Đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số: 1 2 = x x y (C) a. Khảo sát hàm số b. Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất. (Trích trong cuốn Đạo hàm và ứng dụng của tác giả: Lê Hồng Đức) Câu 2: (2 điểm) Tính tích phân xác định sau: (Sáng tác) + = 2 0 2006 1 xtg dx I Câu 3: (3 điểm) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: mxxxx =+++ )6)(3(63 (Trích trong cuốn Điều kiện cần và đủ để giải phơng trình của: Phan Huy Khải) Câu 4: (2 điểm) Tìm (x;y) biết rằng (x+1)y, xy, (x-1)y là số đo 3 góc của một tam giác và (x;y) thoả mãn: sin 2 [(x+1)y] = sin 2 xy + sin 2 [(x-1)y] (Trích trong cuốn: Phơng trình lợng giác của tác giả: Trần Phơng) Câu 5: (2 điểm) Giải phơng trình: xx 20062005 20052006 = (Sáng tác) Câu 6: (3 điểm) Cho (E): 1 2 2 2 2 =+ b y a x (0 < b < a). A, B là hai điểm tuỳ ý nằm trên (E) sao cho OA OB . Hãy xác định vị trí của A và B trên (E) để cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. (Trích trong cuốn: Hình giải tích của tác giả: Trần Phơng) Câu 7: (3 điểm) Cho hình chóp tam giác đều SABC nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính R, các cạnh bên hợp với nhau góc . a. Tính thể tích hình chóp SABC theo R và b. Khi thay đổi xác định để thể tích ấy lớn nhất Câu ý Nội dung Điểm 1 2 o 1 1 Khảo sát hàm số: 1 2 = x x y - Viết lại hàm số dới dạng: 1 1 1 ++= x xy 1. Tập xác định: D = R\{1} 2. Sự biến thiên a. Chiều biến thiên 2 )1( 1 1' = x y y = 0 x = 0 hoặc x = 2 y > 0 trên ( );2()0; + Hàm số đồng biến trên ( );2()0; + - Tơng tự y < 0 trên (0;2) hàm số nghịch biến trên (0;2) b. Cực trị - Đồ thị hàm số đạt cực đại tại x = 0 y CĐ = 0 - Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 y CT = 4 c. Giới hạn - Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng - Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng y = x + 1 làm tiệm cận xiên - = y x lim , = y x 1 lim d. Bảng biến thiên x 0 1 2 + y + 0 - - 0 + 0 + + y 4 3. Đồ thị y - Nhận I(1;2) là giao của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng 4 I x 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 2 - Giả sử M(a;y(a)) (C), với a > 1. Khi đó phơng trình tiếp tuyến tại M có dạng: d: 1 )( )1( 2 2 2 2 + = a a ax a aa y - Toạ độ giao điểm của d với tiệm cận đứng 0.25 0.25 0.25 2 ) 1 2 ;1( 1 1 )( )1( 2 2 2 2 = + = a a A x a a ax a aa y - Toạ độ giao điểm của d với tiệm cận xiên )2;12( 1 1 )( )1( 2 2 2 2 aaB xy a a ax a aa y += + = - Khi đó AI = |x A - x I | = 1 2 a , BI = 122 a AI.BI = 24 - AB 2 = AI 2 + BI 2 - 2AI.BI.cos BIAIBIAI 2 4 22 += - C AIB = AI + BI + AB = AI + BI + BIAIBIAI .2 22 + )12(2224.2.2.2 4 +=+ BIAIBIAIBIAI - Vậy C AIB min = )12(2224 4 + khi AI = BI hay 4 2 1 1 += a Khi đó: M( 4 44 2 1 22;21 +++ ) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2 - Đặt xt = 2 dt = -dx dx = -dt - Đổi cận: x = 0 t = 2 , x = 2 t = 0 - Khi đó I = + = + = + 2 0 2 0 2006 2 0 2006 2006 0 2 2006 11 . cot1 ttg dt dt ttg dtttg tg dt Vậy I = 4 0.5 0.25 0.75 0.5 3 Điều kiện cần: - Giả sử x 0 là nghiệm của phơng trình 3 - x 0 cũng là nghiệm để phơng trình có nghiệm duy nhất thì x 0 = 3 - x 0 x 0 = 2 3 - Khi đó m = 2 926 Điều kiện đủ: - Khi m = 2 926 thì phơng trình có dạng: =+++ )6)(3(63 xxxx 2 926 0.5 0.5 3 - Đặt =+ =+ = += 0,0 9 2 926 6 3 22 vu vu uvvu xv xu - Từ trên 01826)(2)( 2 =+++ vuvu - Vì (u+v) 2 u 2 + v 2 Nghiệm của phơng trình u + v = 23 - Từ đó suy ra = =+ 2 9 23 uv vu u, v là nghiệm của PT 2 23 0 2 9 23 2 ===+ vutt . Tức phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2 3 . - Vậy m = 2 926 là giá trị cần tìm 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 4 - Vì (x+1)y, xy, (x-1)y là số đo ba góc của một tam giác nên: (x+1)y+ xy + (x-1)y = xy = 3 . Khi đó phơng trình đã cho có dạng: sin 2 ( 3 +y) = sin 2 3 + sin 2 ( 3 -y) cos( 3 2 -2y) - cos( 3 2 +2y) = 2 3 2 3 2sin = y )( 3 6 Zk ky ky += += Do (x-1)y > 0 y < 3 y = 6 - Từ xy = 3 x = 2. Vậy (x;y) = (2; 6 ) 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 5 - PT 2005log.20062005 2006 xx = 2005log) 2006 2005 ( 2006 = x x = 2005loglog 2006 2006 2005 0.5 1.0 0.5 6 - Gọi A là giao điểm của đờng thẳng y = kx với (E), khi đó toạ độ 4 C B C A lµ nghiÖm cña hÖ        + = + = ⇒      = =+ 222 222 2 222 22 2 2 2 2 2 1 bka bak y bka ba x kxy b y a x A A - ⇒ OA 2 = 222 2 222 222 )1()1( bka k abOA bka bak + + =⇒ + + - V× OA ⊥ OB nªn B lµ giao cña ®êng th¼ng y = x k 1 − víi (E) ⇒ OB = 222 2 2 2 2 2 1 1 )1 1 ( kba k ab b k a k ab + + = + + - VËy S OAB = ))(( 1 2 1 . 2 1 222222 2 22 kbabka k baOAOB ++ + = - Theo C«si ta cã: 22 22 222 222 ))(1( )1( ba ba bak kba S AOB + = ++ + ≥ ⇒ S OABmin = 22 22 ba ba + khi a 2 k 2 + b 2 = a 2 + b 2 k 2 ⇒ k = ± 1 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 7 1 - Ta cã V SABC = 3 1 SI.S ABC - Trong ®ã: XÐt hai tam gi¸c ®ång d¹ng S ∆ SAI ~ ∆ SDA (g.g.g) A ⇒ R SA SD SA SI SD SA SA SI 2 22 ==⇒= (1) MÆt kh¸c: SI = 2 sin 3 4 22222 α SASAAISA −=− (2) Tõ 1 vµ 2 ⇒ SA = 2R ) 2 sin 3 4 1(2 2 sin 3 4 1 22 αα −=⇒− RSI S ABC = 2 sin) 2 sin 3 4 1(34) 2 sin.2.( 4 3 4 3 22222 ααα −== RSAAB 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 5 2 2] 3 cos44cos21cos21 [ 4 1 )cos44)(cos21)(cos21( 4 1 max)cos1()cos21( )cos1()cos21( 27 34 2 sin) 2 sin 3 4 1( 3 38 3 2 max 232223 = −++++ ≤ −++= −+=⇔ −+=−=⇒ ααα ααα αα αα αα T TV RRV SABC SABC VËy V SABC max = 3 27 38 R khi ®ã 0 60cos44cos21 =⇒−=+ ααα 0.5 0.5 0.25 6 . Đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số: 1 2 = x x y (C) a. Khảo sát hàm số b. Tìm những điểm trên (C) có hoành độ. một tam giác có chu vi bé nhất. (Trích trong cuốn Đạo hàm và ứng dụng của tác giả: Lê Hồng Đức) Câu 2: (2 điểm) Tính tích phân xác định sau: (Sáng tác) +