Soạn dạy : GV Nguyễn Trung Đăng Bài tập hình không gian đại cơng Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi K, M, N lần l ợt là trung điểm AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng với O qua K, I = CE (OMN). Chứng minh: CE (OMN). Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a, các cạnh bên bằng nhau và bằng a 2 . a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. b) Gọi M, N, E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, CD, SC, SD. CMR: SN (MEF). Gọi K là điểm trên cạnh AD sao cho 3 a AK = . Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng MN và SK. Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a. a) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng AD' và B'C. b) Gọi M là điểm AD sao cho 3 AM MD = . Tính khoảng cách từ M tới (AB'C). c) Tính thể tích tứ diện AB'D'C. Bài 4: Cho ABC đều cạnh a. Trên đờng thẳng d vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của ABC, K là trực tâm của BCM. CMR: MC (BHK), HK (BMC). Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp K.ABC. Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc 60 0 . Mặt phẳng (P) AB cắt SC, SD tại M, N. Biết góc giữa (P) và (ABC) bằng 30 0 . a) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính ABMN S . b) Tính .S ABMN V theo a. Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng (0 o < < 90 o ). Tính tan của các góc giữa hai mp(SAB) và (ABCD) theo . Tính thể tích S.ABCD theo . Bài 7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng (AMN) (SBC). Bài 8. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD). Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, chiều cao SO = 2 6a . Mp( ) qua A vuông gócvới SC cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D. tính thể tích hình chóp S.ABCD và diện tích tứ giác ABCD. Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = SB = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp. Bài 11. Cho tứ diện ABCD với các mặt (ABC), (ACD), (ADB) là tam giác vuông tại A. Gọi h là đ ờng cao xuất phát từ A của tứ diện ABCD. CMR : 2222 1111 ADACABh ++= . Bài 12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh BC = a. Trên đờng thẳng d (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(SBC) và (ABC) bằng 60 o . Hãy tính độ dài đoạn thẳng SA theo a. Bài 13. Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, góc BAC = 120 o , cạnh bên BB = a. Gọi I là trung điểm của CC. CMR tam giác ABI vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (ABI). Bài 14. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD. Tìm điểm M thuộc cạnh AA sao cho mp(BDM) cắt hình lập phơng theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 15 Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc (0 o < < 90 o ). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 1. http://toanphothong.violet.vn Soạn dạy : GV Nguyễn Trung Đăng Bài 16 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại B, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. CMR AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a. Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đờng thẳng BE. Bài 18 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đờng thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(ABC) và (SBC) bằng 60 o . Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a. Bài 19 Tính thể tích tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng 60 o . Bài 20. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a = 26 cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng AD và BC. Bài 21. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AOB = AOC = 60 o ; BOC = 90 o . Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và CMR tam giác ABC vuông. CM OA CB. Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy, SA = a. Kẻ AH SB, AK SD. a. CMR SC (AHK). b. Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mp(AHK). Tính diện tích của thiết diện đó. Bài 23. Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại đều bằng a 2 a. CMR các góc CAD và CBD bằng 1 vuông b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD c. CMR hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau Bài 24. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD với cạnh bằng a a. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA và BD. b. CMR đờng chéo BD vuông góc với mp(DAC). Bài 25. Trong mp( ) cho đờng tròn (T) đờng kính AB = 2R. Gọi C là một điểm di động trên (T). Trên đờng thẳng d qua A và vuông góc với mp( ) lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ AH SB, AK SC a. Chứng minh AK (SBC), SB (AHK) b. Tìm quỹ tích điểm K khi C thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK Bài 26. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2 và CD = 2a. a. CMR AB CD. Hãy xác định đờng vuông góc chung của AB và CD. b. Tính thể tích tứ diện ABCD. c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác ABC. Bài 27. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ASB = 120 o , BSC = 60 o , ASC = 90 o . CM ABC vuông. Tính thể tích tứ diện SABC. Bài 28. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 62 . Điểm M, N là trung điểm các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó. Bài 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Tính khoảng cách từ tâm mặt dáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp. Bài 30. Cho tứ diện ABCD. Một mp ( ) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB lần lợt tại M, N, P, Q. CM tứ giác MNPQ là hình bình hành. Xác định vị trí của ( ) để cho diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất. Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mp đáy, SA = AB = a. Tính diện tích tam giác SBD theo a. CMR BD SC. Tính góc giữa đờng thẳng SC và mp(SBD). 2. http://toanphothong.violet.vn Soạn dạy : GV Nguyễn Trung Đăng Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AD = 2a, AB = BC = CD = a, đ ờng cao SO = 3a trong đó O là trung điểm của AD. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Gọi ( ) là mp qua A và vuông góc với SD. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp ( ). Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lớt trên các cạnh SB, SD sao cho: 2 == DN SN BM SM a. Mp(AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số SP/CP. b. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD. Bài 33 Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) tại A, lấy điểm S sao cho SA = h (h > 0). M là một điểm di động trên cạnh SB. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của BC, AB a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SI và AB. b. Tính tỉ số giữa thể tích các hình chóp B.MIJ và B.SCA khi độ dài đoạn vuông góc chung của AC và MJ đạt giá trị lớn nhất. Bài 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, (SBC) (ABC) và SA = SB = a.CMR SBC vuông tại S. Bài 35 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc BAD = 60 0 , SA = SB = a a. CMR : (SAC) (ABCD) và SB BC. b. Tính góc giữa (SBD) và (ABCD). c. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. d. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD. Bài 36 Cho hình chóp SABC có (SBC) (ABC), ABC vuông tại A, góc ABC = , SBC là tam giác đều cạnh a. a. Xác định chân đờng cao H của hình chóp. b. Tính góc giữa (SAC) và (ABC). c. Tính khoảng cách từ H đến (SAC). d. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. e. Tìm tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 37 Cho đờng tròn đờng kính 2R = AB nằm trong mặt phẳng (P). Điểm M nằm trên đờng tròn sao cho góc MAB = . Trên đờng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S , SA = h. Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A lên SM, SB. a. Tính khoảng cách từ H đến (P). b. Chứng minh AH (SBM). c. Gọi T = HK (P). Chứng minh AT là tiếp tuyến của đờng tròn. d. Trong trờng hợp h = 2R, = 30 0 . Tính V(SAHK). Bài 38.Cho hình chóp đỉnh S, đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, các cạnh bên của hình chóp bằng a và cùng tạo với đáy một góc . CMR : a. Chân đờng cao H của hình chóp trùng với trung điểm của cạnh BC. b. Góc SBC = . c. Thể tích hình chóp V = 3 sin . d. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a và . Bài 39.Trên nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R lấy một điểm C tuỳ ý. Kẻ CH AB (H AB). Gọi I là trung điểm CH. Trên một nửa đờng thẳng It (ABC) tại I lấy điểm S sao cho góc ASB = 90 0 . a. Tính góc giữa (SAB) và (ABC). b. Đặt AH = x, tính thể tích tứ diện SABC. Với giá trị nào của x thì V(SABC) max. c. CMR khi C chạy trên nửa đờng tròn đã cho thì mặt phẳng (SAB) cố định. d. CMR khi C chạy trên nửa đờng tròn đã cho thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI chạy trên một đờng thẳng cố định. 3. http://toanphothong.violet.vn So¹n d¹y : GV NguyÔn Trung §¨ng 4. http://toanphothong.violet.vn . ờng cao xuất phát từ A của tứ diện ABCD. CMR : 2222 1111 ADACABh ++= . Bài 12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh BC = a. Trên đờng thẳng d (ABC). trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, góc BAC = 120 o , cạnh bên BB = a. Gọi I là trung điểm của CC. CMR tam giác ABI vuông