ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN. GV: TRẦN QUANG VINH Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (BR-VT) ---------------------------------------------- A.LÝ DO: Trong chương trình lớp 10 (cải cách) và chương trình lớp 12 (chỉnh lí hợp nhất), học sinh chỉ làm việc trên cơ sở các phép toán về tọa độ chứ chưa có cái nhìn dung hòa giữa phương diện đại số và ý nghĩa hình học. Trong bài viết này, thông qua phương tiện là phương trình tiếp tuyến của đường tròn tôi sẽ giới thiệu những tính chất hình học, từ đó có thể giải quyết được những bài toán hình học thuần túy. Tương tự như cách xây dựng của tôi, GV có thể xây dựng lại những tính chất này trên cách đường conic khác, tiến tới tìm hiểu những tính chất hình học của một lớp các đường cong lý thú này. B. NỘI DUNG: 1) Bài toán mở đầu: Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R− + − = biết tọa độ tiếp điểm là ( ) 0 0 ;M x y . Lời giải: Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M, d nhận véctơ ( ) 0 0 ;IA x a y b= − − uur làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , 0d x a x x y b y y− − + − − = (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 x a x a y b y b x a y b⇔ − − + − − = − + − Do điểm M nằm trên đường tròn (C) nên phương trình tiếp tuyến được viết lại là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 ,d x a x a y b y b R− − + − − = (2) Dựa theo kết quả bài toán này ta đưa ra định nghĩa: Định nghĩa 1: Cho đường tròn (C) có phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R− + − = . Hai điểm M và N không trùng với tâm I của đường tròn (C) gọi là hai điểm đối cực ứng với đường tròn (C) khi và chỉ khi chúng có tọa độ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 M N M N x a x a y b y b R− − + − − = Tập hợp các điểm đối cực của điểm M bất kì khác I là một đường thẳng gọi là đường đối cực của điểm M. Phương trình đường đối cực của điểm M là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , M M d x a x a y b y b R− − + − − = Kí hiệu đường đối cực của M là ( ) M C∆ , nếu chỉ xét một đường tròn (C) ta có thể không cần viết (C) trong kí hiệu trên. Dựa vào định nghĩa ta thu được các kết quả sau: + Quan hệ đối cực có tính đối xứng. + Nếu M nằm trên đường tròn (C) thì đường đối cực của M là tiếp tuyến của (C) tại M. + Nếu P và Q là hai điểm đối cực của M thì đường thẳng PQ là đường đối cực của M. + Nếu d là đường đối cực của M thì IM ⊥ d. + Mỗi đường thẳng bất kì không đi qua tâm đường tròn luôn là đường đối cực của một điểm. Ta gọi đó là cực của đường thẳng. 2) Dựng đường đối cực của một điểm bằng hình học: Cho điểm M không trùng với tâm của đường tròn (C). Ta xét 3 trường hợp sau: i) Trường hợp 1: Nếu M nằm trên (C), đường đối cực của M là tiếp tuyến của (C) tại M. ii) Trường hợp 2: Nếu M nằm ngoài đường tròn. Từ M ta kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB của (C). Khi đó MA là đường đối cực của A nên A và M đối cực. Tương tự M và B đối cực, do đó đường đối cực của M là AB. I M A B iii) Trường hợp 3: Nếu M nằm trong đường tròn. Qua M ta dựng hai dây cung PQ và KL của (C) Tiếp tuyến của (C) tại P, Q cắt nhau ở A còn tiếp tuyến tại K, L cắt nhau ở B. Theo cách dựng ở phần trên ta có , A B PQ KL= ∆ = ∆ do đó A, B đối cực với M. Vậy M AB = ∆ I M P Q A K L B d C.ÁP DỤNG: Bài 1: Cho đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 1 2 4x y+ + − = và điểm M(2; -2). Qua M kẻ hai tiếp tuyến của (C). Hãy viết phương trình đường thẳng chứa 2 tiếp điểm. Giải: Đường thẳng chứa hai tiếp điểm của M chính là đường đối cực của M có phương trình là: ( ) ( ) ( ) ( ) : 2 1 1 2 2 2 4 M x y∆ + + + − − − = 3 4 7 0x y⇔ − + = Bài 2: Cho đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 1 1 9x y− + + = và điểm M( -1; 1). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt nhau ở một điểm nằm trên trục hoành. Giải: Tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt nhau ở I ⇒ I là cực của đường thẳng AB. M nằm trên AB nên M và I đối cực, do đó I chạy trên đường đối cực của M có phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 1 1 1 1 . 1 9 2 5 0 M x y x y∆ − − − + + + = ⇔ − + = Do I nằm trên trục hoành nên tọa độ I là 5 ;0 2 I   −  ÷   . Đường thẳng AB cần viết là đường đối cực của I có phương trình: ( ) ( ) ( ) 5 : 1 1 0 1 . 1 9 7 2 9 0 2 I x y x y   ∆ − − − + + + = ⇔ − + =  ÷   Bài 3: Cho đường thẳng d nằm ngoài đường tròn (O). Từ điểm M bất kì trên d dựng tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (O). Chứng minh trung điểm của AB chạy trên một đường cố định. Giải: O M d A B I J Theo giả thiết ta suy ra M AB = ∆ . Gọi I là cực của đường thẳng d, khi đó M ở trên d nên M và I đối cực M I AB⇒ ∈∆ = , nghĩa là AB đi qua điểm I cố định.Gọi J là trung điểm của AB ta suy ra J nằm trên đường tròn đường kính OI cố định và không trùng với O. Bài 4: Cho hai đường tròn (I) và (J) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Từ điểm M bất kì trên đường tròn (I) kẻ tiếp tuyến MC, MD của (J). MA cắt đường tròn (J) tại điểm B khác A. Gọi K là giao điểm của CD với tiếp tuyến đường tròn (J) tại B. Chứng minh rằng khi M chạy trên d thì điểm K luôn chạy trên một đường thẳng cố định. Giải: Trong bài này ta xét phép đối cực với đường tròn (J). Ta có M CD = ∆ , B KB = ∆ . Do K nằm trên CD nên K và M đối cực, K nằm trên KB nên K và B đối cực. Như vậy K là cực của MB ⇒ K và A đối cực nên K nằm trên đường đối cực của A. I J A M C D B K Vậy điểm K luôn chạy trên đường thẳng cố định là tiếp tuyến của (J) tại A. D. MỘT SỐ TÍNH CHẤT KHÁC * Tính chất hình học của quan hệ đối cực: Theo định nghĩa của điểm đối cực như trên, khái niệm đối cực là phụ thuộc vào tọa độ. Tiếp theo ta xét đối cực thoát ly khỏi hệ trục tọa độ. Định lý 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Hai điểm M, N bất kì đối cực với nhau khi và chỉ khi: 2 .OM ON R= uuuur uuur Chứng minh: Dựa trực tiếp vào định nghĩa. Định nghĩa 2: Cho hai đường tròn (O 1 ; R 1 ) và (O 2 ; R 2 ). Hai đường tròn này gọi là trực giao với nhau khi và chỉ khi: 2 2 2 1 2 1 2 R R O O+ = . Ta kí hiệu: ( ) ( ) 1 2 O O⊥ Về ý nghĩa hình học, hai đường tròn này có tiếp tuyến tại điểm chung của chúng vuông góc với nhau. Định lý 2: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Hai điểm M, N bất kì đối cực với nhau khi và chỉ khi đường tròn (O) và đường tròn đường kính MN trực giao với nhau. Chứng minh: Gọi I là trung điểm MN. Khi đó theo định lý 1, hai điểm M, N đối cực khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 2 2 1 . 4 OM ON R R OM ON OM ON   = ⇔ = + − −     uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 4 4 MN R OI MN OI R⇔ = − ⇔ = + Tức là đường tròn (O) trực giao với đường tròn đường kính MN. Định lý 3: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Hai điểm M, N ở 2 phía khác nhau của (O). MN cắt đường tròn (O) tại P, Q. Khi đó M, N dối cực của nhau khi và chỉ khi M, N chia điều hòa hai điểm P, Q. Chứng minh: O N Q P M I Gọi I là trung điểm của PQ. Hàng điểm M, N, P, Q điều hòa khi và chỉ khi: 2 .IQ IM IN= uuur uur (Hệ thức Newton) ( ) ( ) 2 2 2 2 .OQ IM IN OI R OM OI ON OI OI⇔ = + ⇔ = − − + uuur uur uuuur uur uuur uur ( ) 2 . 2R OM ON OI OI OM ON⇔ = + − − uuuur uuur uur uur uuuur uuur ( ) 2 2 . .R OM ON OI MI NI R OM ON⇔ = + + ⇔ = uuuur uuur uur uuur uur uuuur uuur Theo định lý 1 ta có đpcm. Định lý 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AC, BD; E là giao điểm của AD, BC còn F là giao điểm của AB, CD. Khi đó bộ ba điểm I, E, F đôi một đối cực của nhau. Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh một kết quả đơn giản của tứ giác toàn phần Bổ đề 1: Cho tứ giác ABCD có AC, BD cắt nhau ở I; AD, BC cắt nhau ở E; AB, CD cắt nhau ở F. Khi đó chùm ED, EC, EI, EF lập thành một chùm điều hòa. Thật vậy: Gọi J là giao điểm của EI và CD. Áp dụng định lý Céva cho tam giác ECD ta có: . . 1 AE JD BC AD JC BE = − (1). Áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác ECD với đường hoành ABF ta có: . . 1 AE FD BC AD FC BE = (2). Từ (1) và (2) suy ra: ( ) , , , 1 JD FD C D J F JC FC = − ⇒ = − Vậy chùm ED, EC, EI, EF là chùm điều hòa. (Đpcm) Áp dụng kết quả này vào bài toán ban đầu. Gọi K là giao điểm của AC, EF; còn L là giao điểm của BD, EF. Khi đó: do chùm ED, EC, EI, EF là chùm điều hòa nên BD, B, I, L là hàng điều hòa ⇒ I và L là hai điểm đối cực. (3) Tương tự chùm DA, DC, DI, DK là chùm điều hòa (dùng cho tứ giác EACF) nên I, K là hai điểm đối cực. (4) Từ (3) và (4) ⇒ EF là đường đối cực của I. Tiếp theo do D, C, J, F là hàng điều hòa nên J và F là hai điểm đối cực ⇒ EI là đường đối cực của F. Tương tự FI là đường đối cực của E. Vậy ba điềm I, E, F đôi một đối cực. A B D C F E I L K Theo lưu ý ở phần 2) ta thấy tam giác IEF nhận O làm trực tâm. Hệ quả: Trong một tứ giác toàn phần nội tiếp thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trực tâm của tam giác chéo. (Tam giác chéo là tam giác có đỉnh là giao của các cạnh đối diện trong tứ giác toàn phần) * Một số bài tập áp dụng: Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn: AB.CD = AD.BC. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau ở một điểm nằm trên BD. Bài 6: Cho tam giác ABC không cân có đường tròn (I) nội tiếp tiếp xúc cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Gọi D, E, F là trung điểm của NP, PM, MN. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác IAD, IBE, ICF có với nhau một điểm chung khác I. Bài 7: Cho điểm A cố định không nằm trên đường tròn (O). Qua A kẻ hai cát tuyến AMN, APQ. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMP, ANQ cắt nhau tại I khác A. Chứng minh rằng điểm I luôn chạy trên một đường tròn cố định khi hai cát tuyến thay đổi qua A. Bài 8: Trong mặt phẳng cho 2 đường tròn (O 1 ;R 1 ) và (O 2 ;R 2 ) tiếp xúc trong với nhau tại M (R 1 <R 2 ).Xét điểm A nằm trên đường tròn (O 2 ) sao cho A;O 1 ;O 2 không thẳng hàng.Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O 1 ).Các đường thẳng MB, MC cắt đường tròn (O 2 ) tại E, F khác M.Gọi D là giao điểm của tiếp tuyến tại A của (O 2 ) và EF.Tìm tập hợp các điểm D khi A chuyển động trên đường tròn (O 2 ). E. KẾT LUẬN: Như vậy chỉ bằng kiến thức đơn giản trong SGK hình học 10, các thầy cô giáo có thể giúp các em giải quyết tốt các bài toán về phương trình tiếp tuyến cũng như qua đó giải được những bài tập hình học thuần túy. Điều này chứng tỏ phương pháp tọa độ không hề xa rời bản chất hình học mà nó chỉ là công cụ hỗ trợ nghiên cứu cho hình học. Bằng phương pháp xây dựng như trên kích thích được sự sáng tạo tìm tòi ở học sinh khi được học về tiếp tuyến của 3 đường conic (giải tích 11). ----------------------------------------------------HẾT-------------------------------------------------- Vũng Tàu 28/03/2007 . chùm điều hòa. Thật vậy: Gọi J là giao điểm của EI và CD. Áp dụng định lý C va cho tam giác ECD ta có: . . 1 AE JD BC AD JC BE = − (1). Áp dụng định lý