Phòng giáo dục Thị x Phú Thọ ã trờng THCS hà thạch -------- ------- sáng kiến kinh nghiệm Một số vấn đề về phơng trình và hệ phơng trình Trong chơng trình Toán THCS Ngời thực hiện: Trần Thanh Nghị Tổ: Toán - Lý Hà Thạch, năm 2006 1 Lời nói đầu Toán học có vị trí, vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật và trong đời sống, nó giúp học sinh tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác. Trong bộ môn toán phần phơng trình và hệ phơng trình đợc coi là có vị trí và vai trò quan trọng trong suốt chơng trình Toán THCS. Việc dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình đợc ứng dụng nhiều trong các bậc học cao hơn, cũng nh trong các môn khoa học giáo dục khác. Kiến thức về phơng trình và hệ phơng trình cũng đợc ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Tuy nhiên việc tìm ra cách dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình một cách có hiệu quả nhất còn rất nhiều vấn đề còn nghiên cứu. ở đây tôi chỉ xin đề cập một phần nhỏ về một số dạng phơng trình (từ bậc 2 trở lên) và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải. Vấn đề này đã đợc đa và giảng dạy ở chơng trình toán học lớp 8, 9 một cách tờng minh. Song đối với một số học sinh khá giỏi ngoài một số phơng trình và hệ phơng trình cơ bản nh trong SGK ta có thể mở rộng cho học sinh nắm bắt đợc một số phơng trình khác, một số bài tập cho ở hình thức khác nhau nh: Các dạng toán về phơng trình bậc 2; Phơng trình đại số bậc cao; Phơng trình đối xứng; Phơng trình phân thức hữu tỷ; Phơng trình vô tỷ; và các dạng hệ phơng trình. Do thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm còn nhiều hạn chế vì vậy còn nhiều thiếu sót. Kính mong các đồng nghiệp góp ý để cho sáng kiến đợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 2 Phần mở đầu: Đặt vấn đề A - Lý do chọn sáng kiến - Phần phơng trình và hệ phơng trình có vị trí quan trọng trong Toán học nói chung đặc biệt trong phân môn Đại Số nói riêng. Nó là công cụ nghiên cứu hiệu lực của Toán học, mở đờng cho Toán học thâm nhập và phục vụ đắc lực các ngành khoa học tự nhiên cũng nh khoa học xã hội. Nghiên cứu đề tài phơng trình và hệ phơng trình giúp giáo viên nắm vững nội dung phần phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này ở THCS có cho phù hợp và đạt hiệu quả. Khi tìm hiểu về việc dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình đặc biệt là phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình và một số vấn đề nâng cao về ph- ơng trình và hệ phơng trình ở học sinh còn nhiều hạn chế. Do phân bố chơng trình tiết học các em không thể nắm bắt hết sự đa dạng của các bài toán về phơng trình và hệ phơng trình. Một nguyên nhân nữa là ta cha đào sâu suy nghĩ, đông thời do tính đa dạng phong phú củacủa Toán học thật khó có thể đúc kết đợc nguyên tắc từ đó tìm đợc"Chìa khoá"giải quyết các vấn đề. Nếu giáo viên trang bị cho các em kiến thức cơ bản của từng dạng Toán thì các em có thể nhận diện và giải quyết các dạng Toán về phơng trình và hệ phơng trình dễ dàng hơn. Vấn đề giải phơng trình và hệ phơng trình còn nhiều ứng dụng của các bậc học cao hơn cũng nh trong các bộ môn khoa học khác. Vì vậy việc nắm chắc các dạng toán và phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình là cần thiết cho việc dạy và học. B. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. 1- Mục đích nghiên cứu: Nghiên đề tài phơng trình và hệ phơng trình giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phơng pháp dạy học phần này cho học sinh có hiệu quả. Nghiên cứu về sáng kiến để nắm đợc thuận lợi và khó khăn khi dạy học phần phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xá định hớng nâng cao chất lợng dạy và học môn Toán. Nghiên cứu sáng kiến giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công một số dạng toán về phơng trình và hệ phơng trình. 3 2- Nhiệm vụ nghiên cứu: Xác định vai trò của phần phơng trình và hệ phơng trình trong chơng trình Toán THCS và những yêu cầu khi giảng dạy phần này. Xác định một số dạng phơng trình và hệ phơng trình cần thiét và phơng pháp giải từng dạng phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xây dựng phơng pháp dạy cho học sinh đặc biẹt là học sinh khá giỏi. Nghiên cứu giảng dạy, tổng kết rút kinh nghiệm về một số dạng phơng trình và hệ phơng trình. C. Đối tợng nghiên cứu. 1- Nghiên cứu phần phơng trình và hệ phơng trình trong chơng trình Toán THCS. 2- Nghiên cứu các tài liệu liên quan. 3- Giáo viên giảng dạy Toán THCS và học sinh đặc biệt là khối 8 và khối 9 D. Các phơng pháp nghiên cứu. 1- Phơng pháp nghiên cứu lý luận. 2- Phơng pháp phân tích tổng hợp kinh nghiệm giáo dục và bớc đầu thực nghiệm. 4 Phần nội dung. A. cơ sở lý luận. 1- Phơng trình và hệ phơng trình có vai trò và tầm quan trọng to lớn trong chơng trình Toán THCS đặc biệt là phân môn Đại Số. Mảng kiến thức về phơng trình và hệ phơng trình chiếm nội dung tơng đối nhiều trong chơng trình toán THCS. Nó không chỉ thể hiện trực tiếp trong nội dung về phơng trình và hệ phơng trình mà còn thể hiện trong các chuyên mục khácdới những cách trình bày thích hợp khác nhau. 2- ở lớp 6, lớp 7 phơng trình và hệ phơng trình đợc cho dới dạng ẩn tàng thông qua dạng Toán tìm x; tìm các số a; b khi biết điều kiện; tìm giá trị của biến để giá trị của hai biểu thức bằng nhau; tìm các giá trị của biến tơng ứng với các giá trị của hàm ở lớp 8, lớp 9 kiến thức về phơng trình và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải đợc trình bày rõ ràng, học sinh đợc học từng dạng phơng trình từ đơn giản đến phức tạp. Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy của giáo viên và việc học của học sinh cho thấy việc nắm kiến thức của học sinh cond nhiều hạn chế. Đối với các dạng toán về phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 (a 0), phơng trình tích A.B.C = 0 (A,B,C là các đa thức ẩn x), nhìn chung học sinh nắm đợc kiến thức khá tốt và giải quyết đợc hầu hết các dạng cho của phơng trình bậc nhất, phơng trình tích. Riêng phàn phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, phơng trình bậc hai, hệ phơng trình học sinh nắm kiến thức còn máy móc thiếu linh hoạt chỉ quen những dạng bài tập ra nh SGK, do đó học sinh còn lúng túng trớc những bài tập về phơng trình và hệ phơng trình cho dới những hình thức khác với cách giải tổng hợp, vận dụng linh hoạt nhièu kiến thức. Đồng thời việc giải phơng trình bậc lớn hơn 2 thờng gây không ít cho học sinh khá giỏi. 3- Xuất phát từ vị trí vai trò, tầm quan trọng của phần phơng trình và hệ ph- ơng trình trong chơng trình Đại Số THCS. Giáo viên cần phải xác định đợc yêu cầu của giảng dạy phần này cho học sinh THCS cũn nh việc bồi dỡng nâng cao cho học sinh khá giỏi. Trong quá trình giảng dạy về phơng trình và hệ phơng trình giáo viên cần phải đi từ cái cụ thể đến trừu tợng rồi lại đến cái cụ thể (Nguyên lý Trực quan - T duy - Thực tiễn ). Giáo viên cần phải phân chia cho học sinh từng dạng phơng trình và hệ phơng trình cùng các phơng pháp giải và cần đợc trực tiếp củng cố 5 trong suốt quá trình dạy và học qua những dạng bài tập dới các hình thức khác nhau. Trớc tiên cần phải cho học sinh nắm đợc kiến thức cơ bản về các dạng phơng trình và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải nh SGK Đại Số 8, 9: Phơng trình bậc nhất một ẩn; Phơng trình tích; Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức; Phơng trình bậc hai một ẩn; Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn Đồng thời giáo viên phải đào sâu, mở rộng, cụ thể hoá, tổng quát hoá từng dạng phơng trình cho học sinh và các dạng bài tập cho dới các hình thức khác nhâu. Từ đó phát huy đợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh nắm kiến thức chắc chắn và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải phơng trình và hệ phơng trình dới các dạng khác nhau. B Nội dung. 1- Phơng trình. 1.1. Ph ơng trình bậc hai một ẩn: a) Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn có dạng: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) b) Cách giải: Dùng biệt số hoặc ' * Phơng trình bậc hai khuyết c (c = 0): Dạng ax 2 + bx = 0 ta đa phơng trình về dạng phơng trình tích: x( ax + b) =0. * Phơng trình bậc hai khuyết b (b = 0): Dạng ax 2 + c = 0 ta đa phơng trình về dạng phơng trình : x 2 = a c (a 0). * Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) Ta lập biệt số = b 2 - 4ac (hoặc ' = b' 2 - ac với b = 2b' ). - Nếu < 0 ( hoặc ' < 0 ): Phơng trình vô nghiệm - Nếu = 0 ( hoặc ' = 0 ): Phơng trình có nghiện kép x 1 = x 2 = ) ' ( 2 a b a b = - Nếu > 0 ( hoặc ' > 0 ): Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = a b 2 (x 1,2 = a b '' ) c) Định lý Vi-ét: * Định lý thuận: Phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0). Nếu phơng trình có nghiệm thì: x 1 + x 2 = a b và x 1 .x 2 = a c ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0). Nếu có: a + b + c = 0 thì x 1 = 1; x 2 = a c 6 Nếu có: a - b + c = 0 thì x 1 = -1; x 2 =- a c ứng dụng 2: xét dấu các nghiệm phơng trình : ax 2 + bx + c = 0 ( a 0). S = x 1 + x 2 = a b P= x 1 .x 2 = a c Điều kiện phơng trình có: - Hai nghiệm trái dấu: P < 0 - Hai nghiệm cùng dấu: 0; P > 0 - Hai nghiệm dơng: 0; P > 0 ; S > 0 - Hai nghiệm âm: 0; P > 0 ; S < 0 * Định lý thuận: Nếu có hai số x 1 , x 2 sao cho x 1 + x 2 = S và x 1 .x 2 = P thì x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình X 2 - SX + P = 0 . ứng dụng: - Tính nhẩm nghiệm. - Lập phơng trình bậc hai biết các nghiệm. d) Một số dạng toán về phơng trình bậc hai: Dạng 1: Giải và biện luận ph ơng trình: Ví dụ 1: cho phơng trình: (m 2 - m - 2)x 2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 (1) ( m là tham số ) a) Giải phơng trình (1) với m = 1 b) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) chỉ có 1 nghiệm. Giải. a) Với m = 1 phơng trình trở thành: -2x 2 + 4x + 1 = 0 2x 2 - 4x - 1 = 0 Có ' = (-2) 2 - 2.(-1) = 6 > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 2 62 ; x 2 = 2 62 + b) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có: a=(m 2 - m - 2); b=2(m + 1); c= 1 Điều kiện để phơng trình (1) có 2 nghiệm là: a 0 (2) ' > 0 (3) Giải (2): a 0 m 2 - m - 2 0 (m + 1)(m - 2) 0 2 1 m m Giải (3): ' > 0 (m + 1) 2 - (m 2 - m - 2) > 0 3m + 3 > 0 M > -1 7 Vậy điều kiện phải tìm là > 2 1 m m c) Điều kiện để phơng trình (1) có 1 nghiệm là: Nếu: m = -1 Phơng trình (1) 0x + 1 = 0 phơng trình vô nghiệm Nếu: m = 2 Phơng trình (1) 6x + 1 = 0 phơng trình có nghiệm x= 6 1 Nếu m -1; m 2 phơng trình (1) là phơng trình bậc hai, nó có 1 nghiệm (nghiệm kép) khi ' = 0 3m + m = 0 m = -1 Trái với điều kiện trên. Vậy phơng trình (1) có một nghiệm m = 2. Ví dụ 2: Xác dịnh m để phơng trình: 2x 2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 (1) có hai nghiệm thoả mãn: 3x 1 - 4x 2 = 11 Giải. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có: a= 2 ; b=2m - 1 ; c= m - 1 Biệt số = b 2 - 4ac = (2m - 1) 2 - 4.2.(m - 1)= 4m 2 - 12m + 9 = (2m - 3) 2 > 0 m Đến đây có 2 cách giải: Cách 1: Vì (2m-3) 2 0 nên phơng trình có hai nghiệm: x 1,2 = a b 2 = 4 32)12( mm thay vào biểu thức : 3x 1 - 4x 2 =11 ta có hai giá trị m 1 = 8 33 và m 2 = -2 thoả mãn. Vì 0 nên theo viét ta có: = =+ (**) 2 1 . (*) 2 21 21 21 m xx m xx Do 3x 1 - 4x 2 =11 x 1 = 3 411 2 x + thay vào(*)ta có x 1 = 7 413 m + và x 2 = 14 )619( m + Thay vào (**) ta có cũng có hai giá trị m 1 = 8 33 và m 2 = -2 thoả mãn. Bài tập tơng tự: 1- Cho phơng trình : mx 2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0. Tìm giá trị của m để phơng trình: a) Có nghiệm kép. b) Có hai nghiệm phân biệt. 8 c) Vô nghiệm. 2- Giải và biện luận theo tham số m phơng trình: (m 2 - m)x 2 + 2mx + 1 = 0 Dạng 2: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm: * Phơng pháp: Để chứng minh phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0( a 0) có nghiệm Cách 1: Chứng tỏ rằng: 0. Cách 2: Chứng tỏ rằng tích a.c < 0 (Vì a.c < 0 thì = b 2 -4ac>0) Ví dụ 3: Cho phơng trình mx 2 - 2(m + 1)x + (m -4) = 0 (1) với m là tham số a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. c) Xác định m để hai nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình thoả mãn x 1 + 4x 2 =3. d) Tìm một hệ thức giữa x 1 và x 2 mà không phụ thuộc vào m. Giải. a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. +) Nếu m = 0 phơng trình (1) có dạng -2x - 4 = 0 có một nghiệm x = -2 +) Nếu m 0 Thì ta có: ' = (m + 1) 2 - m(m - 4) = 6m + 1 Để (1) có nghiệm thì ' 0 6m + 1 0 m 6 1 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì < > 0 0' 0 P m < > 0 4 6 1 0 m m m m << > 40 6 1 0 m m m 0 < m < 4 Vậy với 0 < m < 4 thì phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu. c) Xác định m để hai nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình thoả mãn x 1 + 4x 2 =3. 9 Để hai nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình (1) thoả mãn x 1 + 4x 2 =3 thì > =+ = + =+ )5( 6 1 )4(34 )3( 4 . )2( )1(2 21 21 21 m xx m m xx m m xx Từ (4) x 1 = 3 - 4x 2 thay vào (2) ta đợc x 2 = m m 3 2 x 1 = m m 3 85 + Thay x 1 , x 2 vào (3) đợc m m mm mm 4 3.3 )85)(2( = + mmmmm 369161085 22 =+ 08172 2 =+ mm m =8; m = 2 1 ( cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện (5)) d) Tìm một hệ thức giữa x 1 và x 2 mà không phụ thuộc vào m. Phơng pháp: - Viết hệ thức viét: = = a c P a b S (*) - Khử ẩn m từ (*) ta có một hệ thức giữa x 1 và x 2 mà không phụ thuộc vào Cụ thể: = + = m m P m m S 4 22 = += m P m S 4 1 2 2 = = )2(21 2 2 SP s m P = 5- 2S 2(x 1 + x 2 )+ x 1 .x 2 = 5 Ví dụ 4: Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b. (a+1)x 2 - 2(a+b)x + (b+1) = 0 (1) Giải. * Với a = -1 khi đó phơng trình (1) trở thành: - 2(b-1)x = - (b-1) (2) Nếu b -1 thì phơng trình (2) có nghiệm x = 2 1 10 [...]... sau đó thế vào một phơng trình và tìm nghiệm + Cách 2: Xét x = 0, xét x 0 và đặt y = kx thay vào hai phơng trình rồi khử x tìm k x 2 xy y 2 = 1 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: 2 x 2 3xy + 4 y 2 = 3 (2) Giải Cách 1: Nhân (1) với 3 và trừ cho (2) ta đợc: x2-y2 =0 x = y - Với x = y thay vào phơng trình (1) ta có: x2 =1 x = 1 Từ đó ta có nghiệm : (1;1) và (-1;1) - Với x = -y thay vào phơng... từng dạng toán từ đó học sinh nhận diện và tìm đợc lời giải một cách dễ dàng Riêng việc bồi dỡng học sinh giỏi sau khi dạy theo nội dung nghiên cứu và mở rộng, đào sâu, tổng quát hoá các bài toán về phơng trình và hệ phơng trình học sinh đã nắm vững các dạng toán và vận dụng linh hoạt hơn, giải các bài toán về phơng trình và hệ phơng trình tốt hơn 35 IV kết luận và ý kiến 1- Kết luận: Qua quá trình nghiên... trình rất đa dạng và phong phú đòi hỏi học sinh phải tích cực t duy, phải biết khái quát hoá, trừu tợng hoá và cụ thể hoá, cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt Học sinh nắm chắc phần này sẽ là cơ sở đầu tiên cho việc nắm kiến thức và đào sâu kiến thức về đại số cũng nh mọi kiến thức về toán học và các môn học khác trong chơng trình THCS và cho những bậc học... bậc nhất một ẩn, không đa vào các dạng phơng trình, hệ phơng trình cho ở các dạng khác nhau và cha sử dụng bài toán tổng quát thì khi gặp các bài toán có vấn đề thì học sinh thờng lúng túng Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi còn gặp không ít khó khăn khi đi thi học sinh giỏi các cấp Khi dạy học phần phơng trình và hệ phơng trình theo nội dung đã tìm hiểu và nghiên cứu trên đa vào các giờ luyện tập từng... việc học phần này * Nắm vững các dạng toán về phơng trình và hệ phơng trình cùngphơng pháp giải từ đơn giản đến phức tạp Từ đó nhận diện và giải quyết đợc các dạng toán về phơng trình và hệ phơng trình cho ở mọi hình thức khác nhau * Rèn luyện những thao tác t duy, đặc biệt là khái quát hoá và cụ thể hoá trong việc giải các dạng phơng trình và hệ phơng trình Học sinh nắm đợc kiến thức 36 ... và có phơng pháp dạy tốt Việc dạy học phần chơng trình và hệ phơng trình cần phải đảm bảo các yêu cầu sau: * Hiểu, nắm vững các dạng phơng trình và hệ phơng trình, thấy đợc sự khác nhau, sự đa dạng phong phú của phơng trình và hệ phơng trình trong tất cả các phân môn toán học, qua các chuyên mục khác nhau, từ đó để học sinh thấy đợc vị trí quan trọng của việc học phần này * Nắm vững các dạng toán về. .. y 2 = a 2 + 2a 3 Xác định tham số a sao cho tích x.y nhỏ nhất 34 III Kết quả Thực nghiệm Trong quá trình nghiên cứu về phơng trình và hệ phơng trình, vận dụng vào giảng dạy thực tế cho học sinh cho thấy Khi dạy cho học sinh phần phơng trình và hệ phơng trình đối với học sinh lớp 8 và lớp 9 theo chơng trình đại trà nếu chỉ đơn thuần dạy theo sách giáo khoa các loại phơng trình nh phơng trình bạc nhát... đến bậc thấp (kể cả hệ số bàng 0)sao cho từng cặp hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau Nghĩa là: anxn+an-1xn-1 ++ a1x+a0 (1) với ai=an-i (i = 1,2,n) và an 0 b) Một số tính chất của phơng trình hệ số đối xứng Tính chất 1: Phơng trình hệ số đối xứng(1) Nếu có nghiệm xo thì xo 0 và phơng trình cũng nhận 1 x0 là nghiệm Thật vậy: f(0)= a0= an 0 và từ (1)có f(x)=xnf( 1 x ) nên f(x) =0 f( 1 x )=0 Tính chất... có dạng: P ( x, y , ) =0 Q ( x, y, ) (I) Trong đó P(x,y,) và Q(x,y,) là những đa thức và Q(x,y,) là đa thức khác 0 đối với phơng trình một ẩn có dạng: P( x) =0 Q( x ) (1) với Q(x) 0 b) Phơng pháp giải: Để giải phơng trình này ta đa phơng trình về dạng: (1) P( x) = 0 Q( x) 0 Ta dùng các phơng pháp đã nêu trong các dạng phơng trình trên: Đa về phơng trình tích; đặt ẩn phụ; dùng bất đẳng thức Phơng... phơng trình và hệ phơng trình trong chơng trình Đại Số THCs có vai trò vô cùng quan trọng trong chơng trình Toán THCS Nó cho thấy tính đa dạng phong phúcủa Toán học, là công cụ nghiên cứuhiệu lực của toán học, đồng thời nó còn phục vụ đắc lực cho việc nâng cao kiến thức toán học cho ngời học, cho phép toán học thâm nhập và phục vụ đắc lực các ngành khoa học khác Các dạng toán về phơng trình và hệ phơng . phần phơng trình và hệ phơng trình đặc biệt là phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình và một số vấn đề nâng cao về ph- ơng trình và hệ phơng trình. vấn đề còn nghiên cứu. ở đây tôi chỉ xin đề cập một phần nhỏ về một số dạng phơng trình (từ bậc 2 trở lên) và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải. Vấn đề