ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH QUEN THUỘC ThS Nguyễn Văn Hồng - Trường THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước Bài viết phân tích việc dự đốn điểm cố định chứng minh đường thẳng qua điểm cố định thông qua số kết hình học mơ hình quen thuộc Mục lục Tóm tắt nội dung Mơ hình đường đối trung Mơ hình hai đường đẳng giác Mơ hình trục đẳng phương, tâm đẳng phương 11 Mơ hình đường tròn nội tiếp tam giác 14 Bài tập đề nghị 18 Tài liệu tham khảo 26 Tóm tắt nội dung Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định dạng toán thường gặp kì thi Olympic tốn học: IMO, VMO, Olympic 30/4 Đây dạng tốn chứng minh đòi hỏi phải có kĩ dự đốn điểm cố định, điều yêu cầu phải có kinh nghiệm, kiến thức tổng hợp nhiều kĩ khác việc giải tốn hình học phẳng Vì lẽ mà dạng tốn hay làm nhiều học sinh bối rối đối diện, cụ thể học sinh khơng thể dự đốn điểm cố định Việc dự đốn điểm cố định có thể: • thơng qua kết hình học mơ hình quen thuộc • thơng qua vẽ hình xác • thơng qua suy luận tính tốn ban đầu (chẳng hạn cho điểm di động di chuyển đầu mút, di chuyển điểm đặc biệt ) Việc dự đoán điểm cố định nhân tố quan trọng để ta định hình cơng cụ phương pháp giải tốn Khi tạo tốn đường qua điểm cố định người ta dựa vào số kết hình học quen thuộc, sau giấu số chi tiết, yêu cầu người làm tốn phải phát kết hình học dự đoán điểm cố định Bài viết phân tích việc dự đốn điểm cố định chứng minh đường thẳng qua điểm cố định thông qua số kết hình học mơ hình quen thuộc Mơ hình đường đối trung Kết Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm thuộc cạnh BC Khi mệnh đề sau tương đương: AD đường đối trung tam giác ABC d(D; AB) AB = d(D; AC) AC DB AB =( ) DC AC A AD qua giao điểm S tiếp tuyến kẻ từ B C với (O) D M E (AEBC) = −1 với E giao điểm AD (O) B sin ∠DAB AB = sin ∠DAC AC Chứng minh Các kết quen thuộc, bạn đọc tự chứng minh S Ví dụ Cho đường tròn (J) cố định, hai điểm B, C cố định A di động (J) cho A khác B C Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ đến (O) Gọi M, N hình chiếu B, C AP, AQ tương ứng Đường thẳng qua M song song AB đường thẳng qua N song song AC cắt F Chứng minh AF qua điểm cố định Dự đoán điểm cố định: Ta thấy d(F, AB) = d(M, AB), d(F, AC) = d(N, AC), ta nghĩ đến kết đường đối trung, ta chứng minh AF đường đối trung tam giác ABC F A J I M Q B P N O C D C Hướng dẫn giải • Ta có A, I, O thẳng hàng; O thuộc (J) AP O = đẳng giác tam giác ABC ứng với góc A Suy • Ta có: AQO, AP, AQ hai đường ABM ∼ ACN d(M, AB) AB d(F, AB) = = d(F, AC) d(N, AC) AC Suy AF đường đối trung tam giác ABC Do AF qua điểm cố định giao điểm hai tiếp tuyến B C với (J) ♣ Ví dụ (VN TST 2015) Cho đường tròn (O), dây cung BC cố định điểm A di động (O) Gọi I, H trung điểm BC trực tâm tam giác ABC Tia IH cắt (O) K, AH cắt BC D, KD cắt (O) M, từ M kẻ đường vng góc BC cắt AI N Đường tròn tiếp xúc AK A qua N cắt AB, AC P, Q, gọi J trung điểm P Q Chứng minh AJ qua điểm cố định Dự đốn điểm cố định: Đây mơ hình trực tâm quen thuộc, dễ dàng thấy AJ qua tâm O qua vẽ hình xác, ta liên tưởng chứng minh AJ AH hai đường đẳng giác, mà AJ đường trung tuyến nên ta nghĩ đến chứng minh AH đường đối trung tam giác AP Q A P K E J R O F N H I D T Q B C M Hướng dẫn giải • Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C Ta có AK, EF, BC đồng quy T (kết tâm đẳng phương) • Từ kết quen thuộc mơ hình trực tâm, ta có A(T DBC) = −1 ⇒ A(AHP Q) = −1 ⇒ (ARP Q) = −1 với R giao điểm thứ hai AH (AP Q) Suy AR đường đối trung tam giác AP Q • Mặt khác AR AO hai đường đẳng giác góc A tam giác ABC, suy AO đường trung tuyến tam giác AP Q, AJ qua O cố định Kết Cho tam giác AEF Một đường tròn qua E, F cắt cạnh AE, AF B C Gọi AK, AT đường trung tuyến tam giác AEF ABC Khi AK đường đối trung tam giác ABC AT đường đối trung tam giác AEF A C T B E F K Chứng minh Ta có ABC ∼ AF E ⇒ ∠EAK = ∠CAT , nghĩa AT AK hai đường đẳng giác góc A Mặt khác AT đường trung tuyến tam giác ABC nên AK đường đối trung tam giác ABC Ở kết 2, đường thẳng BC gọi đường đối song EF Ví dụ Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt hai điểm B C, A điểm thay đổi (O1 ) cho A khác B C AB cắt (O2 ) điểm thứ hai E, AC cắt (O2 ) điểm thứ hai F Gọi MN đường trung bình tam giác ABC ứng với cạnh BC Các đường thẳng BN CM cắt P Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP cắt điểm thứ hai Q Gọi K trung điểm EF Chứng minh ba điểm A, Q, K thuộc đường thẳng d d qua điểm cố định A di động (O1) Dự đoán điểm cố định: Ta thấy BC đường đối song EF mà K trung điểm EF (như yêu cầu chứng minh) nên dễ dàng dự đoán AQ đường đối trung tam giác ABC, từ suy điểm cố định E B M K O2 O1 Q P A N C F Hướng dẫn giải • Phép vị tự quay tâm Q biến B thành M, biến N thành C nên BQM ∼ NQC • Gọi D giao điểm AQ BC Ta có SABD AB.d(D, AB) AB.d(Q, AB) AB.d(Q, MB) AB.MB AB DB = = = = = = DC SADC AC.d(D, AC) AC.d(Q, AC) AC.d(Q, MC) AC.CN) AC • Suy ra, AQ đường đối trung tam giác ABC, hay AQ qua điểm cố định giao điểm hai tiếp tuyến B C với (O1 ) • Theo kết ta có A, Q, K thẳng hàng Kết Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A (O) cắt BC E Đường tròn (AOE) cắt (O) điểm thứ hai F AF đường đối trung tam giác ABC A O E C B F Chứng minh Ta có EA EF tiếp tuyến (O) Do theo kết AF qua giao điểm hai tiếp tuyến B C (O) nên AF đường đối trung tam giác ABC Ví dụ (VMO 2014) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), B, C cố định A thay đổi (O) Trên tia AB AC lấy điểm M, N cho MA = MC NA = NB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ABC cắt P khác A Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC Q a Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng b Gọi D trung điểm BC Các đường tròn có tâm M, N qua A cắt K (K khác A) Đường thẳng qua A vuông góc với AK cắt BC E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) F (F khác A) Chứng minh đường thẳng AF qua điểm cố định Dự đốn điểm cố định Ví dụ ví dụ trên, dấu hiệu giúp ta liên tưởng đến mơ hình đường đối trung điểm A di động đường tròn, dấu hiệu giả thiết MA = MC NA = NB ta nghĩ đến đường tròn giao Mặt khác, với giải thiết đường thẳng qua A vng góc với AK ta nghĩ đường tròn đường kính tiếp tuyến với đường tròn Kết nối giả thiết với kết 3, ta có lời giải sau A N O C E B D Q K F M I Hướng dẫn giải (a) Khơng tính tổng qt, ta giả sử AB < AC hình vẽ, trường hợp lại hồn tồn tương tự Khi đó, M nằm ngồi đoạn AB N nằm đoạn AC Do NA = NB nên ∠NBA = ∠NAB MA = MC nên ∠MCA = ∠MAC Từ suy ∠NBA = ∠MCA hay tứ giác BMCN nội tiếp ta QM.QN = QB.QC Từ suy Q có phương tích với hai đường tròn (O) (AMN) nên Q nằm trục đẳng phương hai đường tròn Trục đẳng phương dây chung AP nên suy A, P, Q thẳng hàng (b) Ta chứng minh O thuộc (ADE) Thật vậy, ta có O, M nằm trung trực AC nên OM ⊥ AC Tương tự ON ⊥ AB nên O trực tâm tam giác AMN Suy AO ⊥ MN Xét hai đường tròn (M, MA), (N, NA) dây chung vng góc với đường nối tâm, ta có AK ⊥ MN Từ suy A, O, K thẳng hàng nên ∠OAE = 900 Do ∠OAE = ∠EDO = 900 Suy O ∈ (ADE) Theo kết AF qua giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O), AF qua điểm cố định ♣ Mơ hình hai đường đẳng giác Kết Cho tam giác ABC có (O) tâm đường tròn ngoại tiếp Oa tâm đường tròn (OBC) Gọi N tâm đường tròn Euler tam giác ABC Khi AN AOa đẳng giác góc A A H B N O M C L Oa Chứng minh • Gọi H, M trực tâm tam giác ABC trung điểm BC Gọi L giao điểm OOa AN Khi tứ giác AHLO hình bình hành, OL = AH = 2OM Suy tam giác OCL cân C, ta ∠CLO = ∠COL = ∠OCOa • Từ suy ra: ⇒ OCL ∼ OOaC ⇒ OC = OL.OOa ⇒ OA2 = OL.OOa OAL ∼ OOaA ⇒ ∠OAN = ∠OAL = ∠OOaA = HAOa Điều chứng tỏ AN, AOa hai đường đẳng giác góc ∠HAO Mà AH AO hai đường đẳng giác góc A nên AN, AOa hai đường đẳng giác góc A Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), B, C cố định A thay đổi (O) Gọi E, F đối xứng B, C qua AC AB Chứng minh đường thẳng d qua A vng góc EF ln qua điểm cố định A di động Dự đoán điểm cố định Có hai yếu tố giúp tìm điểm cố định Một vẽ hình xác Hai nhận thấy d đường cao tam giác AEF Khi ta liên tưởng đến mơ hình hai đường đẳng giác E A Z F Y J G O N H C B Oa Hướng dẫn giải • Gọi N tâm đường tròn Euler tam giác ABC Y, Z hình chiếu vng góc N AB AC Khi AN qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AY Z Ta chứng minh d đẳng giác với AN, tức chứng minh d ⊥ Y Z hay cần chứng minh Y Z EF • Thật vậy, gọi G trọng tâm tam giác ABC, gọi M trung điểm AB gọi J giao điểm CF AB Trước tiên ta có GN = GH Mặt khác 2NY = HJ + OM = Mà NY HF HF NY 2HJ + CH = ⇒= = 2 HF GN = nên G, Y, F thẳng hàng GH GY = GF • Tương tự ta có GZ = Do GE GY GZ = = GF GE Suy ra, Y Z EF hay d đẳng giác với AN • Theo kết 4, suy d qua tâm Oa đường tròn (OBC), d ln qua điểm cố định ♣ Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), B, C cố định A thay đổi (O) Gọi E, F đối xứng B, C qua AC AB Gọi K tâm đường tròn (AEF ) Chứng minh đường thẳng AK qua điểm cố định A di động Dự đoán điểm cố định Nhận thấy AK đường thẳng d qua A vng góc EF hai đường đẳng giác góc A tam giác EAF Theo ví dụ AN d đẳng giác nên dự đoán K, A, N thẳng hàng, AK qua điểm đối xứng O qua BC K E L A F N O C B O Oa Hướng dẫn giải • Gọi L hình chiếu A EF Khi theo ví dụ trên, AL AN hai đường đẳng giác góc A Ta chứng minh K, A, N thẳng hàng tức chứng minh AL AK đẳng giác góc A • Thật vậy, ta có AK AL hai đường đẳng giác góc ∠EAF Do ∠KAF = ∠LAE Gọi Ax, Ay hai tia đối tia AL AK Khi ∠F Ay = ∠EAx (bù với hai góc nhau) • Mặt khác ∠EAB = ∠BAC = ∠CAF (tính chất đối xứng) Suy ∠CAy = ∠BAx mà ∠BAx = ∠CAN ⇒ ∠CAy = ∠CAN ⇒ K, A, N • Vì AN qua O đối xứng với O qua BC nên AK qua điểm cố định O ♣ Kết Cho tam giác ABC Các cặp đường thẳng da , da hai đường đẳng giác góc A Định nghĩa tương tự với db , db dc , dc Khi da , db, dc đồng quy da , db, dc đồng quy Chứng minh Sử dụng định lý Ceva sin dạng lượng giác Chú ý • Khi hai điểm đồng quy gọi hai điểm đẳng giác liên hợp • Đặc biệt da , db , dc đường trung tuyến da , db , dc đường đối trung tương ứng chúng đồng quy điểm gọi điểm Lemoine Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), B, C cố định A thay đổi (O) Kẻ đường kính AD, đường thẳng CD cắt AB E, BD cắt AC F Đường thẳng đối xứng BC qua đường phân giác góc ∠ACD cắt EO M, đường thẳng đối xứng BC qua đường phân giác góc ∠ABD cắt F O N Chứng minh MN qua điểm cố định Dự đoán điểm cố định Bài toán cho đường thẳng đối xứng qua đường phân giác dấu hiệu trực tiếp nghĩ đến hai đường đẳng giác hai điểm đẳng giác liên hiệp A M O N T B C D E I F Hướng dẫn giải • Gọi T trung điểm BC Gọi I giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O) • Ta có EBC ∼ EDA Mặt khác O T trung điểm AD, BC tương ứng Suy ET, EO đẳng giác góc ∠CEA =⇒ M, T hai điểm đẳng giác liên hiệp ACE Do AT, AM đẳng giác góc ∠BAC =⇒ AM đường đối trung ABC • Tương tự, ta chứng minh AN đường đối trung ABC, suy MN đường đối trung tam giác ABC =⇒ MN qua điểm I cố định giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O) ♣ 10 Ví dụ Tứ giác lồi ABCD khơng có hai đường chéo vng góc nội tiếp (O) Gọi P điểm di chuyển cung AB không chứa C, D Gọi M = P D ∩ AC, N = P C ∩ BD Gọi Q giao điểm thứ hai đường tròn (AP M) đường tròn (BP N) Chứng minh P Q ln qua điểm cố định Dự đốn điểm cố định: Bằng hình vẽ xác ta khó dự đốn điểm cố định, để ý P Q trục đẳng phương (dây cung chung) hai đường tròn (AP M) (BP N), điểm cố định có phương tích hai đường tròn Từ nghĩ đến điểm cố định giao điểm hai tiếp tuyến A B hai đường tròn B P Q N A M C D L Hướng dẫn giải • Gọi Ax, By tiếp tuyến (AP M) (BP N) A B Khi ∠xAC = ∠AP D = ∠ACD = const ⇒ Ax cố định Tương tự, By cố định Gọi L = Ax ∩ By Suy L cố định • Tam giác ABL cân L Thật vậy, ∠BAL = ∠BAC + ∠CAL ∠ABL = ∠DBL + ∠ABD Mặt khác ∠BAC = ∠BP C = ∠DBL, ∠CAL = ∠AP D = ∠ABD Do ∠BAL = ∠ABL • Tam giác ABL cân L nên LA2 = LB Do L thuộc trục đẳng phương hai đường tròn (AP M) (BP N) Suy P Q qua L cố định ♣ 12 Ví dụ 10 Cho tam giác ABC, đường tròn (K) thay đổi ln tiếp xúc CA, AB E, F Đường thẳng BE CF cắt H, AH cắt BC D Hai đường thẳng DE, DF cắt AB, AC M, N Gọi L trực tâm tam giác DMN Chứng minh đường thẳng KL qua điểm cố định đường tròn (K) di chuyển Dự đốn điểm cố định Vẽ hình nhận thấy LK qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tư tưởng chứng minh thẳng hàng phương tích L trực tâm DMN N B L J F O1 A H O2 K D O E M I C Hướng dẫn giải • Gọi (O1 ), (O2 ) tâm đường tròn đường kính EN, F M Vì L trực tâm tam giác DMN nên: PL/(O1 ) = PL/(O2 ) (1) • Mặt khác: PK/(O1 ) = KE ; PK/(O2 ) = KF ⇒ PK/(O1 ) = PK/(O2 ) (2) • Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Kẻ OI ⊥ EN, OJ ⊥ F M Ta có −−→ −−→ −→ −→ −→ −→ PO/(O1 ) = OE.ON = (OI + IE)(OI + IN) = OI + IE.IN Mà (ACEN) = −1 ⇒ IE.IN = IA2 Do PO/(O1 ) = OA2 Tương tự, PO/(O2 ) = OA2 ⇒ PO/(O1 ) = PO/(O2 ) (3) • Từ (1), (2) (3), suy K, L, O thẳng hàng Do KL qua điểm (O) cố định ♣ 13 Ví dụ 11 (VMO 2007) Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC nội tiếp (O) Gọi P điểm thay đổi BC nằm đoạn BC cho P A không tiếp tuyến (O) Đường tròn đường kính P D cắt (O) E (E khác D) Gọi M giao điểm BC với DE, N giao điểm khác A P A với (O) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Dự đoán điểm cố định Việc tìm điểm cố định A thật khơng khó Có thể dự đốn thơng qua việc vẽ hình xác Từ việc có sẵn hai đường tròn với dây cung chung DE có qua M, ta kết nối với kiện điểm A cố định để xây dựng đường tròn thứ ba từ áp dụng tính đồng quy trục đẳng phương để chứng minh thẳng hàng D A N O M B C F P E A Hướng dẫn giải • Gọi A điểm đối xứng A qua tâm O Ta chứng minh N, M, A thẳng hàng, từ suy MN qua A cố định • Thật vậy, ta có DE trục đẳng phương đường tròn (O) đường tròn (T1 ) đường kính P D Vì ∠P NA = 900 nên NA trục đẳng phương đường tròn (O) đường tròn (T2 ) đường kính P A • Giả sử DA cắt BC F , ∠ADA = 900 ⇒ ∠P F A = 900 Do F giao điểm thứ hai (T1 ) (T2 ), suy F P trục đẳng phương (T1 ) (T2 ) Vì trục đẳng phương đồng quy tâm đẳng phương, suy DE, F P NA đồng quy điểm M Vậy M, N, A thẳng hàng ♣ Mơ hình đường tròn nội tiếp tam giác Kết Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC M, N tương ứng Đường thẳng BI cắt MN E Khi ∠BEC = 900 14 A N E F I M C B Chứng minh Ta xét trường hợp E nằm đoạn MN, trường hợp lại chứng minh tương tự Trước tiên ta có ∠A ∠ENC = ∠ANM = 900 − Mặt khác ∠EIC = ∠IBC + ∠ICB = ∠A ∠B ∠C + = 900 − , 2 suy ∠ENC = ∠EIC hay tứ giác INEC nội tiếp Do ∠BEC = ∠INC = 900 Chú ý Nếu CI cắt MN F tương tự ta chứng minh ∠BF C = 900 , tức B, F, E, C đồng viên Ví dụ 12 Cho góc ∠xBy = ϕ khơng đổi Điểm A cố định tia Bx Điểm C di động tia By Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AC, BC E, F tương ứng Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định A F M I B C E Hướng dẫn giải Gọi M giao điểm EF BI Khi đó, theo kết ∠AMB = 900 ϕ Mặt khác ∠ABM = không đổi AB cố định nên BI cố định, M cố định Điều suy EF qua điểm cố định M ♣ Ví dụ 13 Cho tam giác ABC, gọi D thay đổi BC cho C nằm B D Đường tròn nội tiếp tam giác ABD ACD cắt P Q Chứng minh P Q qua điểm cố định 15 Dự đốn điểm cố định Mới nhìn ta chưa đốn điểm cố định, nhiên, liên tưởng đến kết trên, ta vẽ thêm đường phụ MN, XY giao điểm EF thấy điểm cố định trung điểm EF A N E K F P Y O O Q D B L M C X Hướng dẫn giải • Gọi (O) đường tròn nội tiếp tam giác ABD (O) tiếp xúc BD AD M, N Gọi (O ) đường tròn nội tiếp tam giác ACD (O ) tiếp xúc cạnh AC, AD X, Y BO cắt MN E, CO cắt XY F Ta chứng minh P Q qua trung điểm EF • Thật vậy, ta có góc ∠ABC, ∠ACD khơng đổi nên theo ví dụ E, F cố định • Vì MN, P Q, XY vng góc OO nên MN PQ XY • Gọi L, K giao điểm P Q với BD, EF Khi L trung điểm MX Do P Q đường trung bình hình thang EF XM Do P Q qua trung điểm EF ♣ Ví dụ 14 (VMO 2013 - Bài 3) Cho tam giác khơng cân ABC Kí hiệu (I) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC D, E, F tiếp điểm (I) với cạnh BC, CA, AB Đường thẳng qua E vng góc BI cắt (I) K, (K = E) Đường thẳng qua F vng góc CI cắt (I) KL, (L = F ) Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D, I, J thẳng hàng AB = k k không đổi AC Gọi M, N giao điểm IE, IF với (I) (M = E, N = F ) MN cắt IB, IC P, Q Chứng minh đường trung trực P Q qua điểm cố định b) Giả sử đỉnh B C cố định, đỉnh A thay đổi cho tỉ số 16 Y A F E X I P M N B W A D C R Q Phân tích Câu a) Tương đối đơn giản đa số thí sinh làm ý Câu b) Nhìn vào mơ hình tốn ta liên tưởng đến hình VMO 2009 Vì mơ hình quen thuộc nên ta dễ dàng chứng minh số kết có Do chịu khó phân tích mơ hình, khai thác nhiều tính chất hình học từ đưa đến kết cần chứng minh Tuy nhiên, khó tốn chỗ chứng minh đường thẳng qua điểm cố định cách nào, mà giả thiết cho B, C cố định A thay đổi cho tỉ số AB = k k không đổi Khai thác giả thiết nhiều HS nghĩ đến đường tròn Apollonious, AC nghĩ đến chưa dự đốn điểm cố định mà P Q qua Giả thiết ta liên tưởng đến chân đường phân giác góc A cố định phải điểm cố định có liên quan đến điểm Đến ta phải giải khâu tìm điểm cố định AB = k điểm A đối xứng với A qua BC có tính chất Để ý điểm A thỏa mãn AC Khi ta có mơ hình ngược lại với đường thẳng P Q đối xứng P Q qua BC hai đường trung trực P Q P Q cắt điểm BC điểm cố định cần tìm Cùng với nhận định chân đường phân giác góc A cố định, ta rút điểm cố định R đối xứng với trung điểm W BC qua chân đường phân giác góc A Sau dự đốn xong, điều khó dùng cơng cụ để chứng minh, điều đòi hỏi HS nắm vững công cụ để chứng minh đường thẳng qua điểm cố định sử dụng phép biến hình trường hợp Một cách khác dùng tính tốn đại số số biến đổi góc vất vả Một điều khó khăn khơng sử dụng phép biến hình khó vẽ hình xác vị trí điểm gần Do đó, lựa chọn phép biến hình phương án tối ưu khôn ngoan Hướng dẫn giải (a) Vì (I) tiếp xúc cạnh BC, CA D, E nên DE ⊥ CI, mà F L ⊥ CI (gt), DE F L Suy DEF L hình thang cân Tương tự ta có DF EK hình thang cân, suy DK = EF = DL Do D nằm đường trung trực KL Vì I J nằm đường trung trực KL nên D, I, J thẳng hàng (b) Gọi W trung điểm BC, gọi A chân đường phân giác góc A, gọi R điểm đối 17 xứng W qua A Ta chứng minh đường trung trực P Q ln qua R • Trước tiên, gọi X, Y giao điểm EF với BI, CI, Khi theo kết B, C, X, Y đồng viên • Vì B, C, X, Y nằm đường tròn đường kính BC nên W tâm, W nằm đường trung trực XY (1) • Dễ thấy I trung điểm ME trung điểm NF EF MN, hay P Q ⇒ P Q ⊥ AI XY Từ ∆IEX = ∆IMP nên X P đối xứng qua I, tương tự ta có Y Q đối xứng qua I Suy hai đường trung trực XY P Q đối xứng qua AI Kết hợp (1) ta có đường trung trực P Q qua R (2) • Vì B, C cố định nên W cố định Theo giả thiết ta có AB AB = = k = const AC AC nên A cố định Do R cố định Kết hợp (2) ta có điều phải chứng minh ♣ Bài tập đề nghị BÀI 15 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), B, C cố định A thay đổi (O) Dựng hai hình vng ABDE ACGF bên tam giác ABC Đường thẳng AF cắt BD M, AE cắt CG N Các đường tròn (DMF ) (GNE) cắt P Q Chứng minh P Q qua điểm cố định A di động (O) Q F E G A N P D M B C I 18 Phân tích Điều thú vị tốn sử dụng kết đường đối trung Hơn nữa, ta thấy AQ đường kính (AEF ) nên liên tưởng đến mơ hình hai đường đẳng giác phép quay mà mơ hình q quen thuộc (kẻ thêm hình vng bên ngồi tam giác) Do ta có hai cách trình bày lời giải sau Hướng dẫn giải Cần chứng minh AQ đường đối trung tam giác ABC • Gọi Q∗ = DE∩GF , ∠Q∗ F A = ∠QDM nên Q∗ ∈ (DMF ) Tương tự Q∗ ∈ (GNE) Suy Q∗ ≡ Q AB AM = ⇒ AE.AN = AM.AC (AB = AE) ⇒ A thuộc AC AN trục đẳng phương (DMF ) GNE, Q, A, P thẳng hàng • Ta có ABM ∼ ACN ⇒ AE AB d(Q, AB) = = Suy AQ đường đối trung tam giác ABC hay d(Q, AC) AF AC P Q đường đối trung tam giác ABC • Hơn nữa, ♣ Q F F H E A G H N D P M K B C I Hướng dẫn giải • Gọi Q∗ = DE∩GF , ∠Q∗ F A = ∠QDM nên Q∗ ∈ (DMF ) Tương tự Q∗ ∈ (GNE) Suy Q∗ ≡ Q AB AM = ⇒ AE.AN = AM.AC (AB = AE) ⇒ A thuộc AC AN trục đẳng phương (DMF ) GNE, Q, A, P thẳng hàng • Ta có ABM ∼ ACN ⇒ • Gọi K trung điểm BC Gọi H = AK ∩ EF Xét phép quay tâm A góc quay 900 biến: E → B, F → F , H → H ⇒ AK ⊥ AH mà AK BF nên AH ⊥ BF ⇒ AH ⊥ EF 19 • Vì AQ đường kính AEF nên AQ AK đẳng giác góc ∠EAF hay AQ AK đẳng giác góc ∠BAC Do AQ đường đối trung tam giác ABC ♣ BÀI 16 Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm A B Trên tia AB lấy điểm M cố định Qua M vẽ hai đường thẳng cắt (O) E C; cắt (O ) F D Chứng minh đường thẳng nối hai tâm ngoại tiếp hai tam giác ACD BEF qua điểm cố định M F E A O P O D B Q C Hướng dẫn giải Ta có AB trục đẳng phương hai đường tròn (O) (O ), M nằm trục đẳng phương hai đường tròn nên ME.MC = MA.MB = MF.MD = k Khi đó, phép nghịch đảo f tâm M tỉ số k biến tam giác EBF thành tam giác CAD Do phép nghịch đảo biến đường tròn (EBF ) thành đường tròn (CAD) Suy đường thẳng nối hai tâm ngoại tiếp hai tam giác ACD BEF qua M cố định ♣ BÀI 17 Cho tam giác ABC tam giác nhọn khơng cân nội tiếp đường tròn tâm O Một đường thẳng d thay đổi cho d ln vng góc với OA ln cắt tia AB AC M N Giả sử đường thẳng BN CM cắt K Giả sử AK cắt BC P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định Gọi H trực tâm tam giác AMN Chứng minh HK qua điểm cố định 20 A H N M O K I S B C P Phân tích: tốn có hai hình ảnh quen thuộc MN vng góc với OA ta có BCNM nội tiếp CM, BN, AP đồng quy có hàng điểm điều hòa Sử dụng phương tích hệ thức Maclaurin giải ý Còn ý tính chất tứ giác toàn phần Hướng dẫn giải 1) Kéo dài MN cắt BC S Gọi Q trung điểm BC Kẻ tiếp tuyến Ax (O) A Ta có: Ax song song với MN Suy tứ giác MNCB nội tiếp Do SB.SC = SM.SN Ta có CM, BN, AP đồng quy, suy ra(S, P, B, C) = −1, mà Q trung điểm BC, theo hệ thức Maclaurin ta có SB.SC = SP.SQ Do SP.SQ = SM.SN Vậy tứ giác MNQP nội tiếp, suy đường tròn ngoại tiếp tam giác NMP ln qua trung điểm cố định BC 2) Gọi I trực tâm tam giác ABC Ta có HI đường thẳng Steiner tứ giác toàn phần MNCBAS Theo tính chất đường thẳng Steiner tứ giác tồn phần ta có HI qua điểm K giao điểm CM BN ♣ BÀI 18 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), A cố định B, C thay đổi (O) cho BC song song với đường thẳng cố định Các tiếp tuyến (O) B C cắt K Gọi M trung điểm BC, N giao điểm AN đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định 21 A I O M B C N K Hướng dẫn giải Gọi giao điểm thứ hai (O) KN I Tứ giác IBNC điều hòa nên (AI, AN, AC, AB) = −1 Mà M trung điểm BC nên AI Suy I cố định Vậy KN qua I cố định BC ♣ BÀI 19 Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt A, B Đường thẳng d quay quanh B cắt (O) (O ) C, D tương ứng Gọi M trung điểm CD AM lại cắt (O ) P Đường thẳng qua M vuông góc OM cắt AC Q Chứng minh P Q qua điểm cố định Q S A O2 K O1 C B M N D P Hướng dẫn giải • Gọi K, N giao điểm (O1 ) AP , (ACP ) d Gọi S giao điểm thứ hai P Q (O2 ) Ta chứng minh S cố định 22 • Ta chứng minh phép đối xứng tâm ĐM biến A, B, C theo thứ tự thành P, N, D Do phép đối xứng tâm ĐM biến (O1 ) thành (P ND) Kết hợp với MQ ⊥ O1 M suy MQ trục đẳng phương (O1) (P ND) • Mặt khác, AQ NP trục đẳng phương (O1 ), (ACP ) (ACP ) (P ND) Do Q thuộc NP • Do (BS, BA) ≡ (P S, P A) ≡ (P N, P A) ≡ (BK, AK) Suy BS tiếp xúc (O1 ) B Do S cố định ♣ BÀI 20 Cho (O) đường tròn cố định A, B hai điểm cố định (O) cho A, B, O không thẳng hàng Điểm C di động (O) (C khác A, B) Gọi (O1 ), (O2) qua A, B tiếp xúc BC, AC C tương ứng (O1 ) cắt (O2 ) D (D = C) Đường thẳng AD BD cắt (O2 ), (O1 ) E F (E, F = D) Chứng minh đường thẳng qua C vng góc EF ln qua điểm cố định E F C O2 O1 O D A X B Phân tích Bài tốn lấy ý tưởng từ 2006 USA TST Problem Hướng dẫn giải Ta chứng minh đường thẳng qua C vng góc EF ln qua điểm cố định tâm đường tròn (AOB) • Ta có ∠CBE = ∠CDE = ∠CF A = ∠ACB = ∠CEB = ∠CDF = ∠CAF Do CAF ∼ CBE ∠CAF = ∠CF A = ∠CBE = ∠CEB = ∠ACB (∗) • Vì ∠ADB = 360◦ − ∠CDA − ∠CDB = 2∠ACB =⇒ A, B, D, O đồng viên, gọi tâm đường tròn X 23 • Từ (∗) (Hai tam giác CAF CBE cân C đồng dạng) nên theo 2006 USA TST P6 ta có CX ⊥ EF =⇒ đường thẳng qua C vng góc EF qua điểm cố định X ♣ Bổ đề (2006 USA TST) Cho tam giác ABC Các tam giác P AB QAC dựng bên tam giác ABC cho AP = AB, AQ = AC ∠BAP = ∠CAQ Các đoạn thẳng BQ CP cắt R Gọi O tâm đường tròn (BCR) Chứng minh AO ⊥ P Q I F E M O1 N A Q O2 H P R C B O Chứng minh • Ta có AP C = ABQ nên ∠AP R = ∠ABR Suy A, P, B, R nằm đường tròn, gọi tâm O1 Tương tự A, R, C, Q thuộc đường tròn tâm O2 • Giả sử (O1), (O2 ) cắt AQ, AP E, F tương ứng Gọi I tâm đường tròn (EAF ) Giả sử O1 I, O2 I cắt AE, AF M, N • Ta có ∠AEP = ∠ARC = ∠AF Q nên AEP ∼ AF Q Mà M, N trung điểm AE, AF nên P AM ∼ QAN Suy ∠MP N = ∠MQN Do P, M, N, Q đồng viên • Mặt khác, I, M, A, N đồng viên nên ∠AQP = ∠MNA = ∠MIA Suy I, M, H, Q đồng viên (IA cắt P Q H) Do IA⊥P Q Hơn nữa, P Q trục đẳng phương (I) (O), suy IO⊥P Q (vì P A.P F = P R.P C QA.QE = QB.QR) Điều dẫn đến I, A, O thẳng hàng hay AO⊥P Q Thêm kết cho toán này: Chứng minh CD qua điểm cố định C di động (O) 24 E C F O2 O1 D O A B T X Hướng dẫn giải Bổ đề Cho tứ giác ABCD điều hòa Một đường tròn qua A, B tiếp xúc BC cắt BD M Chứng minh MB = MD A B M D C Chứng minh Vì BC tiếp tuyến (ABM) nên ∠MAB = ∠MBC = ∠DBC = ∠DAC Suy ra, AC AM đẳng giác góc A Mặt khác ABCD tứ giác điều hòa nên AC đường đối trung tam giác ABD Do AM đường trung tuyến hay MB = MD Trở lại toán • Gọi X giao điểm tiếp tuyến A, B (O), gọi T giao điểm CX (O) Khi CAT B tứ giác điều hòa • Theo bổ đề D trung điểm CT nên C, D, T thẳng hàng Do CD qua điểm cố định X ♣ 25 Tài liệu tham khảo Nguyễn Minh Hà, Đường thẳng đường tròn ln qua điểm cố định Trần Quang Hùng, Họ đường thẳng đường tròn qua điểm cố định Các diễn đàn toán học Mathscope, Artofproblemsolving 26 ... 1 ⇒ IE.IN = IA2 Do PO/(O1 ) = OA2 Tương tự, PO/(O2 ) = OA2 ⇒ PO/(O1 ) = PO/(O2 ) (3) • Từ (1) , (2) (3), suy K, L, O thẳng hàng Do KL qua điểm (O) cố định ♣ 13 Ví dụ 11 (VMO 2007) Cho hình thang... ln qua điểm cố định X ♣ 25 Tài liệu tham khảo Nguyễn Minh Hà, Đường thẳng đường tròn ln qua điểm cố định Trần Quang Hùng, Họ đường thẳng đường tròn qua điểm cố định Các diễn đàn toán học Mathscope,... BÀI 19 Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt A, B Đường thẳng d quay quanh B cắt (O) (O ) C, D tương ứng Gọi M trung điểm CD AM lại cắt (O ) P Đường thẳng qua M vng góc OM cắt AC Q Chứng minh P Q qua