P H A N H U Y T H IỆ N PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Bản q u y ề n th u ộ c H E V O B C O - N h x u ấ t b ả n G iáo d ụ c 155 - 2006/CXB/7 - 250/GD Mã số: 7K677M6 - DAI J lờ i n ó i ctầiL Nội dung cua P h n g trình Tốn lý đcmg tác gia giang dạy cho sinh viên cúc khoa Toán, Lý ngành kỹ thuật có liên quan cua Trườnq Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Ngoài ra, sách bỏ sung sưa đôi đẽ đáp ứng nhu câu học tập sinh viên inrờniỉ Dại hục Khua hục Tự nhiên trường Đại học Kỹ thuật tromí ca nước Mối Hên hệ đại lượmỉ vật lý tự nhiên phứ c tạp có quy luật, mục đích cua chúng tu tìm mối liên hệ có quy luật dó Chu đến nav, người tu phân loại dạng p h n g trình tốn lý theo mơn hục Phương trình đạo hàm riêng, nỏ p h ù hợp với p h n g pháp giải Cụ thê, có ba dạng phương trình đạo hàm riêng bán: p hư ng trình Hyperbolic, p h n g trình Parabolic p h n g trình Elỉiptic Nội dung sách bao qỏm: - Chương I trình bày việc phân loại cúc p hư ng trình đạo hàm riêng cắp 2; tóm tắt cách giải phư ng trình vi p h â n cấp 2; khái niệm chuỗi Fourier biêu diên toán lư vi phân hệ tọa độ cong trực giao - Chương II trình bày phương trình Hyperbic, cịn gọi phương trình sóng Nó thiết lập sở nghiên cứu dao động cua dầy, màng mong, sóng âm, sóng tạo íhuỳ triều, sóng đùn hồi, sóng điện từ trường - Chương III trình bày phương trình Parabolic, cịn gọi phương trình truyền nhiệt Phương trình Parabolic khơng đặc trưng cho q trình truyền nhiệt mà cồn mô tá tượng khuếch tán khuếch tán chát khí, chất lỏng - Chương IV trình bày phương trình Elliptic, đặc biệt lý thuyết - Chương V đề cập đến phép biến đơi tích phân, ỉà cơng cụ quan trọng đê giai p h n g trình phư ng trình vi p h â n đạo hàm riêng - Chương VI trình bàv p h n g pháp hàm Green - Chương VII trình bày hàm đặc biệt đa thức trực giao, hàm Gatnma, hàm trụ, hàm cầu, hàm siêu bội tỉnh trực giao cùa chúng Cuốn sách có đưa vào so giải mẫu tập có hướn0 Nếu /? ( X) = , phương trình gọi phương trình Nghiệm tống quát phương trình phụ thuộc vào hàm tùy ý, khác với phương trình vi phân thường nghiệm tơng qt phương trình vi phân thường phụ thuộc vào số tùy ý Trong tốn vật lý, phương trình thường gặp phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp (m = ) Ví dụ 1: Xét phương trình mặt phẳng (*,>>) có nghiệm tổng quát u ( x , y ) = f ( y ) Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp với hai biến độc lập x , y hệ thức liên hệ hàm chưa biết u ( x , y ) đạo hàm riêng đến cấp : (*) Trường hợp sổ biến độc lập lớn mơ tả tương tự Phương trình vi phân (*) gọi tuyến tính đạo hàm cấp có dạng ứ,, w„ + 2an uxy + aĩ2uyy + Fx( x , ) \ u , u x, u t ) = (1.1) đó: au , a]2, a22 hàm củaX v y Nếu hệ số au , a ]2, aĩ2 không phụ thuộc vào X y mà phụ thuộc vào X, y , u, ux, u v giống Fị thỉ (1.1) gọi phương trình chn tun tính Phương trình (1.1) gọi tuyến tính tuyến tính với dạo hàm cấp : uxx, uxv, u w đạo hàm cấp : wt , u v nó, tức có dạng í/,, IIxx + a nuxv + a 22uyy + bxux + b2uy + CU + f = , (1.2) đó: a n , a n , a 22, bv b2, c, f hàm phụ thuộc vào X v y Nếu hệ số phương trình khơng phụ thuộc vào X, y phương trình tuyến tính với hệ sổ số Phương trình gọi f ( x , y ) = Nhờ phép đối biến: ệ = cp(x,_y), r\ = \ụ ( x , ^ ) giả sử tồn phép biến đổi ngược, nhận phương trình tương đương với phương trình xuất phát Đương nhiên, vấn đề đặt có thê chọn biến nhu cho sau đổi biển phương trình có dạng đơn gián nhất? Đế trả lời câu hỏi trên, xét phương trình (1.1) a\ Iw,v + 2an wv, + a ĩ uyy + F ị x , y , u , u x, u v) = Sau đưa vào biến mới, đạo hàm riêng có dạng UX = U Ậ X+ U Ĩ \ X\ uy = u Ặ y +u \\y M,v = + «nnTlỉ + + W„T1„ (1.3) uXy = u^ À y + uịn< Ẵ ^ y + ^ y ^ + un ^ \ +uA n ' + u ^ uyy = uụ£y + + uẬyy + u ^ y y Thay giá trị đạo hàm (1.3) vào (1.1) thu phương trình có dạng ã ,, uự_ + 2ãu uịn + ã22 wnn + F = , (1.4) t.-pnií đó: a \\ ~ Ll\ iSv + ~CI\2^>\^I + a2:^\ " 1: = " i i tn t + " i : ( ^ n + n ,4 ,) + " : ^ , n , : ã22 = É/nrpt + ứi:r |vr|i + ^ 11^; /r hàm không phụ thuộc vào đạo hàm cấp Nhận xét ràng, phương trình xuất phát tuyến tính, tức F ( x y , u , u x, u v ) = b ị U y + b 2u } + C U + f \ F có dạng F ( ị , r \ , u 11^11,^) = Ị3,»; + P :H11 +ỴỈ/ + Ơ, tức phương trìnli tuyến tính Chọn biến £, T| cho hệ số hệ số í7M,Ãl2 , ă 22 khơng, plnrơns trình có dạng đơn giản Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng chi rằng, dấu biểu thức u n2 - ciua 2ĩ xác định loại phương trình í/,, ỉ/tv + 2an uxy + a22 uỵ> + F = (**) Phương trình (**) điểm M phân loại sau: - Loại Hyperbolic a~2 - «, ,a 22 > 0; - Loại Elliptic a 2n - í/, ,a 22 < 0; - Loại Parabolic ct\2 - í/, = Dễ dàng khắng định tính đủng đắn cùa hệ thức : Í 7p với Clị Ị Cỉ-f-f I ^ í £> = ^ r i , - Ĩlvq, Từ suy tính bất biến loại phương trình thực phép đổi biến, định thức hàm Jacobian D phép đổi biến khác không Tại điểm khác miền cho, phương trình thuộc loại khác Xét miền G, điểm vùng phương trình có loại Như vậy, qua điếm miền G có đường đặc trưng : - Hvperbolic có đường đặc trưng thực khác nhau; - Elliptic có đường đặc trưng phức khác nhau; - Parabolic có đường đặc trưng thực trùng Trong trườns hợp trên, đưa phương trình dạng dơn giản sau : a) P hương trìnli loại Hyperbolic Nếu tìf|22 - ố/ị ta ĩ2 > 0, dặt ị = (ọ (x,y), I] = \ụ ( x ,y ) , đưa phương trình (1.1) dạng (1.4) Chia hai vế (1.4) cho hệ số uịn phương trình thu có dạng wtn = í \ F Z t/| Đó dạng tắc phương trình loại Hyperbolic Người ta thường sử dụng dạng tắc thứ hai cúa phương trình loại Hyperbolic sau : Đặt £, = a + 13, r| = a - p , tức là: a = , [3 = , a p biến Ta có đạo hàm riêng hàm u theo biến Uị = \ { K + ỉ / p ) ’ » n = ị ( M« - Wp ) ’ WỊn = ^ ( “ a a - “ pp ) ■ Thay vào dạng tắc phương trình loại Hyperbolic phương trình ( 1) có dạng u^ ~ uw = o , ,t r o n g đ ỏ = ( ) Đó dạng tắc thứ hai phương trình loại Hyperbolic b) Phương trình loại Parabolic Nếu a ,22 - a na2ĩ = suy an = \Jaua22 Đặt: £, = Do phương trình thuộc dạng Hyperbolic Lập phương trình đặc trưng X2 (c(y)2 - y ( d x ) = ==> ịx d v + y d x ^ x d y - y d x ) = dy => dx +— =0 xdy + yd x = XíỊy - yd x - X ỉ n y + l n x = InCị dy dx ỉ n y - ỉ n x = ln C ^ X Ta có hai họ đường cong đặc trưng: xy = c , z =c2 Thực phép đối biến mới: £, = xy, r| = y Tính đạo hàm riêng theo biến cũ qua đạo hàm riêng theo biến mới: 11, = 11Ậ , + Mnn.v = 11 - — y + 2-— — = => ■ ■ - - — = ( )= > - — — Ỡ^ỠĨỊ ỡr| X Ổ^ỠTỊ ỡr| Ỡ^ỠT| Õ2U ĩ~~ĩ ỡr\2 X = du —- = , Ễ, ỡr| tức phương trình đưa dạng tắc Ví dụ 2: Đưa phương trình sau dạng tắc Ơ2Z • Ổ2Z Ổ2Z — r-sin x - v s i n x - -+ y ———= õx õxõy õy Gi ái: Ta có a n = sin x; a 12 = - y s i n * ; a22 - y => ứ ,22 - a ua22 = y sin X - y sin X = Vậy phương trình cho thuộc dạng Parabolic Phương trình đặc trưng có dạng: a]\dy2 - 2a n d xd y + a22dx2 = 10 4.2 Đáp sổ: Nghiệnì tốn tronẹ : Nẹhiệm bùi tốn ngồi: w(r,(p) = A —sin q) í/)m(/*,ọ) - A sin (p r a y b)n(r,íỊ>) = B + 3A —sincp -4 a c) i X r w(r,) a a [>■'/„ ( ' ■ ) ( ' ) - * ; \ J n (/•)-/■" »=0 r_>ơ = ±Ằ„ un ra, 0 w ( R , ọ ) = a 0=1 B = 2/í 2./1U / í a / /771 u ; , Z \» lọ s in ——^íAp = - ^ - ( - ) ; Ot miR“ a /? a u(r, cp) = f /1+1 2/ta ^ ( - ) 71 /1=1 sin /77Ĩcp A7 a b) 'la có phương trình Laplace ổ i/ ^ A R íỉiiiíĩ ^ ( * + I ) tup 2a ^ _ Q - — —— 2“ A M( ''’ (p) = l / tr0 2a hệ số xác định từ điều kiện biên sau: V X «(R,(p) = /( ( p ) = > i/( R ,ọ ) = ^ / ? 'I* 2“ Ak&ỉrl) 2ct *=0 A = = / ( 9) (2*+!) ”0 a R la 4.6 Ta có phương trình Laplace r— ,+ õr ) - - r w M,— -W2(-1)" 77Tr t r / 7f?LL 2V J ^ / ? J 2kn (w,+w2) /TTĩcp sin— — a (2/r+l)n /rV a — :— * ( r Y “~ 2Ả7ICP 2(wl-w2)* = - - / — _ 71 7^2 k \ R j sin — + - — y a 71f? R\ k +\ (2&+ 1)tĩ(P s in - -— a 2ir° m a sin u( r, ẹ) = 7ĩcp a ơrcíg 2íi 2n r a a a s in —— ỵ \ ~ u a +— - - arcíg 4n 4n Rn - r “ R“ - r a 4.7 Ta giái phương trình: a í' ổk' \ d2u - ío < r < /? 4— ——0, R 327 Suy X v(r,ẹ) = ỵ ir"B„ sin mp n=I T điều kiện ta có: R ”Bnsin /7(p = V2 - V V ( R,tp) = 11=1 = * •' ) s mdỉỊ' ' S F õ *r Do í í ^ ) £ ' 71 ro (2 /w + ỉ)U J (, , ) = v Nghiệm w(r,(p) có dạng , 4( r »;) £w + ]) 71 w=0(2 » ( 'v p ) = (/| + s in ( /;/ + I )cp v*y / \ I/ /Êrsincp o z/(/\cp) = K) + - arctg — r - R' E = -grad u 4.8 Ta có phương trình Laplace: Ar.»«(r ‘p) = r dr tìr / V Õlu ío < r < R r L 0(p2 [0 < (p < a /( ( p ) , r = a w (r,0 ) = i/ ( r , a ) = 0; í/(r,cp) = F((|)), r =b = - ^ 2(cp) o Ỡcp 4>(0) = o ( a ) = / V M n n y /771 = }C Ỉ> „(c p ) = £ „ s i n - - L ; ) s , = - - , « = 1, X H (/\(p) = £ / „ ( r ) ® „ ( ( p ) /»=0 r 2f: ' (r ) + r f , : ( r ) - X 1f ( r ) = , „ , x " /(/ã) = / => = X ô ( ',< p ) = Ẽ í «=! ^ ,,n /,7Ĩ c < / “ + D „ , 00 + -A,., (-*) = 2T T ^ ^ + Z H ) ^ * ( Ả -!)!(„-! + >t)! Ẩ: n + k (-!)*.v"’2* 2n _ X _ 1- Ỷ - Ả — -X 2"/?! n v*2kk\(n + Ả)! 2n ■U4 Các công thức khác chứng minh tương tự 7.2 Gọ7 V Vì I ,2 * _L1.r'-■* - _ suy V costa 71 7.3 Gựịý: Áp dụng đồng thức tập 7.1: ■/„-Ảx )+j „ Jữ(x ) = j ; ( x ) + - J, (x),j'u(x ) = - J , ( x ) X Đặt / = ị x ìJ0(x)cbc , suy / = ị x lJ\(x)dx+ ị x 2J\(x)dx Do ịx*J[{x)dx = ịx*dJ\ (x ) = x}Jị ( * ) - ị x 2J\ (x)cừ 0 suy / = Jt3i/j ( jc) —2 Jx2c/j (x)íử Ta có: \ ỵl J\ = “ ị x 2J ,ữ{x)dx = - jVứL/0(x ) = - x 2i/0( x ) + ịxJữ{x)cbc 0 X X JxJ0 = ịxJ[{x)dx -f p , Vậy 0 X = xJị ( x ) / = x*Jị (x) + 2x 2J 0( x ) - x J ì (x) = 2x2J0(x) + (x3- 4x ) ( x ) Cuối ta thu j V J0(x )dx = x V 0(x) + (.V3- ( x) Đó điều phải chứng minh 7.10 a)Tacỏ V|/(p,jc) = -r = = L = = = ( l + p2-2px) yj\ + p2 - 2ọx suy = - j( i V - p * r (2p - ) = ( | _ J x + p l ) ( - p ) = > ( l - p j t + p 2)iỊ/p - ( * - p ) i | / = 331 Ị b )T a c ó Vị/(p,.r) = - = = = = = ■ = ( l + p2-2 p jt) - l + p: - 2p.v Lấy vi phàn theo biến V ta _ I/,, : VP = - ^ - ( l + p2 - p x ) * ( - p ) = Sr 2V ( l - p x + p2) ’ suy (l - p x + p2)i|/A—p\ịi = 7.11 Chứng minh công thức truy hồi đa thức Legendre • Chứng minh cồng thức truy hồi thứ nhất: Theo khai triển: v (p > * ) = * n- (l-2p.T + p2)iị7p-(x-p)i|7 = 0; (1) v ( p ^ ) = ấ ^ ( Jf)p"n=0 Đạo hàm theo biến p ta Vp= Ỳ , pÁ x )npn~' ■ H— I Thay n = n + \ ta có V p = ẳ ( w + 1) /,« i ( ;t)p*- n=0 Thay vào phương trình (1): ấ ( ' 7+1K * i ( * ) p " ~ Ỳ , (n+]) xP« A x ')Pr ' + /1=0 «=0 +ẳ ("+*) ^, ( * r 2- /1i =0 Wp' + t /1=0 P (*)p"+ln=0= Thay n + \ = n vào số hạng thứ 2, n + = n vào số hạng thứ ba n -4- ] = n vào số hạng thứ tư ta thu Ệ ( /» +1 )pntl ( x y - ỵ 2nxPn{xy ff= + ỵ ( n - !)/>„_, ( * > " - Ỳ x P n(xy + Ỳ p„ (.r)p* = ; n = -ỉ n = -2 ■ n =0 n= I Ệ ( " + , ) ^ I ( x)p" - ấ (2 n + l) xPn(x )p" + Ệ < - , ( * K = ; (« + ^ (*) - (2" + X)xp„(*) + n P n - \ (*) = ■ (2) Đồng thức công thức truy hồi ba đa thức liên tiếp Theo công thức p„{x)= nV ’ suy 332 — — 17 ^ -1 )" 2">i! L1 ’ /;,(-'•) ' j i, l )- v: (" + Oc.1 (■'■)- 2" ’ ' K I ' ) ^ / > : (.y ) - y/ ( y) |(-V) = ° •/ : (*) ■(> Vậy cơnu thức tường minh cua / }, ( v) /’ Í0 V' - 1) • Chírnụ minh cơn° thức truy hồi thứ hai ba Theo tập 7.10 ta cỏ (l-2p v + p ’)v|/.-(.v-p)v|/-0 xp ( l - p Y + p : )iị/, - p \ ị i = Pvl\, - ( - v ■''(•v-p) =° M ặ t khác v|/(p,.v) = ]ỊT/^ ( v ) p " , (lạo h m \Ị/ theo biến A‘ p ta được: 11.-0 H' = í />;(*)>" ; V|/,, = x < ( V)p" 1= X(A7 + i)/^,(.x-)p'\ n- n- - » -! i Thay vào phương trình pvị/p p)\Ị/ = ta có ỵnp„(x)p“- nỊ0 p:(xP'+Ì l^ x)p""=0 II 11=0 Thay /7 = /7 -1 vào số hạng thứ hai cua phirơníi trìnhtrên ta nhận X„p( , v) p" “ v í / : ; ( v K + Ị / > ; ,(- vK = o n-0 H=l) »I S u y nPn (.v) - A'/^'(.v) + P' ị(.v) = , đỏ c 00 = < ( * ) - < ( * ) = *r;{x)-xr;,(x)-< ( A) (3) Theo công thức truy hồi chứng minh ta có ( " + 1) 1( *) - ( 2« + ' )xpn( -v) + nP«I( A') = Đạo hàm vế cúa công thức ta (■n + 1) pL I(■*) - (:2n + 1) F„(■*) - (:2'»+1) xP„ (■*) + nPí I(■*) = ■ Thay (3) vào ta (« + > ) c ( - v )-(2 « + l )pn {x)^(7n+\)xr;i {x) + nxP^x)-n-pn(,y) = =>(" + !) C i (* )-(« + 1): pr ( •'■) - (" + -