XÁC SUẤT học SINH GIỎI vận DỤNG CAO

31 22 0
  • Loading ...
1/31 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/11/2019, 22:07

Bài tập tổ hợp xác suất PHầN I BàI TậP Tự LUậN Dạng 1: Các toán đếm tính xác suất số chữ số thỏa mãn điều kiện cho tr-ớc Loại 1: Liên quan đến tính chất chia hÕt Câu 1: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ngãi lớp 11 năm học 2015 – 2016) Từ chữ số , , , lập số tự nhiên có sáu chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt lần Trong số tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để số chọn chia hết cho ? Lời giải Gọi số cần tìm abcdef với a, b, c, d , e, f  1,3, 4,8 Sắp xếp chữ số vào vị trí, có C63 cách Sắp xếp chữ số ; ; vào vị trí lại có 3! Cách Vậy có tất C63.3!  120 số Một số chia hết cho hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho Trong số trên, số lấy chia hết cho có tận 48 , 84 Trong trường hợp có C43  cách xếp chữ số vào vị trí lại, suy có số chia hết cho Gọi A biến cố: “Số lấy chia hết cho ” Vậy số kết thuận lợi cho A A  Số phần tử không gian mẫu   120 Xác suất biến cố A PA  Câu 2: A    120 15 (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2010 – 2011) Gọi A là tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn đƣợc số thuộc A số chia hết cho Lời giải Trước hết ta tính n  A  Với số tự nhiên có chín chữ số đơi khác chữ số có cách chọn có A98 cho vị trí lại Vậy n  A   A98 Giả sử B  0;1;2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45 nên số có chín chữ số đôi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số tập B \ 0 ; B \ 3 ; B \ 6 ; B \ 9 nên số số loại A99  3.8 A88 Vậy xác suất cần tìm Câu 3: A99  3.8 A88 11  A98 27 (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2016-2017) Gọi S tập hợp ước số nguyên dương số 43200 Lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S Tính xác suất lấy hai phần tử hai số không chia hết cho Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 1/31 Bài tập tổ hợp xác suất Ta cú 43200 26.33.52 Mỗi ước nguyên dương số 43200 số có dạng 2i.3 j.5k , i  0;1; 2;3; 4;5;6 , j  0;1; 2;3 , k  0;1; 2 Số ước nguyên dương số  i; j; k  chọn từ tập Suy số cách chọn  i; j ; k  từ tập 7.4.3  84 ( cách) nên số phần tử S 84 Có C842 cách chọn ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho số 43200 số có dạng 2i.3 j.50 Suy số ước 43200 không chia hết cho tập S 7.4  28 Do có C282 cách lấy hai phần tử thuộc S mà không chia hết cho Suy xác suất lấy hai số không chia hết cho S P  Câu 4: C282  C84 23 (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 11 năm học 2012-2013) Cho tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5;6;7 Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số khác đơi cho số số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ln chia hết cho 6? Lời giải Gọi số cần tìm là: n  a1a2 a3a4 a5 a6 Số n có tính chất: + Lẻ  a6  1;3;5;7 + a3 chia hết cho  a3  0;6 * Trường hợp 1: a3  a có cách a1 có cách Chọn chữ số lại có A53 cách * Trường hợp : a3  a có cách a1 có cách  a1  0; a1  a3 ; a1  a6  Chọn chữ số lại có A53 cách  có 4.5.A53 số Vậy: 4.6 A53  4.5 A53  2640 số Câu 5: (Đề thi học sinh giỏi Bình Định lớp 12 năm học 2017 – 2018) Trong tập hợp số tự nhiên có chữ số ta chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Lời giải Số số tự nhiên có chữ số 9999  1000   9000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abc1 Ta có abc1  10.abc   3.abc  7.abc  chia hết cho 3.abc  chia hết cho h 1 Đặt 3.abc   7h  abc  2h  số nguyên h  3t  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 2/31 Bµi tËp tổ hợp xác suất Cõu 6: Khi ú ta c: abcd  7t   100  7t   999 98 997  t   t  14, 15, , 142 suy số cách chọn t cho số abc1 chia hết cho 7 chữ số hàng đơn vị 129 129 43 Vậy xác suất cần tìm là:  9000 3000 (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2011 – 2012) Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Lời giải Số số tự nhiên có chữ số 99999 10000   90000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abcd1 Ta có abcd1  10.abcd   3.abcd  7.abcd  chia hết cho 3.abcd  chia h 1 hết cho Đặt 3.abcd   7h  abcd  2h  số nguyên h  3t  Câu 7: Khi ta được: abcd  7t   1000  7t   9999 998 9997  t   t  143, 144, , 1428 suy số cách chọn t cho số abcd1 chia 7 hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 1286 Vậy xác suất cần tìm là:  0, 015 90000 (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Long lớp 11 năm học 2014 – 2015) Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập số tự nhiên có ba chữ số đôi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số khơng chia hết cho Lời giải ● Tìm số có ba chữ số khác lập từ tập E  0,1, 2,3, 4,5 Số cần tìm có dạng abc , chọn a  E, a  có cách Chọn số số lại E \ a xếp vào hai vị trí b, c có A52 cách Vậy có A52  100 số ● Tính số lập chia hết cho Số cần tìm có dạng abc, a  b  c Xét tập gồm phần tử tập E  0,1, 2,3, 4,5 , ta thấy có tập sau thỏa mãn điều kiện tổng chữ số chia hết cho là: A1  0,1, 2 , A2  0,1,5 , A3  0, 2, 4 , A4  0, 4,5 , A5  1, 2,3 , A6  1,3,5 , A7  2,3, 4 , A8  3, 4,5 Khi a, b, c  A1 , A2 , A3 , A4 trường hợp lập số thỏa mãn yêu cầu Khi a, b, c  A5 , A6 , A7 , A8 trường hợp lập số thỏa mãn yêu cầu Vậy có 4.4  4.6  40 số Suy số không chia hết cho 100  40  60 số 60  0, Xác suất cần tính P  100 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/31 Bài tập tổ hợp xác suất Cõu 8: ( thi học sinh giỏi Hà Nam lớp 11 năm học 2016 – 2017) Từ chữ số 1, 2,3, 4,5,6,7,8 lập số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số chia hết cho 1111 Lời giải Ta có số phần tử khơng gian mẫu n     8! Giả sử số tự nhiên n  a1a2 a3a4b1b2b3b4 chia hết cho 1111 a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 thuộc 1; 2;3; 4;5;6;7;8 n  n 9999 Ta có         36   n 1111 Đặt x  a1a2 a3a4 ; y  b1b2b3b4  n  104 x  y  9999 x   x  y  n 9999   x  y  9999 ,  x  y  2.9999  x  y  9999  a1  b1  a2  b2  a3  b3  a4  b4  Có cặp số có tổng 1;8 ,  2;7  ,  3;6  ,  4;5  Có 4! cách chọn cặp số trên, cặp số có hốn vị nên có 4!.24 số chia hết cho 1111 Gọi A : "Số tự nhiên lấy chia hết cho 1111 "  n  A   4!.2 105 (Đề thi học sinh giỏi Cẩm Xuyên lớp 11 năm học 2016 - 2017) Một hộp đựng 20 viên bi khác đánh số từ đến 20 Lấy ba viên bi từ hộp cộng số ghi lại Hỏi có cách lấy để kết thu số chia hết cho Lời giải Ta chia 20 số từ đến 20 thành nhóm sau: A  3;6;9;11;15;18 Nhóm chia hết cho , n  A   Xác suất biến cố A P  A   Câu 9: B  1; 4;7;10;13;16;19 Chia cho dư , n  B   C  2;5;8;11;14;17; 20 Chia cho dư , n  C   Tổng số cho chia hết cho có trường hợp sau: TH1: số thuộc A Có C63  20 cách chọn TH2: số thuộc B Có C73  35 cách chọn TH3: số thuộc C Có C73  35 cách chọn TH4: số thuộc A , số thuộc B , số thuộc C Có C61C71C71  294 cách chọn Vậy tất có 20  35  35  294  384 cách chọn số thỏa mãn yêu cầu đề Câu 10: (Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 11 năm học 2017- 2018) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập S Tính xác suất để chọn số thuộc S số chia hết cho Lời giải Gọi số có chữ số phân biệt có dạng là: x  a1a2 a7 a8 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/31 Bài tập tổ hợp xác suất Cú n    A108  A97 A biến cố “ x chia hết cho ” Các số a1 , a2 , , a8 lập từ cặp 0;9 , 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5 Trường hợp : Trong x chữ số  có 8! số Trường hợp :Trong x có chứa chữ số + Chọn cặp lại có C43 + Xếp số chọn thành số có chữ số có 8! 7! 8! 4(8! 7!)   có C43  8! 7!  P  A   A108  A97 Câu 11: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2015 – 2016) Gọi X tập hợp số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác lập từ chữ số 0;2;3;4;5;7;8 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập X Tính xác suất để chọn chia hết cho Lời giải Mỗi số tự nhiên thuộc X có dạng x  a1a2 a3 a4 a1  a4 chẵn Trường hợp a4  : Số số dạng x có a4  A63  120 Trường hợp a4  2; 4;8 : Số số dạng trường hợp 5.5.4.3  300 Vậy X có 120  300  420 số Số phẩn tử không gian mẫu n     420 Gọi A biến cố chọn số x  a1a2 a3 a4 chia hết cho x chia hết cho a3 a4 chia hết cho Do a3 a4 thuộc tập 04;08; 20; 24; 28;32; 40; 48;52;72;80;84 Nếu a3a4 04;08; 20; 40;80 số cách chọn x A52  100 Nếu a3a4 24;28;32;48;52;72;84 số cách chọn x 4.4.7  112 Suy n  A   212 212 53  420 105 Câu 12: (Đề thi học sinh giỏi Hà Nam lớp 11 năm học 2017 – 2018) Cho X tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác mà tổng chữ số 18 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập X tính xác suất để chọn số chẵn Lời giải Vậy xác suất biến cố A P  A  Gọi số có chữ số khác abcdef , mà tổng chữ số 18 nên tập a, b, c, d , e, f  tập hợp sau: 0;1; 2;3; 4;8 ; 0;1; 2;3;5;7 ; 0;1; 2; 4;5;6 Ứng với trường hợp có cách chọn chữ số a , chữ số lại có 5! cách chọn Suy có 3.5.5!  1800 số tự nhiên có chữ số khác mà tổng 18  n     1800 Gọi A biến cố “Số tự nhiên chọn số chẵn”  A biến cố “Số tự nhiên chọn số lẻ” TH1: a, b, c, d , e, f  0;1; 2;3; 4;8  có 2.4.4!  192 (số) TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/31 Bµi tập tổ hợp xác suất TH2: a, b, c, d , e, f  0;1; 2;3;5;7  có 4.4.4!  384 (số) TH3: a, b, c, d , e, f  0;1; 2; 4;5;6  có 2.4.4!  192 (số)     Suy n A  768  P A     32 n A n  75   43 75 Câu 13: (Đề thi HSG Bà Rịa Vũng Tàu lớp 12 năm học 2017 – 2018) Từ chữ số , , , , , , , , , lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho tổng ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn hàng trăm ? Lời giải Ta có          Vậy P  A   P A  Gọi số cần lập abcdef Vì tổng ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn hàng trăm nên bcd có  3!  18 cách lập Khi đó, a, e, f  1; 2; ;9 \ b; c; d  nên vị trí lại có A36  120 cách lập Vậy số số cần lập 18 120  2160 (số) Câu 14: (Đề thi HSG Cao Bằng lớp 12 năm học 2017 – 2018) Một hộp chứa 11 cầu đánh số theo thứ tự từ đến 11 , lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để tổng số ghi cầu số lẻ Lời giải Số cách bốc ngẫu nhiên cầu từ 11 C11  462 (cách) Trong 11 cầu có đánh số chẵn đánh số lẻ Để bốc mà tổng số số lẻ phải có số đánh số lẻ số lẻ Ta xét trường hợp sau Trường hợp 1: Bốc có số lẻ, có C16  C55  cách Trường hợp 2: Bốc có số lẻ, có C36  C53  200 cách Trường hợp 3: Bốc có số lẻ, có C56  C15  30 cách  200  30 118  462 231 Câu 15: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa dự bị lớp 12 năm học 2014 – 2015) Một hộp đựng chín cầu giống đánh số từ đến Hỏi phải lấy cầu để xác suất có ghi số chia hết cho lớn Lời giải Nhận thấy chín cầu cho, có hai ghi số chia hết cho (các ghi số số ), bảy lại ghi số khơng chia hết cho Giả sử rút x 1  x  9, x   Số cách chọn x từ hộp C9x ; số phần Vậy xác suất cần tính P  tử không gian mẫu n     C9x Gọi A biến cố “Trong số x lấy ra, có ghi số chia hết cho ” biến cố đối A A : “ Trong số x lấy ra, khơng có ghi số chia hết cho ”   Số cách chọn tương ứng với biến cố A n A  C7x   Ta có P A   C n A n  x x C    x 8  x  Do 72 TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập   P  A   P A  Trang 6/31 Bài tập tổ hợp xác suất x 8  x   1   x2 17 x  60    x  12 72 Suy  x  1  x  9, x     P A  Giá trị nhỏ x Vậy số cầu phải rút mà ta phải tìm Lo¹i 2: Số lần xuất chữ số Cõu 1: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2016-2017) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên thỏa: số có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần Lời giải Bước 1: xét số có chữ số, số có hai chữ số lê khác ba chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần ( kể số có chữ số đứng đầu) Từ 10 chữ số chọn chữ số khác gồm số lẻ số chẵn có C52 C53 cách chọn Với cách chọn ta có: số số có chữ số có chữ số lẻ khác 8! chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần số 2!.2!.2! 8!  504000 số ( kể số đứng đầu Vậy với C52 C53 cách chọn ta tạo C52 C35 2!.2!.2! tiên ) Bước 2: xét số thỏa mãn điều kiện bước mà có chữ số đứng đầu Từ số cho ( bỏ số ) chọn số khác gồm số lẻ số chẵn ( có số đứng đầu ) có C52 C42 cách chọn Câu 2: + Với cách chọn ta có: số số có chữ số có số đứng đầu, có mặt chữ số lẻ khác nhau, chữ số chẵn khác chữ số chẵn khác có mặt hai lần 7! số 2!.2! 7!  75600 số ( bước 2) + Vậy với C52 C42 cách chọn ta tạo C52 C24 2!.2! Từ bước suy số chữ số thảo đề là: 504000  75600  428400 số (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2013-2014) Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Lời giải Xét phép thử T : "Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0" Số phần tử không gian mẫu   95  59049 Gọi A biến cố cần tìm xác suất Số cách chọn chữ số phân biệt a; b; c từ chữ số khác C93 Chọn chữ số lại từ chữ số đó, có hai trường hợp: TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên Trang 7/31 Bài tập tổ hợp xác suất Trng hợp : Cả hai chữ số lại ba chữ số a; b; c : có cách; hốn vị từ 5! hốn vị chữ số (chẳng hạn a; a; a; b; c tạo số tự nhiên n ); 3! hốn vị vị trí mà a; a; a chiếm chỗ tạo số n , nên TH1 5! có  60 số tự nhiên 3! Trường hợp : Một hai chữ số lại ba chữ số a; b; c chữ số chữ số khác ba chữ số đó: có cách; hốn vị từ 5! hốn vị chữ số (chẳng hạn a, a, b, b, c tạo số tự nhiên n ); 2! hốn vị vị trí mà b, b 5! chiếm chỗ tạo số n , nên TH2 có  90 số tự nhiên 2!.2! Suy A   60  90  C93  150.84  12600 Vậy P( A)  Câu 3: A 12600   0, 213382106  59049 (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 11 năm học 2012-2013) Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số lại xuất khơng q lần Lời giải Trường hợp : Chữ số xuất lần Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số Có A92 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí lại Suy trường hợp có C32 A92  216 số thõa mãn Trường hợp : Chữ số x (khác 0) xuất lần x vị trí (vị trí hàng nghìn) Có cách chọn x Có cách chọn thêm vị trí cho x Có A92 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí lại Suy trường hợp có 9.3 A92  1944 số thõa mãn Trường hợp : Chữ số x (khác 0) xuất lần x khơng nằm vị trí hàng nghìn Có cách chọn x Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số x Có cách chọn chữ số (khác khác x) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí lại Suy trường hợp có 9.8.8.C32  1728 số thõa mãn Câu 4: Vậy theo quy tắc cộng, có 216  1944  1728  3888 số thỏa mãn yêu cầu toán (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 11 năm học 2015-2016) Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp A  1;2;3; 20 Tính xác suất để ba số chọn khơng có hai số tự nhiên liên tiếp Lời giải Số cách chọn ba số đôi khác từ tập A C203  1140 cách Số cách chọn ba số liên tiếp 18 cách Số cách chọn ba số có hai số liên tiếp 17   17  16  306 cách Vậy xác suất cần tìm 1140  18  306 816 68   11400 1140 95 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/31 Bài tập tổ hợp xác suất Cõu 5: ( thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2008-2009) Có số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác mà có chữ số lẻ? Lời giải Ta kí hiệu số A a1a2 a3a4 a5 a6 Có khả chọn chữ số lẻ Mỗi cách chọn chữ số lẻ chữ số chẵn có p6  6! cách xếp để tạo thành số Như có 5P6  5.6! cách tạo số mà có chữ số lẻ, - chữ số vị trí a1 Do tính bình đẳng chữ số chọn nên có số số mà chữ số vị 6 trí a1 Suy ra, số số cần tìm 5.6! 5.6!  3000 Câu 6: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2013 – 2014) Từ số 0,1, 2,3, 4,5,6 có số tự nhiên gồm chữ số khác ln có mặt chữ số ? Lời giải Ta có trường hợp sau: *) Trường hợp 1: số đứng vị trí có A64 cách cho số số lại *) Trường hợp 2: số từ vị trí thứ hai đến thứ năm có  A64  A53  số Vậy có tất  A64  A53   A64  1560 số thỏa mãn đề Câu 7: (Đề thi học sinh giỏi Diễn Châu 3_Nghệ An lớp 11 năm học 2016 – 2017) Gọi X tập hợp số tự nhiên gồm sáu chữ số khác lập từ số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 Chọn ngẫu nhiên số từ X tính xác suất để số có chữ số lẻ? Lời giải Ta có số phần tử không gian mẫu A Số cách chọn ba số lẻ từ số ban đầu C53 Còn lại ba chữ số phải số chẵn có C43 cách Vậy xác suất cần tính Câu 8: C53 C43 6! 10  A96 21 ( Đề thi học sinh giỏi Đà Nẵng lớp 11 năm học 2010 – 2011) Từ tập hợp số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Lời giải: Cách 1: Khơng gian mẫu: Số số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác : n()  95 Gọi A biến cố :’’Chọn số tự nhiên có mặt chữ số khác nhau’’: Chọn chữ số: C93 5! 3! 5! TH2: số xuất lần, số lại xuất lần: C32 2!.2! 5! 5!   Suy n( A)  C93  C31  C32   12600 cách 3! 2!.2!   TH1: số xuất lần, số lại xuất lần: C31 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên Trang 9/31 Bài tập tổ hợp xác suất Suy P( A)  1400 6561 Cách 2: Chọn số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số: C91 Chọn số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số: 5! TH1: số xuất lần, số xuất lần: C92C21 4! 5! TH2: số xuất lần, số xuất lần: C92C21 2!.3! Chọn số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số ( số xuất lần, lại xuất lần): C94 C41 5! 2! Chọn số tự nhiên có chữ số khác nhau: A95 Tổng số cách: 46449 cách 46499 1400 P( A)    95 6561 C C 6! 10 Vậy xác suất cần tính l 64 A9 21 Loại 3: Liên quan đến vị trí Cõu 1: ( thi kho sỏt đội tuyển học sinh giỏi lần Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2017 – 2018) Có số tự nhiên có chữ số khác số kề không số lẻ? Lời giải Gọi số A  a1a2 a3a4 a5 a6 Theo đề bài, ta có A có nhiều chữ số lẻ TH1 : A có chữ số lẻ: a1 lẻ: số cách chọn A: C51.P5 a1 chẵn: số cách chọn A: C14 (C51.C44 ).P5 TH2 : A có chữ số lẻ: a1 lẻ, suy a2 chẵn số cách chọn A: C51.C15 (C41.C43 ).P4 a1 chẵn, có cách chọn vị trí không kề chữ số lẻ số cách chọn A: C14 (C52 6.P2 ) A43 TH3 : A có chữ số lẻ: a1 lẻ, suy a2 chẵn, có cách chọn vị trí khơng kề chữ số lẻ số cách chọn A: C51.C15 (C42 3.P2 ) A42 a1 chẵn, có cách chọn vị trí khơng kề chữ số lẻ số cách chọn A: C14 (C53 1.P3 ) A42 Câu 2: Suy tổng số trường hợp: 37800 cách (Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 12 năm học 2011 – 2012) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 10/31 Bµi tËp tổ hợp xác suất x y x    x  z    y  y  z  z    Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh : C94 C53 Vậy số phần tử không gian mẫu n()  C94 C53 Gọi S biến cố “ hai học sinh A B có phần thưởng giống nhau” TH1 : A B nhận Tốn+Lý có C72 C53 cách phát TH2: A B nhận Tốn+Hóa có C71 C64 cách phát TH3 : A B nhận Lý-Hóa có C74 cách phát  n  S   C72 C53  C71 C64  C74 Vậy xác suất biến cố S là: P( S )  Câu 2: C72C53  C71C64  C74  C94C53 18 (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2015 - 2016) Một trường học có 25 giáo viên nam 15 giáo viên nữ có hai cặp vợ chồng Nhà trường chọn ngẫu nhiên người số 40 giáo viên cơng tác Tính xác suất cho người chọn có cặp vợ chồng Lời giải Số phần tử không gian mẫu n     C40 Giả sử có hai cặp vợ chồng  A, B   C , D  A, C chồng Trường hợp 1: Chọn cặp vợ chồng  A, B  Cần chọn người số 38 người lại (trừ  A, B  ) mà khơng có cặp  C , D  - Số cách chọn người 38 người C383 - Số cách chọn người số 38 người mà có cặp  C , D  C36  C36 Suy số cách chọn người số 38 người mà khơng có cặp  C , D  C38 Trường hợp 2: Chọn cặp vợ chồng  C , D  Tương tự ta có số cách chọn C38  C36 Vậy xác suất cần tìm P  Câu 3:  C383  C36  C40 (Đề thi học sinh giỏi Cà Mau lớp 12 năm học 2017 - 2018) Chi đồn lớp 12A gồm 40 đồn viên, có người tên An người tên Bình Ban chấp hành chi đồn bao gồm bí thư, phó bí thư n ủy viên bầu từ 40 đồn viên chi đồn a Có thể lập ban chấp hành chi đoàn 12A với số ủy viên n  , An Bình người giữ chức vụ bí thư phó bí thư? b Một ban chấp hành chi đoàn 12A gọi đạt chuẩn A0 An Bình ủy viên ban chấp hành, đồng thời khơng giữ chức vụ bí thư phó bí thư Xác định giá trị n , biết xác suất lấy ngẫu nhiên ban chấp hành đạt chuẩn A0 78 Lời giải a Số cách chọn An Bình giữ chức vụ bí thư phó bí thư cách TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 17/31 Bµi tập tổ hợp xác suất S cỏch lp ban chp hành với số ủy viên n  A387 Vậy có tất : 2.A387 cách b Số phần tử không gian mẫu A382 C38n Chọn người từ 38 người để giữ chức vụ bí thư phó bí thư có A382 Chọn thêm ủy viên có C36n 2 ( trừ bí thư, phó bí thư An, Bình) A382 C36n  n5 Vậy xác suất để ban chấp hành đạt chuẩn A0 là: n  A40 C38 78 Câu 4: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2017 – 2018) Một đề thi có 10 câu trắc nghiệm, câu có bốn phương án trả lời, phương án trả lời đôi khác nhau, có phương án đúng, ba phương án sai, trả lời câu 1,0 điểm, trả lời sai không điểm không bị trừ điểm Một thí sinh 10 câu, câu chọn phương án ngẫu nhiên Tính xác suất để thí sinh đạt từ 7,0 điểm trở lên Lời giải 10 Số phần tử không gian mẫu n()  Gọi A biến cố “Thí sính đạt từ 7,0 điểm trở lên” Thí sinh chọn câu, sai câu có C107 1.3.3.3  1080 cách Thí sinh chọn câu, sai câu có C108 1.3.3  405 cách Thí sinh chọn câu, sai câu có C109 1.3  30 cách Thí sinh chọn 10 câu có cách n( A) 1516  10 n() (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh lớp 12 năm học 2016 – 2017) Một học sinh tham dự kỳ thi môn Tốn Học sinh phải làm đề trắc nghiệm khách quan gồm 10 cầu hỏi Mỗi câu có đáp án khác nhau, có đáp án Học sinh chấm đỗ trả lời câu Vì học sinh không học nên chọn ngẫu nhiên đáp án 10 câu hỏi Tính xác suất để học sinh thi đỗ Lời giải Trong câu xác suất trả lời Trong câu xác suất trả lời sai Học sinh thi đỗ trường hợp sau: Trường hợp 1: câu sai câu Số cách chọn câu 10 câu C106 Vậy, n(A)  1080  405  30   1516  P( A)  Câu 5: 1 Xác suất để câu đồng thời câu lại đề sai là:   4 1 Suy trường hợp có xác suất P1  C   4 Tương tự: 10 3   4 3   4 1 3 Trường hợp 2: câu sai câu có xác suất là: P2  C     4 4 10 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 18/31 Bài tập tổ hợp xác suất Trường hợp 3: câu sai câu có xác suất là: P3  C   4 10 3   4 1  3 Trường hợp 4: câu sai câu có xác suất là: P4  C     4 4 10 10 1 Trường hợp 5: 10 câu có xác suất là: P5  C1010   4 Do trường hợp biến cố biến cố xung khắc nên xác suất để học sinh thi đỗ là: P  P1  P2  P3  P4  P5 10 20686 1 3 1  3 1  3  1  3 1  C      C107      C108      C109      C1010    10 4 4  4  4  4  4  4  4  4 (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2015 – 2016) Một công ty nhận 30 hồ sơ 30 người muốn xin việc vào công ty, có 15 người biết tiếng Anh, người biết tiếng Pháp 14 người tiếng Anh tiếng Pháp Công ty cần tuyển người biết tiếng Anh tiếng Pháp Tính xác suất để người chọn có người biết tiếng Anh tiếng Pháp Lời giải Ta có: Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 30  14  16 (người) Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 15   16  (người) Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 16   (người) Xét phép thử: “ người chọn biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy   C165  4368 10 Câu 6: Xét biến cố: “Chọn người có người biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy  A  C73 C92  1260 Xác suất cần tìm P  A  Câu 7: A   1260 15  4368 52 (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2015 – 2016) Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, trường THPT dùng sách tham khảo mơn Tốn, sách tham khảo môn Vật lý, sách tham khảo mơn Hóa học để làm phần thưởng cho học sinh có kết cao Các sách thể loại: Tốn, Vật lí, Hóa học giống Mỗi học sinh nhận thưởng hai sách khác thể loại Trong số học sinh có hai học sinh tên An Bình Tìm xác suất để hai học sinh An Bình có phần thưởng giống Lời giải Ta có: Gọi x, y , z số học sinh nhận phần thưởng sách Tốn – Vật lí, Tốn – Hóa học, Vật lí – Hóa học x  y  x    Từ giả thiết ta có:  x  z    y  y  z  z    Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho học sinh”, suy   C94 C53 C22  1260 Xét biến cố: “An Bình có phần thưởng giống nhau” TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm v biờn Trang 19/31 Bài tập tổ hợp xác st TH1: An Bình nhận sách Tốn – Vật lí, có C72 C53.C22  210 TH2: An Bình nhận sách Tốn – Hóa, có C74 C31.C22  105 TH3: An Bình nhận sách Vật lí – Hóa học, có C74 C33  35 Suy ra,  A  210  105  35  350 Xác suất cần tìm P  A  Câu 8: A   350  1260 18 (Đề thi học sinh giỏi Nghệ An lớp 11 năm học 2016 – 2017) Thầy X có 15 sách gồm sách Văn, sách Sử sách Địa Các sách đôi khác Thầy X chọn ngẫu nhiên sách để làm phần thưởng cho học sinh Tính xác suất để số sách lại thầy X có đủ môn Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n     C158 Gọi A biến cố: Số sách lại thầy X có đủ mơn Xét khả xảy ra: Khả : sách lại có Văn Sử Số cách chọn là: C97 Khả : sách lại có Văn Địa Số cách chọn là: C107 Khả : sách lại có Địa Sử Số cách chọn là: C117 Vậy P  A    P  A    Câu 9: C97  C107  C117 5949  C158 6435 (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 11 năm học 2013 – 2014) Một đồn tàu có toa chở khách với toa chỗ trống Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để hành khách lên tàu có toa có khách lên, hai toa có khách lên toa khơng có khách lên tàu Lời giải Gọi A biến cố cần tính xác suất Số cách xếp khách lên toa là:   45 Số cách chọn ba khách để xếp lên toa là: C53  10 Số cách chọn toa để xếp ba người là: C41  Số cách xếp hai người (mỗi người toa) vào ba toa lại là: A32  Suy  A  10.4.6  240 Vậy xác suất cần tìm P  A   A 240 15    64 Câu 10: (Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2015-2016) Một dãy phố có cửa hàng bán quần áo Có người khách đến mua quần áo, người khách vào ngẫu nhiên năm cửa hàng Tính xác suất để có cửa hàng có nhiều người khách vào Lời giải Người khách thứ có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ hai có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ ba có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ tư có cách chọn cửa hàng để vào TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên Trang 20/31 Bài tập tổ hợp xác suất Ngi khách thứ năm có cách chọn cửa hàng để vào Theo quy tắc nhân có: 55  3125 khả khác xảy cho người vào cửa hàng Suy số phần tử không gian mẫu là:   3125 Để có cửa hàng có nhiều khách vào có trường hợp sau: TH1: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng lại khơng có khách Vậy: C51 C53 C41 C22  200 khả xảy TH2: Một cửa hàng có khách, hai cửa hàng có khách, ba cửa hàng lại khơng có khách Vậy: C51 C53 C42 P2  600 khả xảy TH3: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng lại khơng có khách Vậy: C51 C54 C41  100 khả xảy TH4: Một cửa hàng có khách, cửa hàng khác khơng có khách Vậy: C51  khả xảy Suy có tất 200  600  100   905 khả thuận lợi cho biến cố “ có cửa hàng có nhiều người khách vào ” 181 905  Vậy xác suất cần tính là: P  3125 625 Câu 11: Một khóa số với mật số tăng dần từ đến có tổng 10 Một người không nhớ mật mà nhớ tăng dần nên bấm bừa số tăng dần Khóa bị block lần bấm sai Tính xác suất để người mở khóa biết người nhớ kết bấm lần kế trước (trí nhớ ngắn hạn) để tránh kết cho lần sau Lời giải n()  C10  120 , có mã P( A)  112 112 111   120 120 119 120 119 118 dạng : toán đếm số ph-ơng án tính xác suất liên quan đến đa gi¸c Câu 1: (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2014 – 2015) Cho đa giác  H  có n đỉnh  n  , n   Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh đỉnh  H  khơng có cạnh cạnh  H  gấp lần số tam giác có ba đỉnh đỉnh  H  có cạnh cạnh  H  Lời giải Số tam giác có đỉnh thuộc  H  Cn3 Số tam giác có đỉnh thuộc  H  có hai cạnh cạnh  H  n Số tam giác có đỉnh thuộc  H  có cạnh cạnh  H  n  n   TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 21/31 Bài tập tổ hợp xác suất Suy s cỏc tam giác có ba đỉnh thuộc  H  khơng có cạnh cạnh  H  Cn3  n  n  n   Theo giả thiết ta có Cn3  n  n  n    5n  n   Câu 2: Giải phương trình ta n  35 ( giá trị n  loại) (Đề thi HSG Hòa Bình lớp 12 năm học 2017-2018) Cho đa giác lồi 14 đỉnh Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho Lời giải Tính số phần tử không gian mẫu: n     C143  364 Gọi A biến cố :” Tam giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác “ Suy A biến cố “Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác “ TH1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn TH2: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14.10  140 tam giác thỏa mãn   Suy n A  14  140  154   Vậy số phần tử biến cố A : n( A)  n()  n A  210 Suy P  A  Câu 3: n  A 15  n    26 (Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 12 năm học 2017 -2018) Cho đa giác lồi A1 A2 A3 A10 Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho Lời giải Gọi  không gian mẫu  n     C103  120 Gọi A : ” tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho” Các tam giác tập X có ba loại: Tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác, tam giác có cạnh cạnh đa giác, tam giác có hai cạnh cạnh đa giác Ứng với cạnh đa giác có 10  đỉnh đa giác tạo thành tam giác có cạnh cạnh đa giác nên số tam giác có cạnh cạnh đa giác là: 10 10    60 Có 10 tam giác có hai cạnh cạnh đa giác là: A1 A2 A3 ; A2 A3 A4 ; … ; A10 A1 A2  n  A   120  60  10  50 50  120 12 (Đề thi học sinh giỏi Thái Bình lớp 12 năm học 2017 - 2018) Vậy p  A   Câu 4: Cho  H  đa giác 2n đỉnh nội tiếp đuòng tròn tâm O  n  N * , n   Gọi S tập hợp tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác  H  Chọn ngẫu nhiên đa giác thuộc tập S , biết xác xuất chọn tam giác vuông tập S Tìm n 13 Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 22/31 Bài tập tổ hợp xác suất S phần tử tập S là: C2n Số phần tử không gian mẫu n     C2n Gọi A biến cố: “Chọn tam giác vng” Đa giác 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O Mỗi tam giác vuông tạo hai đỉnh nằm đường chéo qua tâm O 2n  đỉnh lại Suy số tam giác vuông n  2n   Theo đề ta có: P  A   Câu 5: n  2n     n  20 C23n 13 (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2015-2016) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc M , tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác Lời giải Số tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: C153  455 tam giác Số phần tử tập M n  M   455 Câu 6: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đối xứng với qua đường thẳng OA , hay có tam giác cân đỉnh A Như với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân 15 Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác  tam giác Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm ba lần Suy số tam giác cân tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 7.15  3.5  90 Vậy xác suất để chọn tam giác cân tam giác từ tập M là: 90 18 P  455 91 (Đề thi học sinh giỏi Yên Lạc – Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2015 – 2016) Cho đa giác H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh hình H Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng? Lời giải Khơng gian mẫu n     C24 Gọi A biến cố “4 đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng” Gọi O tâm đa giác Vì đa giác số đỉnh chẵn, nên có 12 cặp điểm đối xứng qua O, tạo thành đường kính, lấy đường kính chúng đường chéo hình chữ nhật Do số hình chữ nhật C122 Suy n  A   C122 Vậy P  A  Câu 7: n  A C122   n    C24 161 (Đề thi học sinh giỏi Nam Định năm học 2015 – 2016) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tm v biờn Trang 23/31 Bài tập tổ hợp x¸c st Cho đa giác lồi  H  có 22 cạnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh  H  Chọn ngẫu nhiên tam giác X , tính xác suất để chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác  H  tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác  H  Lời giải Đầu tiên ta xét loại tam giác tạo thành Số tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh  H  là: C22  1540 tam giác bao gồm loại sau: Loại tam giác có cạnh cạnh  H  , loại tam giác có cạnh cạnh  H  , tam giác khơng có cạnh cạnh  H  , cụ thể ta làm sau: Cứ đỉnh  H  với đỉnh liên tiếp (kề bên) tạo thành tam giác có cạnh cạnh  H  Các tam giác trùng nhau.Mà  H  có 22 đỉnh nên có 22 tam giác có cạnh cạnh  H  Xét cạnh  H  ,bỏ đỉnh liên tiếp bên cạnh đó,nối đỉnh lại  H  với đầu mút cạnh xét ta có tam giác có cạnh cạnh  H  ,nên ta có 22 18  396 tam giác thỏa ycbt Do số tam giác khơng có cạnh cạnh  H  1540   22  396   1122 tam giác Ta có số phần tử khơng gian mẫu n     C1540 Gọi A biến cố “chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác  H  tam 1 C1122 giác khơng có cạnh cạnh đa giác  H  ” suy n  A   C396 Vậy P  A  Câu 8: 1 n  A C396 C1122 748   n   C21540 1995 (Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2016-2017) Một đa giác có 24 đỉnh, tất đa giác sơn màu xanh tất đường chéo đa giác sơn màu đỏ Gọi X tập hợp tất tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác Người ta chọn ngẫu nhiên từ X tam giác, tính xác suất để chọn tam giác có ba cạnh màu Lời giải Gọi đa giác A1 A2 A24  2024 Số phần từ không gian mẫu n     C24 Gọi A biến cố chọn tam giác có ba cạnh màu, ba cạnh màu đỏ Gọi B biến cố chọn tam giác có cạnh màu xanh (cạnh đa giác) Giả sử xét cạnh màu xanh A1 A2 , ta có 20 cách chọn đỉnh Ai  Ai   A4 ; A5 ; ; A23   Nên số phần tử B n  B   24.20  480 Gọi C biến cố chọn tam giác có hai cạnh màu xanh, tam giác có hai cạnh hai cạnh liên tiếp đa giác, nên n  C   24 Ta có n  A   n  B   n  C   n    Suy số phần tử biến cố A n  A   n     n  B   n  C   2024  480  24  1520 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biờn Trang 24/31 Bài tập tổ hợp xác suất Vậy xác suất biến cố A P  A  Câu 9: n  A 190  n    253 (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa dự bị lớp 12 năm học 2016-2017) Cho đa giác đề 2n đỉnh, lấy ngẫu nhiên đường chéo đa giác xác suất để đường chéo chọn có độ dài lớn Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển n    x   2 x   Lời giải Số đường chéo đa giác 2n cạnh C22n  2n Đường chéo có độ dài lớn đường chéo qua tâm đa giác đều, có n đường chéo n n 1   Từ giả thiết ta có  n6   C2 n  n  2n  1 n  2n 2n  i k i     Xét khai triển  x3    có số hạng tổng quát : C6k Cki 26k  x3     C6k Cki 26k x3k 4i x   x  3k  4i  i   Số hạng chứa x khai triển ứng với i, k thỏa mãn hệ: 0  i  k    k  i, k  N  Hệ số số hạng chứa x5 C63 c31.23  480 Câu 10: (Đề thi học sinh giỏi Lâm Đồng lớp 12 năm học 2017 – 2018) Có năm đoạn thẳng có độ dài , , , , Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn chọn xếp thành hình tam giác Lời giải Ta có: Số phần tử khơng gian mẫu C5  10 Để ba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác có bốn cách chọn sau: 3,5, 7 3;7;9 ; 5, 7,9 3,5,9 Gọi A biến cố chọn ba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác Vậy xác suất để ba đoạn xếp thành hình tam giác là: P  A  10 Câu 11: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2017 – 2018) Trong không gian có 2n điểm phân biệt  n  4; n   , khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng Tìm tất giá trị n cho từ 2n có 505 mặt phẳng phân biệt Lời giải Ta có: Số cách chọn ba điểm từ 2n điểm phân biệt C2n Trong 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng nên có Cn3 mặt phảng trùng Vậy số mặt phẳng tạo từ 2n điểm phân biệt C23n  Cn3  Ta có phương trình: C23n  Cn3   505  2n  2n  1 2n   1.2.3   9n  2n  3024   n   n  n  1 n   1.2.3  505 VẬY n  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 25/31 Bµi tập tổ hợp xác suất dạng : toán đếm tính xác suất liên quan đến xếp chỗ , vị trí Cõu 1: ( thi hc sinh giỏi Bến Tre lớp 12 năm học 2017 – 2018) Trong lớp học có 2n  học sinh gồm An, Bình, Chi 2n học sinh khác Khi xếp tùy ý học sinh vào dãy ghế đánh số từ đến 2n  , học sinh ngồi ghế xác 12 suất để số ghế Bình trung bình cộng số ghế An số ghế Chi Tính số 575 học sinh lớp Lời giải Số phần tử không gian mẫu số cách xếp 2n  học sinh vào 2n  chỗ ngồi đánh số suy n      2n  3 ! Gọi A biến cố “số ghế Bình trung bình cộng số ghế Anh số ghế Chi” ta có - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n  cách có 1.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n  cách có 2.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n cách có 3.2! cách xếp An Bình …… - Xếp Bình ghế thứ n  ghế thứ n  cách có n.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế thứ n  cách có  n  1 2! cách xếp An Bình Suy 1     n  2!  n  1 2!   n  1 2! cách xếp để số ghế Bình trung bình cộng số ghế An Chi Với cách xếp có  n  ! cách xếp học sinh lại Vậy ta có n  A    n  1  2n ! 2  n  1  2n ! Theo giả thiết ta có phương trình  2n   !  12 575  n  11  48n  479n  539     n   49  L  48  Suy số học sinh 2.11   25 (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 11 năm học 2017 – 2018) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 11A học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có học sinh lớp đứng cạnh Lời giải Số phần tử không gian mẫu n     10! Câu 2: Gọi A biến cố thỏa yêu cầu toán - Xếp học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách (Sau xếp có vị trí trống (4 hai đầu), chẳng hạn 1C2C3C4C5C6 - Nếu xếp xen kẽ học sinh lớp A B từ phía tận bên trái (12345) có 5! cách xếp, tương tự xếp từ phía bên phải (23456) có 5! Cách xếp TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biờn Trang 26/31 Bài tập tổ hợp xác suất - Nếu xếp học lớp A B vào vị trí 2345 có vị trí xếp học sinh có A43 2!.2.3 cách Suy n  A  5!  2.5! A32 2!.2.3  63360 63360 11  10! 630 2.5!.5! Vậy P( A)   10! 126 (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2016 – 2017) Một nhóm học sinh gồm bạn nam, có bạn Hải bạn nữ có bạn Minh xếp vào 13 ghế hàng ngang Tính xác suất để hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh nêu không ngồi cạnh Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n     13! Vậy P  A  Câu 3: Đánh số ghế hàng ngang theo thứ tự từ đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào ghế số , , 13 Gọi A biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh không ngồi cạnh nhau” Xét trường hợp: * Bạn Minh ngồi ghế số + Số cách xếp ba bạn nữ lại là: 3! + Có cách xếp vị trí Hải + Có 8! cách xếp tám bạn nam vào vị trí lại Suy số cách xếp 3! 8! - Bạn Minh ngồi ghế số 13 có số cách xếp 3! 8! * Bạn Minh ngồi ghế số (Ghế số tương tự) + Có 3! cách xếp bạn nữ, có cách xếp vị trí Hải, có 8! cách xếp bạn nam lại, số cách xếp 3!.7.8! Số phần tử biến cố A là: n  A   2.3!.7.8! 2.3!.7.8! Xác suất cần tìm là: P  A  Câu 4: n  A n    858 (Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 năm học 2017 – 2018) Trong phòng học, có 36 bàn rời đánh số từ đến 36 , bàn dành cho học sinh Các bàn xếp thành hình vng có kích thước  Cô giáo xếp tùy ý 36 học sinh lớp có hai em Hạnh Phúc vào bàn Tính xác suất để Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh Lời giải Gọi A biến cố: “ Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh nhau” Số cách xếp 36 học sinh vào 36 bàn lớp số phần tử không gian mẫu   36! * Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng ngang Có cách chọn dãy bàn nằm ngang để hai bạn ngồi cạnh Có hai bạn Hạnh Phúc ngồi cạnh nhóm X ,  có nhóm X khác có cách xếp chỗ cho nhóm X Có 34! cách xếp chỗ cho 34 học sinh lại vào 34 bàn TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 27/31 Bài tập tổ hợp xác suất Vy trường hợp 6.2.5.34!  60.34! cách xếp * Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng dọc Tương tự ta có 60.34! cách xếp Số phần tử A n  A   120.34! Vậy xác suất cần tìm là: P  A  Câu 5: n  A n    120.34! 120   36! 35.36 21 (Đề thi học sinh giỏi Chu Văn An lớp 11 năm học 2015 – 2016) Trong thi chọn học sinh giỏi tốn khối 11 trường THPT Chu Văn An, có 52 học sinh đăng ký dự thi có em tên Thành em tên Đạt Dự kiến ban tổ chức xếp làm phòng thi (phòng phòng có 18 thí sinh, phòng có 16 thí sinh) Nếu phòng thi xếp cách ngẫu nhiên, tính xác suất để Thành Đạt ngồi chung phòng Lời giải 18 18 C34 Khơng gian mẫu có số phần tử n     C52 16 18 C34 Nếu Thành Đạt ngồi chung phòng phòng n  A1   2.C50 18 18 C32 Nếu Thành Đạt ngồi chung phòng n  A2   C50 Gọi A biến cố “Thành Đạt chung phòng” 16 18 18 18 n  A 2.C50 C34  C50 C32 71 n  A   n  A1   n  A2   P  A    18 18 n   C52 C34 221 Câu 6: (Đề thi học sinh giỏi chuyên Bắc Ninh lớp 11) Có viên bi gồm viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Hỏi có cách xếp viên bi thành hàng cho khơng có hai viên bi màu xếp cạnh nhau? Lời giải 6! Tổng số cách xếp viên bi thành hàng  90 (hoặc C62 C42  90 ) Kí hiệu: A1 tập hợp viên bi xanh cạnh nhau; A2 tập hợp viên bi đỏ cạnh nhau; A3 tập hợp viên bi vàng cạnh Số cách xếp khơng hợp lệ (có viên màu cạnh nhau) là: A1  A2  A3  A1  A2  A3   A1  A2  A2  A3  A3  A1   A1  A2  A3 Với A1  A2  A3  5!  30 22 A1  A2  A2  A3  A3  A1  4!  12 A1  A2  A3  3!   A1  A2  A3  90  3.12   60 Vậy, số cách xếp hợp lý A1 A2 A3  90  60  30 Câu 7: (Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn lớp 11 năm học 2017 – 2018) Từ 2012 số nguyên dương lấy xếp thành dãy số có dạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 Hỏi có dãy số có dạng biết u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng u1  u3  2u2 Do u1 , u3 chẵn lẻ Số tất cấp số cộng theo thứ tự số cặp số(có thứ tự)  u1 , u3  Chọn u1 có 2012 cách chọn, chọn u3 có 1005 cách chọn số chẵn lẻ với u1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tm v biờn Trang 28/31 Bài tập tổ hợp x¸c st u1  u3 có cách chọn Còn lại 2009 lại ta chọn số xếp có thứ tự để hồn tất việc chọn Khi u2  Vì số kết 2012.1005.A2009 Câu 8: (Đề thi kỳ Yên Phong1_Bắc Ninh lớp 12 năm học 2017 – 2018) Có xe xếp cạnh thành hàng ngang gồm : xe màu xanh, xe màu vàng xe màu đỏ Tính xác suất để hai xe màu không xếp cạnh Lời giải Số phần tử không gian mẫu n     6!  720 Gọi A biến cố hai xe màu không xếp cạnh Ta tính n A Xe màu đỏ nhiều nên ta trước để tránh trường hợp chúng cạnh nhau, ta xếp sau TH : Đ Đ Đ Có ! cách xếp xe màu đỏ, thỏa mái xếp xe lại nên có ! cách xếp xe lại Vậy trường hợp có 6.6 36 cách TH2 : Đ Đ Đ Có ! cách xếp xe màu đỏ, thỏa mái xếp xe lại nên có ! cách xếp xe lại Vậy trường hợp có 6.6 36 cách TH3 : Đ Đ Đ Có ! cách xếp xe màu đỏ, có 2.2 cách xếp xe màu xanh vàng vào hai ô trống liền kề lại xếp xe màu vàng lại Vậy trường hợp có 5.2.2 24 cách TH4 : Đ Đ Đ Có ! cách xếp xe màu đỏ, có 2.2 cách xếp xe màu xanh vàng vào hai ô trống liền kề lại xếp xe màu vàng lại Vậy trường hợp có 5.2.2 24 cách 36.2 24.2 120 Vậy tổng cộng n A Do P A n A n 120 720 d¹ng : toán khác Cõu 9: ( thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2017 – 2018) Cho lưới ô vuông gồm 16 ô vng nhỏ, vng nhỏ có kích thước 1x1 (mét) hình vẽ bên Con kiến thứ vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B , kiến thứ hai vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A Biết kiến thứ di chuyển ngẫu nhiên phía bên phải lên trên, kiến thứ di chuyển ngẫu nhiên phía bên trái xuống (theo cạnh hình vuông) Hai kiến xuất phát thời điểm có vận tốc di chuyển mét/phút Tính xác suất để hai kiến gặp đường TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 29/31 Bài tập tổ hợp xác suất Li gii Nhận xét: Để di chuyển đến đích, kiến phải có hành trình 8m Vì hai kiến xuất phát thời điểm vận tốc di chuyển nên chúng gặp kiến di chuyển 4m (sau phút) Do chúng gặp giao điểm đường chéo chạy từ góc bên trái đến góc bên phải  A1 A5  Xác suất để sau phút, kiến thứ đến vị trí A1 P1  A1   C40 ; 24 C40 Xác suất để sau phút, kiến thứ hai đến vị trí A1 P2  A1   ; Xác suất để hai kiến gặp vị trí A1 P  A1   P1  A1  P2  A1  C   256 Tương tự xác suất để hai kiến gặp vị trí A2 , A3 , A4 , A5 là: C   C   C   2 ; P  A3  ; P  A4  256 256 Vậy xác suất để hai kiến gặp là: P  A2  256 ; P  A5  C   4 256 C   C   C   C   C  P  A  P  A   P  A   P  A   P  A   P  A   4 2 4 4 256 35 128 Câu 10: (Đề thi học sinh giỏi Hà Tĩnh lớp 11 năm học 2016 – 2017) Mỗi lượt, ta gieo súc sắc (loại mặt, cân đối ) đồng xu (cân đối) Tính xác suất để lượt gieo vậy, có lượt gieo kết súc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp Lời giải  Số phần tử không gian mẫu   1728 Số trường hợp xảy để lượt tung thu súc sắc mặt chấm xu sấp TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên Trang 30/31 Bài tập tổ hợp xác suất S trường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm xu sấp 3.1.1.11  3.11 Số trường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm xu sấp 3.1.11.11  3.112 Vậy xác suất cần tìm là: P  3.11  3.112 397  123 1728 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 31/31
- Xem thêm -

Xem thêm: XÁC SUẤT học SINH GIỎI vận DỤNG CAO , XÁC SUẤT học SINH GIỎI vận DỤNG CAO

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn