GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) có miền xác định D x0, x1 �D   a, b  x : f  x   f  x0  x � a, b  \  x0   f(x) gọi đạt cực tiểu điểm x0 nếu: chứa   a, b  x : f  x   f  x1  x � a, b  \  x1  f(x) gọi đạt cực đạt điểm x1 nếu: chứa  LƯU Ý:  x0, x1: điểm cực trị hàm số  f(x0), f(x1): (giá trị) cực trị hàm số  N(x0,f(x0), M(x1,f(x1)): điểm cực trị đồ thị hàm số II ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ: 1) Điều kiện cần Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 Khi đó: f(x) có cực trị x0 � y' x0    Ý nghĩa hình học Tiếp tuyến điểm cực trị đường thẳng song song với trục Ox  LƯU Ý  Điều ngược lại định lí khơng f’ không điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 y  f  x  x3 Ví dụ: D � f ' x  3x2 f ' x  � x   Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm y  f  x  x Ví dụ: D � x x �0 � f  x  � x x0 � f ' x  � 1 x0 D  �\  x0  TH: 0 � �x0 � � �y' x0  �0 Hàm số có CĐ, CT � y’ = có nghiệm phân biệt y  ax4  bx2  c  a �0  Nếu y hàm trùng phương có cực trị y'  4ax3  2bx  2x 2ax2  b   Hàm số có cực trị � y’=0 có nghiệm phân biệt � 2ax2  b  có nghiệm phân biệt �0 �  8ab  �ab  �� �� � 2a.0  b �0 �b �0 � ab � Hàm số có cực trị y’=0 có nghiệm bậc lẻ � 2ax2  b  0VN có nghiệm kép có nghiệm =  �0 � ab �0 � �� �� � b 2a.0  b  � � ab�0  LƯU Ý:  CM hàm số có CĐ, CT m Đưa dạng có kết m��  Tìm m để hàm số khơng có CĐ, CT Giải toán dạng lấy phủ định kết Ví dụ: y    m2  5m x3  6mx2  6x  a) Tìm m để hàm số có cực trị 12 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 x2  mx  2m2  y x  2m b) Tìm m để khơng có cực trị x2  m m 1 x  m3  y x m c) CM hàm số ln có cực trị d) y  mx  (m 1)x  1 2m Tìm m để: + có cực trị 13 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 + có cực trị, có cực đại cực tiểu TRẮC NGHIỆM: y   x   2m  1 x    m  x  Câu 1: Tìm m để hàm số có điểm cực trị m� �;  1 A �5 � m� �; 1 �� ; �� �4 � B � 5� m�� 1; � � � C m� 1; � D 3 Câu 2: Tìm m để hàm số y  x  3mx  3m có cực đại cực tiểu A m B m C m D m�0 2 Câu 3: Tìm m để hàm số y  x  2m x  có cực trị A m B m�0 C m D m�� x  mx  y x 1 Câu 4: Tìm m để hàm số có cực trị A m B m C m D m�� Câu 5: Tìm m để hàm số cực đại cực tiểu A m y   m  3 x3  2mx  khơng có B m 14 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 C m m D m�3 Câu 6: Có giá trị nguyên m thỏa hàm số y  mx   m  1 x  có cực tiểu A B C D Câu 7: Tìm m để hàm số cực đại cực tiểu A m B m 1 C 1 m D m Câu 8: Tìm m để hàm số cực đại A 1�m B 1�m�0 C 1 m D 1 m�0 Câu 9: Tìm m để hàm số A m 1 B m 1 C m�1 D m�1 y  mx   m  1 x  m  có y  mx   m  1 x  m  có y  x 5 Câu 10: Tìm m để hàm số A m B m C m D m�� y m 1 x  có cực trị m2 x  x khơng có cực trị Dạng 4: Đường thẳng qua CĐ, CT hàm số 15 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 ① Nếu điểm cực trị có tọa độ đơn giản A xA , yA  , B xB, yB  phương trình đường x  xA y  yA  thẳng AB xB  xA yB  yA ② Hàm số bậc Thực phép chia y cho y’, ta y = (mx + n) y’+ ax + b (1) Toa độ điểm CĐ, CT thỏa (1) y’ = nên đường thẳng qua CĐ, CT y = ax + b (dư phép chia y cho y’) u u'v uv' y  ; y'= v v2 ③ Hàm số hữu tỉ � u � u y � u � �y  v y  u' � � v � �� � y � v�� v' � �u'v  uv'  �u  u' �y'  � � v v v' Tọa độ điểm CĐ, CT thỏa � o h� m t� � u' �� y � � � o h� m m� u� v' �� Vậy đường thẳng qua cực trị Ví dụ: x2  m m 1 x  y 2x  a) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y  2x3  3 m 3 x2  11 3m b) Tìm m để có điểm cực trị M, N cho A(0,-1), M, N thẳng hàng Dạng 5: Tìm m để hàm số có cực tri thỏa điều kiện () 16 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 - Tìm m để hàm số có cực trị ( Dạng 3) y'  ax2  bx  c  a �0  Xét hàm số có  � ax2  bx  c  0 Khi xCĐ, xCT nghiệm phương trình y’ = Áp dụng định lí Vi-et: b c xC �  xCT  , xC �.xCT  a a - Chuyển điều kiện () điều kiên xCĐ, xCT (nếu có yCĐ, yCT dùng đường thẳng qua điểm cực trị (dạng 4) để chuyển xCĐ, xCT) LƯU Ý: Nếu xCĐ, xCT đơn giản trực tiếp vào điều kiện  Nếu y hàm trùng phương - y  ax  bx  c  a �0  the vao y � tính y1 , y2 , y3 Giải phương trình y’ = => tính nghiệm x1 , x2 , x3 theo m ���� theo m Thế giá trị x y tìm bước vào điều kiện (), giải m  x2  3x  m y x Ví dụ 1: Cho Tìm m để hàm số có cực trị x1, x2 thỏa: 2 a) x1  x2  12 y y 4 b) 17 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 c) Hai điểm cực trị tạo với gốc O tam giác vuông O d) x1  3x2  4m Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2mx  18 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 a) Có điểm cực trị lập thành tam giác vuông b) Có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ G  0;1 c) Có điểm cực trị lập thành tam giác nhận làm trọng tâm CƠNG THỨC TÍNH NHANH 19 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG y  ax4  bx2  c a �0 a � :1 CT � b �0 � cực trị ab�0 a � : C� � b �0 �  Một số dạng toán thường gặp Dữ kiện V ABC có góc BAC    VABC (hoặc VABC có góc 60o  VABC vng (hoặc vng cân) VABC có góc nhọn VABC có O(0,0) là: Trọng tâm Trực tâm Tâm đường tròn ngoại tiếp Bán kính đường tròn nội tiếp r VABC có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp R SVABC VABC có điểm cực trị cách trục hoành Trục hoành chia VABC thành hần có diện tích cực trị ab