I Kiến thức sử dụng Hằng đẳng thức đáng nhớ (lớp 8) (a + b) = a2 + 2ab + b2 (a - b) = a2 - 2ab + b2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) Hằng đẳng thức  A A ≥ A2 = A =  − A A < II Khai thác tốn Ta có toán gốc SGK toán Bài toán 1: Tính (1 − 2 ) Bài tốn hầu hết lớp làm đưụơc làm nhanh, áp dụng đẳng thức (1 − 2 ) A = A ta có: = 1− 2 = 2 −1 Ta mở rộng tốn hay, khó (1 − 2 ) Làm vết bình phương (1 − 2 ) ( ) = 12 − + 2 = 1− + = 9−4 Ta có đề sau: Bài tốn 2: Tính − Lúc người làm được, học sinh làm khơng biết biến đổi Cách giải: Ta biến đổi ngược lại người đề: − = 1− + = 12 − 2.2 + (2 ) = (1 − 2 ) (1 − 2 ) Từ toán suy = 1− 2 = 2 −1 Nhận xét: Như ta phải tách = + = 2.2 Câu hỏi đặt ra: Nếu khơng vết đề biết tách = + 1? Đâu gốc? Nhìn vào đâu để tách? Ta phải dựa vào gốc: = 2.2 2.1 2 số thứ nhất; số thứ đẳng thứuc (a – b)2 = a2-2ab + b2 Và 12 + ( 2 )2 = + = cho ta tách = + Ghép thêm tương tự: + ta có tốn Bài tốn 3: Tính (rút gọn) M = − + + Lời giải: M = M= (2 (2 ) 2 −1 ) − 2.2 + 12 + (2 + +1 (2 ) + 2.2 + 12 ) M = 2 −1 + 2 +1 M = 2 −1+ 2 +1 = Kết hợp với trục thức mẫu ta có tốn Bài tốn 4: Tính (rút gọn) N= N= 9−4 + 9+4 −1 −1 = ( ) ( −1 = −1 −1 ) Câu hỏi đặt ra: Nếu = 2.2 Số thứ Số thứ 22 + ( 2) = 4+2=6 Ta có tốn 5: Tính a) 6−4 b) 6+4 ( Dựa vào gốc = 2.2 2 + 2 = ) Cho ta tách = + − = 2 − 2 + a) ( 2) = (2 − ) = − = − b) + = + Ngoài ra: 6−4 + 6+4 =2− +2+ =4 − − + = − − − = −2 Bài toán 6: Rút gọn: P = 6−4 + 6+4 7+ P= 7+ + 3− = + 3− 4( − ) 3+ + 7−3 3−2 = 7− 3+ 3+ 2= + Nhận xét: Như = 2.2 2 tách thành tích hai số: 2 2 Sẽ cho ta tách số lại thành số Ta chuyển thành tốn Bài tốn 7: Tính a )Q = − 32 b) R = + 32 Lời giải: Ta gọi lại dấu vết lần tích cách đưa thừa số ngồi làm 32 = 16.2 = Ta quay tốn Tương tự ta có loạt toán a ) − 15 − + 15 b) + 24 c ) 14 + d ) − 28 Lời giải: − − + = − + − + + a) = ( 5− ) − ( 5+ ) = − − − = −2 b) + 24 = + =  +  = +   (3 + ) c) 14 + = + 2.3 + = ( d) − 28 = − = −1 ) = 3+ = −1 Bài toán 8: Những toán rút gọn tính a) C =  + x  1(1 − x )  − x   : + x − x   1+ x  + x   − x Khi x = + 2 x 1+ x2 Rút gọn C = x = + 2 = ( + 1) = + C= 1+ ( +1 ) +1 b) Cho y = = 1+ ( 2+ ) +1 = 2 ( = ) +1 2 x − 11 x−2 −3 Tính giá trị y lúc x = 23 - 12 - Ta có x – = 23 – 12 = 21 − 12 = − 2.3.2 + 12 ( = 3− ) = (2 −3 ) ⇒ x−2 = −3 Khi y = x − 11 x −2 −3 = = = 23 − 12 − 11 −3−3 = 12 − 12 3 −6 ( ) = 12(1 − ) = 12 2( − 3) (1 − ) 12 − = =2 3 Bài toán 9: Chứng minh A ∈ Z B ∈ Z với A = − − + 5;B = 3−2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 Bài giải A = − 5.1 + − + 5.1 + = ( ) −1 − ( ) +1 = − − − = −2 Chứng tỏ A ∈ Z B= − 2 + − 2.3.2 + +8 ( − 1) (3 − 2 ) B= B= − + 2 +1 + 2.3.2 + ( + 1) (3 + 2 ) − 2 = −1 3−2 − +1 3+ 2 −3+ 4−2 −3 + 4−3+ 2 =2 9−8 Chứng tỏ B ∈ Z Bài toán 10: So sánh hai số: + − − − * Nhận xét: + - đưa dạng (a + b) (a - b)2 Tạo hai lần tích cách + = (4 + ).2 = ( ⇒ 4+ = Tương tự ⇒ − = Vậy +1 2 +1 −1 2−2 − − 2= − 2= =0 2 2 + − − − =0 Bài tốn 11: Tính a) A1 = − − + b) So sánh − − + - Lời giải: −1 4+ − 4− − = Do ) +1 6−2 a )3 − = = 6+2 3+ = = ( ( ) −1 −1 ⇒ 3− = 2 ) +1 +1 ⇒ 3+ = 2 ⇒ A1 = − − + = Do đó: −1 − +1 = −2 =− 3− − 3+ = − Tương tự phần b Bài tập làm thêm Bài 1: Tính ( A) − ) B) + 2 C ) 31 − 432 D ) 19 + 192 − 16 − 192 Bài 2: Cho N = a ab + b Tính N a = + b ab − a − a+b + 3;b = − Bài 3: So sánh a ) + − − b) + 35 − − 35 10 Bài tốn 12: Tính + − 32 = + + 32 = 2 + + + 32 = + 2 = ( Bài tốn 13: Tính + + 32 − 32 = 2 = ( Bài tốn 14: Tính −1 ab ) ) +1 2 + + + − 32 a) b) + + − 32 Lời giải: + + +1 = + 2 = +1 a) ( ) b) + + − 32 = + 2 + = + 2 = + Cùng với kỹ tách biểu thức ta có toán thi vào trường chuyên Xuất phát từ vấn đề: ( ) ( ( ) ( ) 2004 2  1002 2002 2004 1002  10 −  = 10 − 2.10 + = 10 − − 2(10 − 1)  9 9 2004 1002 2004 so = 10 − − 10 − = − 1002 so = 4(1 1) − 8.(1 1) = 4 − 8 = k 9 9 2004 so 1002 so 2004 so 1002 so Bài tốn tính A = ) 4 − 8 1002 so 2004 so Nhận xét: Đây tốn khó đòi hỏi kỹ phân tích cao Bài tốn: Tính S = + 99 + (0,9 9) 2004 so ( S = + 10 S= 2004  10 2004  − +  2004   10  ) 2004 so 2 ( ) (102004 ) + (102004 − 1) (102004 ) + 102004 − (10 2004 ) S= (102004 ) + (102004 ) − 2(102004 ).102004 + (10 2004 ) + (10 2004 − 1) 2004 10 S=  10 2004  − 2(10 2004 ) 10 2004 − + 10 2004 −  102004  ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 102004 − 102004 − 1 2004 2004   S = 2004 10 − 10 − =   10 102004 S = 10 2004 − 0,9 ( 2004 so Bài tập làm thêm ) ( ) a ) 11 155 56 nchuso n −1chuso b) 22499 9100 09 n − zchuso nchuso Ta có tốn 15: Rút gọn áp dụng: (1 − x −1 ) 2 = A ĐK x ≥ (1 − x − ) = − x − *Nếu 1- x − ≥ ⇔ ≥ x − ⇔ ≥ x-1 ⇔ ≤ x ≤ ⇒ − x − =1- x − Nếu 1- x − 2 ⇒ − x − = x − -1 Có thể đề:Giải phương trình (1 − x − ) =2 Cũng làm tương tựta lầm dấu vết bình phương hiệu (1- x − )2=1-2 x − +x-1=x-2 x − Ra đề rút gọn x − x − tốn Hoặc giải phương trình : x − x − =3.Kết hợp nâng cao tốn: Bài tốn 16:Giải phương trình: x − + x − + 11 + x + x − =8(Đề Thi vào 10) Bài giải ĐK:x ≥ x −1+ x − + 11 + x + x − =8 ⇔ x − + x − 5.2 + + x − + x − 5.2 + 16 =8 ⇔ (2 + x − ) + ( + x − ) =8 ⇔ 2+ x − +4+ x − =8 ⇔ x − =2 ⇔ x − =1 ⇔ x-5=1 ⇔ x=6(t/m).Vậy x=6 nghiêm phương trình Bài tốn 17: Giải phương trình: x+ x+ 1 + x + =2 (Đề thi vào 10 chuyênĐHTHHN) Hướng dẫn giải x+ x+ ⇔ x+ ( x + x+ Đặt ⇔ t2+t- ⇒ x+ 1 + x + =2 ;ĐK x ≥ 4 1 1 1 + ) =2 ⇔ x+ x + + =2 ⇔ x+ + x + + - =0 4 4 4 =t ; ĐK t ≥ =0 ⇔ 4t2+4t-7=0 ⇔ t1= −2+4 −2−4 ;t= (loại) 4 − + −1+ 2 −1+ 2 = = ⇒ x+ = 2 4 ⇒ x=2- Vậy x=2- nghiệm phương trình *Nắm gốc tốn khơng có khó khăn Bài tốn 18:Tìm giá trị nhỏ của: y= x + x − + x − x −1 Vẫn gốc x+2 x − =x-1+2 x − +1=( x − -1)2 Do y= x − + + x − − ⇔ y= ⇒ y= x − + + − x − áp dụng a + b ≥ a + b x −1 +1 + x −1 −1 ≥ x − + 11 − x − ⇒ y ≥ Vậy Min y=2 ( x − + 1) ( − x − 1) ≥ x ≥ 1-(x-1) ≥ ⇒ ≤ x ≤ Bài toán 19:(HSG TPHCM 91-92) Cho M= a + − a − + a + 15 − a − a/Tìm điều kiên a để M xác định b/Tính giá trị nhỏ M giá trị tương úng a Bài giải a/ ĐK a ≥ a+3 ≥ a − a+15 ≥ a − b/ M= a − − a − + + a − − a − + 16 M= ( a − − 2) + ( a − − 4) M= a − − + a − − M= a − − + − a − ≥ a −1 − + − a −1 M ≥ Min y=2 ( a − − 2) ( − a − 1) ≥ ⇔ ≤ x ≤ 17 Với phương pháp tương tự ta có tốn: Bài toán 20:Cho A= x −1− x −1 +1 + x −1+ x −1 +1 x − 4x + (1 − ) x −1 a/Với x A có nghĩa b/Rút gọn A Bài toán 21: Cho A= x+4 x−4 + x−4 x−4 1− 16 + x x2 Rút gọn tìm giá tri ngun x để A có giá trị nguyên Bài toán 22:Cho A = x −1− x − x − −1 Tìm điều kiện x để A có nghĩa 2/Tính A2 3/Rút gọn A TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-NH: 2019-2020 Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt trực tiếp tại: https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6 Quý thầy cô nhận bạn file WORD Zalo 0918.972.605