CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN ĐẠI SỐ 11 Các dạng tập chương Dãy số - Cấp sớ cợng, cấp sớ nhân Phương pháp quy nạp tốn học Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học Cách chứng minh phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Dãy số Dạng 2: Xác định số hạng dãy số Trắc nghiệm xác định số hạng dãy số Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn dãy sớ Trắc nghiệm tính đơn điệu, tính bị chặn dãy sớ Cách tìm sớ hạng thứ n dãy sớ cực hay có lời giải Cách tìm cơng thức sớ hạng tổng qt cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu dãy sớ cực hay có lời giải Cách xét tính bị chặn dãy sớ cực hay có lời giải Cấp số cộng Dạng 4: Phương pháp giải tập Cấp số cộng Trắc nghiệm cấp số cộng Cách chứng minh một dãy số cấp sớ cợng cực hay có lời giải Cách tìm sớ hạng đầu tiên, cơng sai, sớ hạng thứ k cấp sớ cợng cực hay Cách tính tổng n số hạng cấp số cộng cực hay có lời giải Tìm điều kiện để dãy sớ lập thành cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất cấp sớ cợng cực hay Cấp số nhân Dạng 5: Phương pháp giải tập Cấp số nhân Trắc nghiệm cấp số nhân Dạng 6: Điều kiện để dãy số cấp số cộng, cấp số nhân Trắc nghiệm điều kiện để dãy số cấp số cộng, cấp số nhân Bài tập trắc nghiệm 60 tập trắc nghiệm Dãy số, Cấp sớ cợng, Cấp sớ nhân có đáp án chi tiết (phần 1) Phương pháp quy nạp toán học Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học A Phương pháp giải & Ví dụ Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)=Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) với n ≥ n0 ,n0 ∈ ¥ ta thực bước sau: Bước 1: Tính P(n0),Q(n0) chứng minh P(n0 )= Q(n0) Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n0 ,k ∈ ¥, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1) Ví dụ minh họa Bài 1: Chứng với số tự nhiên n ≥ ta ln có: 1+2+3+ +n= (n(n+1))/2 Đặt P(n) = 1+2+3+ +n : tổng n số tự nhiên : Ta cần chứng minh P(n) = Q(n) n ≥ ,n ∈ ¥ Bước 1: Với n = ta có P(1) = 1, Q(1) = ⇒ P(1) = Q(1) = 1đúng vớí n = Bước 2: Giả sử P(k0 = Q(k) với k ≥ ,k ∈ ¥ tức là: Ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1), tức là: Thật vậy: Vậy đẳng thức cho với n ≥ Bài 2:Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta ln có: 1+3+5+⋯+2n-1=n2 ♦ Với n = ta có VT =VP = Suy đẳng thức cho với n = ♦ Giả sử đẳng thức cho với n = k với k ≥ ,k ∈ ¥ tức là: 1+3+5+⋯+2k-1=k2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức cho với n = k+1, tức là: 1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2 (2) Thật vậy: VT(2) = 1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2 =VP(2) Vậy đẳng thức cho với n = Bài 3: Chứng minh vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức: ♦ Với n = ta có đẳng thức cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ > √3 ⇒ Đẳng thức cho với n = ♦ Giả sử đẳng thức cho với =k ≥ , tức : Ta phải chứng minh đẳng thức cho với n = k+1, tức : Thật vậy, ta có : Ta chứng minh: ⇔ (2k+1)(2k+3) < (2k+2)2 ⇒ > (luôn đúng) Vậy đẳng thức cho với số tự nhiên n ≥ Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp tốn học ứng dụng nhiều số học hình học B Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ , ta ln có Lời giải: Bước 1: Với n = ta có: VT = ; VP = ⇒ VT=VP ⇒ Đẳng thức cho vớí n = Bước 2: Giả sử đẳng thức cho với n = k ≥ 1, tức Ta chứng minh đẳng thức cho với n = k+1, tức cần chứng minh Thật vậy: ⇒ (1) đẳng thức cho với n ≥ Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau: Lời giải: Bài 3: Chứng minh với n ≥ ta có bất đẳng thức: |sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I Lời giải: Làm tương tự câu Với n=1 đẳng thức cho Gợi ý: * Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức cho * Giả sử đẳng thức cho với n = k+1, tức :|sinkα| ≤ k|sinα| (1) Ta phải chứng minh đẳng thức cho với n = k+1,tức : |sin(k+1)α| ≤ (k+1)|sinα| (2) Thật vậy: |sin(k+1)α|=|sinkα.cosα+coskα.sinα| ≤ |sinkα||cosα|+|coskα||sinα| ≤ |sinkα|+|sinα| ≤ k|sinα|+|sinα| ≤ (k+1)|sinα| Vậy đẳng thức cho với n=k+1, nên đẳng thức cho với số nguyên dương n Bài 4: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ A(n)=7 n+3n-1 ln chia hết cho Lời giải: * Với n=1 ⇒ A(1)=71+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho * Giả sử A(k)chia hết cho ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho Thật vậy:A(k+1)=7k+1+3(k+1)1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1) Vì A(k) chia hết cho 9(2k-1) chia ết A(2k+1) chia hết cho Vậy A(n) chia hết cho với số tự nhiên n ≥ Bài 5: Chứng minh tổng n – giác lồi (n ≥ 1) (n-2)180º Lời giải: * Với n = ta có tổng ba góc tam giác 180º * Giả sử công thức cho tất k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cho n-giác Ta chia n-giác đường chéo thành hai đa giác Nếu số cạnh đa giác k+1, số cạnh đa giác n – k + 1, hai số nhỏ n Theo giả thiết quy nạp tổng góc hai đa giác (k-1)180ºvà (n-k-1)180º Tổng góc n-giác tổng góc hai đa giác trên, nghĩa (k-1+nk-1)180º=(n-2)180º Suy mệnh đề với n ≥ Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học Bài 1: Mạnh cầm tờ giấy lấy kéo cắt thành mảnh sau nhặt số bảy mảnh giấy cắt lại cắt thành mảnh Mạnh tiếp tục cắt Sau hồi, Mạnh thu lại đếm tất mảnh giấy cắt Hỏi kết sau xảy ra? A Mạnh thu 122 mảnh B Mạnh thu 123 mảnh C Mạnh thu 120 mảnh D Mạnh thu 121 mảnh Hiển thị đáp án Đáp án: D Mỗi lần cắt mảnh giấy thành mảnh, tức Mạnh tạo thêm mảnh giấy Do cơng thức tính số mảnh giấy theo n bước thực S n = 6n + Ta chứng minh tính đắn công thức phương pháp quy nạp theo n Bước sở Mạnh cắt mảnh giấy thành mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7 Công thức với n = Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận số mảnh giấy S(k) = 6k + Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy số mảnh giấy nhận k bước trước cắt thành mảnh Tức Mạnh lấy S(k) mảnh thay vào mảnh cắt Vậy tổng số mảnh giấy bước k + là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + = 6k + + = 6(k+1) +1 Vậy công thức S(n) với n ∈ N* Theo công thức có phương án D thoả mãn 121 =6.20 + Đáp án D Bài 2: Cho dãy số (un) xác định un = n2 – 4n – Khi u10 bằng: A 48 B 60 C 58 D 10 Hiển thị đáp án Đáp án: C Hướng dẫn giải u10 = 102 – 4.20 – =58 Đáp án C Bài 3: Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n cơng thức truy hồi dãy là: A un+1 = +3un với n ≥ B un+1 = +3un + 3n+1 với n ≥ C un+1 = un + 3n+1 - với n ≥ D un+1 = 3un + 3n+1 - với n ≥ Hiển thị đáp án Đáp án: D Hướng dẫn giải un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = + (n+3).3n+1 + 3n+1 = + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – = 3un + 3n+1 -2 Đáp án D Bài 4: Phép chứng minh sau nhận giá trị chân lí gì? A Đúng B Sai C Không không sai D Vừa vừa sai Hiển thị đáp án Đáp án: B Phép chứng minh thiếu bước sở kiểm tra mệnh đề với n=1 Bài 5: Cho x≠0 x +1/x số nguyên Khi với số nguyên dương n, có kết luận T(n,x) = xn + 1/xn A T(n,x) số vô tỉ B T(n,x) số không nguyên C T(n,x) số nguyên D Các kết luận sai Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có Ta chứng minh T(1,x) số nguyên Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, ta có: Bước sở: T(1,x) số nguyên Khẳng định với n=1 Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) số nguyên với n ≥ Ta chứng minh T(n+1,x) số nguyên Ta có: Theo giả thuyết quy nạp, ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) số nguyên nên T(n+1,x) số nguyên Bài 6: Với số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho: Với số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho: A B C D 12 Hiển thị đáp án Đáp án: A Dễ dàng tìm đáp án n = Đáp án D Bài 13: Hai số hạng đầu của cấp số nhân 2x + 4x 2-1 Số hạng thứ ba cấp số nhân là: A 2x - B 2x + C 8x3-4x2-2x+1 D.8x3+4x2-2x-1 Hiển thị đáp án Đáp án: C Vậy công sai cấp số nhân 2x – Vậy số hạng là: (4x2-1)(2x-1)=8x3-4x2-2x+1 Đáp án C Bài 14: Với giá trị x y số -7,x,11,y theo thứ tự lập thành cấp số cộng? A.x = 1, y = 21 B.x = 2, y = 20 C x = 3, y = 19 D x = 4, y = 18 Hiển thị đáp án Đáp án: B Các số -7,x,11,y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: Đáp án B Bài 15: Tìm x để ba số + x, + x, 33 + x theo thứ tự lập thành cấp số nhân A x = B.x = Hiển thị đáp án C.x = D x = 3, x = Đáp án: B Ba số + x, + x, 33 + x theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: (1 + x)(33 + x) = (9+x)2 ⇔ 16x=48 ⇔ x=3 Đáp án B Bài tập trắc nghiệm 60 tập trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân có đáp án chi tiết (phần 1) Bài 1: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? Hiển thị đáp án Đáp án: A Đáp án A Bài 2: Cho số lập thành cấp số cộng Tổng chúng 22 Tổng bình phương chúng 166 Tổng lập phương chúng : A 22 B 166 C 1752 D 1408 Hiển thị đáp án Đáp án: D Đáp án D Gọi số lập thành cấp số cộng u1,u2,u3,u4 Vậy số 1,4,7,10 10,7,4,1 Tổng lập phương chúng: 13+43+73+103=1408 Bài 3: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với số tự nhiên n > p ( số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề A(n) với n = k Khẳng định sau đúng? A k > p B k chia hết cho p C k = p D k < p Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B Bài 4: Cho dãy số (un) xác định un = n2 – 4n – Khi u10 bằng: A 48 B 60 C 58 D 10 Hiển thị đáp án Đáp án: C Hướng dẫn giải u10 = 102 – 4.20 – =58 Đáp án C Bài 5: Cho dãy số sau Khi số hạng thứ dãy un là: A 10 B 48 C 16 D Hiển thị đáp án Đáp án: B u1=2,u2=2,u3=4,u4=12 ⇒ u5=4.12=48 Chọn B Bài 6: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 5; u2 = Tìm u4 A 512/25 B 125/512 C 625/512 D 512/125 Hiển thị đáp án Đáp án: A Bài 6: Đáp án A Bài 7: Cho dãy số sau Khi số hạng thứ dãy un là: A 10 B 48 C 16 D Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có u2=u1, u3=2u2, u4=3u3, u5=4u4=48.Chọn B Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (d) hàm số y= 4x-5 Với số nguyên dương, gọi An giao điểm của(d) đường thẳng x=n Xét dãy số (un) với un tung độ điểm An Tính u1+ +u15 A 405 B 305 C 205 D 105 Hiển thị đáp án Đáp án: A Dễ thấy un = 4n -5 Ta có: un+1 = 4(n + 1) - = 4n - ⇒ u_(n+1)=un+4 với n ≥ ⇒ (un) cấp số cộng với công sai d = Đáp án A Bài 9: Cho dãy Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có với n ≥ Khi số hạng u2n dãy un là: Bài 10: Cho dãy số sau Công thức số hạng tổng quát dãy số là: A un = 2n2 + B un = 3n C un = 2n + Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có 3n+1 =4.3n – 3.3n-1 ⇒ un=3n Chọn B Bài 11: Cho dãy số sau Công thức số hạng tổng quát dãy số Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có 2n+1 – (n+1)2n= 4(2n – n.2n-1 )- 4(2n-1 – (n-1)2n-2)→un= 2n – n.2n-1 Chọn B Bài 12: Cho tam giác ABC cân (AB=AC), có cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự số đo lập thành cấp số nhân Hãy tính cơng bội q cấp số nhân Hiển thị đáp án Đáp án: C Theo giả thiết AB=AC, BC,AH,AB lập thành cấp số nhân nên ta có hệ: Từ ta có kết sau: 2cotC = sinC ⇔ 2cosC =sin2C = 1-cos2C ⇔ cos2C + 2cosC -1 =0 ⇒ cosC = -1 +√2 (0º< C < 90º) Do C góc nhọn nên Cho nên công bội cấp số nhân là: Đáp án C Bài 13: Cho dãy số (un) biết u1 = (-1)n.52n+5 Mệnh đề sau đúng? A Dãy số un bị chặn không bị chặn B Dãy số un bị chặn không bị chặn C Dãy số un bị chặn D Dãy số un không bị chặn Hiển thị đáp án Đáp án: D Nếu n chẵn un = 52n+5 > tăng lên vô hạn (dương vô cùng) n tăng lên vô hạn nên dãy un khơng bị chặn Nếu n lẻ un = -52n+5 < giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) n tăng lên vô hạn nên dãy un không bị chặn Vậy dãy số cho không bị chặn Chọn D Bài 14: Tìm x biết 1+3 +5+ +x =64 A B 11 C 15 D 17 Hiển thị đáp án Đáp án: B =n2 = 64 ⇒ n=8 Vậy x=un=u1+(n-1)d=1+7.2=15 Đáp án C Bài 15: Cho dãy số sau Dãy số bị chặn số đây? A 1/3 B Hiển thị đáp án Đáp án: B C.1/2 D.0 Ta có nên suy dãy un bị chặn số Chọn B Bài 16: Cho dãy số sau: Khẳng định đúng? A (1) dãy đơn điệu tăng; (2) dãy đơn điệu giảm; (3) dãy đơn điệu tăng;(4) dãy đơn điệu tăng B (1) dãy đơn điệu tăng; (2) dãy đơn điệu giảm; (3) dãy đơn điệu tăng;(4) dãy không đơn điệu C (1) dãy đơn điệu tăng; (2) dãy đơn điệu tăng; (3) dãy không đơn điệu ;(4) dãy không đơn điệu D Đáp án khác Hiển thị đáp án Đáp án: C Dễ dàng có đáp án Chọn C Bài 17: Cho dãy số (un), (vn), (xn), (yn) xác định bởi: Trong dãy số có dãy bị chặn A B Hiển thị đáp án Đáp án: D C D Ta có nên bốn dãy số bị chặn Chọn D Bài 18: Tìm số (x,y) biết y < số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời số x+ 5/3, y -1, 2x – 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân A (3, -1) B (-3, -1) C (-1,-3) D (-1,3) Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có hệ phương trình: Từ ta suy Thế (1) vào (2) ta được: 8y2+7y-1=0⇒y=-1 y=1/8 Do y < , ta y = -1, x = -3 Đáp án B Bài 19: Cho dãy số (un) biết un=(-1)n.2n Mệnh đề sau sai? A u1=-2 B u2=4 C u3=-6 D u4=-8 Hiển thị đáp án Đáp án: D Thay trực tiếp dùng chức CALC: u 1=-2.1=-2;u2=(-1)2.2.2=4;u3=(1)3.2.3=6;u4=(-1)4.2.4=8 Chọn D Bài 20: Cho hai cấp số cộng(un): 4,7,10,13,16, (vn):1,6,11,16,21, Hỏi 100 số hạng cấp số cộng , có số hạng chung? A 10 B 20 C 30 D 40 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có: un = 4+(n-1).3 = 3n+1, ≤ n ≤ 100 = 1+ (k-1).5 = 5k -4, ≤ k ≤ 100 Để số số hạng chung hai cấp số cộng ta phải có: 3n +1 =5k -4 ⇔3n = 5(k-1)⇒ n⋮5 tức n = 5t, k =1 + 3t, t ∈ Z Vì ≤ n ≤ 100 nên ≤ t ≤ 20 Có 20 số hạng chung hai dãy Chọn đáp án B Bài 21: Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác đồng thời số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với cơng sai khác Tìm giá trị q A q = 1/3 B q = 1/9 C q = -1/3 D q = -3 Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: y = qx, z = x q2 Vì x, 2y, 3z lập thành CSC nên ta có: x + x q2=2.2qx ⇔ + 3q2=4q ⇔q=1(loại) q = 1/3 Đáp án A Bài 22: Cho dãy số sau Ba số hạng dãy số số đây? Hiển thị đáp án Đáp án: B Dùng MTCT chức CALC: ta có u1=1/2;u2=1/4;u3=3/26 Bài 23: Cho dãy số sau Tìm số hạng u5 A u5=1/4 B u5=17/12 C u5=7/4 D u5=71/39 Hiển thị đáp án Đáp án: C Thế trực tiếp dùng chức CALC: u5=49/28=7/4 Chọn C Bài 24: Trong dãy số sau dãy số cấp số nhân? A 1,3,5,7,9 B -1,-3,1,3,5 C 1,2,4,16,256 D 1,2,4,8,16 Hiển thị đáp án Đáp án: D Đáp án D (CSN với công bội 2) Bài 25: Nếu số + m, + 2m, 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng m bao nhiêu? A m = B m = C m = D.m = Hiển thị đáp án Đáp án: C số + m, + 2m, 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: + m + 17 + m = 2(7 + 2m) ⇔ m = Đáp án C Bài 26: Mặt sàn tầng nhà cao mặt sân 0,5m Cầu thang tầng lên tầng gồm 21 bậc, bậc cao 18cm Độ cao tầng hai so với mặt sân là: A 4,10m B 4,28m C 1,89m D 1,8m Hiển thị đáp án Đáp án: B Độ cao tầng hai so với mặt sàn h = (0,5+ 0,18n) (m) với n = 21 Vậy ta có độ cao tầng 4,28m Đáp án B Bài 27: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) Ở bước (bước sở) chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A n = B n = p Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B C n > p D n ≥ p Bài 28: Một học sinh chứng minh mệnh đề "8n+1 chia hết cho n ∈ ¥" sau: Giả sử (*) với n = k, tức 8n+1 chia hết cho Ta có: 8(k+1)+1=8(8k+1)-7 , kết hợp với giả thiết k+1 chia hết suy 8(k+1)+1 chia hết cho Vậy đẳng thức với n ∈ ¥ Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp Hiển thị đáp án Đáp án: D Thiếu bước kiểm tra với n = 1, ta có +1 = không chi hết cho Chọn D Bài 29: Ba số hạng đầu cấp số nhân x – 6, x y Tìm y, biết công bội cấp số nhân A y = 216 B y = 216/5 C y = 1296/5 D y = 12 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có x = 6(x – 6) ⇔ x = 7.2 Từ suy y = 6x = 43.2 Đáp án B Bài 30: Trong dãy số sau, dãy dãy số nhân? Hiển thị đáp án Đáp án: C Đáp án C ... Với số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho: A B C D 12 Hiển thị đáp án Đáp án: A Dễ dàng tìm đáp án n = Bài 7: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với số tự nhiên n > p ( số. .. đáp án Đáp án: B Phép chứng minh thiếu bước sở kiểm tra mệnh đề với n=1 Bài 5: Cho x≠0 x +1/x số nguyên Khi với số nguyên dương n, có kết luận T(n,x) = xn + 1/xn A T(n,x) số vô tỉ B T(n,x) số. .. có phương án D thoả mãn 121 =6.20 + Đáp án D Bài 2: Cho dãy số (un) xác định un = n2 – 4n – Khi u10 bằng: A 48 B 60 C 58 D 10 Hiển thị đáp án Đáp án: C Hướng dẫn giải u10 = 102 – 4.20 – =58 Đáp