Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị ii . Mục đích nghiên cứu Từ thực tế giảng dạy môn toán cho học sinh khá , giỏi tôi đã rút ra đợc một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề : Một số phơng pháp giải bài toán cực trị với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để giúp học sinh : -Nắm đợc các dạng bài và phơng pháp giải các bài toán cực trị . -Rèn kĩ năng làm bài toán cực trị -Học sinh thấy đợc loại toán gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế . -Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ , các thao tác t duy : So sánh , phân tích , tổng hợp , đặc biệt hoá , khái quát hoá , III Ph ơng pháp nghiên cứu : Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là : - Phơng pháp thực nghiệm . - Phơng pháp phân tích tổng hợp . - Phơng pháp đặc biệt hoá - Khái quát hoá . B . Nội dung đề tài . Nội dung đề tài gồm 3 phần: Phần I : Khái quát chung. Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số. Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học. Phần IV : Kết quả thực hiện đề tài . Phần V : Kết luận. Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị Phần I Khái quát chung A/Mục đích yêu cầu: 1/ Đối với giáo viên: - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơng pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị. - Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán về cực trị. 2/ Đối với học sinh: - Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài toán cực trị. - Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó. - Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị vào đời sống. B. Lý thuyết chung: Các bài toán cực trị có nguồn gốc từ rất xa xa trong lịch sử toán học. Nó bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn của con ngời, ngày nay các bài toán cực trị đợc nghiên cứu rất nhiều và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật. Chúng góp phần hình thành nên các ngành của toán học nh quy hoạch tuyến tính, lý thuyết điều khiển tối u. Trong đề tài này, tôi chỉ đề cập đến những bài toán cực trị giải không dùng phơng pháp đạo hàm. Xét hàm số n biến: F (x,y,z .) liên tục trên miền đóng D R n Nếu F(x,y,z .) A với mọi (x,y,z) D = const Đồng thời (x 0 ,y 0 ,z 0 .) sao cho F(x 0 ,y 0 ,z 0 .) = A, thì A gọi là giá trị lớn nhất của F (x 0 ,y 0 ,z 0 .) trên D. Ký hiệu max F (x 0 ,y 0 ,z 0 .) = A Tơng tự, nếu F (x 0 ,y 0 ,z 0 .) A (a = const) (x,y,z .) D Và (x 0 ,y 0 ,z 0 .) D sao cho F (x 0 ,y 0 ,z 0 .) = a Thì a là giá trị nhỏ nhất của F (x,y,z .) trên D Ký hiệu: min F (x,y,z .) = a Trong chơng trình Trung học cơ sở, thông thờng n = 3;1 . Nh vậy để giải một bài toán cực trị, thông thờng ta tiến hành theo 2 bớc: Bớc 1: Chỉ rõ F (x,y,z .) a (hoặc A) (Với A; a là hằng số) (x,y,z .) D Bớc 2: Chỉ ra đợc (x 0 ,y 0 ,z 0 .) D sao cho F (x 0 ,y 0 ,z 0 .) = a (hoặc = A) Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị Phần II một số bài toán cực trị trong đại số I/ Cực trị của hàm đa thức một biến: 1.1- Phơng pháp: Đa về dạng: f (x) = k g 2 (x) (k = const) Nếu f (x) = k + g 2 (x) thì min f (x) = k g (x) = 0 Nếu f (x) = k - g 2 (x) thì max f (x) = k g (x) = 0 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = (x+2) 2 + (x-1) 2 Giải: Ta có: (x+2) 2 0 dấu = x = - 2 (x-1) 2 0 dấu = x = 1 Nên A > 0 Nhng không thể kết luận đợc min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức. Do vậy ta phải giải nh sau: A = (x+2) 2 + (x-1) 2 = x 2 + 4x + 4 + x 2 - 2x + 1 = 2x 2 + 2x + 5 = 2 ( x 2 +x + 2 5 ) = 2 (x 2 + 2x 2 1 + 4 1 ) + 4 9 = 2 (x + 2 1 ) 2 + 2 9 Do đó min A = 2 9 khi x = - 2 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = - ( x-1) (x + 2 ) (x + 3) (x + 6) Giải: Ta có: B = - ( x 2 + 5x - 6) (x 2 + 5x + 6) Đặt: x 2 + 5x = t Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t 2 -36) B = 36 - t 2 36 x = 0 Vậy B = 36 khi x 2 + 5x = 0 x = -5 x= 0 Do đó: max B = 36 Khi x = -5 1.2- Một số nhận xét: - Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất ). Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị - Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến. Cụ thể nh ví dụ 1 ta có thể dặt y = x + 2 kho đó A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2 1.3- Một số bài tập tơng tự: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x + 9 B = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 1 C = (x+1) 2 + ( x+3) 2 D = x( x+1) ( x+2) ( x+3) E = x 6 - 2x 3 + x 2 - 2x + 2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A= 4x - x 2 +1 B = 5- 8x- x 2 C = -5x 2 - 4x + 1 D = 1- x- x 2 II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số: Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P = 19x 2 + 54y 2 + 16z 2 - 16xz- 24yz + 36x + 5 Giải: P = (9x 2 +36xy+36y 2 )+(18y 2 - 24yz+8z 2 )+ (8x 2 -16xz+8z 2 )+2x 2 + 5 = 9 (x + 2y) 2 + 2 (3y- 2z) 2 + 8 (x- y) 2 + 2x 2 + 5 Ta thấy P 5 Với x = y = z = 0 thì P = 5 Do đó P = 5 khi x = y = z = 0 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = 15- 10x- 10x 2 + 24 xy- 16y 2 Giải: Q = - (x 2 + 10x + 25) - (9x 2 - 24xy + 16y 2 ) + 40 = 40- (x + 5) 2 - (3x- 4y) 2 40 x = -5 Vậy max Q = 40 y = - 4 15 Nhận xét: + Ta vận dụng kiến thức cho F = F 1 + F 2 thì maxF = maxF 1 + maxF 2 hay (min F = min F 1 + min F 2 ) Trong đó F 1 ,F 2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa cùng một biến thì cùng đạt max (min) tại một bộ giá trị xác định của biến (Với đa thức nhiều biến) + Trong quá trình giải ta có thể dùng cách đổi biến Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M M = a 2 - 4ab + 5b 2 + 10a- 22b + 28 Giải: Cách 1: M = a 2 - 4ab + 5b 2 + 10a- 22b + 28 = (a 2 - 4ab + 4b 2 ) + (b 2 - 2b + 1) + 27 + 10a-20b = (a- 2b) 2 + (b- 1) 2 + 27 + 10 (a- 2b) Đặt a- 2b = t ta đợc Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị D = t 2 + (b- 1) 2 + 27 + 10t = (t + 5) 2 + (b- 1) 2 + 2 2 t + 5 = 0 a- 2b + 5 = 0 a = -3 Dấu = xảy ra khi b- 1 = 0 b = 1 b = 1 Vậy min M = 2 b = 1; a = -3 Cách 2: Đối với đa thức nhiều biến ta có thể chọn một biến làm biến chính rồi thêm bớt cùng một hạng tử để trở thành hằng đẳng thức bình phơng một tổng hoặc bình phơng một hiệu (a 1 + a 2 + .+ a n ) 2 = a 1 2 + a 2 2 + .+ a n 2 + 2a 1 a 2 + .+ 2a n-1 a n + 2a n a 1 M = a 2 - 4ab + 5b 2 + 10a- 22b + 28 = ( a 2 + 4b 2 + 25- 4ab + 10a- 20b) + (b 2 - 2b + 1) + 2 = (a- 2b + 5) 2 + (b-1) 2 + 2 Vì (a- 2b +5 ) 2 0 ; (b-1) 2 0 a,b R (b-1) 2 = 0 b = 1 M 2 min M = 2 (a- 2b + 5) 2 = 0 a = - 3 áp dụng phơng pháp này ta có thể làm cho ví dụ 3 và ví dụ 4. Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ax 2 + by 2 + cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0) = a(x 2 + a c 2 2 x + 2 2 4a c ) + b(y 2 + b d 2 2 y + 2 2 4b d )- a c 4 2 - b d 4 2 + e = a(x + a c 2 ) 2 + b (y + b d 2 ) 2 + ab abeadbc 4 4 22 + Vì a,b > 0 ; (x + a c 2 ) 2 0; (y + b d 2 ) 2 0 x,y R A ab abeadbc 4 4 22 + Amin = ab abeadbc 4 4 22 + x + a c 2 = 0 x = a c 2 y + b d 2 = 0 y = b d 2 Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = (x- 2y + 1) 2 + (2x + ay + 5) 2 (a là hằng số) Giải: Ta có N 0 (x- 2y + 1) 2 = 0 Dấu đẳng thức xảy ra (Có nghiệm) Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị (2x + ay + 5) 2 = 0 x- 2y + 1 Có nghiệm 2 a 1 2 a -4 2x + ay + 5 = 0 Nếu a = - 4 ta có M = (x- 2y + 1) 2 + (2x- 4y + 5) 2 2 = (x- 2y + 1) 2 + 2(x- 2y + 1) + 3 = (x- 2y + 1) 2 + 4 (x- 2y + 1) 2 + 12 (x- 2y + 1) + 9 = 5 (x- 2y + 1) 2 + 5 12 (x- 2y + 1) + 25 36 + 5 9 2 = 5 (x- 2y + 1) + 5 6 + 5 9 2 = 5 x- 2y + 5 11 + 5 9 5 9 Dấu đẳng thức xảy ra x- 2y + 5 11 = 0 M min = 0 x- 2y + 5 11 0 Bài tập t ơng tự: Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 1- 4x- 5x 2 B = xy- x 2 - y 2 + 4x+ 5 C = x 2 + y 2 - 6x- 2y + 17 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 5x 2 - 12xy + 9y 2 - 4x + 4 B = x 2 + xy + y 2 - 3x- 3y + 2003 C = 10x 2 + 12xy + 4y 2 + 6x + 7 D = 2x 2 + 9y 2 - 6xy- 6x- 12y + 2004 E = x 2 - 2xy + 6y 2 - 12x + 12y + 45 F = (x+2y) 2 + (x- 4) 2 + (y- 1) 2 - 27 G = x 4 - 8xy- x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 + 2001 H = (x-y) 2 + (x+1) 2 + (y- 5) 2 + 2006 I = x 2 + 2y 2 + 3z 2 - 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2000 III/ Cực trị của phân thức đại số: 3.1- Một số kiến thức cần lu ý: Cho P = A m với A > 0 : - Nếu m = 0 P = 0 Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị - Nếu m > 0 max P = Amin 1 ; min P = Amax 1 - Nếu m < 0 ta có max P = Amax 1 ; min P = Pmin 1 Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán cực trị của đa thức. 3.2- Các ví dụ: Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 544 3 2 + xx Giải: M = 544 3 2 + xx = 4)12( 3 2 + x Ta thấy: (2x- 1) 2 0 nên (2x- 1) 2 + 4 4 Do đó 4)12( 3 2 + x 4 3 (Theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử mẫu đều dơng) Vậy maxM = 4 3 với x = 2 1 Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức 3 1 2 x Mẫu thức x 2 - 3 có giá trị lớn nhất là (-3) khi x = 0 Nhng với x= 0 thì: 3 1 2 x = 3 1 không phải là giá trị lớn nhất của phân thức (Chẳng hạn với x = 2 thì 3 1 2 x = 1 > 3 1 ) Từ a < b chỉ suy ra a 1 > b 1 khi a,b cùng dấu Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: N = 54 662 2 2 ++ ++ xx xx Giải: N = 54 662 2 2 ++ ++ xx xx = 54 1254 2 22 ++ +++++ xx xxxx (x + 1) 2 0 x = 1 + 1)2( )1( 2 2 ++ + x x 0 x vì (x+2) 2 + 1 > 0 x Dấu = xảy ra x = -1 vậy min N = 1 x = -1 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị P = 12 1 2 2 + + xx xx Giải: P = 12 1 2 2 + + xx xx = 2 2 )1( 1112 +++ x xxx = 1 + 1 1 x + 2 )1( 1 x Đặt 1 1 x = A ta có P = 1 +A + A 2 P = A 2 + A + 1 = A 2 + 2A 2 1 + 4 1 + 4 3 = (A + 2 1 ) 2 + 4 3 4 3 P = 4 3 khi A = - 2 1 hay x = -1 Vậy min P = 4 3 x = -1 3.3- Nhận xét: ở ví dụ 6: Phân thức có tử là hằng số, nên bài toán đa về tìm cực trị của đa thức ở mẫu. Trong ví dụ 7, ví dụ 8: ta đã chia tử cho mẫu vì bậc của tử và mẫu bằng nhau. Trong ví dụ 8 là trờng hợp mẫu là bình phơng của nhị thức ta có thể đổi biến. 3.4- Một số bài tập tơng tự: Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 2 956 2 xx B = 2 2 )1( 1 + ++ x xx C = 1 1 2 2 + + xx x Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: D = 544 3 2 + x E = 2 )1( + x x G = 2 12 2 + + x x IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: 4.1- Kiến thức cần thiết: a, f (x) = f (x) nếu f (x) 0 f (x) = - f (x) nếu f (x) 0 b, f (x) + g (x) f (x) + g (x) dấu = xảy ra f (x). g (x) 0 c, f (x) - g (x) f (x) - g (x) dấu = xảy ra f (x). g (x) 0 f (x) g (x) max f (x) = A d, Giả sử ta có Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a 1 ,b 1 ) Nếu f (x) 0 ta có: max f (x) = max f (x) = A trên đoạn (a 1 ,b 1 ) min f (x) = min f (x) = a trên đoạn (a 1 ,b 1 ) Nếu max f (x) 0 còn min f (x) 0 trên đoạn (a 1 ,b 1 ) Ta có: max f (x) = max (A; a ) min f (x) = 0 Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên đoạn (a 1 ,b 1 ) min f (x) = - max f (x) trên đoạn (a 1 ,b 1 ) Chứng minh: a, Luôn đúng theo định nghĩa b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có - f (x) f (x) f (x) - g (x) g (x) g (x) Cộng từng vế hai bất đẳng thức kép ta có - (f (x) + g (x)) f (x) + g (x) f (x) + g (x) f (x) + g (x) f (x) + g (x) Dấu đẳng thức xảy ra f (x) và g (x) cùng dấu f (x).g (x) 0 f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x) f (x) -g (x) + g (x) f (x) -g (x) f (x) - g (x) Dấu đẳng thức xảy ra f (x) . g (x) 0 d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phơng hai vế ( Xét các trờng hợp có thể xảy ra) Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8 Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x) f (x) + g (x) Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + .+ h(x) f (x) + g (x) + .+ h(x) Dấu đẳng thức xảy ra f (x), g (x), ., h(x) cùng dấu. (Việc chứng minh đơn giản) Giải: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x áp dụng bất đẳng thức trên ta có: A x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24 Dấu đẳng thức xảy ra x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu - 1 x 6 4.2- Các ví dụ: Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau: A = x-1996 + x- 2000 Giải: Cách 1: Chia khoảng để xét. Nếu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x Do x < 1996 2x < 3993; -2x > -3992 A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4 A> 4 (1) Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị Nếu 1996 x 2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2) Nếu x > 2000 thì A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996 x > 2000 2x > 4000 2x- 3996 > 4000- 3996 A > 4 (3) Từ (1), (2), (3) min A = 4 1996 x 2000 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức x + y x +y dấu = xảy ra khi xy 0 Ta có: A = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + 2000- x x- 1996- x +2000 = 4 Vậy A 4 (x- 19996) (2000- x) 0 Lập bảng xét dấu: x 1996 2000 x- 1996 - 0 + + 2000- x + + 0 - (x-1996) (2000- x) - 0 + 0 - (x- 1996) (2000- x) 0 1996 x 2000 Vậy min A = 4 1996 x 2000 Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = x- x 2 - 4 3 -2 Giải: Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất x- x 2 - 4 3 đạt giá trị nhỏ nhất Đặt f(x) = x- x 2 - 4 3 ta có f(x) < 0 x R/ f(x) = - (x 2 - x + 4 1 + 2 1 = - (x- 2 1 ) 2 - 2 1 - 2 1 Dấu = xảy ra x = 2 1 vậy max f(x) = 2 1 x = 2 1 Theo ý (d) vì max f(x) = - 2 1 x = 2 1 min f(x) = 2 1 khi x = 2 1 min B = 2 1 - 2 = - 2 3 khi x = 2 1 4.3- Bài tập ứng dụng: Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau: A = 2x- 3 B = 5- 3x + 2 C = 5 1- 4x - 1 D = x -1 + x- 4 E = 5- 2x -1 Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh [...]... Nhận xét : Các bài toán về cực trị diện tích phần lớn là giải đợc bằng phơng pháp 2 2 Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị đại số Trong đó đặc biệt là phơng pháp vận dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski III/ Một số bài toán cực trị về thể tích: Khi giải các bài toán cực trị về thể tích ta tìm cách đa bài toán đó về bài toán cực trị diện... ong pháp giải bài toán cực trị phần III cực trị hình học A Lý thuyết chung Các bài toán về cực trị hình học là các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một đại lợng biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác, thể tích khối đa diện ) Để giải các bài toán cực trị hình học ta cần tiến hành theo hai bớc: 1/ Tìm đợc các giá trị cố định f1,f2 thoả mãn f1 f f2 2/ Chỉ rõ các vị trí... diện tích các miền nhỏ + Các hằng bất đẳng thức đã trình ở phần I + Khi giải các bài toán cực trị về diện tích, ta có thể đa về việc giải các bài toán cực trị về độ dài đoạn thẳng tơng ứng Hoặc có thể đa về các bài toán cực trị đại số 2/ Các ví dụ: Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD A E B điểm M nằm trên đờng chéo AC hạ ME AB tại E MF BC tại F Tìm vị trí của M để diện tích DEF lớn nhất Giải: M F Cách 1:... giá trị lớn nhất cần tìm là a3 12 đạt đợc khi H=O Tức là khi D nằm trên đ- ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại tâm O của tam giác, đồng thời cách O một khoảng a 3 Có hai điểm D thoả mãn (là D1,D2 trên hình) IV/ Một số cách sáng tạo bài toán cực trị: - Từ kết quả của một số bài toán, đặc biệt là các bài toán cực trị ta có thể sáng tạo các bài toán cực trị mới bằng cách dựa vào các định lý, các. .. dụng các kiến thức đại số để giải toán cực trị hình học Phơng pháp này cho phép ta đa việc xét các bài toán cực trị đại số Khi đó, về lý thuyết ta có Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị thể vận dụng tất cả các phơng pháp đã nói đến trong phần II Song đặc biệt phải chú ý đến phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Côsi- Svac 2/ Các bài toán. .. 1 2 Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của: D = x 2 + 3 x E = 8 2 x + 2 x 3 G= 6 x x x +3 VI/ Cực trị có điều kiện: Các bài toán về cực trị có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó Để giải quyết đợc các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bớc trung gian một cách hợp lý và khéo léo Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theo cách giải ở trên 6.1- Các. .. : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = 1+x 1+ y 1+z x y z X/ Sáng tạo bài toán cực trị: Ví dụ: Từ một số phơng pháp đi tìm ực trị ta có thể vận dụng và khái quát thành một số bài tập mới Trong việc giải toán cực trị phải biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo tuỳ theo yêu cầu của một số bài toán Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 25: a, Tìm giá trị lớn nhất của A = x3 (... những kiến thức cơ bản và nắm đợc các dạng bài và phơng pháp giải bài toán cực trị , cụ thể : Một là : Học trên lớp một cách tích cực , chủ động , cố gắng nắm đợc hệ thống của toàn bài và phối hợp nghe , suy nghĩ , ghi chép một cách tốt hơn Mạnh dạn phát biểu ý kiến nêu hớng giải và phát triển bài toán Hai là : Luôn tìm tòi sáng tạo trong giải toán , quá trình giải toán chính là quá trình rèn luyện... Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị và sáng tạo III - Những vấn đề còn bỏ ngỏ và điều kiện thực hiện đề tàI 1 Những vấn đề còn bỏ ngỏ Bàn về phơng pháp giải bài toán cực trị thì còn rất nhiều điều đáng nói Trong phạm vi đề tài này tôi mới chỉ đề cập đến các phơng pháp giải bài toán cực trị ở những dạng cơ bản mà học sinh thờng gặp trong quá trình giải toán khi thi học sinh giỏi hoặc... của đại lợng biến thiên đang xét để tại đó đạt đợc giá trị lớn nhất f2 hoặc giá trị nhỏ nhất f1 tức laaf hỉ rõ các vị trí hình học để cho dấu đẳng thức xảy ra Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm ra 1 trong hai giá trị trên B Một số dạng toán cực trị thờng gặp và phơng pháp giải: I/ Các bài toán cực trị về độ dài các đoạn thẳng, độ dài cung tròn 1/ Các bất đẳng thức hình học cần thiết: M a, Quan hệ giữa . loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó. - Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị. chú ý khi giải các bài toán về cực trị. 2/ Đối với học sinh: - Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài toán cực trị. - Nhận