45 BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD , BE , CF cắt H cắt đường tròn (O) M , N , P Chứng minh: Tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm B , C , E , F nằm đường tròn AE AC = AH BC ; AD BC = BE AC H M đối xứng qua BC Xác đònh tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD , BE , cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A , E , D , B nằm đường tròn Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = 2cm , AH = 6cm Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax , By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By C D đường thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = 90 Chứng minh AC BD = AB 4 Chứng minh OC // BM Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD Chứng minh MN  AB Xác đònh vò trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trò nhỏ Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) , I taam đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B , C , I , K nằm đường tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đươơng tròn (O) Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20cm , BC = 24cm Bài 5: Cho đường tròn (O ; R) , từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP , kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB , BD  MA , gọi H giao điểm AC BD , I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh ñieåm O , K , A , M , B nằm đường tròn Chứng minh OI OM = R2 ; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O , H , M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính cu3qa đường tròn (A ; AH ) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A ; AH) Chứng minh ME = BH +DE Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn Chứng minh BM // OP Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K , PM cắt ON I , PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I , J , K thẳng hàng Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn (M khác A , B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I ; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E ; cắt tia BM F , tia BE cắt Ax H, cắt AM K Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp Chứng minh rằng: AI2 = IM IB Chứng minh BAF tam giác cân Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi Xác đònh vò trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài 9: Cho nửa đường tròn (O , R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh A B D = D F B Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn cho AM < MB Gọi M’ điểm đối xưưng M qua AB S giao điểm hai tia BM , M’A Gọi P chân đường vuông góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A , M , S , P nằm đường tròn Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PS’M cân Chứng minh BM tiếp tuyến dường tròn Bài 11: Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB , BC , CA tiếp xúc với đường tròn (O) diểm D , E , F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh:1 Tam giác DEF có ba góc nhọn DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp BD BM  CB CF Bài 12: Cho đường tròn (O) bán kinh R có hai đường kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh: Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vò trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố đònh Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Vẽ nửa đường tròn đươơng kính BH cắt AB E , nửa đøng tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nôi tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyếân chung hai nửa đường tròn Bài 14: Cho điểm C thuôc đoạn thẳng AB cho AC = 10cm , CB = 40cm Vẽ phía AB nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự AB , AC , CB có tâm theo thứ tự O , I , K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M , N theo thứ tự giao điểm EA , EB với nửa đường tròn (I) , (K) Chứng minh EC = MN 2.Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K) Tính MN Tính diện tích hình giới hạn ba nưưa đường tròn Bài 15: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lây điểm M , dựng đường tròn (O) có đường kính MC , đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giac nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với dường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA , EM , CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 16: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD , AE cắt đường tròn F , G Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC , DE , FB đồng quy Bài 17: Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M (M không trùng B , C , H), từ M kẻ MP , MQ vuông góc với cạnh AB , AC Chứng minh: APMQ tứ giác nội tiếp xác đònh tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác MP + MQ = AH OH  PQ Bài 18: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H không trùng O , B), đường thẳng vuông góc với OB H , lấy điểm M đường tròn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp 2 Chứng minh đường thẳng AD , BC , MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Bài 19 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O , C) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB Nối CD, kẻ BI vuông góc với CD Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I , B , E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến (O’) Bài 20: Cho đường tròn (O , R) (O’ , R’) có R > R’ tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua điểm C (O) (O’) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai DE với (O’) F , BD cắt (O’) G Chứng minh: Tứ giác MDGC nội tiếp Bốn điểm M , D , B , F nằm đường tròn Tứ giác ADBE hình thoi B , E , F thẳng hàng DF , EG AB đồng quy MF = DE MF tiếp tuyến (O’) Bài 21: Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đường tròn tâm I qua A , (I) lấy P , AP cắt (O) Q Chứng minh đường tròn (I) (O) tiếp xúc A Chứng minh IP // OQ Chứng minh AP = PQ Xác đònh vò trí P để tam giác AQB có diện tích lớn Bài 22: Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE , đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp Tính góc CHK Chứng minh KC KD = KH KB Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường nào? Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền tam giác ABC hình vuông ABHK , ACDE Chứng minh ba điểm H , A , D thẳng hàng Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC F Chứng minh tam giác FBC tam giác vuông cân Cho biết A B C > 450 ; gọi M giao điểm BF ED Chứng minh năm điểm B , K , E , M , C nằm đường tròn Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  ABC Bài 24: Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đưởng tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn cắt BA BC D E Chứng minh AE = EB Gọi H giao điểm CD AE Chứng minh đường trung trực đoạn HE qua trung điêm I BH Chứng minh OD tiêp tuyến đươơng tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 25: Cho đường tròn (O) , BC dây (BC < 2R) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy diểm M kẻ đường vuông góc MI , MH , MK xuống cạnh tương ứng BC , AC , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q Chứng minh tam giác ABC cân Các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp Chứng minh MI2 = MH MK Chứng minh PQ  MI Bài 26: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Vẽ dây cung CD  AB H Gọi M điểm cung CB , I giao điểm CB OM K giao điểm AM CB Chứng minh: KC AC  KB AB MA tia phân giác C M D Tứ giác OHCI nôi tiếp Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M dến AC tiếp tuyến đường tròn M Bài 27: Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) B C Gọi M diểm tuỳ ý đường tròn (M khác B , C), từ M kẻ NH  BC , MK  AB Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp Chứng minh BOA = BCO Chứng minh  MIH =  MHK Chứng minh MI MK = MH2 Bài 28: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC ; F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành E , f nằm đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BCFE hình cân Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 29: BC dây cung đường tròn (O , R) (BC ≠ 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD , BE , CF tam giác ABC đồng quy H Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh AH = 2OA’ Gọi A1 trung điểm EF Chứng minh R AA1 = AA’ OA’ Chứng minh R (EF + FD + DE) = 2SABC suy vò trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trò lớn Bài 30: Cho tam giác ABC nội tiếp (O , R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đường cao AH bán kính OA Chứng minh AM phân giác góc OAH Giả sử B> C Chứng minh OAH = B- C Cho BAC= 600 vaø OAH = 200 Tính: a) B C tam giác ABC b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R Bài 31: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O , R) Biết BAC= 600 Tính số đo góc BOC độ dài BC theo R Vẽ đường kính CD (O , R) , gọi H giao điểm ba đường cao tam giác ABC Chứng minh BD // AH AD // BH Tính AH theo R Bài 32: Cho đường tròn (O), đường kính AB = Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB Chứng minh MN di động , trung điểm I MN nằm đường tròn cố đònh Từ A kẻ Ax  MN , tia BI cắt Ax C Chứng minh tứ giác CMBN hình bình hành 3 Chứng minh C trực tâm tam giác AMN Khi MN quay quanh H C di động đường Cho AM AN = 3R2 , AN = R Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm tam giác AMN Bài 33: Cho tam giác ABC nội tiếp (O , R) , tia phân giác góc BAC cắt BC I , cắt đường tròn M Chứng minh OM  BC Chứng minh MC2 = MI MA Kẻ đường kính MN , tia phân giác góc B C cắt đường thẳng AN P Q Chứng minh bốn điểm P , C , B , Q thuộc đường tròn Bài 34: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) , BC = 6cm , chieàu cao AH = 4cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA’ Tính bán kính đường tròn (O) Kẻ đường kính CC’ , tứ giác CAC’A’ hình gì? Tại sao? Kẻ AK  CC’ tứ giác AKHC hình gì? Tại sao? Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm tam giác ABC Bài 35: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố đònh, điểm I nằm A O cho Ai = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I , gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M , N B Nối AC cắt MN E Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM2 = AE AC Chứng minh AE AC – AI IB = AI2 Hãy xác đònh vò trí C cho khaong3 cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài 36: Cho tam giác nhọn ABC , kẻ đường cao AD , BE , CF Gọi H trực tâm tam giác Gọi M , N , P , Q hình chiếu vuông góc D lên AB , BE , CF , AC Chứng minh: Các tứ giác DMFP , DNEQ hình chữ nhật Các tứ giác BMND , DNHP , DPQC nội tiếp Hai tam giác HNP HCB đồng dạng Bốn điểm M , N , P , Q thẳng hàng Bài 37: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC , B  (O) , C  (O’) Tieáp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I Chứng minh tứ giác OBIA , AICO’ nội tiếp Chứng minh BAC= 900 Tính số đo góc OIO’ Tính độ dài BC biết OA = 9cm , O’A = 4cm Bài 38: Cho hai đường tròn (O) , (O’) tiếp xúc A , BC tiếp tuyến chung B  (O) , C  (O’) Tieáp tuyeán chung A cắt tiếp tuyến chung BC M Gọi E giao điểm OM AB , F giao điểm O’M AC Chứng minh: Các tứ giác OBMA , AMCO’ nội tiếp Tứ giác AEMF hình chữ nhật ME MO = MF MO’ OO’ tiếp tuyến đường tròn đường kính BC BC tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’ Bài 39: Cho đường tròn (O) đường kính BC, đáy AD vuông góc với BC H Gọi E , F theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB , AC Gọi (I) , (K) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE , HCF Hãy xác đònh vò trí tương đối đường tròn (I) (O) ; (K) (O) ; (I) (K) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao? Chứng minh AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (K) Xác đònh vò trí H để EF có độ dài lớn Bài 40: Cho nửa đường tròn d9u77o2ng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax , By Trên Ax lấy điểm M kẻ tiếp tuyến MP cắt By N Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB Chứng minh AM BN = R2 Tính tỉ số S S MON APB AM = R Tính thể tích hình nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh Bài 41: Cho tam giác ABC , O trung điểm BC Trên cạnh AB , AC , lấy điểm D , E cho DOE = 600 Chứng minh tích BD CE không đổi 2 Chứng minh hai tam giác BOD , OED đồng dạng Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường tròn tiếp xúc với DE Bài 42: Cho tam giác ABC cân A , có cạnh đáy nhỏ cạnh bên , nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B C cắt AC , AB D E Chứng minh: BD2 = AD CD Tứ giác BCDE nội tiếp BC // DE Bài 43: Cho đường tròn (O) đường kính AB , điểm M thuôc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M , BN cắt (O) C Gọi E giao diểm AC BM Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp Chứng minh NE  AB Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến (O) Chứng minh FN tiếp tuyến đường tròn (B , BA) Bài 44: AB AC hai tiếp tuyến đường tròn tâm O bán kính R (B , C tiếp điểm) Vẽ CH vông góc AB H , cắt (O) E cắt OA D Chứng minh CO = CD Chứng minh tứ giác OBCD hình thoi Gọi M trung điểm CE , BM cắt OH I Chứng minh: I trung điểm OH Tiếp tuyến E với (O) cắt AC K Chứng minh ba điểm O , M , K thẳng hàng Bài 45: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi D trung điểm AC, tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt tia BD E Tia CE cắt (O) F Chứng minh BC // AE Chứng minh ABCE hình bình hành Gọi I trung điểm CF G giao điểm BC OI So sánh BAC BGO Heát ... biết A B C > 450 ; gọi M giao điểm BF ED Chứng minh năm điểm B , K , E , M , C nằm đường tròn Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  ABC Bài 24: Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đưởng... tuyến chung BC I Chứng minh tứ giác OBIA , AICO’ nội tiếp Chứng minh BAC= 90 0 Tính số đo góc OIO’ Tính độ dài BC biết OA = 9cm , O’A = 4cm Bài 38: Cho hai đường tròn (O) , (O’) tiếp xúc A , BC tiếp... cân Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi Xác đònh vò trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài 9: Cho nửa đường tròn (O , R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn