Chuyên đề BDHS giỏi đại số 8 Những hằng đẳng thức Đáng nhớ A. Kiến thức cơ bản 1) (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 . 2) (A-B) 2 =A 2 -2AB+B 2 . 3)(A-B)(A+B).= A 2 -B 2 * Nâng cao: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . . .a b c a b c a b a c b c + + = + + + + + b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . . .a b c a b c a b a c b c = + + + d) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 . . .a b c d a b c d a b a c a d bc bd cd + + + = + + + + + + + + + B. Ví dụ: Ví dụ 1: Tính nhanh a) 2 2 2 2 263 74.263 37 136 92.136 46 A B = + + = + b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 50 48 46 2 49 47 45 1C = + + + + + + + + = 50+ 49 + 48 + 47 + +1 = ( ) 50 1 50 1275 2 + = Ví dụ 2: So sánh a) A= 2009.2011 và B = 2 2010 b) A= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 8 64 4 3 1 3 1 3 1 3 1+ + + + và B = 128 3 1 Giải: a) Cách 1 A= 2009. 2011= ( 2010- 1). ( 2010+ 1) = 2 2010 - 1 < 2 2010 Vậy A < B Cách 2: B= 2 2010 = 2 2010 - 1 + 1 = 2009. 2011 + 1 > 2009. 2011 b) Cách 1: Ta có 4 = ( ) ( ) 3 1 3 1 2 + thay vào A ta có B = 2A * Cách 2: Ta có B = 128 3 1 = ( ) 2 64 2 3 1 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A= 2 6 10x x + b) B= ( ) 2 3 5 6 26x y xy+ + Giải: a) Ta có A= 2 6 10x x + = ( ) 2 3 1x + 1 Ta có ( ) 2 3 0x Dấu = xảy ra khi x= 3. Do đó giá trị nhỏ nhất của A= 1 khi x= 3 Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 1 Chuyên đề BDHS giỏi đại số 8 b) B= ( ) 2 3 5 6 26x y xy+ + = ( ) ( ) 2 2 5 3 5 1x y + + 1 Bài tập vận dụng: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) Q= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 10 1 . 10 1 . 10 1 . 10 1 n + + + + b) P= 2 1 1 1 1 1 . 1 . 1 . 1 2 4 16 2 n + + + + ữ ữ ữ ữ Giải: a) Nhân hai vế của Q với ( 10-1 ) (10-1)Q = (10-1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 10 1 . 10 1 . 10 1 . 10 1 n + + + + = = ( ) 4 10 1 n . Vậy Q = ( ) 4 10 1 9 n b) Nhân hai vế của P với (1- 1 2 ) Ta có (1- 1 2 ) P =(1- 1 2 ) 2 1 1 1 1 1 . 1 . 1 . 1 2 4 16 2 n + + + + ữ ữ ữ ữ = 2 2 4 1 1 1 1 . 1 1 2 2 2 n n n + = ữ ữ ữ . Vậy P = 4 1 2 1 2 n ữ Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) 2 1x x + + b) 2 8x x + c) ( x + 1) .( x-2 ). (x-3) .(x-6) = ( x+ 1).(x-6).(x-2)(x-3) = ( ) 2 2 5 36 36x x + d) 2 2 4 8 6x x y y + + ( ) ( ) 2 2 2 2 )2 9 6 6 12 2022 . 3 2 5 1993 1993 e x y xy x y x y x + + = = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 )2 2 6 12 2 45 . 6 5 5 4 4 g x xy y x y x y y + + + = = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 ) 2 3 2 10 20 . 1 2 3 1 1 h x xy y x y x y y + + = = + + i) ( x-4) (x-5)( x-6) (x-7) k) y = ( ) 2 2 2 2 2010 2 2010 2009 2009 2010 2010 2010 x x x x x + + = = + . Dấu = xảy ra khi x = -2010 Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 2 Chuyên đề BDHS giỏi đại số 8 a) 2 4 1x x + + b) 2 4 10x x c) 2 2 3 2 10 14 18x y xy x y + + = ( ) ( ) { } 2 2 . 9 2 1 5 9y x y = = + + d) 2 2 2 4 2 10 3x xy y x y + + + = ( ) ( ) { } 2 2 . 10 3 2 1 10y x y = = + Bài tập 4 a) Cho biết ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b+ = . Chứng minh rằng a và b là hai số đối của nhau c) Cho 2 2 2 a b c ab ac bc+ + = + + thì a= b =c Bài tập 5: Cho a+ b+ c =0 , Chứng minh rằng ta luôn có ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2a b c a b c+ + = + + Giải: Ta có a = -(b +c) bình phơng hai vế ta có 2 2 2 2 2 2 2 2a b bc c bc a b c = + + = Bình phơng hai vế ta có ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c a b a c b c+ + = + + Cộng vào hai vế ( ) 4 4 4 a b c+ + ta có điều phải chứng minh ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2a b c a b c+ + = + + Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 3 . 1x x + + b) 2 8x x + c) ( x + 1) .( x-2 ). (x-3) .(x-6) = ( x+ 1). (x-6).(x-2)(x-3) = ( ) 2 2 5 36 36x x + d) 2 2 4 8 6x x y y + + ( ) ( ) 2 2 2 2 )2. hai vế của Q với ( 10-1 ) (1 0-1)Q = (1 0 -1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 10 1 . 10 1 . 10 1 . 10 1 n + + + + = = ( ) 4 10 1 n . Vậy Q = ( ) 4 10 1 9 n b)