< 0 2 0. 0 21 α αα S faxx • ( )        >− > >∆ ⇔<< 0 2 0. 0 21 α αα S faxx • ( ) ( )    < > ⇔<<< 0. 0. 21 β α βα fa fa xx • ( ) ( )    > < ⇔<<< 0. 0. 21 β α βα fa fa xx • ( ) ( )    < < ⇔<<< 0. 0. 21 β α βα fa fa xx • ( ) ( )          << > > >∆ ⇔<<< βα β α βα 2 0. 0. 0 21 S fa fa xx  KHẢO SÁT HÀM SỐ Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số ( ) xfy = I. Định nghĩa Cho hàm số ( ) xfy = xác định trên ( ) ba, 1. f tăng trên ( ) ba, nếu với mọi ( ) baxx ,, 21 ∈ mà 21 xx < thì ( ) ( ) 21 xfxf < . 2. f giảm trên ( ) ba, nếu với mọi ( ) baxx ,, 21 ∈ mà 21 xx < thì ( ) ( ) 21 xfxf > . 3. ( ) bax , 0 ∈ được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó ( ) xf ′ không nh hay bằng 0. II. Định lý: 1. Định lý Lagrăng: Nếu hàm số ( ) xfy = liên tục trên đoạn [ ] ba, và có đạo hàm trên khoảng ( ) ba, thì tồn tại một điểm ( ) bac , ∈ sao cho ( ) ( ) ( )( ) abcfafbf − ′ =− hay ( ) ( ) ( ) ab afbf cf − − = ′ 2. Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( ) ba, . • Nếu ( ) 0 > ′ xf ( ) bax , ∈∀ thì hàm số ( ) xfy = đồng biến trên ( ) ba, . • Nếu f’(x)<0 ( ) bax , ∈∀ thì hàm số ( ) xfy = nghịch biến trên ( ) ba, . ( Nếu ( ) 0 = ′ xf tại một số hữu hạn điểm trên khoảng ( ) ba, thì định lý vẫn còn đúng ). Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số B 1 : Tìm tập xác định B 2 : Tính ( ) xf ′ , cho ( ) 0 = ′ xf giải tìm x B 3 : Vẽ bảng biến thiên suy ra tính đơn điệu của hàm số • Nếu ( ) 0 > ′ xf hàm số đồng biến • Nếu ( ) 0 < ′ xf hàm số đồng biến • Nếu ( ) 0 = ′ xf hàm số không đổi dấu trên TXĐ Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định B 1 : Tính ( ) xf ′ B 2 : Sử dụng điều kiện để hàm số đơn điệu của dạng 1 B 3 : Giải tìm m. Dạng 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng ( ) βα ; Phương pháp giải tương tự dạng 2. Chủ đề 2. Cực trị của hàm số ( ) xfy = 1.Định nghĩa: Cho hàm số ( ) xfy = xác định trên ( ) ba, và điểm ( ) bax , 0 ∈ . • 0 x đgl điểm cực đại ( ) ( ) Dbaxba ⊂⊃∃⇔ ;:; 0 và ( ) ( ) ( ) { } 00 \;, xbaxxfxf ∈∀< • 0 x đgl điểm cực tiểu ( ) ( ) Dbaxba ⊂⊃∃⇔ ;:; 0 và ( ) ( ) ( ) { } 00 \;, xbaxxfxf ∈∀> 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lý fermat: Nếu hàm số ( ) xfy = liên tục ( ) ba, có đạo hàm tại ( ) bax , 0 ∈ và đạt cực trị tại điểm đó thì ( ) 0 0 = ′ xf . Định lí 1: Giả sử hàm số ( ) xfy = liên tục trên khoảng ( ) ba, chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên các khoảng ( ) 0 , xa và ( ) bx , 0 . Khi đó: a. Nếu ( ) 0 0 < ′ xf ( ) 0 , xax ∈∀ và ( ) 0 > ′ xf ( ) bxx , 0 ∈∀ thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0 x . b. Nếu ( ) 0 0 > ′ xf ( ) 0 , xax ∈∀ và ( ) 0 < ′ xf ( ) bxx , 0 ∈∀ thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0 x . Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua 0 x , đạo hàm đổi dấu thì điểm 0 x là điểm cực trị ( dương sang âm là cực đại, âm sang dương là cực tiểu ). Định lí 2. Giả sử hàm số ( ) xfy = có đạo hàm cấp một trên khoảng ( ) ba, chứa điểm 0 x , ( ) 0 0 = ′ xf và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0 x . 1. Nếu ( ) 0 0 > ′′ xf thì 0 x là điểm cực tiểu. 2. Nếu ( ) 0 0 < ′′ xf thì 0 x là điểm cực đại. Nói cách khác: 1. ( ) 0 0 = ′ xf , ( ) 0 0 > ′′ xf ⇒ 0 x là điểm cực tiểu. 2. ( ) 0 0 = ′ xf , ( ) 0 0 < ′′ xf ⇒ 0 x là điểm cực đại. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số ( ) xfy = Áp dụng 1 trong 2 quy tắc sau: Quy tắc 1: B 1 : Tìm ( ) xf ′ B 2 : Cho ( ) 0 = ′ xf giải tìm các i x B 3 : Xét dấu ( ) xf ′ . Nếu ( ) xf ′ đổi dấu khi x qua điểm i x thì hàm số đạt cực trị tại i x . Quy tắc 2: B 1 : Tìm ( ) xf ′ B 2 : Cho ( ) 0 = ′ xf giải tìm các i x B 3 : Tìm ( ) xf ′′ và tính các ( ) i xf ′′ • Nếu ( ) 0 < ′′ i xf thì hàm số đạt cực đại tại điểm i x • Nếu ( ) 0 > ′′ i xf thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm i x Dạng 2: Bài toán có tham số m Tùy vào giả thiết đề bài mà có hướng giải Chú ý: Nếu hàm số ( ) xfy = đạt cực trị tại ax = thì ta có ( ) 0 = ′ af Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm ( ) xfy = Cho hàm số ( ) xfy = xác định trên RD ⊂ • Nếu tồn tại Dx ∈ 0 sao cho ( ) ( ) Dxxfxf ∈∀≤ 0 thì số ( ) 0 xfM = đgl giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu ( ) xfM Dx ∈ = max • Nếu tồn tại Dx ∈ 0 sao cho ( ) ( ) Dxxfxf ∈∀≥ 0 thì số ( ) 0 xfm = đgl giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu ( ) xfm Dx ∈ = min Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ( ) xfy = trên đoạn [ ] ba; B 1 : Tìm ( ) xf ′ B 2 : Cho ( ) 0 = ′ xf giải tìm các [ ] bax i ; ∈ B 3 : Tính các giá trị ( ) i xf , ( ) ( ) bfaf , B 4 : So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [ ] ba; , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [ ] ba; . Chủ đề 4. Tiệm cận 1. Tiệm cận đứng: Nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ thì đường thẳng (d) có phương trình 0 xx = là tiệm cận đứng của đồ thị (C). 2. Tiệm cận ngang: Nếu 0 lim ( ) x f x y →∞ = thì đường thẳng (d) có phương trình 0 xy = là tiệm cân ngang của đồ thị (C). 3. Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là lim [ ( ) (ax+b)] 0 x f x →+∞ − = hoặc lim [ ( ) (ax+b)] 0 x f x →−∞ − = hoặc lim[ ( ) (ax+b)] 0 x f x →∞ − = . 4. Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b. x ( ) lim b= lim[ ( ) ax] x f x a f x x →∞ →∞ = − . Khảo sát hàm số 1. Hàm số bậc 3 ( ) 0 23 ≠+++= adcxbxaxy  Yêu cầu khảo sát:  TXĐ  Sự biến thiên: • y x −∞→ lim ; y x +∞→ lim • Bảng biến thiên  Tính y ′ , cho 0= ′ y giải tìm các giá trị i x ( giá trị cực trị )  Vẽ bảng biến thiên  Tính y ′′ , cho 0 = ′′ y giải tìm x và suy ra điểm uốn, cho điểm đặc biệt và vẽ đồ thị 2. Hàm số trùng phương ( ) 0 24 ≠++= acbxaxy  Yêu cầu khảo sát: tương tự như hàm số bậc 3 Chú ý: nếu phương trình 0 = ′′ y có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì đồ thị (C ) 3. Hàm số ( ) 0,0 ≠−≠ + + = bcadc dcx bax y  Yêu cầu khảo sát:  TXĐ  Sự biến thiên: • c a yy xx == +∞→−∞→ limlim suy ra đường thẳng c a y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số • y c d x − −→ lim và y c d x + −→ lim suy ra đường thẳng c d x −= là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số • Bảng biến thiên  Tính y ′  Nếu Dxy ∈∀< ′ 0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó  Nếu Dxy ∈∀> ′ 0 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó  Cho vài điểm đặc biệt và vẽ đồ thị 4. Hàm số ( ) 0,0 2 ≠ ′ ≠ ′ + ′ ++= ′ + ′ ++ = aa bxa r qpx bxa cbxax y  Yêu cầu khảo sát:  TXĐ  Sự biến thiên: • yy xx +∞→−∞→ lim;lim • y a b x − ′ ′ −→ lim và y a b x + ′ ′ −→ lim suy ra đường thẳng a b x ′ ′ −= là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • ( ) [ ] ( ) [ ] 0limlim =+−=+− −∞→+∞→ qpxyqpxy xx suy ra đường thẳng qpxy += là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho • Bảng biến thiên  Tính y ′  Cho 0 = ′ y giải tìm các giá trị cực trị ( nếu có )  Vẽ bảng biến thiên  Cho điểm đặc biệt và vẽ đồ thị hàm số. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.  Chủ đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị  Lý thuyết Xét sự tương giao của hai đồ thị ( ) ( ) xfyC = : và ( ) ( ) xgyC = ′ : • Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( ) ( ) ( ) 1xgxf = • Số điểm chung của ( ) C và ( ) C ′ bằng số nghiệm của ( ) 1  Nếu phương trình ( ) 1 vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung  Nếu phương trình ( ) 1 có nghiệm kép thì hai đồ thị tiếp xúc nhau  Nếu phương trình ( ) 1 có bao nhiêu nghiệm thì hai đồ thị có bấy nhiêu điểm chung  Chú ý: Phương trình bậc 3: ( ) 10 23 =+++ dcxbxax  Nếu ( ) 1 có 1 nghiệm là α thì: ( ) ( ) ( ) ( )    =++ = ⇔=++−⇔ 20 01 2 2 CBxAx x CBxAxx α α • Phương trình ( ) 1 có 1 nghiệm ⇒ phương trình ( ) 2 có 1 nghiệm kép α = x • Phương trình ( ) 1 có 2 nghiệm ⇒ phương trình ( ) 2 có 1 nghiệm kép α ≠ x hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm α = x • Phương trình ( ) 1 có 3 nghiệm ⇒ phương trình ( ) 2 có 2 nghiệm phân biệt khác α  Nếu không nhẩm được nghiệm • Phương trình ( ) 1 có 1 nghiệm ⇔ hàm bậc 3 không có cực trị ( phương trình 0 = ′ y vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ) hoặc hàm bậc ba có hai cực trị 0. > CTCĐ yy • Phương trình ( ) 1 có 2 nghiệm ⇔ hàm bậc 3 có hai cực trị 0. = CTCĐ yy • Phương trình ( ) 1 có 3 nghiệm ⇔ hàm bậc 3 có hai cực trị 0. < CTCĐ yy Hàm trùng phương ( ) 10 24 =++ cbxax • Đặt ( ) 0 2 ≥= txt • Khi đó ( ) ( ) 201 2 =++⇔ cbtat  Phương trình ( ) 1 vô nghiệm ⇒ phương trình ( ) 2 vô nghiệm hoặc có nghiệm âm  Phương trình ( ) 1 có 1 nghiệm ⇒ phương trình ( ) 2 có 1 nghiệm kép 0 = x hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm 0 = x và 1 nghiệm âm.  Phương trình ( ) 1 có 2 nghiệm ⇒ phương trình ( ) 2 có 1 nghiệm kép 0 > x hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm 0 > x và 1 nghiệm âm.  Phương trình ( ) 1 có 3 nghiệm ⇒ phương trình ( ) 2 có 1 nghiệm đơn 0 > x và 1 nghiệm kép 0 = x  Phương trình ( ) 1 có 4 nghiệm ⇒ phương trình ( ) 2 có 2 nghiệm đơn 0 > x .  Hai đồ thị ( ) ( ) xfyC =: và ( ) ( ) xgyC = ′ : tiếp xúc nhau ⇔ hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( )    ′ = ′ = xgxf xgxf có nghiệm.  Chủ đề 2: Tiếp tuyến  Lý thuyết  Phương trình tiếp tuyến tại ( ) 00 ; yxM có dạng : ( ) ( ) 000 xxxfyy − ′ =−  Phương trình tiếp tuyến đi qua ( ) 00 ; yxM có dạng: ( ) ( ) dyxxky 00 +−= Để (d) tiếp xúc với (C): ( ) xfy = thì hệ phương trình sau phải có nghiệm: ( ) ( ) ( )    = ′ +−= kxf yxxkxf 00  Chủ đề 3: Vấn đề cố định của hàm số  Lý thuyết  Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m • Gọi ( ) 00 ; yxM là điểm cố định cần tìm • Viết phương trình ( ) 0, 00 =− ymxf theo ẩn m có dạng: 0 =+ BAm hoặc 0 2 =++ CBmAm • Cho các hệ số của phương trình trên đồng thời bằng 0 tức :    = = 0 0 B A hoặc      = = = 0 0 0 C B A sau đó giải hệ suy ra điểm cố định.  Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số hàm số không đi qua với mọi m • Tìm điểm mà đồ thị hàm số không xác định • Khi hàm số xác định  Viết phương trình ( ) 0, =− ymxf theo ẩn m có dạng: 0 =+ BAm hoặc 0 2 =++ CBmAm  Lý luận cho phương trình vô nghiệm o 0 =+ BAm vô nghiệm    ≠ = ⇔ 0 0 B A o 0 2 =++ CBmAm vô nghiệm    ≠ <∆ ⇔ 0 0 A  Chủ đề 4: Biến đổi đồ thị  Lý thuyết a. Cho hàm số ( ) xfy = (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C ’ ) ( ) xfy = Ta có: ( ) ( ) ( )            ′ <−       ′ ≥ == 2 1 0 0 Cyxf Cyxf xfy Suy ra: Đồ thị ( ) C ′ gồm 2 phần: •       ′ 1 C là phần đồ thị của (C) ứng với 0 ≥ y •       ′ 2 C là phần đồ thị lấy đối xứng phần 0 < y của đồ thị (C) qua trục Ox. b. Cho hàm số ( ) ax xU y − = (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C ’ ) ( ) ax xU y − = hoặc ( ) ax xU y − = Ta có: nếu nếu ( ) ( ) ( )              ′ < − −       ′ > − = − = 2 1 Cax ax xU Cax ax xU ax xU y Suy ra: Đồ thị ( ) C ′ gồm 2 phần: •       ′ 1 C là phần đồ thị của (C) ứng với ax > •       ′ 2 C là phần đồ thị lấy đối xứng phần ax < của đồ thị (C) qua trục Ox. Hàm số ( ) ax xU y − = tương tự. c. Cho hàm số ( ) xfy = (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C ’ ) xfy = Ta có: ( ) xfxf = nếu 0 ≥ x xfxf =− ⇒ hàm số ( ) xfxf = là hàm số chẵn Suy ra: Đồ thị ( ) C ′ gồm 2 phần: •       ′ 1 C là phần đồ thị của (C) ứng với 0 ≥ x •       ′ 2 C là phần đồ thị lấy đối xứng phần       ′ 1 C qua trục Oy. d. Cho hàm số ( ) xfy = (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C ’ ) ( ) xfy = Ta có: ( ) ( ) ( )    ±= ≥ ⇔= xfy xf xfy 0 Suy ra: Đồ thị ( ) C ′ gồm 2 phần: •       ′ 1 C là phần đồ thị của (C) ứng với 0 ≥ y •       ′ 2 C là phần đồ thị lấy đối xứng phần       ′ 1 C qua trục Ox.  Chủ đề 5: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình ( ) 0, = mxf  Lý thuyết Đưa phương trình về dạng ( ) ( ) mgxf = . Trong đó: • ( ) xfy = chính là đồ thị đã khảo sát. nếu nếu [...]... Trục đối xứng a Chứng minh đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = f ( x )  x = X + x0 Đặt  thế vào hàm số ban đầu ta được hàm số mới Y = G ( X ) y= Y Chứng minh hàm số Y = G ( X ) là hàm số chẳn, tức là chứng minh G ( − X ) = G ( X ) b Chứng minh đường thẳng ( d ) : y = ax + b là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) 1 a • Gọi d ′ là đường thẳng vuông góc với d suy ra ( d ′)... không chứa tham số ta sẽ kết luận biểu thức đó là quỹ tích cần tìm  Chủ đề 9: Tính đơn điệu của hàm số  Lý thuyết Hàm số y = f ( x ) tăng ∀x ∈ D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D Hàm số y = f ( x ) giảm ∀x ∈ D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D Chú ý: • Hàm nhất biến thì không có dấu “=” • Cho tam thức bậc hai g ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)  ∆ ≤ 0 g ( x) ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔  a< 0  ∆ ≤ 0 g ( x) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇔  a> 0 Hàm số y = f ( x... 2  Chủ đề 10: Tâm đối xứng – Trục đối xứng  Lý thuyết  Tâm đối xứng Chứng minh I ( x0 , y0 ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f ( x )  x = X + x0 Đặt  thế vào hàm số ban đầu y = f ( x ) ta được hàm số mới Y = G ( X )  y = Y + y0 Chứng minh hàm số Y = G ( X ) là hàm số lẻ, tức là chứng minh G ( − X ) = −G ( X ) Chú ý: • Cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ có tọa độ là M 1 ( x0 , y0 ) ,... m ) chỉ chứa tham số m có đồ thị là đường thẳng song song với trục Ox Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của 2 đường y = f ( x ) và y = g ( m)  Chủ đề 6: Cực trị  Lý thuyết •  f ′ ( a) = 0 Hàm số y = f ( x ) đạt cực trị I ( a, b) ⇒   f ( a) = b • Hàm số y = f ( x ) có cực trị ⇔ y′ có sự đổi dấu  Chú ý: • Nếu việc xét dấu y′ là tam thức bậc hai thì hàm số có cực trị khi phương... xứng của đồ thị hàm số  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  Nguyên hàm  Kiến thức cơ bản  Khái niệm F ( x ) được gọi là nguyên hàm của f ( x ) ⇔ F ′( x ) = f ( x )  Tính chất Nếu f , g là hai hàm liên tục trên K thì • ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ]dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx • Với mọi số thực k ≠ 0 ta có: ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx x A + xB 2 Các phương pháp tìm nguyên hàm Phương pháp đổi biến số Ví dụ: Tìm... và ∆ ≤ 0 ∆ ≤ 0  a> 0  Nếu bài toán yêu cầu hàm số tăng ta xét  ∆ ≤ 0 Nếu bài toán yêu cầu hàm số giảm ta xét  a< 0 Trường hợp 3: Khi a ≠ 0 và ∆ > 0 , khi đó phương trình y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 Đặt 2 số α, β vào các khoảng nghiệm x1 , x2 sao cho thỏa mãn điều kiện bài toán rồi áp dụng công thức so sánh nghiệm của tam thức bậc 2  Chủ đề 10: Tâm đối xứng – Trục đối xứng  Lý thuyết... bậc hai thì hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ( ∆ > 0 ) • Hàm số bậc 3 hoặc bậc 2 hoặc không có cực trị hoặc có 2 cực trị ( 1 CĐ – 1 bậc 1 CT ) • Hàm số y = U ′( x0 ) U ( x) có hoành độ cực trị là x0 thì y0 = V ( x) V ( x0 )  Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị  Hàm bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) • Tìm điều kiện tồn tại 2 điểm cực trị • Chia... 0 Hàm số y = f ( x ) tăng trên ( α , β ) ⊂ D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( α , β ) Hàm số y = f ( x ) giảm trên ( α , β ) ⊂ D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ ( α , β ) Chú ý: Nếu việc xét dấu y ′ là tam thức bậc 2 g ( x ) = ax 2 + bx + c Khi đó ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Xét a = 0 Khi đó ta được 1 giá trị cụ thể của tham số m, sau đó xét hàm số cụ thể với giá trị m vừa tìm được xem chúng có thỏa mãn bài toán hay... Cauchy nhiều lần như ở trên  Chủ đề 8: Quỹ tích  Lý thuyết Để tìm quỹ tích của 1 loại điểm nào đó ta thường làm theo các bước sau: • Tìm điều kiện tồn tại quỹ tích theo tham số m •  x = f ( m) ( 1) Tính tọa độ quỹ tích   y = g ( x, m ) ( 2 ) • Khử tham số m: Rút m ở (1) thế vào (2) suy ra y = h( x ) • Giới hạn quỹ tích từ điều kiện tồn tại của quỹ tích theo tham số m suy ra điều kiện tồn tại quỹ... dx ′ Ta có: xe1+x dx = e1+x (1 + x 2 ) dx 1 2 2 2 Đặt u = 1 + x 2 Suy ra ∫ xe1+x dx = ∫ e1+x d (1 + x 2 ) = ∫ eu du = (eu + C ) = e1+x + C 2 2 2 2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần 2 1 2 1 1 1 2 x 3 Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x 1 ⇒ du = dx 3 1 dv = e 2 x ⇒ v = e 2 x 2 x x 1 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra ∫ e 2 x dx = e 2 x − ∫ e 2 x dx = x.e 2 x − ∫ e 2 x d ( 2 x ) = x.e 2 x − e 2 x + . 0 21 S fa fa xx  KHẢO SÁT HÀM SỐ Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số ( ) xfy = I. Định nghĩa Cho hàm số ( ) xfy = xác. thị hàm số ( ) xfy = Đặt    += += 0 0 yYy xXx thế vào hàm số ban đầu ( ) xfy = ta được hàm số mới ( ) XGY = Chứng minh hàm số ( ) XGY = là hàm số lẻ,