Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam CHƯƠNG III PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 3.1 MỞ ĐẦU Phân tích tần số (còn gọi phân tích phổ) tín hiệu dạng biểu diễn tín hiệu cách khai triển tín hiệu thành tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin hay hàm mũ phức Cách khai triển quan trọng việc phân tích hệ thống LTI, hệ thống này, đáp ứng tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin có tần số, khác biên độ pha Cơng cụ để phân tích tần số tín hiệu chuổi Fourier (cho tín hiệu tuần hồn) biến đổi Fourier (cho tín hiệu khơng tuần hồn có lượng hữu hạn) 3.2 TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC Khái niệm tần số tín hiệu tương tự quen thuộc Tuy nhiên, khái niệm tần số tín hiệu rời rạc có số điểm cần lưu ý Đặc biệt, ta cần làm rõ mối quan hệ tần số tín hiệu rời rạc tần số tính hiệu liên tục Vì vậy, mục ta khởi đầu cách ơn lại tần số tín hiệu liên tục tuần hoàn theo thời gian Mặt khác, tín hiệu hình sin tín hiệu hàm mũ phức tín hiệu tuần hồn bản, nên ta xét hai loại tín hiệu 3.2.1 TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ TUẦN HOÀN THEO THỜI GIAN Một dao động đơn hài (simple harmonic) mô tả bỏi tín hiệu tương tự (liên tục) hình sin: xa(t) = Acos(Ωt+θ ) với -∞ < t < ∞ (3.1) Trong đó, A biên độ; Ω tần số góc (rad/s); θ pha ban đầu (rad) Ngoài ra, với ký hiệu: F tần số (cycles/second hay Hertz) Tp chu kỳ (second), ta có: Ω = 2πF = 2π/Tp (3.2) Tín hiệu liên tục hình sin có tính chất sau: 1) Với giá trị xác định F hay T p, xa(t) tín hiệu tuần hồn Thật vậy, từ tính chất hàm lượng giác, ta chứng minh được: xa(t +Tp) = xa(t) F gọi tần số (fundamental frequency) Tp chu kỳ (fundamental period) tín hiệu liên tục F T p có giá trị khơng giới hạn (từ đến ∞ ) 2) Các tín hiệu liên tục hình sin có tần số khác phân biệt với 3) Khi tần số F tăng tốc độ dao động tín hiệu tăng, nghĩa có nhiều chu kỳ khoảng thời gian cho trước Ta biểu diễn tín hiệu hình sin hàm mũ phức: xa(t) = Aej(ΩT+θ) (3.3) Ta thấy mối quan hệ qua công thức Euler: Theo định nghĩa, tần số đại lượng vật lý dương, tần số số chu kỳ đơn vị thời gian Tuy nhiên, nhiều trường hợp, để thuận tiện mặt toán học, khái niệm tần số âm thêm vào Để rõ hơn, phương trình (3.1) viết lại: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 62 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Ta thấy, tín hiệu hình sin thu cách cộng hai tín hiệu hàm mũ phức liên hợp có biên độ, gọi phasor Hình 3.1 biểu diễn đồ thị mặt phẳng phức, hai đại lượng phasor quay quanh góc tọa độ theo hai chiều ngược với vận tốc góc ±Ω (rad/s) Vì tần số dương tương ứng với chuyển động quay ngược chiều kim đồng hồ, nên tần số âm tương ứng với chuyển động quay theo chiều kim đồng hồ Để thuận tiện mặt toán học, ta sử dụng khai niệm tần số âm, khoảng biến thiên tần số -∞ < F < ∞ 3.2.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC TUẦN HỒN HÌNH SIN Một tín hiệu rời rạc hình sin biểu diễn bởi: x(n) = Acos(ωn + θ) với -∞ < n < ∞ (3.6) So sánh với tín hiệu liên tục, ta thấy t thay biến nguyên n, gọi số mẫu (sample number); tần số góc Ω (rad/second) thay ω (rad/sample); pha biên độ giống tín hiệu liên tục Gọi f tần số tính hiệu rời rạc, ta có: ω = 2πf (3.7) Phương trình (3.6) trở thành: x(n) = Acos(2πfn + θ) với -∞ < n < ∞ (3.8) Tần số f có thứ nguyên chu kỳ/mẫu (cycles/sample) Tín hiệu hình sin có tần số ω = π/6 radians/sample (f =1/12 cycles/sample) pha ban đầu ω = π/3 rad biểu diễn đồ thị hình 3.2 Khác với tín hiệu tương tự, tín hiệu rời rạc hình sin có thuộc tính sau: Một tín hiệu rời rạc hình sin tuần hoàn tần số f số hữu tỉ Giáo trình Xử lý tín hiệu số 63 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Từ định nghĩa, tín hiệu rời rạc x(n) tuần hồn với chu kỳ N (N > 0) x(n+N) = x(n) với n, giá trị nhỏ N thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ Để tín hiệu hình sin có tần số f0 tuần hồn phải có: cos[2πf0(N + n) + θ] = cos(2πf0n + θ) Quan hệ tồn số nguyên k cho: 2πf0N = 2kπ hay f0 = k/N (3.9) Theo phương trình (3.9), tín hiệu hình sin rời rạc tuần hồn khi f tỉ số hai số nguyên, hay nói cách khác f0 số hữu tỉ Để xác định chu kỳ N tín hiệu hình sin, ta biểu điễn tần số f dạng hữu tỉ tối giản, chu kỳ N tín hiệu hình sin với mẫu số Ví dụ: f1 = 31/60 có nghĩa N1 =60; đó, f2 = 30/60 N2 = 2 Các tín hiệu rời rạc hình sin mà tần số góc chúng sai khác bội số nguyên 2π đồng dạng Để chứng minh, ta so sánh tín hiệu hình sin có tần số ω với tín hiệu hình sin có tần số (ω0 + 2kπ), ta thấy: cos[(ω0 +2kπ)n + θ)] = cos(ω0n +2πkn + θ) = cos(ω0n + θ) (3.10) Như vậy, tất dãy hình sin: xk(n)=cos(ωkn+θ), đây, ωk=ω0 + 2kπ với < ω0 < 2π k = 0, 1, 2,…là đồng Điều hàm ý rằng, tín hiệu hình sin xác định tần số góc khoảng [0,2π], tương ứng tần số f khoảng [0,1] Từ nhận xét trên, ta có kết luận quan trọng: Đối với tín hiệu rời rạc tuần hoàn, ta cần khảo sát khoảng tần số ≤ ω ≤ 2π (hay ≤ f ≤ 1) Vì với tần số ngồi khoảng này, mẫu chồng lấp (alias) tín hiệu có tần số khoảng ≤ω ≤ 2π Một dao động biểu diễn tính hiệu hình sin, có tốc độ dao động cao tín hiệu có tần số góc ω = π, tương ứng với f = ½ Để minh họa tính chất này, ta xét dãy x(n) = cosω 0n tần số ω0 biến thiên từ đến π Ta xét giá trị ω0 = 0, π/8, π/4, π/2 π, tương ứng với f = 0, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2 dãy tuần hoàn với chu kỳ N = ∞, 16, 8, 4, (xem đồ thị hình 3.3) Chú ý rằng, tốc độ dao động tăng chu kỳ giảm hay tần số tăng Ta xem xãy π ≤ ω ≤ 2π, xét tần số ω = ω0 ω2 = 2π – ω0 Ta thấy ω1 tăng từ π đến 2π ω2 giảm từ π đến và: x1(n) = Acosω1n = Acosω0n x2(n) = Acosω2n = Acos(2π - ω0)n (3.11) = Acos(- ω0n) = x1(n) Vậy, dãy có tần số ω2 trùng với dãy có tần số ω1, ta thay hàm cos hàm sin kết giống vậy, ngoại trừ lệch pha 180o x1(n) x2(n) Trong trường hợp, ta tăng tín hiệu rời rạc hình sin từ πđến 2π, tốc độ dao động giảm, ω0 = 2π ta có tín hiệu giống ω = Rõ ràng, ω0 =π tốc độ dao động cao Giáo trình Xử lý tín hiệu số 64 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Như tín hiệu tương tự, khái niệm tần số âm đưa vào tín hiệu rời rạc Vì vậy, ta sử dụng cơng thức Euler: Vì tín hiệu tuần hồn rời rạc với tần số sai khác bội số ngun 2π hồn toàn giống Ta thấy rằng, tần số dải rộng 2π (nghĩa ω ≤ ω ≤ ω1 + 2π, với ω1 bất kỳ) mơ tả tất tín hiệu rời rạc hình sin hay hàm mũ phức Vì vậy, khảo sát tính hiệu tuần hồn rời rạc ta cần xét khoảng tần số rộng 2π, thông thường ta chọn dải tần ≤ ω ≤ 2π (ứng với ≤ f ≤ 1) là-π ≤ ω ≤ π (ứng với –1/2 ≤ f ≤ 1/2), dải tần gọi dải tần (fundamental range) 3.2.3 MỐI LIÊN HỆ CỦA TẦN SỐ F CỦA TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ x a(t) VÀ TẦN SỐ f CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC x(n) ĐƯỢC LẤY MẪU TỪ xa(t) Để thiểt lập mối quan hệ F f, ta xét tín hiệu tương tự hình sin: xa(t)=Acos(2πFt + θ) (3.13) Gọi TS chu kỳ lấy mẫu , ta có tín hiệu lấy mẫu x(n)=xa(nTS)=Acos(2πFnTS + θ) Mặt khác tín hiệu hình sin rời rạc biểu diễu theo tần số f là: x(n)=Acos(2πfn + θ) (3.15) Từ phương trình (3.14) phương trình (3.15) ta được: f = F/ FS hay ω = ΩTS (3.16) Từ phương trình (3.16), ta thấy f tần số chuẩn hóa (normalized frequency) theo FS gọi tần số tương đối (relative frequency) Phương trình (3.16) hàm ý rằng: từ tần số tín hiệu rời rạc f, xác định tần số F tín hiệu liên tục tương ứng tần số lấy mẫu FS biết Chúng ta biết khoảng biến thiên biến tần số F hay Ω tín hiệu liên tục theo thời gian là: -∞ < F < ∞ hay - ∞ < Ω < ∞ (3.17) khoảng biến thiên biến tần số f hay ω tín hiệu rời rạc theo thời gian là: - 1/2 ≤ f ≤ 1/2 hay -π ≤ ω ≤ π (3.18) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 65 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Từ phương trình (3.16), (3.17) (3.18) ta tìm mối quan hệ tần số F tín hiệu hình sin liên tục theo thời gian với tần số lấy mẫu FS: Các mối quan hệ tổng kết bảng 3.1 Từ mối quan thấy rằng, khác tín hiệu rời rạc tín hiệu liên tục khoảng giá trị biến tần số f F, hay Ώ ω Sự lấy mẫu tuần hoàn tín hiệu liên tục theo thời gian tương đương với phép ánh xa từ dải tần vô hạn biến F (hay ω) vào dải tần hữu hạn biến f (hay ω) Vì tần số cao tín hiệu rời rạc ω = π hay f = 1/2, với tốc độ lấy mẫu F S, giá trị cao tương ứng F Ω là: Fmax = FS / =1/ 2TS Ωmax = π/ FS = π/ TS (3.21) Kết luận phù hợp với định lý lấy mẫu phát biểu chương chứng minh chương Bảng 3.1 tổng kết mối quan hệ F f 3.2.4 CÁC TÍN HIỆU HÀM MŨ PHỨC CĨ QUAN HỆ HÀI (Harmonically Related Complex Exponentials) Tín hiệu hình sin tín hiệu hàm mũ phức (điều hòa phức) đóng vai trò quan trọng việc phân tích tín hiệu hệ thống Trong nhiều trường hợp, ta xử lý với tập hợp tín hiệu hàm mũ phức (hay tín hiệu hình sin) có quan hệ hài Đó tập hàm mũ phức tuần hồn có tần số bội số tần số dương Mặc dù ta không đề cập nhiều đến tín hiệu hàm mũ phức, rõ ràng chúng thỏa mãn tất tính chất tín hiệu hình sin Ta xét tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài hai trường hợp liên tục rời rạc theo thời gian 1/ Tín hiệu hàm mũ liên tục Các tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài liên tục theo thời gian có dạng là: Chú ý rằng, với giá trị k, sk(t) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ 1/ (kF0) = Tp/k hay tần số kF0 Vì tín hiệu tuần hồn với chu kỳ T p/k tuần hồn với chu kỳ k(Tp/k) = Tp, với k số nguyên dương bất kỳ, nên tất tín hiệu sk(t) có chu kỳ chung T p Hơn nữa, với tín hiệu tuần hồn liên tục, Giáo trình Xử lý tín hiệu số 66 Trường Đại học Điện Lực – Tập đồn Điện Lực Việt Nam tần số F0 lấy giá trị tất thành viên tập s k(t) phân biệt với nhau, nghĩa là, k1 ≠ k2 sk1(t) ≠ sk2(t) Từ tín hiệu phương trình (3.22), ta xây đựng tổ hợp tuyến tính hàm mũ phức có quan hệ hài dạng: với ck số phức Tín hiệu x a(t) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ Tp = 1/F0 tổng phương trình (1.23) gọi chuỗi Fourier x a(t) Các phức ck gọi hệ số chuỗi Fourier tín hiệu s k(t) gọi hài thứ k xa(t) 2/ Tín hiệu hàm mũ rời rạc Vì tín hiệu hàm mũ phức rời rạc tuần hoàn tần số f số hữu tỉ, ta chọn f =1/N định nghĩa tập hàm mũ phức có quan hệ hài sau: Ngược lại với tín hiệu liên tục theo thời gian, ta ý rằng: Điều có nghĩa có N hàm mũ phức tuần hoàn phân biệt tập hàm mũ phức mơ tả phương trình (3.24) Hơn nữa, tất thành viên tập nầy có chu kỳ chung N samples Rõ ràng, ta chọn N hàm mũ phức liên tiếp (nghĩa từ k = n0 đến k = n0 + N – 1) để thành lập tập quan hệ hài với tần số f0 = 1/N Thông thường, để thuận tiện, ta chọn tập tương ứng với n = 0, ta có: Như trường hợp tín hiệu liên tục, rõ ràng, tổ hợp tuyến tính thành lập sau: tín hiệu tuần hồn với chu kỳ N Như thấy chương sau, tổng phương trình (3.26) chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn theo thời gian với {ck} hệ số Fourier Dãy sk(n) gọi hài thứ k x(n) 3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU LIÊN TỤC Ánh sáng trắng phận tích thành phổ ánh sáng màu lăng kính Ngược lại, tổng hợp tất thành phần ánh sáng màu với tỉ lệ phân tích ta khơi phục ánh sáng trắng (Hình 3.4) Ta biết rằng, ánh sáng màu (ánh sáng đơn sắc) tương ứng với sóng điện từ đơn hài Đây minh họa cho phân tích phổ tín hiệu, vai trò lăng kính thay cơng cụ phân tích Fourier Giáo trình Xử lý tín hiệu số 67 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam 3.3.1 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA MỘT TÍN HIỆU LIÊN TỤC TUẦN HOÀN THEO THỜI GIAN - CHUỖI FOURIER Ta biết tín hiệu liên tục tuần hồn phân tích thành tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin hay hàm mũ phức Ở đây, ta nhắc lại cách tóm lược Xét tín hệu tuần hồn x(t) với chu kỳ F p khai triển chuỗi Fourier sau : Tổng quát, hệ số Fourier Xk có giá trị phức, đặc trưng cho biên độ pha thành phần tần số F = kFp Nếu tín hiệu tuần hồn thực, Xk X-k liên hợp phức, ta biểu diễn dạng phasor Kết chuỗi Fourier (3.27) biểu diễn dạng lượng giác : Ở đây: a0 = X0 (có giá trị thực) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 68 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Điều kiện để tồn chuỗi Fourier - Điều kiện đủ để tín hiệu tuần hồn khai triển thành chuỗi Fourier tín hiệu có bình phương khả tích chu kỳ, nghĩa : - Một tập điều kiện khác cho tồn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn x(t) gọi điều kiện Dirichlet Đó : (1) x(t) có số hữu hạn điểm bất liên tục chu kỳ (2) x(t) có số hữu hạn cực đại cực tiểu chu kỳ (3) Tích phân |X(t)| chu kỳ hữu hạn, nghĩa : 3.3.2 PHỔ MẬT ĐỘ CƠNG SUẤT CỦA TÍN HIỆU TUẦN HỒN - Quan hệ Parseval: Một tín hiệu hồn có cơng suất trung bình tính : Lấy liên hợp phức phương trình (3.27) thay vào phương trình (3.33) ta được: Ta thiết lập quan hệ : Phương trình (3.35) gọi quan hệ Parseval Để minh họa ý nghĩa vật lý phương trình (3.35), ta giả sử x(t) bao gồm thành phần tần số Fk = kFp (các hệ số Fourier khác 0): Khi đó, cơng suất trung bình : Px = |Xk|2 Rõ ràng, x(t) bao gồm nhiều thành phần tần số, cơng suất thành phần thứ k tín hiệu Vì vậy, cơng suất trung bình tổng tín hiệu tuần hồn đơn giản tổng cơng suất trung bình tất thành phần tần số tín hiệu Phổ mật độ cơng suất – Phổ biên độ – Phổ pha: |Xk|2 dãy rời rạc theo tần số F k = kFp, k = 0, ±1, ±2, , gọi phổ mật độ cơng suất tín hiệu tuần hồn x(t) Ta thấy, phổ mật độ cơng suất có dạng rời rạc, khoảng cách mẫu kề nghịch đảo chu kỳ Tp Nói chung, hệ số chuỗi Fourier có giá trị phức nên ta thường biểu diễn dạng phasor sau : Giáo trình Xử lý tín hiệu số 69 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Trong : θk = ∠Xk (3.36) Thay vẽ mật độ phổ cơng suất, ta vẽ phổ biên độ {|Xk|}và phổ pha hàm tần số Rõ ràng phổ mật độ cơng suất bình phương phổ biên độ Thông tin pha không xuất phổ mật độ cơng suất Nếu tín hiệu tuần hồn tín hiệu thực, hệ số chuỗi Fourier thỏa mãn điều kiện: Kết : Khi đó, phổ mật độ cơng suất phổ biên độ hàm đối xứng chẵn (đối xứng qua trục tung), phổ pha hàm đối xứng lẻ (đối xứng qua gốc tọa độ) Do tính chất đối xứng, ta cần khảo sát phổ tín hiệu tuần hồn thực miền tần số dương Ngồi ra, tổng lượng trung bình biểu diễn sau : Ví dụ 3.1 : Xác định chuỗi Fourier phổ mật độ công suất chuỗi xung hình chữ nhật (hình 3.5) Giải : Tín hiệu tuần hồn có chu kỳ T p, rõ ràng thỏa mãn điều kiện Dirchlet Vì vậy, ta biểu diễn tín hiệu chuỗi Fourier (3.27) với hệ số xác định phương trình (3.28) Vì tín hiệu x(t) hàm chẵn (nghĩa x(t) = x(-t)) nên để thuận tiện, ta chọn giới hạn tích phân từ (-Tp/2) đến (Tp/2) theo phương trình (3.28) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 70 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Vì x(t) hàm chẳn có giá trị thực, nên hệ số Fourier X k có giá trị thực Phổ pha có giá trị thực, có giá trị X k dương π Xk âm Thay vẽ phổ biên độ phổ pha tách rời nhau, ta vẽ đồ thị X k (Hình 3.6) Ta thấy Xk mẫu tín hiệu liên tục theo tần số F: Hình 3.6.a vẽ dãy Xk (các hệ số Fourier), với chu kỳ không đổi T p = 0,25s hay giá trị τ khác là: τ = 0,05T p; τ = 0,1Tp τ = 0,2Tp Ta thấy tăng τ giữ Tp khơng đổi cơng suất tín hiệu trải dài trục tần số Hình 3.6.b vẽ dãy Xk với τ không đổi thay đổi chu kỳ T p, với Tp = 5τ; Tp = 10τ Tp = 20τ Trong trường hợp khoảng cách hai vạch phổ giảm chu kỳ T p tăng Khi Tp → ∞ τ không đổi) tín hiệu xung chữ nhật (khơng tuần hồn), lúc tín hiệu khơng tín hiệu cơng suất (power signal) mà tín hiệu lượng (energy signal), hệ số Fourier X k→0, cơng suất trung bình Phổ tín hiệu có lượng hữu hạn khảo sát phần sau Phổ mật độ công suất chuỗi xung chữ nhật : Giáo trình Xử lý tín hiệu số 71 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Để thiết lập công thức nội suy khôi phục X(ω) x(n) từ mẫu X(ω)ta xét mối quan hệ x(n) xp(n) Vì xp(n) mở rộng tuần hồn x(n) từ phương trình (3.164), nên ta khơi phục x(n) từ xp(n) khơng có biệt danh hay chồng mẫu miền thời gian Xét trường hợp x(n) dãy có độ dài hữu hạn nhỏ chu kỳ N x p(n) Trường hợp minh họa hình 3.22 (khơng làm tính tổng quát), giả sử mẫu khác x(n) nằm khoảng ≤ n ≤ L-1 L ≤ N thì: x(n) = x p(n) ; ≤ n ≤ N1 Vì x(n) khơi phục từ xp(n) mà khơng bị nhằm lẫn Ngược lại L > N, chiều dài dãy x(n) lớn chu kỳ x p(n) ta khơng thể khơi phục x(n) từ xp(n) có chồng mẫu miền thời gian Kết luận: Phổ tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn có độ dài hữu hạn x(n) hay x(n) khơi phục cách xác từ mẫu phổ tần số, chiều dài L x(n) nhỏ N, N số mẫu lấy khoảng tần số 2π Khi xp(n) tính từ phương (3.168) x(n) khơi phục sau: (3.169) Sau X(ω) tính từ phương trình (3.161) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 99 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Phổ X(ω) xem tín hiệu liên tục theo ω, biểu diễn mẫu X(ωk) k = 0, 1, , N-1 Giả sử N ≥ L, x(n) = x p(n) với ≤ n ≤ N-1, từ phương trình (3.168) ta có : (3.170) Thay phương trình (3.170) phương trình (3.161) ta : (3.171) = Tổng bên dấu ngoặc phương trình (3.171) hàm nội suy dịch miền tần số Thật ta định nghĩa hàm: (3.172) Phương trình (3.170) viết lại : (3.173) Phương trình (3.173) cơng thức nội suy dùng để khơi phục X(ω) từ mẫu Hàm nội suy P(ω) có dạng đồ thị vẽ hình 3.23 Giáo trình Xử lý tín hiệu số 100 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Ví dụ 3.10: Xét tín hiệu : x(n) = anu(n) , < a < phổ tín hiệu lấy mẫu tần số ωk, k = 0, 1, , N-1 Xác định phổ khôi phục với a = 0,8 N = N = 50 Giải : Biến đổi Fourier dãy x(n) : Thay a = 0,8 ω = ωk, ta : Dãy tuần hoàn xp(n) tương ứng với mẫu X(ωk), k = 0, 1, , N-1 thu từ phương trình (3.168), và: với n = 0, 1, , N-1 Kết minh họa hình 3.24 với N = N = 50 Để có so sánh, dãy nguyên thủy x(n) phổ vẽ Ảnh hưởng tượng chồng mẫu rõ trường hợp N = Trong trường hợp N = 50 ảnh hưởng chồng mẫu yếu kết x’(n) ≈ x(n), với n=0, 1, 2, , N-1 3.6 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT - DISCRETE FOURIER TRANFORM) 3.6.1 KHÁI NIỆM Trong phần trước, ta trình bày lấy mẫu miền tần số tín hiệu có lượng hữu hạn khơng tuần hồn Nói chung, mẫu X(ωk) biến đổi Fourier X(ω), với k = 0,1, N-1 không đặc trưng cho dãy x(n) x(n) dãy có độ dài vơ hạn Thay vào đó, mẫu tần số X(ωk) lại tương ứng với dãy tuần hồn xp(n) có chu kỳ N Ở đây, x p(n) dãy tạo từ xếp chồng tuần tuần x(n) Như xác định phương trình (3.164) : (3.174) Khi x(n) có chiều dài hữu hạn L ≤ N x p(n) lặp lại tuần hồn x(n), chu kỳ xp(n) xác định : (3.175) Ngược lại, dãy x(n) khơi phục lại từ x p(n) cách cắt lấy chu kỳ xp(n) nghĩa : (3.176) Giáo trình Xử lý tín hiệu số 101 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Cần khẳng định lại x(n) khơi phục lại từ x p(n) L ≤ N lúc ta coi x(n) có độ dài N cách thêm vào mẫu có giá trị thời điểm L ≤ n Giáo trình Xử lý tín hiệu số 102 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam ≤ N-1 Khi đó, miền tần số mẫu X(ω) X(ω k), với k = 0,1, N-1, biểu diễn cách dãy có độ dài hữu hạn x(n) Ta khôi phục X(ω) từ mẫu nội suy (3.173) Tóm lại, dãy x(n) có độ dài hữu hạn có biến đổi Fourier : cơng thức (3.177) Trong số tổng hàm ý x(n) = với giá trị n khoảng [0, L–1] Khi ta lấy mẫu X(ω) tần số cách ω k, với k = 0,1, N-1 với N ≤ L ta : (3.178) Để thuận tiện, số tổng tăng lên từ L - đến N - 1, x(n) = 0, n ≥ L Ta có: (3.179) Quan hệ (3.179) cơng thức biến đổi dãy {x(n)} có độ dài L ≤ N miền thời gian thành dãy {X(K)} có độ dài N miền tần số Vì mẫu tần số thu cách tính biến đổi Fourier X(ω) tập N tần số rời rạc (cách nhau), nên quan hệ (3.179) gọi biến đổi Fourier rời rạc (DFT) x(n) Ngược lại, quan hệ (3.168) cho phép ta khôi phục x(n) từ mẫu tần số X(K) (3.180) Phương trình (3.180) gọi biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT: Inverse DFT) Khi x(n) có chiều dài L < N, IDFT N điểm cho kết x(n) = với L ≤ n ≤ N-1 Như vậy, ta có cặp cơng thức biến đổi DFT sau : Ví dụ 3.11: Xét dãy có chiều dài hữu hạn L định nghĩa sau : Xác định DFT N điểm dãy với N ≥ L Giải : Biến đổi Fourier dãy : Giáo trình Xử lý tín hiệu số 103 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Biên độ pha X(ω) vẽ hình 3.25 với L = 10 DFT N điểm x(n) đơn giản giá trị X(ω) tập N tần số ωk, k = 0,1, N-1 , vậy: Nếu N chọn cho N = L, DFT trở thành : Ta thấy, trường hợp có giá trị khác DFT Ta kiểm tra lại x(n) khơi phục từ X(K) cách thực biến đổi IDFT L điểm Mặc dù DFT L điểm đủ để đặc trưng cách cho dãy x(n) miền tần số, rõ ràng khơng cung cấp đủ chi tiết để có hình ảnh tốt đặc tính phổ x(n) Nếu muốn có hình ảnh tốt hơn, ta phải ước lượng X(ω) tần số có khoảng cách gần hơn, nghĩa ω k, với N > L Ta thấy cách tính tương đương với kéo dài chiều dài dãy x(n) cách thêm vào N - L mẫu có giá trị Hình 2.26 vẽ đồ thị DFT N điểm, biên độ pha với L = 10, N = 50 N = 100 Ta thấy đặc tính phổ dãy rõ ràng Giáo trình Xử lý tín hiệu số 104 Trường Đại học Điện Lực – Tập đồn Điện Lực Việt Nam Hình 3.26a Biên độ pha DFT N điểm ví dụ 3.11 với L=10 N=50 Hình 3.26 b: Biên độ pha DFT N điểm ví dụ 3.11 với L=10 N =100 DFT IDFT biến đổi tuyến tính dãy {x(n)} {X(K)} Để thấy tính chất ta định nghĩa vectơ X N(n) mẫu tần số ma trận WN bậc N x N sau : Giáo trình Xử lý tín hiệu số 105 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Với định nghĩa DFT N điểm biểu diễn dạng ma trận sau : XN = WN x N (3.185) Ở WN ma trận biến đổi tuyến tính Ta thấy W N ma trận đối xứng Giả sử nghịch đảo W N tồn phương trình (3.185) viết lại sau : (3.186) Đây biểu thức cho IDFT Thực ra, IDFT cho phương trình (3.182) biểu diễn dạng ma trận: (3.187) Ở ma trận liên hợp phức WN So sánh phương trình (3.187) phương trình (3.156) ta suy ra: (3.188) Phương trình (3.188) hàm ý rằng: WN = N.IN với IN ma trận đồng dạng (đơn vị) bậc N x N Do ma trận W N ma trận trực giao Hơn ma trận đảo tồn /N DFT IDFT đóng vai trò quan trọng nhiều ứng dụng xứ lý tín hiệu số như: phân tích phổ, ước lượng phổ mật độ cơng suất, phân tích tương quan, lọc tuyến tính …Có nhiều thuật tốn có hiệu để tính DFT IDFT cách nhanh chóng xác Trong thuật tốn sử dụng rộng rãi gọi biến đổi fourier nhanh (FFT : Fast Fourier Transform) (Tham khảo [11], [4], [7]) 3.6.2 QUAN HỆ GIỮA DFT VÀ CÁC BIẾN ĐỔI KHÁC Trong phần ta tổng kết lại mối quan hệ DFT với số biến đổi khác 3.6.2.1 Quan hệ DFT với hệ số chuỗi Fourier dãy tuần hoàn Một dãy tuần hồn xp(n) với chu kỳ N biểu diễn chuỗi Fourier, ta viết lại: , với ∞ < n < ∞ Trong đó, hệ số chuỗi Fourier cho biểu thức: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 106 (3.189) Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam , với k = 0,1, … , N-1 (3.190) để so sánh, ta viết lại cặp biến đổi DFT: Ta thấy hệ số chuỗi Fourier có dạng với DFT Thật vậy, ta định nghĩa dãy x(n) chu kỳ dãy tuần hoàn xp(n), DFT dãy là: X(k) = N.Xp(k) (3.193) Hơn nữa, phương trình (3.189) có dạng IDFT Vậy, DFT cho ta liên kết đặc tính tần số tín hiệu tuần hồn tín hiệu khơng tuần hồn có độ dài hữu hạn Ghi chú: DFT dãy rời rạc tuần hoàn Từ định nghĩa, ta thấy DFT dãy có độ dài hữu hạn x(n) mẫu X(k) biến đổi Fourier X(ω) tín hiệu rời rạc x(n) Để đến định nghĩa này, ta dựa vào mối quan hệ X(k) hệ số chuỗi Fourier dãy tuần hoàn x p(n), với xp(n) thành lập cách xếp chồng tuần hoàn x(n) với chu kỳ N Ngược lại, với dãy tuần hoàn xp(n) bất kỳ, N mẫu chu kỳ biểu diễn tín hiệu cách đầy đủ miền thời gian, DFT dãy có chiều dài chu kỳ (có quan hệ với hệ số chuỗi Fourier theo phương trình (3.193)) biểu diễn tín hiệu cách đầy đủ miền tần số Vì vậy, cơng thức định nghĩa DFT (3.191) (3.192) áp dụng cho tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N 3.6.2.2 Quan hệ DFT với phổ của dãy có độ dài hữu hạn Xét dãy x(n) khơng tuần hồn có lượng hữu hạn, biến đổi Fourier là: (3.194) X(ω) lấy mẫu N tần số cách nhau, ωk = 2πk/N, k = 0, 1,…, N-1, thì: (3.195) Các thành phần phổ {X(k)} tương ứng với phổ dãy tuần hồn chu kỳ N, là: (3.196) Nếu x(n) tín hiệu lượng hữu hạn, có độ dài vơ hạn, x(n) khơng thể khơi phục xác từ chu kỳ xp(n) Nếu x(n) dãy có độ dài L hữu hạn L ≤ N, ta khơi phục xác x(n) từ xp(n) sau: Trong trường hợp này, IDFT {X(k)} dãy nguyên thủy x(n) 3.6.2.3 Quan hệ DFT biến đổi Z Giáo trình Xử lý tín hiệu số 107 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Xét dãy x(n) có biến đổi Z: với ROC chứa vòng tròn đơn vị Nếu X(z) lấy mẫu N điểm cách vòng tròn đơn vị z k = ej2πk/N, k = 0, 1, 2, …, N-1, ta thu được: , k = 0, 1, 2, …, N-1 (3.198) Ta thấy X(k) phương trình (1.198) đồng dạng với biến đổi Fourier X(ω) lấy mẫu N tần số cách ω k = 2πk/N, k = 0, 1, 2, …, N-1, ngoại trừ số tổng lấy khoảng vô hạn Nếu dãy x(n) có chiều dài N hữu hạn, biến đổi Z biểu diễn hàm DFT X(k) Đó là: (3.199) Vì biến đổi Fourier biến đổi Z lấy vòng tròn đơn vị, ta có: (3.200) Phương trình (3.200) công thức nội suy để khôi phục X(ω) từ DFT 3.6.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC Ta thiết lập mối quan hệ DFT với chuỗi fourier, biến đổi Fourier biến đơi Z tín hiệu rời rạc theo thời gian DFT dạng biểu diễn đặc biệt biến đổi này, nên có tính chất tương tự biến đổi Fourier chuỗi Fourier, nhiên, tồn vài khác biệt quan trọng Trước trình bày tính chất DFT, ta cần tham khảo số khái niệm sau 3.6.3.1 Phép dịch vòng tính đối xứng vòng dãy: Như ta biết, DFT- N điểm dãy x(n) có chiều dài hữu hạn L, với L ≤ N, tương đương với DFT – N điểm dãy tuần hồn x p(n), chu kỳ N, mà thành lập cách xếp tuần hoàn dãy x(n) với chu kỳ N theo phương trình (3.196) Bây giờ, giả sử xp(n) dịch phải k mẫu, dãy tuần hồn thu là: (3.201) Vì ta khảo sát tín hiệu khoảng ≤ n ≤ N – 1, nên dãy có chiều dài hữu hạn tương ứng là: x|(n) quan hệ với dãy nguyên thủy x(n) phép dịch vòng Hình 3.27 minh họa phép dịch vòng với N = Giáo trình Xử lý tín hiệu số 108 Trường Đại học Điện Lực – Tập đồn Điện Lực Việt Nam Định nghĩa phép dịch vòng: dịch vòng số modulo N (ta gọi tắt dịch vòng modulo N) dãy x(n) có chiều dài hữu hạn L, với L ≤ N phép dịch mà theo mẫu khỏi khoảng [0,N-1] quay vòng lại đầu Nếu x|(n) tín hiệu thu phép dịch vòng k mẫu modulo N dãy x(n), ta ký hiệu: x|(n) = x(n – k,(mod N)) (3.203) Ví dụ: k = N = 4, ta có: x|(n) = x(n – 2,(mod 4)) cụ thể là: x|(0) = x(– 2,(mod 4))= x(2) x|(1) = x(–1,(mod 4)) = x(3) x|(2)= x(0,(mod 4))= x(0) x|(3) = x(1,(mod 4)) = x(1) Một cách hình ảnh, ta coi phép dịch vòng mẫu thu cửa sổ có chiều dài N đứng yên dãy tuần hoàn xp(n) dịch ngang qua cửa sổ Thay biểu diễn N mẫu, từ đến N–1, dọc theo trục nằm ngang, để thuận tiện ta xếp chúng vòng tròn chọn chiều dương Ở đây, ta chọn chiều dương ngược chiều kim đồng hồ Các mẫu dãy x(n) (hay x|(n)) giá trị chúng ghi bên cạnh điểm tương ứng (Hình 3.28) Ta thấy, giữ cố định điểm quay tập Giáo trình Xử lý tín hiệu số 109 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam giá trị k mẫu (theo chiều dương k>0, ngược chiều dương k