Chương Quan hệ 3.1 Quan hệ hai tập hợp tính chất Biểu diễn quan hệ hai 3.2 Quan hệ tương đương Lớp tương đương Sự phân hoạch thành lớp tương đương 3.3 Quan hệ thứ tự Thứ tự toàn phần bán phần Biểu đồ Hasse Phần tử max Các phần tử tối tiểu tối đại Quan hệ hai Định nghĩa: Cho hai tập A, B Ta gọi tập R quan hệ hai từ A đến B R  A x B Nếu (a, b)R ta nói a có quan hệ R với b ký hiệu a R b; ngược lại (a, b) R ta kí hiệu a R b Khi A = B, ta gọi R quan hệ hai ngơi A Ví dụ: A a1 Ā B b1 a2 b2 a3 b3 R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Quan hệ hai ngơi Định nghĩa Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4}, R quan hệ (hai ngôi) A R = {(a, b) A | a ước b} Khi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} Quan hệ hai Các tính chất quan hệ Định nghĩa: Giả sử R quan hệ hai tập A (a) Ta nói quan hệ R có tính phản xạ a R a , a A Ví dụ: Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} khơng phản xạ (3, 3)R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)R2 Quan hệ hai Các tính chất quan hệ Ví dụ: - Quan hệ ≤ Z phản xạ a ≤ a, a  Z - Quan hệ > Z khơng phản xạ khơng lớn - Quan hệ “ | ” (“ước số”) Z+ phản xạ số nguyên dương a ước Quan hệ hai ngơi Các tính chất quan hệ Định nghĩa: Giả sử R quan hệ hai tập A (b) Ta nói quan hệ R có tính đối xứng a R b  b R a , a, b  A (c) Ta nói quan hệ R có tính phản xứng (a R b  b R a)  a = b ,  a, b  A Ví dụ: - Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} tập A = {1, 2, 3, 4} đối xứng - Quan hệ ≤ Z khơng đối xứng, nhiên phản xứng (a ≤ b)  (b ≤ a)  (a = b) - Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z+ khơng đối xứng, nhiên có tính phản xứng (a | b)  (b | a)  (a = b) Quan hệ hai Các tính chất quan hệ Định nghĩa: Giả sử R quan hệ hai tập A (d) Ta nói quan hệ R có tính bắc cầu (truyền) (a R b  b R c)  a R c , a,b,c A Ví dụ: - Quan hệ R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (1, 3), (2, 3)} tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu - Quan hệ ≤ “|”trên Z có tính bắc cầu (a ≤ b)  (b ≤ c)  (a ≤ c) (a | b)  (b | c)  (a | c) Quan hệ hai Biểu diễn quan hệ Định nghĩa Cho R quan hệ từ A = {1,2,3,4} đến B = {u,v,w}, R = {(1,u),(1,v),(2,w),(3,w),(4,u)} Khi R biễu diễn sau Đây ma trận cấp 4×3 biễu diễn cho quan hệ R Quan hệ hai Biểu diễn Quan hệ Định nghĩa Cho R quan hệ từ A = {a1, a2, …, am} đến B = {b1, b2, …, bn} Ma trận biểu diễn R ma trận MR = [mij] mxn xác định bởi: Ví dụ: Cho R quan hệ từ A = {1, 2, 3} đến B = {1, 2}: a R b  a > b Khi ma trận biểu diễn R là: Quan hệ hai Biểu diễn quan hệ Ví dụ: Cho R quan hệ từ A = {a1, a2, a3} đến B = {b1, b2, b3, b4, b5} biễu diễn ma trận Khi R gồm cặp:{(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)} 10 Quan hệ thứ tự 31 Quan hệ thứ tự 32 Quan hệ thứ tự 33 Quan hệ thứ tự 34 Quan hệ thứ tự 35 Quan hệ thứ tự 36 Quan hệ thứ tự 37 Quan hệ thứ tự Biểu đồ Hasse Ví dụ: Biểu đồ Hasse P({a,b,c}) biểu đồ Hasse chuỗi bit độ dài với thứ tự từ điển 38 Quan hệ thứ tự Phần tử nhỏ phần tử lớn Định nghĩa: Một phần tử a tập thứ tự (S, ≺) gọi là: Phần tử nhỏ x  S ta có a ≺ x Phần tử lớn x  S ta có x ≺ a Nhận xét: Phần tử nhỏ (lớn nhất) tập hợp (nếu có) Ta kí hiệu phần tử tập hợp S min(S), kí hiệu phần tử lớn S max(S) Ví dụ: Trong tập có thứ tự (S, ), S={mZ|m^2