CHƯƠNG 5: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ PHẦN 2: - Chu trình đường Euler - Chu trình đường Hamilton - Thuật tốn Dijkstra Chu trình đường Euler  Bài tốn   Có thể xuất phát điểm thành phố, qua tất cầu, lần, trở điểm xuất phát khơng? Leonhard Euler tìm lời giải cho toán vào năm 1736 Chương Các toán đường Leonhard Euler 1707 - 1783  Leonhard Euler (15/04/1707 – 18/9/1783) nhà toán học nhà vật lý học Thụy Sĩ Ông (cùng với Archimedes Newton) xem nhà tốn học lừng lẫy Ơng người sử dụng từ "hàm số" (được Gottfried Leibniz định nghĩa năm 1694) để miêu tả biểu thức có chứa đối số, y = F(x) Ông xem người dùng vi tích phân mơn vật lý Chương Các toán đường Leonhard Euler 1707 - 1783   Ông sinh lớn lên Basel, xem thần đồng toán học từ nhỏ Ơng làm giáo sư tốn học Sankt-Peterburg, sau Berlin, trở lại SanktPeterburg Ơng nhà tốn học viết nhiều nhất: tất tài liệu ông viết chứa đầy 75 tập Ơng nhà tốn học quan trọng kỷ 18 suy nhiều kết cho mơn vi tích phân thành lập Ơng bị mù hồn tồn 17 năm cuối đời, khoảng thời gian lúc ông cho nửa số ông viết Tên ông đặt cho miệng núi lửa Mặt Trăng cho tiểu hành tinh 2002 Chương Các toán đường Chu trình đường Euler  Bài tốn  Mơ hình hóa tốn  Xây dựng đồ thị G    Đỉnh: Các vùng đất sơ đồ Cạnh: cầu nối hai vùng đất Yêu cầu  Tồn hay khơng chu trình đơn đa đồ thị G = (V, E) có chứa tất cạnh đồ thị? Chương Các tốn đường Chu trình đường Euler  Định nghĩa Cho đồ thị G=(V,E) liên thơng  Chu trình Euler   Đồ thị Euler   Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị G Đồ thị có chứa chu trình Euler Đường Euler  Đường đơn chứa tất cạnh đồ thị G Chương Các tốn đường Chu trình đường Euler  Định nghĩa  Ví dụ: Chỉ đường chu trình Euler (nếu có) đồ thị sau đây? Chương Các toán đường Chu trình đường Euler  Trong đồ thị vô hướng   Định lý chu trình Euler  Một đồ thị liên thơng G=(V, E) có chu trình Euler đỉnh có bậc chẵn Áp dụng định lý tìm lời giải cho tốn mở đầu? Chương Các toán đường Chu trình đường Euler  Trong đồ thị vơ hướng Các thuật tốn tìm chu trình Euler: Thuật tốn Euler  Ký hiệu: C – chu trình Euler cần tìm đồ thị G Bước 1: Đặt H := G, k :=1, C := ∅ Chọn đỉnh v G Bước 2: Xuất phát từ v, xây dựng chu trình đơn Ck H Nối Ck vào C, C := C ∪ Ck Bước 3: Loại khỏi H chu trình Ck Nếu H chứa đỉnh lập loại chúng khỏi H Bước 4: Nếu H = ∅ kết luận C chu trình Euler cần tìm, kết thúc Nếu H ≠ ∅ chọn v đỉnh chung H C Đặt k:= k+1, quay lại bước Chương Các toán đường Chu trình đường Euler  Trong đồ thị vơ hướng Các thuật tốn tìm chu trình Euler: Thuật tốn Euler Ví dụ: Tìm chu trình Euler  Chương Các toán đường 10 Chương Các toán đường 33 Bài tốn đường ngắn  Mở đầu  Ví dụ: Đường ngắn đỉnh 4: Chương Các toán đường 34 Bài toán đường ngắn  Thuật toán Dijkstra  Ý tưởng  Ở lần lặp thuật tốn tìm đỉnh với đường ngắn từ a tới đỉnh xác định Chương Các toán đường 35 Bài toán đường ngắn  Thuật toán Dijkstra  Ký hiệu:  Nhãn đỉnh v: L(v)   Lưu trữ độ dài đường ngắn từ a đến v biết thời điểm Tập S: tập đỉnh mà đường ngắn từ a đến chúng xác định Chương Các toán đường 36 Bài toán đường ngắn  Thuật tốn Dijkstra  Thuật tốn (Tìm đường ngắn từ a đến z)  Bước 1: Khởi tạo    Bước 2: Nếu z∈S kết thúc Bước 3: Chọn đỉnh    Chọn u cho: Đưa u vào tập S: L(u) = { L(v) | v ∉ S} S = S ∪ {u} Bước 4: Sửa nhãn   L(a) = 0; L(v)=vo cung lon, S = ∅ Với đỉnh v (v ∉ S) kề với u  L(v) = { L(v); L(u) + w(uv) } (ký hiệu w(uv)=trọng số cạnh uv) Bước 5: Quay lại Bước Chương Các toán đường 37 Bài toán đường ngắn  Thuật tốn Dijkstra  Ví dụ  Tìm độ dài đường ngắn đỉnh a z? a b d c e z Đáp án: đường ngắn nhất: abedz, độ dài Chương Các toán đường 38 Bài giải: Thuật toán Dijkstra cho tốn trình bày bảng sau Đáp số: đường ngắn nhất: abedz, độ dài Nếu hỏi độ dài ngắn từ a đến d đáp số là……?? Và đường là……… Chương Các tốn đường 39 Ví dụ Cho ma trận kề đơn đồ thị có trọng số G có dạng A B C D E A 0 B 7 C 2  D 0 E 0  F 0 3 0 F 0 0  0  3 8   a)Vẽ đồ thị G Dùng thuật tốn Dijkstra: b) Tìm độ dài đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh lại G? Chỉ đường Chương Các toán đường 40 Chương Các toán đường 41 Chương Các toán đường 42 Bài toán đường ngắn  Thuật tốn tìm đường ngắn  Thuật toán Dijkstra  Định lý   Thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn đỉnh đơn đồ thị liên thơng, có trọng số Nhận xét  Chỉ cho đồ thị có trọng số không âm  Nhãn sau đỉnh độ dài đường ngắn từ đỉnh xuất phát đến Chương Các tốn đường 43 44 45 46 47 ... Khoaíng caïch (dàûm) Khoảng cách (dặm) 253 4 San Francisco 349 860 Chicago 1 855 908 957 834 Los Angeles Boston 2 451 191 New York 722 760 1090 Atlanta 59 5 Miami Chương Các toán đường 31 ... Hamilton  Định nghĩa  Đường sơ cấp qua tất đỉnh đồ thị G (đi qua đỉnh lần) Ví dụ:  u6 v5 v6 u5 v1 v3 v5 v6 v2 v4 Chương Các toán đường u7 Khơng có đường Hamilton 29 Chu trình & đường Hamilton... tốn đường 21 Chu trình & đường Hamilton Chu trình Hamilton   Điều kiện đủ  Hệ (Định lý Dirac-1 952 ) Cho G = (V, E) đơn đồ thị  |V| = n ≥  deg(v) ≥ n/2, ∀v∈V Khi G có chu trình Hamilton  Chương