SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH BIẾT VẬN DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI - ĐẠI SỐ 9 Người thực hiện: PHẠM THỊ HUYỀN Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Cẩm Tân SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU Trang 1 1.1 Lí do chọn đề tài Trang 1 1.2 Mục đích nghiên cứu Trang 1 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 1 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 1 2 NỘI DUNG Trang 3 2.1 Cơ sở lí luận Trang 3 2.2.Thực trạng vấn đề Trang 3 2.3 Các biện pháp thực hiện Trang 3 2.3.1 Phân tích kiến thức, kỹ năng và những nguyên nhân Trang 3 dẫn đến học sinh giải sai phần rút gọn biểu thức chứa căn 2.3.2 Phát hiện những sai lầm thường gặp khi vận dụng giải toán về căn bậc hai Trang 4 2.3.3 Biết sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai Trang 7 2.3.4 Một số dạng bài tập thi học kỳ và thi tuyển sinh vào lớp 10, thi HSG các cấp các năm Trang 10 2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Trang 15 3 KẾT LUẬN, KIẾN THỨC Trang 17 3.1 Kết luận Trang 17 3.2 Đề xuất Trang 17 Danh mục tham khảo Trang 18 1 MỞ ĐẦU: 1.1 Lí do chọn đề tài Toán học là một môn học dành được nhiều sự quan tâm chú ý của các nhà nghiên cứu, các bậc phụ huynh và học sinh Nó đóng vai trò rất quan trọng trong thực tiễn cuộc sống, ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau như: Kinh tế, tài chính, kế toán, Nhưng học toán với nhiều học sinh cũng không phải là dễ, khi học tập và nghiên cứu môn học này, học sinh thường gặp nhiều khó khăn trở ngại trong việc đưa ra phương pháp hợp lí để giải một bài toán cho đúng hoặc nên nhờ vào công thức nào để vận dụng vào bài tập mình cần làm Trong quá trình giảng dạy môn toán ở cấp THCS, bản thân tôi nhận thấy: Phần rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai là một đơn vị kiến thức trọng tâm của chương trình Đại số 9 Đặc biệt trong các kỳ thi vượt cấp, thi HSG, có nhiều bài toán rất dễ nhưng học sinh vẫn lúng túng, giải chưa tốt, chưa linh hoạt, vì vậy, việc rèn cho học sinh lớp 9 thực hiện tốt dạng toán này là yêu cầu bắt buộc Để giúp các em giải quyết được mối băn khoăn lúng túng của mâu thuẫn này, với kinh nghiệm của nhiều năm công tác tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh biết vận dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai – Đại số 9” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài này đưa ra một số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào thực hành giải bài tập Đại số 9 phần: “ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ”để nhằm mục đích giải quyết được phần nào thắc mắc trong khâu giải bài tập và tìm ra lời giải thích hợp cho học sinh để góp phần nâng cao sự nghiệp giáo dục và tinh thần trách nhiệm của người thầy giáo trong sự nghiệp giáo dục Giúp học sinh biết sử dụng các hằng đẳng thức đã học một cách thích hợp, biết tổng hợp và bố cục một bài toán như thế nào Khắc phục những sai lầm khi học sinh giải dạng toán này và luyện thi cũng như các bài tập nâng cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán chứa căn thức bậc hai mà đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 9 trường THCS Cẩm Tân, điều này có thể giúp tôi đi sâu vào nội dung nghiên cứu và cung cấp cho học sinh những kiến thức, phương pháp, kỹ năng giải toán rút gọn biểu thức chứa căn - Vận dụng chính xác các hằng đẳng thức khi rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những phương pháp sau : 1 - Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó - Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong cả khối 9 của trường THCS Cẩm Tân mà tôi đang trực tiếp giảng dạy để thống kê học lực của học sinh Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến căn bậc hai (qua các phiếu học tập, các bài kiểm tra và câu hỏi trắc nghiệm ) - Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra, tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh, tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà HS thường mắc phải - Về lí thuyết: Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản đã học, tham khảo thêm các sách ngoài luồng và sách nâng cao - Đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó, các dạng toán luyện thi và lưu ý học sinh các sai lầm dễ mắc phải trong quá trình giải toán 2 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Trong chương trình Toán 9, sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập( tập 1)đưa ra nhiều dạng bài tập rút gọn biểu thức chứa căn, đặc biệt trong các kỳ thi học kỳ I, học kỳ II, ôn thi vào lớp 10, thi HSG các cấp, Học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính có chứa căn thức bậc hai Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, thuộc các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8, biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập Khó khăn ở đây là các em học các hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn Vì vậy ta phải làm sao cho học sinh nhìn thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 và hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào việc giải bài tập 2.2 Thực trạng vấn đề : Là giáo viên trực tiếp giảng dạy nhiều năm và liên tục dạy chương trình toán 9 ở trường THCS Cẩm Tân.Theo dõi trong quá trình học tập, qua các bài kiểm tra và trong thi cử khi gặp dạng toán này nhiều em thường mắc sai lầm như: Thiếu điều kiện, phương pháp giải máy móc, lúng túng khi vận dụng phương pháp giải vào từng dạng toán cụ thể, nhất là khi vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào biểu thức có chứa căn, dẫn đến chất lượng chưa cao Vì vậy sắp xếp các bài tập theo mức độ từ thấp đến cao theo từng dạng toán với phương pháp giải phù hợp giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ là việc làm hết sức cần thiêt Cụ thể: Qua khảo sát giữa hai lớp 9A, 9B của năm học trước 2017 – 2018 kiểm nghiệm qua các bài kiểm tra phần này khi chưa áp dụng đề tài cho thấy: Lớp Sỹ số Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 9A 40 5 12,5 10 16 25 16 40 9 22,5 9B 39 5 12,8 7 18.1 19 48,8 8 20,3 Tổng 79 12 15,2 16 20,3 33 41,9 17 21,6 2.3 Các biện pháp thực hiện : 2.3.1 Phân tích kiến thức, kỹ năng và những nguyên nhân dẫn đến học sinh giải sai phần rút gọn biểu thức chứa căn + Về lý thuyết 3 - Nhiều học sinh chưa thuộc và đang quên các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 nên khi áp dụng để rút gọn còn lúng túng, không giải được - Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, cho học sinh ôn kỹ lại những hằng đẳng thức đã học như sau: 1 Bình phương của một tổng: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 2 Bình phương của một hiệu: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3 Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b ) 4 Lập phương của một tổng : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5 Lập phương của một hiệu : ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6 Tổng hai lập phương : a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) 7 Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) - Biết vận dụng nó để đưa vào những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 viết dưới dạng có dấu căn: 1) a + 2 ab + b = 2) a − 2 a + 1 = ( ( a+ b ) a −1 ) 2 2 ( ) ( ) = ( a + b ) ( 4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + 5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ) ( 1 + 3) a − b = a 2 − b 2 3 3 3 3 a− b ( ) b ) a − ab + b a +a ) ) 6) a b + b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) Có những hằng đẳng thức ít sử dụng vào lớp 9 nên tôi không đưa vào phần ghi nhớ ở lớp 9 - Nêu tóm tắt lý thuyết cần nhớ đã được học trong chương trình SGK sau đó đưa ra các dạng bài tâp cơ bản, bài tập nâng cao, các đề luyện thi, đi từ dễ đến khó sau mỗi dạng bài tập rút ra được phương pháp giải và tránh những sai lầm hay mắc phải khi giải toán 2.3.2 Phát hiện những sai lầm thường gặp khi vận dụng giải toán về căn bậc hai a Sai lầm trong các kỹ năng tính toán : Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai : Ví dụ 1 : Tìm x, biết : 4(1 − x) 2 -6=0 * Lời giải sai : 4(1 − x) 2 - 6 = 0 ⇔ 2 (1 − x) 2 = 6 ⇔ 2 (1 – x ) = 6 ⇔ 1 – x = 3 ⇔ x = - 2 4 * Phân tích sai lầm: Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một A 2 = | A|, có nghĩa là : cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A 2 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm ); A 2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ) Vậy thì theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm * Lời giải đúng : 4(1 − x) 2 -6=0 ⇔ 2 (1 − x) 2 =6 ⇔ |1- x | = 3 Ta phải đi giải hai phương trình sau: 1) 1- x = 3 ⇔ x = -2 2) 1- x = -3 ⇔ x = 4 Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4 Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A= x+ x * Lời giải sai : A = x + Vậy min A = - x =(x+ x + 1 ) 4 - 1 4 =( + 1 2 ) ≥ 2 - 1 4 1 4 * Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ hợp xảy ra f(x) = - x 1 xảy ra khi và chỉ khi 4 * Lời giải đúng : Để tồn tại x =- 1 , chưa chỉ ra trường 4 1 (vô lý) 2 x thì x ≥0 Do đó A = x + x ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x = 0 b Sai lầm trong kỹ năng biến đổi và sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai : Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức : * Lời giải sai : x2 − 3 x+ 3 x 2 − 3 ( x − 3 )( x + 3 ) = = x− 3 x+ 3 x+ 3 5 * Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = - 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức x2 − 3 sẽ không tồn tại Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng x+ 3 sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, không có điều kiện, vì vậy biểu thức trên có thể sẽ không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được * Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, mà để phân thức tồn tại thì cần phải có x + 3 ≠ 0 hay x ≠ - 3 Khi đó ta có: x 2 − 3 ( x − 3 )( x + 3 ) = = x − 3 (với x ≠ x+ 3 x+ 3 3 ) Ví dụ 2: Cho biểu thức: Q= ( x 1− x + x 1+ x 3− x x −1 )+ với x ≠ 1, x > 0 a, Rút gọn Q b, Tìm x để Q > -1 Giải: với x ≠ 1, x > 0 Q= ( x 1− x =( = + x 1+ x )+  x (1 + x ) + x (1 − x )  3 − x 3− x = + (1 − x )(1 + x ) x −1 1− x   2 x 3− x 2 x − (3 − x ) x + x + x − x 3− x =( = )− − 1− x 1− x 1− x 1− x 1− x 3 x −3 −3 3 = =− 1− x 1+ x 1+ x * Lời giải sai ý b: Q > -1 nên ta có: − 3 > -1 ⇔ 3 > 1 + 1+ x x ⇔ 2> x ⇔ 4 > x hay x < 4 Vậy với x < 4 thì Q < -1 * Phân tích sai lầm : Học sinh đã bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức mà không đổi chiều của dấu BĐT ( Kiến thức lớp 8 ) vì thế có được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai * Lời giải đúng : Với Q > -1 nên ta có − 3 3 > -1 ⇔ 3 ⇔ x >2 ⇔ x>4 Vậy với x > 4 thì Q > -1 6 2.3.3 Biết vận dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai Ví dụ 1: Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :  x −2 x + 2  ( 1 − x) P =  − ÷ ÷ 2 x − 1 x + 2 x + 1   2 Nhận xét : Biểu thức đã cho liên quan đến hai hằng đẳng thức sau : x −1 = ( )( x −1 x + 2 x +1 = ( ) x +1 ) x +1 2 Trước khi giải gv lưu ý nhắc HS điều kiện bài toán để tránh sai lầm Áp dụng vào bài toán ta có lời giải sau: Giải ĐK: x ≥ 0 ; x ≠ 1 P=( x −2 x +2 (1 − x) − ) x −1 x + 2 x +1 2 x −2 x +2 (1 − x) 2 − =( ) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2 2 ( x − 2)( x + 1) − ( x + 2)( x − 1) (1 − x ) 2 =( ) ( x − 1)( x + 1) 2 2 x + x − 2 x − 2 − x + x − 2 x + 2 (1 − x) 2 =( ) ( x − 1)( x + 1) 2 2 −2 x − x ( x − 1) (1 − x) 2 =( ) = ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2 = − x ( x + 1)( x − 1) =( x + 1) x( x- 1) = x (1- x) Ví dụ 2: Bài 85 / 16 - sbt : Cho biểu thức : P = x +1 2 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 với x ≥ 0 ; x ≠ 4 a, Rút gọn P b, Tìm x để P = 2 Nhận xét: Lưu ý học sinh xem bài toán cho có dạng hằng đẳng thức nào đã nêu ở trên, từ đó các em sẽ nhận ra được hằng đẳng thức cần áp dụng trong bài: 7 ( )( ) 4 − x = 2 + x 2 − x và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P Giải: Với x ≥ 0; x ≠ 4 ta có: x +1 a) P = P= x −2 ( 2 x + )( + x +2 ) x +1 2 +5 x = 4−x x +2 +2 x ( x +1 x −2 + 2 x ) ( x +2 − ) x −2 − 2 +5 x 2 +5 x x−4 x −4 P= x + 2 x + x + 2 + 2x − 4 x − 2 − 5 x x −4 P= 3x − 6 x = x −4 b) P = 2 ⇔ 3 x ( x −2 3 x ( ( x +2 ) x −2 )( ) x +2 3 x = ) ( =2 ⇔3 x =2 x +2 ( ) ) x + 2 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16 Ví dụ 3: Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức:  1 1   a +1 a +2 Q= − − ÷ ÷:  a   a −2 a −1 ÷  a −1  voi a > 0; a ≠ 4 ; a ≠ 1 a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị của a để Q dương Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, cho học sinh quan sát và nhận thấy xuất hiện dạng hằng đẳng thức thứ 3 đã học ở lớp 8, vận dụng vào lớp 9 và giải như sau: Giải: Với a >0; a ≠ 4 ; a ≠ 1 ta có: 1   a +1 a +2  1 a )Q =  − − ÷ ÷:  a   a −2 a −1 ÷  a −1  ( ) ÷:  (  a − a −1 Q=  a a −1  ( )  1 Q=  a a −1  ( b) Q > 0 ⇔ ( ) ÷   )( a +1 ) ( ( a − 2) ( a −1 −   a −1 − a − 4 ) ( ) ÷:  ( ÷  a −2 a −1   a −2 3 a ( )( ) > 0 ⇔ vi 3 ) a+2 ) a −1 )( ) a −2  ÷ ÷    1 ÷=  ÷  a a −1   ( )  ÷  ÷  ( a −2 )( ) ( a −1  ÷= ÷ 3  a −2 3 a a > 0(a > 0) ⇒ a − 2 > 0 ⇔ a > 2 ⇔ a > 4 8 ) Ví dụ 4: Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức: B = ( 2x + 1 x 1 + x3 − )( − x ) Với x ≥ 0 ; x ≠ 1 x −1 x + x +1 1+ x a, Rút gọn B b, Tìm x để B = 3 Nhận xét: Bài toán cho có dạng hằng đẳng thức thứ 6 và thứ 7 đã học ở lớp 8, ta đưa về dạng hằng đẳng thức lớp 9 có chứa căn thức nêu ở trên để áp dụng trong bài: Dễ dàng nhận ra hằng đẳng thức sau : ( x − 1) ( x + = (1+ x ) (1− x3 − 1 = 1 + x3 ) x + x) x +1 Áp dụng vào bài toán ta có lời giải sau: Giải   2x + 1   1 + x3 x a) B =  − − x  ÷ ÷ ÷ 3 ÷  x −1 x + x +1 1+ x  ( )( )   1 + x 1 − x + x  2 x +1 x  ÷ B= − − x÷  x −1 x + x + 1 ÷ ÷ x + x +1 1+ x     2 x +1 − x x −1   ÷ 1− x + x − x B=  x −1 x + x + 1 ÷    B =    B =   b) ( )( ( )( ( ( ) ) ( ) )  ÷ 1−2 x + x x −1 x + x + 1 ÷  2 x +1 − x + x )( ) ( ( x + x +1) ÷ 1 − x ( ) ( x −1) ( x + x +1) ÷ 2 = ) x −1 B = 3 ⇔ x − 1 = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16 Ví dụ 5: Bài tập 101/ 19 – SBT: Tìm điều kiện và rút gọn: A= x+4 x−4 + x−4 x−4 Nhận xét: Trước hết ta làm xuất hiện hệ số ( thừa số ) 2 trước căn nhỏ dưới dấu căn lớn ÐK : x ≥ 4 A = x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x + 2.2 x − 4 + x − 2.2 x − 4 9 Sau khi đưa được hệ số của căn nhỏ là 2, ta thấy là 2 và x − 4 là hai số a & b của hằng đẳng thức: ( a + b ) 2 hoặc ( a - b ) 2 lúc này ta tiến hành thêm bớt đi 4 để có ( dạng x – 4 = x−4 ) 2 có dạng hằng đẳng thức: ( a + b )2 hoặc ( a - b )2 Cụ thể giải như sau: ÐK : x ≥ 4 A = x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x + 2.2 x − 4 + x − 2.2 x − 4 A = x − 4 + 2.2 x − 4 + 4 + x − 4 − 2.2 x − 4 + 4 A= ( x−4 A=   ( ) 2 ) ( + 2.2 x − 4 + 2 2 + 2 x − 4 + 2 +    ( ) x−4 2 x − 4 − 2 =  ) 2 ( − 2.2 x − 4 + 2 2 ) x−4 +2+ ( ) x−4 −2= 2 x−4 2.3.4 Một số bài toán thi học kỳ và thi tuyển sinh vào lớp 10, thi HSG các cấp, các năm Bài 1: (2, 0 điểm) ( Đề thi học kỳ I lớp 9 năm học 2016 – 2017 Tỉnh Thanh Hóa ) Cho biểu thức P = x +1 2 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 a, Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b, Tính giá trị của P khi x = 1 4 c, Tìm x để P < 2 Nhận xét: Học sinh vận dụng hằng đẳng thức : x – 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) Giải: a, ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4 P= = x +1 2 x 2+5 x + − x−4 x −2 x +2 3 x ( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) − 2 − 5 x = x−4 x +2 1 3 4 = 2=3 5 5 1 +2 2 4 3 b, P= c, P 0; y ≠ 1 ta có: ( )  y y -1 y y +1  2 y − 2 y + 1 A= − : ÷  y- y ÷ y −1 y + y   2 ( ) y +1 2  ( y -1)(y + y +1) ( y +1)(y - y +1)  A= − : y ( y -1) y ( y + 1)   ( y + 1)( y − 1) ( )  (y + y +1) (y - y +1)  2 y + 1 A= − : y y   ( y − 1) A= A= A= ( y ( ) y −1 × 2( y + 1) y + y +1- y + y -1 ) y −1 × y 2( y + 1) 2 y y −1 y +1 y −1 2 Với y > 0; y ≠ 1 Ta có A = nguyên thì 2 nguyên hay: y +1 2M y + 1 ⇔ y + 1 ∈ U • (2) ⇔ y +1 = y +1− 2 y +1 y + 1 ∈ { 1, 2} ⇔ = 1− 2 để A nhận giá trị y +1 y ∈ { 0,1} ⇔ y ∈ { 0,1} (không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy không có giá trị nguyên nào của y để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 4: (4.0 điểm) (Đề thi HSG lớp 9 vòng 2 Huyện Cẩm Thủy – Ngày 14/11/2017 )  4 x 8x   x − 4 1  − : + ÷  ÷ ÷ x÷  2− x 4− x  x+2 x  Cho biểu thức: P =  a, Rút gọn P 3 b, Tính giá trị của P khi x = 10 + 6 3 ( ) 3 −1 6+2 5 − 5 Giải: a, Đk: x > 0 ; x ≠ 4, x ≠ 1  4 x   8x x −4 1  P =  − : + ÷  ÷ ÷ x÷  2 − x (2 − x )(2 + x )   x ( x + 2)  12 =( 4 x ( x + 2) 8x x −4 )−( ):( + (2 − x )(2 + x ) ( 2 − x )(2 + x ) x ( x + 2) x +2 x ( x + 2) =( 4 x + 8 x − 8x x −4+ x +2 8 x − 4x 2 x −2 ):( )=( ):( ) (2 − x )(2 + x ) x ( x + 2) (2 − x )(2 + x ) x ( x + 2) =( 4 x (2 − x ) 2( x − 1) ):( )= ( 2 − x )(2 + x ) x ( x + 2) 2x x −1 2x x −1 P= b, Ta có: 3 x= ( x= ( )( 3 +1 3 ) 3 −1 ( 5 + 1) 2 − 5 )( 3 +1 ) 3 −1 5 +1− 5 x=2 ⇒P= 4 2 −1 Bài 5: (4 điểm) (Đề thi HSG lớp 9 năm học 2014 – 2015 Tỉnh Thanh Hóa )  x+ y x − y   x + y + 2xy  + : 1+ Cho biểu thức: P =  ÷ ÷ ÷  1 − xy 1 − xy 1 + xy    a, Rút gọn biểu thức P b, Tính giá trị của P với x = Giải: a, P= 2 2+ 3 ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0;xy ≠ 1  x+ y x − y   x + y + 2xy  P= + ÷: 1 +  1 − xy 1 − xy ÷ 1 + xy ÷     ( x + y)(1 + xy) + ( x − y)(1 − xy) 1 − xy + x + y + 2xy : 1 − xy 1 − xy 13 = = x +x y+ y+y x + x −x y − y+y x 1 − xy 1 − xy 1 + x + y + xy 2( x + y x) 2 x (1 + y) 2 x = = (1 + x)(1 + y) (1 + x)(1 + y) 1 + x b, x = 2 2(2 − 3) = = 3 − 2 3 + 1 = ( 3 − 1) 2 4−3 2+ 3 x = ( 3 − 1) 2 = 3 −1 = 3 −1 2( 3 − 1) 2 3−2 = = 2 1 + ( 3 − 1) 1 + 3 − 2 3 + 1 P= 2( 3 − 1) 6 3 + 2 = 13 5−2 3 Bài 6: (4 điểm) (Đề thi HSG toán 9 năm 2016 Tỉnh Thanh Hóa ) P= Cho biểu thức: P = (1 + x 1 2 x ):( − với x ≥ 0 ; x ≠ 1 x +1 x −1 x x + x − x −1 a, Rút gọn P b, Tìm các giá trị của x sao cho P < 1 Nhận xét: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta sẽ có hằng đẳng thức dạng thứ 2 ở lớp 9 Giải Với x ≥ 0 ; x ≠ 1 a, P = (1 + x 1 2 x ):( − x +1 x −1 x x + x − x −1 =( x +1+ x 1 ):( − x +1 x −1 =( x +1+ x 1 2 x x +1+ x x +1− 2 x ):( ) = ):( − =( x +1 ( x + 1)( x − 1) x +1 x − 1 ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1 + x ( x + 1)( x − 1) x +1+ x ).( ) = x +1 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 x x ( x + 1) − ( x + 1) b, Với P < 1 ⇔ x +1+ x x +1+ x x +1+ x − x +1 x+2