Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải Chuyên đề hình học 8 tìm lời giải bằng vẽ thêm đờng phụ Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình A.Một số ví dụ hình thành ph ơng pháp Ví dụ 1 : Cho h.b.h ABCD , lấy M là một điểm tùy ý trên cạnh AD . Gọi H , L , K thứ tự là hình chiếu vuông góc của A , C , D trên đờng thẳng BM . Chứng minh AH + DK = CL Tìm lời giải : Chú ý : Từ kết luận AH + DK gợi ý cho ta cần vẽ đờng phụ nh thế nào để tạo đợc một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng AH và DK rồi chứng minh đoạn thẳng tổng đó bằng CL. Cách 1 : Đẩy đoạn KD về phía AH Cách 2 : Đẩy đoạnAH về phía DK Nh vậy ta có bốn hình vẽ sau đây ứng với bốn cách giải là : K K Hỡnh 1 .bHỡnh 1 .a P P L H C I L H C A D B B D A M M KK Hỡnh 2 .bHỡnh 2 .a P P L H C L H C B D AA D B MM ở hình 1a : Để chứng minh PH = CL bằng cách chứng minh v PHK = v CLB ở hình 1b : Để chứng minh AP = CL ta cần chứng minh v APD = v CLB 1 K I L H C A D B M Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải ở hình 2 a : Ta cần chứng minh v BLC = v APD ở hình 2 b : Ta cần chứng minh v BLC = v HKP Bạn đọc tự chứng minh . Tuy nhiên nếu biến đổi kết luận về dạng hiệu là : AH = CL DK hoặc DK = CL AH thì bằng cách vẽ tạo ra các đoạn thẳng hiệu và ta lại có thêm những cách giải khác theo các hình vẽ sau : K K K K Hỡnh 3 .d Hỡnh 3 .c Hỡnh 3 .b Hỡnh 3 .a P P L H C L H C P P L H C L H C B D A A D B B D A B D A M M M M Tóm lại có 8 cách giải nh trên . Bạn đọc tự trình bày lời giải . Ví dụ 2 : Cho ABC có AB > AC và góc A bằng 0 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC . Gọi E và F thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD , BC . Tính góc BEF theo . Tìm lời giải : Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để tìm hoặc tạo ra các mối quan hệ giữa các góc BEF và góc BAC ? Cần vẽ đờng phụ nh thế nào ? Để ý rằng AC = BD , Hãy tìm cách vẽ đẩy chúng về phía nhau , làm xuất hiện các tam giác cân ; hoặc vẽ hình để lợi dụng yếu tố trung điểm mà đề bài đã cho . 1. Đẩy BD về phía AC ta đợc hình 1; 4 ; 6 và ngợc lại ta đợc hình 2 ; 3 ; 5 2 B C A D E F Chuyªn ®Ò båi dìng HSG to¸n 8 T¹ Ph¹m H¶i α H×nh 4 H×nh 3 H×nh 2 H×nh 1 α α α P P P K B C A B C A B C A B C A D E F D E F D E F D E F α α H×nh 5 H×nh 6 K P H K A C B A C B D E F D E F Tãm t¾t lêi gi¶i cho h×nh 1: Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm K sao cho AK = BD = AC , ⇒ E lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BK ; ACK c©n t¹i A vµ EF lµ ®êng trung b×nh cña BCK . Ta ®îc gãc BEF b»ng gãc AKC vµ b»ng 1/2 sè ®o cña gãc BAC . VËy gãc BEF b»ng α/2. 3 Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải Tóm tắt lời giải cho hình 2 : Lấy P đối xứng với C qua điểm E thì tứ giác ACDP la hình bình hành , PBD cân tại D . Ta có góc ADP bằng ( so le trong ) và góc ADP bằng hai lần góc DBP ( quan hệ góc trong và góc ngoài của DPB ) . Lại có góc DBP bằng góc BEF ( so le trong ). Vậy BEF bằng / 2 . Tóm tắt lời giải cho hình 5 : Dựng hình bình hành ACBK BDK cân tại B . Gọi H là trung điểm của DK thì BH là phân giác của góc DBK . Vậy góc EBH = 1/2 góc EBK = /2 = góc BEF ( so le trong ) Bạn đọc hãy tìm lời giải cho hình 3 và 4 , 6 2. Lợi dụng yếu tố trung điểm mà đề bài đã cho Hình 8 Hình 7 Q P B C A A C B D E F D E F K Tóm tắt lời giải cho hình 7 : Trên tia đối của tia AC lấy điểm P sao cho PA = BA , ta đợc ABP cân tại A . Gọi Q là trung điểm của đoạn CP thì CQ = CP/2 = ( AB + AC )/ 2 = BE . Từ đó AQ = AE = DE và AQE cân tại A và ba điểm E , F , Q thẳng hàng . Từ đây dẽ dàng tính đợc góc BEF bằng / 2 . Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD ; I và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DH và BC . Tính số đo cú góc AIJ . Tìm lời giải Từ hình vẽ ( khá chính xác ) ta dự đoán góc AIJ = 90 0 .Dựa vào yếu tố trung điểm mà đề đã cho mà vẽ thêm hình tạo sự liên kết giữa I và J . Cách 1 : ( hình 1,2) Vẽ hình phụ khai thác yếu tố trung điểm Cách 3 ( hình 3 , 4 ) Vẽ hình phụ tạo các tam giác đồng dạng để xét các quan hệ về góc 4 Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải J I H A D C B Hình 2 Hình 1 O P P J I H J I H B C D A B C D A Hình 4 Hình 3 O K P Q J I H J I H B C D A B C D A Tóm tắt lời giải cho hình 1 Gọi P là trung điểm của AH thì IP AB và P là trực tâm của ABI . Từ đó tứ giác BPIJ là h.b.h , BP // IJ mà BP AI nên JI AI . Tóm tắt lời giải cho hình 4 ( xem hình vẽ ) Vì góc DAH = góc ACB < 90 0 nên v AHD v ABC : 2 : 2 AH DH DH IH AB BC BC JB = = = nên lại có v AHI v ABJ . Ta đợc 0 0 90 AJB < 90 IAH JAB AIH = < = AOI BOJ ( g g ) AOB IOJ ( c g c ) nên góc JAB = góc JIB = góc IAH mà góc AIH + góc IAH = 90 0 nên góc AIH + góc JIB = 90 0 . Hay góc AIJ = 90 0 .( Với lớp 9 nên dùng tứ giác nội tiếp với hình 4 ) Bạn đọc tự giải cho hình 2 và hình 3 . Qua các ví dụ trên có thể rút ra một kết luận là : 1. Thông thờng cách vẽ đờng phụ xuất phát từ cách tìm kiếm lời giải bằng phân tích đi lên 2. Vẽ đờng phụ để liên kết những yếu tố đã cho với nhau : Đẩy chúng về phía nhau , tạo ra hình trung gian 3. Vẽ đờng phụ để khai thác hoặc tạo thêm giả thiết ( dựa vào kiến thức đã học ) 5 Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải 4. Vẽ đờng phụ để sử dụng một phơng pháp nào đó đặc biệt để giải : Phơng pháp tam giác đồng dạng , phơng pháp diện tích ; phơng pháp tứ giác nội tiếp ( lớp 9 ) hoặc phơng pháp đại số v. v . B . Bài tâp luyện tập Bài tập 1 : Cho góc vuông xOy . Trên tia Ox lấy điểm B và trên tia Oy theo thứ tự lấy các điểm C , D , E sao cho C nằm giữa O và D , D nằm giữa C và E ,và đồng thời thỏa mãn : OC = CD = DE = OB Tính tổng của các góc ODB và góc OEB Bài tập 2 : Cho hình vuông ABCD . Lấy M , N thứ tự là trung điểm của các cạnh AD , AB . Các đoạn thẳng CM và DN cắt nhau tại P . Chứng minh PBC cân Bài tập 3 : Độ dài đờng trung bình của một hình thang là 40 cm . Hai góc kề đáy nhỏ ( góc trong ) bằng 130 0 và 140 0 . Hãy tìm độ dài mỗi cạnh của hình thang biết rằng độ dài của đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy của hình thang đó bằng 1 cm. Bài tập 4 : Cho hình vuông ABCD , lấy điểm M tùy ý trong đoạn BC . Tia kẻ từ A và vuông góc với AM cắt đờng thẳng CD tại E ; EM cắt BD tại H . Chứng minh AH EM . 6 . Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải Chuyên đề hình học 8 tìm lời giải bằng vẽ thêm đờng phụ Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên. gian 3. Vẽ đờng phụ để khai thác hoặc tạo thêm giả thiết ( dựa vào kiến thức đã học ) 5 Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải 4. Vẽ đờng phụ để sử