Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam CHƯƠNG II BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.1 MỞ ĐẦU Chương trình bày cách tính đáp ứng hệ thống trực tiếp từ đáp ứng xung nó, cách tính tổng chập kích thích với đáp ứng xung Cách tính tổng chập trực tiếp dựa vào công thức định nghĩa làm tốn nhiều thời gian công sức Hơn nữa, thực tế số mẫu khác kích thích đáp ứng xung nhiều nên ta khơng thể ‘tính tay’ Tuy nhiên, phương pháp tính tổng chập đồ thị trình bày cho ta thuật tốn chương trình tính tổng chập máy tính Việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số phương pháp đệ qui có ý nghĩa sử dụng máy tính Kỹ thuật biến đổi cơng cụ hữu hiệu để phân tích hệ thống LTI Biến đổi Z tín hiệu rời rạc có vai trò tương tự biến đổi Laplace tín hiệu liên tục, chúng có quan hệ giống với biến đổi Fourier Tổng chập hai dãy miền thời gian biến thành tích hai biến đổi Z tương ứng miền biến phức z Tính chất làm đơn giản hóa việc tính đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào khác Phương trình sai phân tuyến tính hệ số giải cách dễ dàng dùng công cụ biến đổi Z Như ta thấy chương sau, biến đổi Fourier vai trò chìa khóa trong việc biểu diễn phân tích hệ thống rời rạc Tuy nhiên, số trường hợp cần phải sử dụng dạng tổng quát hóa biến đổi Fourier, biến đổi Z 2.2 CÁC KHÁI NIỆM VỀ BIẾN ĐỔI Z 2.2.1 BIẾN ĐỔI Z (Z - TRANSFORM) Biến đổi Z dãy x(n) định nghĩa chuỗi lũy thừa: , với z biến phức (2.1) Ta coi biến đổi Z toán tử mà biến dãy thành hàm, ký hiệu Z |.|, ta viết lại: X(z) = Z|x(n)| (2.2) hay: x(n) Z > X(z) (2.3) Biến đổi Z định nghĩa phương trình (2.1) gọi biến đổi Z hai phía biến n chạy từ -∞ đến ∞ Biến đổi Z phía định nghĩa sau:  X  z   x  n  z  n (2.4) n 0 trường hợp biến n chạy từ đến ∞ Ta thấy biến đổi Z hai phía phía x(n) = với n ≤ (x(n) dãy nhân quả) Trong tài liệu này, nói đến biến đổi Z mà khơng xác định rõ phía hay hai phía, ta ngầm hiểu biến đổi Z hai phía Nếu biểu diễn Z theo tọa độ cực z = r.ejω, phương trình (2.1) trở thành:  X  z    x n r n e  nj (2.5) n  Đặc biệt, r =1 ( nghĩa |z| = 1), biến đổi Z trở thành biến đổi Fourier:  X  z    x n e  nj n  Ta đề cập đến chương sau Giáo trình Xử lý tín hiệu số 26 (2.6) Trường Đại học Điện Lực – Tập đồn Điện Lực Việt Nam Vì biến đổi Z hàm biến phức, nên thường biểu diễn mặt phẳng phức biến z (hình 2.1) Ta thấy, biến đổi Z lấy vòng tròn đơn vị biến đổi Fourier 2.2.2 MIỀN HỘI TỤ (ROC: Region Of Convergence) Phương trình (2.1) chuỗi lũy thừa, gọi chuỗi Laurent, lúc biến đổi Z hội tụ với tín hiệu hay với giá trị z, phải xét đến miền hội tụ 1/ Định nghĩa: Với dãy x(n) xác định, tập hợp giá trị z cho X(z) hội tụ gọi miền hội tụ (ROC) X(z) Định nghĩa hàm ý rằng: |X(z)| < ∞, với z ROC Điều kiện đủ để biến đổi Z hội tụ là: (2.7) Nếu giá trị z = z1 ROC, vòng tròn có bán kính |z|=|z 1| nằm ROC Điều cho thấy ROC miền hình vành khăn bao quanh góc tọa độ (Hình 2.2) 2/ Cực zeros : Một loại biến đổi Z thơng dụng quan trọng biến đổi Z mà X(z) có dạng hàm hữu tỉ với z ROC, nghĩa là: X(z) = P(z)/Q(z) (2.8) Trong đó, P(z) Q(z) đa thức biến z hay z-1 Giáo trình Xử lý tín hiệu số 27 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Các giá trị z cho X(z) = gọi zeros X(z), giá trị z cho X(z) = ∞ gọi cực (poles) X(z) Các cực nghiệm xác định đa thức mẫu số Q(z) thêm vào giá trị z = hay z = ∞ Đồ thị cực-zero đồ thị mặt phẳng phức, ta vẽ điểm cực, ký hiệu x , điểm zero, ký hiệu o Ví dụ 2.1: Xét dãy x(n) = (n) Thay vào phương trình (2.1), ta có: (2.9) Miền hội tụ X(z) trường hợp toàn mặt phẳng z Ví dụ 2.2: Xét dãy x(n) = a nu(n), a số thực phức Thay vào phương trình (2.1), ta có: Ta thấy, ROC miền mà z có giá trị cho |az-1| < hay |z| > |a|, ROC, X(z) hội tụ đến: (Áp dụng cơng thức tính tổng vơ hạn chuỗi hình học) Với a = 1, x(n) dãy nhãy bậc đơn vị, có biến đổi Z là: Hình 2.3 trình bày miền hội tụ biến đổi Z ví dụ 2.2 với vị trí cực zeros Nếu |a| > 1, ROC khơng chứa vòng tròn đơn vị, điều hàm ý rằng, với giá trị |a|, biến đổi Fourier dãy lũy thừa anu(n) không hội tụ Ví dụ 2.3: Xét dãy x(n) = -anu(-n-1), thì: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 28 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Nếu |a-1z| < 1, hay |z| < |a|, tổng (2.14) hội tụ, và: Đồ thị cực-zero miền hội tụ biến đổi Z ví dụ 2.2 trình bày hình 2.4 Nhận xét: Hai dãy ví dụ 2.2 2.3 hoàn toàn khác biểu thức X(z) đồ thị cựczero Như nói đến biến đổi Z cần xác định biểu thức lẫn ROC Ví dụ 2.4: Xét trường hợp tín hiệu tổng hai hàm mũ thực: x(n) = (1/2)nu(n) - (-3)nu(-n-1) (2.16) Biến đổi Z là: Để X(z) hội tụ, hai tổng phương trình (2.18) phải hội tụ, điều kiện là: |(1/2)z-1| < |(-3)z-1| < hay |z| > 1/2 |z| N > -∞, ROC miền bên vòng tròn qua điểm cực khác (Ví dụ 2.3) (5) Nếu x(n) dãy hai bên (two-sided sequence) có chiều dài vơ hạn phía phải phía trái ROC có dạng hình vành khăn, vòng tròn giới hạn qua hai điểm cực điểm cực X(z) (Ví dụ 2.4) (6) ROC phải miền khơng bị chia cắt Hình 2.7 minh họa tính chất ROC, vị trí cực (z 1=2/3, z2=-3/2, z3=2) zeros (z1=0, z2=-1/2) với biến đổi Z 2.2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC (The inverse Z -transform) 2.2.3.1 Định nghĩa: Nếu X(z) biến đổi Z x(n), x(n) biến đổi Z ngược X(z), ta có cặp biến đổi Z: Biến đổi Z ngược định nghĩa thủ tục để biến đổi từ miền z sang miền thời gian Về mặt toán học, biến đổi Z ngược toán tử mà biến hàm X(z) thành dãy x(n) Chú ý rằng, ta xác định biến đổi Z ngược X(z) miền hội tụ X(z) xác định Cơng thức để tính dãy x(n) từ X(z) thành lập dựa vào định lý tích phân Cauchy Giáo trình Xử lý tín hiệu số 31 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Định lý tích phân Cauchy, phát biểu công thức sau: với C đường cong kín có chiều ngược chiều kim đồng hồ bao quanh gốc tọa độ Thiết lập cơng thức tính biến đổi Z ngược Từ công thức định nghĩa biến đổi Z: Nhân hai vế công thức cho zk-1 lấy tích phân đường cong kín C bao quanh gốc tọa độ, ngược chiều kim đồng hồ nằm miền hội tụ X(z), ta được: Áp dụng định lý Cauchy, phương trình (2.25) trở thành: Tích phân đường phương trình (2.27) tính định lý giá trị thặng dư Cauchy (Cauchy’s residue theorem) sau: Giá trị thặng dư (residue) điểm cực d0, bậc s X(z)zn-1 , Đối với điểm cực đơn, phương trình (2.29) trở thành: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 32 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Ví du 2.6: Đường cong kín C nằm ROC X(z) nên có bán kính lớn |a| @ Với n ≥ 0, C bao quanh cực z = a, ta có: kết là: x(n) = an @ Với n < , có cực kép bậc n z = - Khi n = -1, có cực C z = a z = Kết x(-1) = a-1 - a-1 = - Khi n = -2, có cực đơn z = a cực kép bậc z = C Kết x(-2) = Tính tiếp tục với n = -3, -4, -5,… ta thấy x(n) = 0, với n < Vậy, kết cuối là: x(n) = anu(n) 2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z Giả sử ta có cặp biến đổi Z sau: Các ký hiệu ROC = Rx có nghĩa rL < |z| < rH ROC = Rx1 có nghĩa rL1 < |z| < rH1 ROC = Rx2 có nghĩa rL2 < |z| < rH2 rL, rH , rL1, rH1, rL2, rH2 số thực dương, tương tự cho Ry Biến đổi Z có tính chất sau: Tuyến tính (Linearity): Giáo trình Xử lý tín hiệu số 33 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam a b số Tính chất chứng minh trực tiếp từ định nghĩa biến đổi z (xem tập) Miền hội tụ Ry aX1(z) + bX2(z) nhỏ phần giao R x1 Rx2 Nếu tổ hợp tuyến tính aX1(z) + bX2(z) phát sinh điểm zeros khử số điểm cực miền hội tụ Ry mở rộng (Ta trở lại khử cực phần sau) Ví dụ 2.7: Xác định biến đổi Z tín hiệu: (a) x(n) = (cosω0n)u(n) (b) x(n) = (sinω0n)u(n) Giải: (a) Tín hiệu x(n) biểu diễn hàm mũ phức theo công thức Euler: Sau số thao tác đại số kết quả: (b) Tương tự, tín hiệu x(n) biểu diễn hàm mũ phức theo cơng thức Euler: Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: Sau số thao tác đại số kết quả: Dịch thời gian (Time shifting) ROC z-kX(z) Rx trừ z = k > trừ z = ∞ k < Chứng minh: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 34 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Nhận xét: Dịch phải k mẫu tức làm trễ tín hiệu k mẫu tương ứng với nhân cho z -k phép biến đổi Z Với k = 1, ta ký hiệu toán tử z -1 tương ứng với phép làm trễ mẫu, ký hiệu dùng để biểu diễn phần tử làm trễ mẫu Tính chất tuyến tính tính chất dịch thời gian làm cho biến đổi Z trở thành hữu dụng việc phân tích hệ thống LTI Thay đổi thang đo miền z (Scaling in the z domain) với a số thực phức ROC X(z/a) |a|.R x = |a|.rL < |z| < |a|.rH Chúng minh: Từ định nghĩa biến đổi Z ta có: Vì ROC X(z) Rx = rL < |z| < rH nên ROC X(a-1z) rL < | a-1z| < rH hay |a|rL < |z| < |a|rH Ví dụ 2.8: Xác định biến đổi Z tín hiệu: (a) x(n) = an (cosω0n)u(n) (b) x(n) = an (sinω0n)u(n) Giải: (a) Từ kết (2.32) ví dụ 2.7 kết hợp với tính chất (2.35) ta thu kết cách đễ dàng: 4/ Đảo thời gian (Time Reversal) Trong biểu thức ta đổi biến m = -n ROC X(z-1) : rL < |z-1| < rH hay 1/rH < |z| < 1/rL Ví du 2.9: Xác định biến đổi Z tín hiệu x(n) = u(-n) Giải: Ở ví dụ 2.2 ta biết : Giáo trình Xử lý tín hiệu số 35 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Giải: Đáp ứng hệ thống là: y(n) = h(n)*x(n) với: x(n) = u(n) Rõ ràng, ta kích thích hệ thống nhân với tín hiệu vào nhân tín hiệu nhân Vì x(n), h(n) y(n) dãy nhân quả, nên biến đổi Z phía biến đổi Z hai phía đồng Áp dụng tính chất chập ta được: Vì |a| < nên ROC (z-1)Y(z) chứa vòng tròn đơn vị Áp dụng định lý giá trị cuối, ta được: 2.5.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG: Một cơng dụng quan trọng biến đổi Z phía phân tích hệ thống mơ tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số khơng có điều kiện nghỉ Vì kích thích đưa vào thời gian xác định, ta coi n = 0, nên tín hiệu vào tín hiệu khảo sát thời điểm n ≥ 0, điều khơng có nghĩa tính hiệu thời điểm n < Ta thấy, biến đổi Z phía cơng cụ thích hợp trường hợp Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 2.21: Xác định đáp ứng nhảy bậc đơn vị hệ thống mô tả phương trình sai phân sau: y(n) = ay(n-1) + x(n) , với –1 < a < với điều kiện đầu là: y(-1) = Giải: Lấy biến đổi Z phía hai vế phương trình sai phân ta được: Y+(z) = a[z-1Y+(z) + y(-1)] + X+(z) Với x(n) = u(n) ta có X +(z) = 1/(1-z-1) Thay y(-1) X+(z) vào phương trình xếp lại ta được: Tìm biến đổi Z ngược phương pháp khai triển thành phân thức hữu tỉ đơn giản, ta được: 2.6 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN Z 2.6.1 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG LTI 2.6.1.1 Hàm truyền đạt (hàm hệ thống) Từ chương I, ta thấy hệ thống LTI hoàn tồn đặc trưng miền thời gian đáp ứng xung h[n] nó, với tín hiệu vào x[n], đáp ứng hệ thống tính tổng chập: y[n] = x(n) * h(n) (2.64) Chúng ta thấy khó khăn xác định đáp ứng hệ thống trực tiếp tổng chập Gọi X(z) H(z) biến đổi z x(n) h(n), áp dụng tính chất chập biến đổi Z, ta biến đổi Z y(n) sau: Y(z) = X(z).H(z) (2.65) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 47 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam với miền hội tụ thích hợp Vậy, thông qua phép biến đổi Z, tổng chập hai dãy biến thành phép nhân đơn giản Sau có Y(z), ta dùng phép biến đổi Z ngược để tính đáp ứng y(n) Cách làm rõ ràng dễ dàng cách tính trực tiếp từ tổng chập Phương trình (2.65) viết lại: H(z) gọi hàm hệ thống (System function) hay hàm truyền đạt (Transfer function) Vì H(z) h(n) cặp nhất, nên hệ thống LTI hồn tồn đặc tả hàm hệ thống 2.6.1.2 Hàm truyền đạt hệ thống đặc trưng LCCDE Xét hệ thống LTI mà quan hệ vào thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính hệ số (LCCDE) sau: Chúng ta biết rằng, từ phương trình sai phân (2.67) ta tìm y(n) theo phương pháp đệ qui Nếu điều kiện ban đầu nghỉ thỏa mãn, hệ thống tuyến tính, bất biến nhân Áp dụng biến đổi Z cho hai vế phương trình (2.67) để ý đến tính chất tuyến tính, dịch thời gian biến đổi Z Suy hàm truyền đạt hệ thống có dạng: Từ điều kiện đầu LCCDE, ta xác định ROC H(z) H(z) đặc tả hệ thống Một cách biểu diễn khác: Mỗi thừa số (1-ckz-1) tử số góp vào zero z = c k Tương tự, thừa số (1-dkz-1) mẫu số đóng góp vào cực z = dk Có mối quan hệ rõ ràng phương trình sai phân biểu thức đại số hàm truyền đạt tương ứng Như ta thấy, đa thức tử số phương trình (2.69) có hệ số với vế phải phương trình (2.67) đa thức mẫu số phương trình (2.69) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 48 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam có hệ số với vế trái phương trình (2.67) Như vậy, biết hàm truyền đạt ta suy phương trình sai phân ngược lại Ví dụ 2.22: Giả sử hàm truyền đạt hệ thống LTI là: Từ ROC H(z), ta thấy hệ thống nhân Để tìm phương trình sai phân biểu diễn hệ thống, ta đưa H(z) dạng phương trình (2.69): phương trình sai phân là: Vì hệ thống LTI nhân nên phương trình (2.72) thỏa mãn điều kiện đầu nghỉ Ví dụ 2.23: Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) hệ thống mô tả LCCDE: Nếu điều kiện đầu chưa xác định, LCCDE H(z) cho mơ tả hệ thống khác nhau? Trong trường hợp tính đáp ứng xung tương ứng (xem tập) 2.6.1.3 Sự kết nối hệ thống LTI Có hai loại kết nối bản: kết nối liên tiếp (cascade) kết nối song song Ở chương I ta định nghĩa phần tử hệ thống rời rạc như: cộng, nhân, nhân với hệ số, trễ mẫu xác định đáp ứng xung hệ thống tương đương hai hệ thống mắc liên tiếp mắc song song Ở đây, ta mô tả hệ thống tương đương hàm truyền đạt Cho hai hệ thống có đáp ứng xung h 1(n) h2(n), hàm truyền đạt tương ứng H1(z) H2(z) với miền hội tụ xác định - Mắc liên tiếp (Cascade): hệ thống tương đương: - Mắc song song (parallel) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 49 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Hệ thống tương đương: Từ kết nối ta cấu trúc hệ thống phức tạp Ngược lại ta phân chia hệ thống lớn, phức tạp thành nhiều hệ thống nhỏ kết nối để tiện thiết kế Ví dụ 2.24: Hãy xác định hàm truyền đạt hệ thống tương đương hệ thống kết nối hệ thống sau: Hàm truyền đạt hệ thống tương đương là:H(z) = H4(z)+H1(z)[H2(z)+H3(z)] 2.6.2 ĐÁP ỨNG CỦA HỆ THỐNG CỰC - ZERO NGHỈ Xét hệ thống cực- zero mơ tả LCCDE hàm truyền đạt là: Giả sử tín hiệu vào x(n) có biến đổi Z X(z) có dạng hữu tỉ: (Hầu hết tín hiệu thực tế mà ta quan tâm thường có dạng hữu tỉ) Nếu hệ thống ta xét hệ thống nghỉ, điều kiện đầu phương trình sai phân 0, nghĩa là, y(-1) = y(-2) = = y(-N) = Biến đổi Z tín hiệu là: Để tránh trường hợp cực kép, ta giả sử H(z) có cực đơn p 1,p2, ,pN tín hiệu vào có cực đơn q 1,q2, ,qL, cho thoả điều kiện pk ≠ qm với tất k = 1,2, ,N m = 1, 2, , L Để tránh khử cực, ta giả sử zero B(z) N(z) không trùng với cực {pk} {qm} Như vậy, cực zero khơng khử Khi Y(z) khai triển thành phân thức hữu tỉ đơn giản: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 50 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Ta thấy y(n) chia làm phần: - Phần thứ hàm cực p k hệ thống gọi đáp ứng tự nhiên (natural response) hệ thống Sự ảnh hưởng tín hiệu vào lên phần thơng qua thừa số {Ak} - Phần thứ hai hàm cực {q K} tín hiệu vào, gọi đáp ứng ép (forced response) hệ thống Ảnh hưởng hệ thống lên phần đáp ứng thông qua thừa số {Qk} Chú ý: - Các thừa số {Ak} {Qk} hàm hai tập cực {p k} {qk} (xem lại cách tính thừa số này) - Đáp ứng tự nhiên hệ thống khác với đáp ứng hệ thống kích thích Thật vậy, tín hiệu vào x(n) = X(z) = 0, suy Y(z) = kết đáp ứng hệ thống y(n) = - Đáp ứng tự nhiên hệ thống phụ thuộc vào kích thích Điều thể chỗ thừa số {Ak} hàm hai tập cực {pK} {qK} Khi X(z) H(z) có chung nhiều cực, hay X(z) và/hoặc H(z) có cực kép, Y(z) có cực kép Kết khai triển phân thức hữu tỉ Y(z) chứa thừa số có dạng Ā, với k = 1, 2, , s Ở s bậc cực kép p i Biến đổi Z ngược số hạng có nk −1pin chứa thừa số chứa thừa số có dạng i 2.6.3 ĐÁP ỨNG CỦA HỆ T HỐNG CỰC-ZERO VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÁC Giả sử tín hiệu x(n) đưa vào hệ thống cực-zero thời điểm n = Như vậy, tín hiệu x(n) giả sử nhân Ảnh hưởng tín hiệu vào trước lên hệ thống phản ánh qua điều kiện đầu y(-1), y(-2), y(-3), , y(-N) Vì tín hiệu vào nhân ta quan sát tín hiệu y(n) thời điểm n ≥ 0, nên phải dùng biến đổi Z phía Tín hiệu có dạng (ta ln ln đưa LCCDE dạng này): biến đổi Z phía là: (Vì x(n) nhân nên X+(z) = X(z) ) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 51 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Từ phương trình (2.78) ta thấy đáp ứng hệ thống với điều kiện đầu khác chia làm phần: - Phần thứ là: Yzs(z) = H(z)X(z) gọi đáp ứng trạng thái zero (zero state response) hệ thống Đây đáp ứng hệ thống thỏa điều kiện nghỉ - Phần thứ hai là: Ā gọi đáp ứng tín hiệu vào zero (zero - input response) hệ thống Đáp ứng tổng xác định biến đổi Z ngược y zs(n) Yzs(z) yzi(n) Yzi(z), là: y(n) = yzs(n) + yzi(n) Kết thêm vào phương trình ( 2.77) số hạng có chứa cực {p K} liên kết để đáp ứng tổng có dạng: Ở đây, Ak = Ak + Dk Từ trình bày trên, ta thấy ảnh hưởng điều kiện đầu làm thay đổi đáp ứng tự nhiên hệ thống thông qua việc làm thay đổi thừa số {A K}, khơng có cực đưa vào với điều kiện đầu khác 0, khơng có ảnh hưởng đến đáp ứng ép hệ thống Ví du 2.25: Xác định đáp ứng với hàm nhảy bậc đơn vị hệ thống mô tả phương trình LCCDE sau: y(n)=0,9y(n-1) - 0,81y(n-2) + x(n) với điều kiện đầu sau: (a) y(-1) = y(-2) = (b) y(-1) = y(-2) = Giải: ( đáp ứng trạng thái zero: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 52 Trường Đại học Điện Lực – Tập đồn Điện Lực Việt Nam (a) Vì điều kiện đầu nên y(n) = yzs(n) (b) Với điều iện đầu y(-1) = y(-2) = 1, thành phần thêm vào biến đổi z là: Kết quả, đáp ứng tín hiệu vào là: Trong trường hợp này, đáp ứng tổng có biến đổi z là: Y(z) = Yzs(z) + Yzi(z) Lấy biến đổi Z ngược ta có đáp ứng tổng: 2.6.4 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ (TRANSIENT RESPONSE) VÀ ĐÁP ỨNG XÁC LẬP (STEADY - STATE RESPONSE) Như ta trình bày phần trước, đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào xác định tách làm phần, đáp ứng tự nhiên đáp ứng ép Đáp ứng tự nhiên hệ thống nhân có dạng: Trong đó, cực hệ thống A K thừa số tùy thuộc vào tính chất kích thích điều kiện đầu Nếu Ā với k, ynr(n) hội tụ đến n → ∞ Trong trường hợp này, ta gọi đáp ứng tự nhiên đáp ứng độ (transient respone) Tốc độ giảm phụ thuộc vào độ lớn cực Nếu tất cực có Ā nhỏ, tốc độ suy giảm nhanh Ngược lại, có nhiều cực gần vòng tròn đơn vị, đáp ứng q độ trì thời gian dài Đáp ứng ép hệ thống có dạng: Ở đây, cực biến đổi z tín hiệu vào Q k thừa số phụ thuộc đặc tính hệ thống tín hiệu vào Nếu tất cực tín hiệu nằm vòng tròn đơn vị, yfr(n) giảm n → ∞, trường hợp đáp ứng tự nhiên Ta không nên ngạc nhiên tín hiệu vào tín hiệu độ Ngược lại, tín hiệu vào tín hiệu nhân hình sin, cực nằm vòng tròn đơn vị, kết đáp ứng ép tín hiệu điều hòa (sin) n ≥ Trong trường hợp đáp ứng ép gọi đáp ứng xác lập (steady-state respone) hệ thống Vì vậy, để trì đáp ứng xác lập với n ≥ 0, tín hiệu vào phải trì suốt thời gian Ví dụ 2.26: Xác định đáp ứng độ đáp ứng xác lập hệ thống mô tả LCCDE: y(n)=0,5y(n-1)+x(n) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 53 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam tín hiệu vào Giải: hệ thống thỏa mãn điều kiện nghỉ Hàm truyền đạt: Suy hệ thống có cực z=0,5 Biến đổi Z kích thích có dạng: Vì Y(z) = H(z)X(z) , suy ra: Đáp ứng tự nhiên hay đáp ứng độ là: ynr(n) = 6,3(0,5)nu(n) Đáp ứng ép hay đáp ứng xác lập là: Ta thấy đáp ứng xác lập tồn suốt thời gian n ≥ tín hiệu vào tồn 2.6.5 HỆ THỐNG ỔN ĐỊNH VÀ NHÂN QUẢ Khi thành lập phương trình (2.69) từ phương trình (2.67) giả sử hệ thống LTI, khơng đề cập đến tính chất ổn định nhân Tương ứng, từ phương trình sai phân ta thu biểu thức đại số hàm truyền đạt, không thu miền hội tụ Điều phù hợp với thực tế, thấy chương I, phương trình sai phân không xác định cách đáp ứng xung hệ thống LTI, chưa xác định điều kiện đầu Vì vậy, hàm truyền đạt phương trình (2.69) hay (2.70), có nhiều chọn lựa khác cho miền hội tụ tương ứng với phương trình sai phân Tuy nhiên, giả sử hệ thống có tính nhân quả, nghĩa h[n] dãy bên phải ROC H(z) phải bên ngồi vòng tròn qua điểm cực Nếu giả sử hệ thống ổn định, nghĩa đáp ứng xung phải thỏa mãn Vậy: Điều kiện ổn định ROC H(z) chứa vòng tròn đơn vị, vậy, tổng hợp lại điều kiện để hệ thống ổn định nhân tất điểm cực phải nằm vòng tròn đơn vị Ví dụ 2.27: Xét hệ thống LTI có LCCDE sau: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 54 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Đồ thị cực-zero H(z) vẽ hình 2.9, có khả để chọn ROC: - Nếu hệ thống giả sử hệ nhân quả, ROC: Trong trường hợp hệ thống khơng ổn định ROC khơng chứa vòng tròn đơn vị - Nếu hệ thống giả sử ổn định, ROC: - Nếu chọn ROC: hệ thống không ổn định không nhân 2.7 THỰC HIỆN CÁC HỆ THỐNG RỜI RẠC 2.7.1 MỞ ĐẦU: Như mục 2.6.2 ta thấy hệ thống LTI có hàm truyền đạt hữu tỉ biểu diễn phương trình sai phân tuyến tính hệ số (LCCDE) Phương trình sai phân suy cách trực tiếp từ hàm truyền đạt, ngược lại, cho trước LCCDE ta suy hàm truyền đạt Để thực hệ thống rời rạc, từ hàm truyền đạt hay LCCDE ta biểu diễn cấu trúc hệ thống sơ đồ khối giản đồ (graph), bao gồm kết nối phần tử cộng, nhân, nhân với số phép trễ đơn vị Các phép trễ hàm ý cần phải lưu trữ giá trị dãy khứ chúng ghi hay nhớ Ví dụ: 2.28: Ta xét hệ thống có phương trình sai phân: y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+bx(n) (2.87) Sẽ tương ứng với hàm truyền đạt là: Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống trình bày hình 2.10 Đây hệ thống bậc Giáo trình Xử lý tín hiệu số 55 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Một sơ đồ khối sở để xác định cấu trúc phần cứng cho hệ thống hay để xây dựng thuật toán cho phần mềm 2.7.2 HỆ THỐNG IIR (ĐỆ QUI) Dạng trực tiếp I (Direct form I) Phương trình (2.89) viết lại dạng công thức truy hồi: Sơ đồ khối hình 2.11 biểu diễn hình ảnh phương trình (2.91) Hình 2.11 : dạng trực tiếp I , sơ đồ khối hệ thống có phương trình sai phân bậc N Giáo trình Xử lý tín hiệu số 56 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Dạng trực tiếp II (Direct form II) Phương trình (2.92) cho thấy ta xem hệ thống gồm hai hệ thống (phần bên trái phần bên phải) mắc liên tiếp Do tính giao hốn ta hốn chuyển vị trí hai hệ thống con, ta có cách biểu diễn trực tiếp II (dirrect form II) hình 2.12 Dạng chuẩn tắc (Canonic Direct form) Ta thấy sơ đồ hình 2.11 2.12 có (N+M) phần tử trễ mẫu Để tiết kiệm phần tử trễ, ta thực sơ đồ hình 2.13, gọi dạng chuẩn tắc (canonic dirrect form) (giả sử N > M) Rõ ràng, dạng chuẩn tắc cần N phần tử trễ (nếu N > M) M phần tử trễ (nếu M > N), ta tiết kiệm nhớ thời gian dịch chuyền tín hiệu đường trễ so với dạng trực tiếp I II Hình 2.12: Dạng trực tiếp II Giáo trình Xử lý tín hiệu số 57 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam 2.7.3 HỆ THỐNG FIR (KHÔNG ĐỆ QUI) Đối với hệ thống FIR khơng đệ qui, với phương trình sai phân biểu diễn hệ thống là: Ta có sơ đồ hình 2.14 : Trong thực tế, mạch đệ qui, người ta thực sơ đồ có bậc N > 2, mạch dễ tính ổn định sai số Mặt khác, thiết kế khâu bậc có phần thuận lợi Vì vậy, người ta chia hệ thống thành nhiều mạch có bậc lớn mắc liên tiếp song song với Một hệ thống bậc trình bày ví dụ 2.28 Giáo trình Xử lý tín hiệu số 58 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam BÀI TẬP CHƯƠNG 2.1 Hãy xác định biến đổi Z tín hiệu sau đây: 2.2 Tính biến đổi Z tín hiệu sau vẽ đồ thị cực - zero tương ứng: (a) x(n) = (1+n)u(n) (b) x(n) = (an + a-n)u(n) , với a thực (c) x(n) = (-1)n2-nu(n) (d) x(n) = (nansinω0n)u(n) (e) (1/2)n[u(n)-u(n-10)] 2.3 Xác định biến đổi Z tính hiệu sau đây: (a) x(n) = n(-1)n.u(n) (b) x(n) = n2u(n) 2.4 (a) Xác định biến đổi Z tín hiệu: x(n) = a|n| với |a| < (b) Xác định biến đổi Z tín hiệu x(n) = 1, -∞ < n < ∞ 2.5 Tính tổng chập tín hiệu sau cơng cụ biến đổi Z: 2.6 Hãy dùng tính chất vi phân dịch thời gian để tìm biến đổi Z ngược của: X(z) = log(1 + az-1) , với ROC : |z| > |a| 2.7 Xét hệ thống LTI đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: y(n) - 1/2 y(n-1) = x(n) Tìm y(n) tính hiệu vào x(n) = u(n) với điều kiện đầu y(-1) = 2.8 Hãy xác định đáp ứng xung hệ thống mô tả phương trình sai phân: y(n) = 0.9y(n-1) - 0.81y(n-2) + x(n) với điều kiện đầu sau: (a) y(-1) = y(-2) = (b) y(-1) = y(-2) = 2.9 Cho hệ thống LTI biểu điễn hàm truyền đạt: Hãy xác định ROC tìm đáp ứng xung h(n) tương ứng với điều kiện sau: (a) Hệ thống ổn định (b) Hệ thống nhân (c) Hệ thống có h(n) dãy bên trái (phản nhân quả): 2.10 Xác định đáp ứng xung h(n) hệ thống LTI nhân mô tả phương trình sai phân: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 59 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam y(n) = 2.5y(n-1) - y(n-2) + x(n) - 5x(n-1) + 6x(n-2) 2.11 Xác định đáp ứng y(n) hệ thống nghỉ mô tả phương trình sai phân: 2.12 Cho hệ thống mô tả hàm truyền đạt sau: Hệ thống ổn định khơng? Chứng minh 2.13 Cho hệ thống mơ tả phương trình sai phân sau: y(n) = ny(n-1) + x(n) biết hệ thống có tính nhân Tìm đáp ứng xung h(n) 2.14 Xác định dãy x(n) có biến đổi Z là: X(z) = (1+2z)(1+3z-1)(1-z-1) 2.15 Xét biến đổi Z X(z) có đồ thị cực - zero hình vẽ: (a) Xác định miền hội tụ X(z) cho biến đổi Fourier tồn Trong trường hợp biến đổi Z ngược tương ứng dãy bên phải hay bên trái hay hai bên? (b) Có dãy hai bên thỏa mãn đồ thị cực - zero này? (c) Có thể tồn hệ thống có đồng thời tính chất nhân ổn định tương ứng với đồ thị cực - zero hay không? (d) Viết biểu thức X(z) tìm biền đổi Z ngược ROC: |z| > 2.16 Áp dụng tính chất biến đổi Z để tìm biến đổi Z ngược biến đổi Z cho sau đây: 2.17 Cho hệ thống LTI nhân có hàm truyền đạt là: (a) Xác định ROC H(z) (b) Hệ thống có ổn định khơng? Giải thích (c) Vẽ sơ đồ khối hệ thống dạng trực tiếp I dạng chuẩn tắc (d) Tìm đáp ứng xung h(n) hệ thống 2.18 Hãy xác định biến đổi Z phía tính hiệu sau: (a) x(n) = an u(n) (b) x1(n) = x(n - 2) (c) x2(n) = x(n + 2) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 60 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam 2.19 Cho hệ thống LTI liên kết hệ thống có đáp ứng xung lần ược h1(n),h2(n),h3(n) hình vẽ Tìm đáp ứng xung h(n) hệ thống cho biết : h1(n) = u(n) - u(n-6) h2(n) = 2δ(n) + 2δ(n-1) + 3δ(n-2) 2.20 Cho hệ thống có sơ đồ khối sau: (a) Hãy viết phương trình sai phân tuyến tính hệ số biểu diễn hệ thống (b) Hãy xác định hàm truyền đạt hệ thống Tìm đáp ứng xung, cho biết hệ thống có tính nhân Giáo trình Xử lý tín hiệu số 61 ... Giáo trình Xử lý tín hiệu số 38 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Giáo trình Xử lý tín hiệu số 39 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam 2.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM BIẾN... Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Nhận xét: Dịch phải k mẫu tức làm trễ tín hiệu k mẫu tương ứng với nhân cho z -k phép biến đổi Z Với k = 1, ta ký hiệu toán tử z -1 tương ứng... số thực < a < N nghiệm đa thức tử số X(z) là: zk = aej(2(k/N) với k = 0, 1, 2, ., N-1 (2.22) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 30 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Zero k = bị triệt