VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM VI›N TO•N HÅC •NG V‹N O„T ÙNG DƯNG CÕA A DI›N NEWTON V€O VI›C NGHI–N CÙU C•C B‡T •NG THÙC LOJASIEWICZ V€ MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T TÈI ×U LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC H Nëi - 2018 VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM VI›N TO•N HÅC •NG V‹N O„T ÙNG DƯNG CÕA A DI›N NEWTON V€O VI›C NGHI–N CÙU C•C B‡T •NG THÙC LOJASIEWICZ V€ MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T TẩI ìU LUN ãN TIN S TOãN HC Chuyản ng nh: GiÊi tẵch M số: 46 01 02 Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TSKH H Huy Vui PGS.TS PhÔm Ti¸n Sìn H Nëi - 2018 Tâm t-t Trong nhi·u vĐn à cừa lỵ thuyát ký d v hẳnh hồc ¤i sè, a di»n Newton âng vai trá r§t quan trồng, nõ chựa nhiÃu thổng tin hẳnh hồc, Ôi số, tờ hủp v giÊi tẵch cừa hằ phữỡng trẳnh a thực Vẳ vêy, vợi khĂi niằm a diằn Newton, nhiÃu kát quÊ quan trồng cừa lỵ thuyát ký d, hẳnh hồc Ôi số, lỵ thuyát phữỡng trẳnh Ôo h m riảng  ữủc thiát lêp Trong luên Ăn n y, chóng tỉi ¡p dưng a di»n Newton º nghi¶n cựu mởt số vĐn à cừa tối ữu v giÊi tẵch Luên Ăn  nhên ữủc cĂc kát quÊ sau: 1) ÷a mët i·u ki»n õ º mët a thực khổng Ơm l tờng bẳnh phữỡng cừa cĂc a thùc i·u ki»n n y ÷đc ph¡t biºu thỉng qua a di»n Newton cõa a thùc 2) Chùng minh r¬ng tỗn tÔi mởt têp nỷa Ôi số m, trũ mêt khỉng gian t§t c£ c¡c a thùc câ cịng mởt a diằn Newton cho trữợc, cho vợi mội a thực thuởc têp n y v b chn dữợi, b i to¡n t¼m infimum to n cưc l °t chnh 3) ữa mởt tiảu chuân cừa sỹ tỗn tÔi bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc Tiảu chuân n y cung cĐp mởt phữỡng phĂp cho trữớng hủp hai bián, kim tra sỹ tỗn tÔi cừa bĐt ng thùc Lojasiewicz to n cöc Cho mët ¡nh gi¡ c¡c sè mơ Lojasiewicz thỉng qua bªc cõa a thùc v cĂc số mụ khĂc tẵnh toĂn hỡn 4) Trong trữớng hủp hai bián, tẵnh toĂn mởt cĂch tữớng minh sè mô Lojasiewicz cõa mët a thùc °c bi»t, a thực hai bián khổng suy bián theo phƯn chẵnh Newton tÔi vổ hÔn, chúng tổi cụng tẵnh toĂn ữủc số mụ Lojasiewicz theo phƯn chẵnh Newton tÔi vổ hÔn cừa nõ Hỡn nỳa, ữa mởt dÔng tữớng minh cõa b§t ¯ng thùc kiºu Hormander, â c¡c sè mụ xuĐt hiằn vợi nhỳng giĂ tr cử th Abstract In many problems of singularity theory and algebraic geometry, Newton polyhedra play a very important role Newton polyhedra con-tain many geometric, algebraic, combinatorial and analytic informa-tion of polynomial systems Using Newton polyhedra, many impor-tant results of singularity theory, algebraic geometry, and differential equation theory have been established In this thesis, we apply Newton polyhedra to study some of problems of optimization and analysis We obtain the following results: 1) A sufficient condition for a non-negative polynomial to be the sum of squares is given This condition is expressed in terms of the Newton polyhedron of the polynomial 2) Well-posedness of almost every uncontrain polynomial optimiza- tion problem is proved: exists an open and dense semialgebraic set in the space of all polynomials having the same Newton polyhedron, such that if f is a polynomial from this set and if f is bounded from below, then the problem of finding the global infimum of f is well-posed 3) A new criterion of the existence of the global Lojasiewicz in- equality is given This criterion provides a method, for the case of two variables, examining the existence of the global Lojasiewicz inequality It is shown that the Lojasiewicz exponents of a polynomial can be estimated via the degree and some exponents, which are much easier to compute 4) In the case of two variables, the Lojasiewicz exponents of an arbi-trary polynomial are computed explicitly; the Lojasiewicz exponents of non-degenerate polynomials are expressed in terms of Newton poly-hedra; explicite values of some exponients in one of Hormander in-equality are given Líi cam oan Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa thƯy H Huy Vui v thƯy PhÔm Tián Sỡn CĂc kát quÊ viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa v o luên Ăn CĂc kát quÊ nảu luên Ăn l trung thỹc v chữa ữủc cổng bố bĐt ký mët cỉng tr¼nh n o kh¡c T¡c gi£ °ng Vôn oÔt Lới cĂm ỡn Luên Ăn ữủc thỹc hiằn v ho n th nh tÔi Viằn ToĂn hồc - Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cỉng ngh» Vi»t nam Trữợc hát, tổi xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c án PGS.TSKH H Huy Vui, PGS.TS PhÔm Tián Sỡn, nhỳng ngữới thƯy  tên tẳnh hữợng dăn, d¼u d-t, ch¿ b£o tỉi st thíi gian håc têp, nghiản cựu thỹc hiằn luên Ăn Tổi xin c£m ìn Ban Gi¡m èc Vi»n To¡n håc, c¡c c¡n bë nghi¶n cùu cõa Vi»n To¡n håc, °c bi»t c¡c c¡n bë pháng H¼nh håc v Tỉ pỉ, c¡c c¡n bở Trung tƠm o tÔo sau Ôi hồc - Viằn ToĂn hồc,  tÔo nhiÃu iÃu kiằn thuên lủi cho tổi hồc têp v nghiản cựu Xin cÊm ỡn Qu Ph¡t triºn khoa håc v cỉng ngh» Qc gia ¢ hộ trủ mởt phƯn kinh phẵ cho tổi quĂ tr¼nh thüc hi»n · t i Tỉi xin c£m ìn Viằn Nghiản cựu cao cĐp và ToĂn  ởng viản, trao giÊi thững cổng trẳnh cừa Chữỡng trẳnh trồng im quốc gia phĂt trin toĂn hồc giai oÔn 2010-2020 cho hai b i bĂo Tổi xin cÊm ỡn lÂnh Ôo S GiĂo dửc v o tÔo tnh LƠm ỗng, lÂnh Ôo v têp th giĂo viản trữớng THPT Chuyản Thông Long LÔt  tÔo iÃu kiằn và thới gian, hộ trủ mởt phƯn kinh phẵ tổi ho n th nh nhiằm vử Tổi xin cÊm ỡn cĂc bÔn b, ỗng nghiằp, cĂc bÔn nghiản cựu sinh Viằn ToĂn håc ln gióp ï, cê vơ, ëng vi¶n st quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu c biằt, tổi cÊm ỡn gia ẳnh, nhỳng ngữới thƠn yảu nhĐt cừa tỉi ln ln ëng vi¶n, chia s´, gióp ï måi mt và vêt chĐt v tinh thƯn suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tổi thỹc hiằn ữợc mỡ cừa mẳnh Quyn luên Ăn n y tổi d nh t°ng cho c¡c bè mµ, vđ v hai trai yảu quỵ TĂc giÊ ng Vôn oÔt CĂc kỵ hiằu sỷ dửng luên Ăn N Têp cĂc số tỹ nhiản Têp cĂc số tỹ nhiản khĂc N Z Z+ R R+ Rn Têp cĂc số nguyản Têp cĂc số nguyản khổng Ơm Têp cĂc số thỹc Têp cĂc số thỹc khổng Ơm Khổng gian Euclide thỹc n chi·u R[x1; x2; : : : ; xn] Tªp cĂc a thực thỹc n bián infimum cừa têp hủp A inf A supermum cõa tªp hđp A sup A A GiĂ tr nhọ nhĐt cừa têp hủp A max A GiĂ tr lợn nhĐt cừa têp hủp A kxk Chu©n cõa v²c tì x dist(x; A) limx!a f(x) KhoÊng cĂch Euclide tứ im x án têp hủp A Giợi hÔn cừa h m số f(x) x tián tợi a rankA HÔng cừa mởt ma A Ôo h m c§p d cõa h m sè f theo bi¸n t d f (t) d @ ' d x i Ôo h m riảng cĐp d cừa h m ' theo bi¸n xi (f) a di»n a di»n Newton cừa a thực f a diằn Newton tÔi vổ hÔn cừa a thực f (f) L0(V1) L1(V1) L0(f) Số mụ Lojasiewicz gƯn têp cừa h m f trản têp V L1(f) Sè mơ Lojasiewicz xa tªp cõa h m f trản R Số mụ Lojasiewicz xa têp cừa h m f trản têp V n Số mụ Lojasiewicz gƯn têp cừa h m f trản R n Mưc lưc Mð ¦u i·u ki»n õ º mởt a thực thỹc l tờng bẳnh phữỡng cừa c¡c a thùc 1.1 Giỵi thi»u b i to¡n 1.2 K¸t qu£ v chùng minh T½nh °t ch¿nh cõa b i toĂn tối ữu a thực 10 16 2.1 Giợi thiằu b i to¡n 18 2.2 K¸t qu£ v chùng minh 20 B§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc cõa h m a thùc 31 3.1 Giỵi thi»u b i to¡n 33 3.2 B§t ¯ng thực Lojasiewicz trản têp V1 3.3 B§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc 3.4 Sè mơ cõa b§t ¯ng thùc Lojasiewicz 36 B§t ¯ng thùc Lojasiewicz cõa h m a thùc trản R2 42 47 56 4.1 Phữỡng phĂp kim tra sỹ tỗn tÔi bĐt ng thực Lojasiewicz 57 4.1.1 Khai triºn Puiseux 57 4.1.2 Ph÷ìng ph¡p kiºm tra 59 4.2 T½nh sè mô Lojasiewicz 61 4.2.1 T½nh sè mơ L0(V1) 61 4.2.2 T½nh sè mơ L (V ) 1 68 4.3 4.4 4.2.3 T½nh sè mô L0(f) 4.2.4 T½nh sè mơ L (f) a thực khổng suy bián tÔi vổ hÔn Mởt dÔng bĐt ng thực Hormander Kát luên 68 71 72 78 83 T i li»u tham kh£o 86 Mð ¦u a di»n Newton cõa mët a thùc nhi·u bián l bao lỗi cừa têp cĂc số mụ cừa cĂc ỡn thực xuĐt hiằn a thực vợi hằ số khĂc khổng Trong nhiÃu vĐn à cừa lỵ thuyát ký d v hẳnh hồc Ôi số, a diằn Newton âng vai trá nh÷ mët mð rëng cõa kh¡i ni»m bêc cừa a thực, v chựa rĐt nhiÃu thổng tin hẳnh hồc, Ôi số, tờ hủp v giÊi tẵch cừa hằ phữỡng trẳnh a thực Chẵnh vẳ vêy, vợi khĂi ni»m a di»n Newton, nhi·u k¸t qu£ quan trång cõa lỵ thuyát ký d, hẳnh hồc Ôi số, lỵ thuyát phữỡng trẳnh Ôo h m riảng  ữủc thiát lªp (xem [AGV] v· c¡c ùng dưng cõa a di»n Newton lỵ thuyát ký d, [Ko], [Kh] và ựng dửng cừa a diằn Newton hẳnh hồc Ôi số v [GV] v· ùng döng cõa a di»n Newton phữỡng trẳnh Ôo h m riảng) a diằn Newton ữủc nh nghắa khổng ch cho cĂc a thực nghiản cựu cĂc vĐn à mang tẵnh to n cửc, nõ cỏn ữủc xĂc nh cho cĂc mƯm h m giÊi tẵch nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt tổ pổ cừa h m giÊi tẵch tÔi lƠn cên im ký d NhiÃu bĐt bián tổ pổ cừa im ký d nhữ số Milnor, số mụ tiằm cên cừa tẵch phƠn dao ởng ữủc tẵnh thổng qua a diằn Newton cừa h m gi£i t½ch (xem [Ko] v [AGV] v danh mửc cĂc trẵch dăn cĂc t i liằu n y) B£n luªn ¡n sû dưng kh¡i ni»m a di»n Newton nghiản cựu cĂc vĐn à sau Ơy: 1) Tẳm iÃu kiằn mởt a thực n bián thỹc khổng Ơm trản to n bở n R ; biu diạn ữủc dữợi dÔng tờng bẳnh phữỡng cừa cĂc a thực; 2) Nghiản cựu tẵnh t chnh cừa b i to¡n tèi ÷u a thùc khỉng r ng bc; 3) Nghiản cựu iÃu kiằn tỗn tÔi bĐt ng thực Lojasiewicz to n cöc (i) (ii) n jf(x)j cdist(x; f (0)) ; vỵi måi x R ; kxk < 1; n Vỵi måi x R ; kxk ta câ (4.6) (1+ k x k) 0jf(x)j cdist(x; f (0)) 00: Rã r ng, nh¥n tû (1 + kxk) (4.6) l cƯn thiát iÃu khin dĂng iằu "tỗi" cừa f tÔi vổ hÔn Chú þ, c¡c gi¡ trà cö thº cõa v 00 khổng ữủc cho [Ho] Trong phƯn n y, vợi n = 2; chúng tổi ữa mởt dÔng tữỡng tỹ cừa bĐt ng thực Hormander Tuy nhiản, cổng thực cừa chúng tổi, số mụ 00 bơng 1; nhƠn tû (1 + kxk) cơng xu§t hi»n v sè mơ s³ ÷đc cho bði gi¡ trà cư thº, gi¡ tr n y ữủc tẵnh toĂn thổng qua @f cĂc nghiằm Puiseux tÔi vổ hÔn cừa f v cừa @y : Ta thĐy, nhƠn tỷ (1 + kxk) ch¿ xu§t hi»n b§t ¯ng thùc f câ cĂc dÂy loÔi mởt hoc loÔi hai, vêy, chúng tỉi ch¿ x²t tr÷íng hđp n y Nâi c¡ch kh¡c, giÊ sỷ têp P dữợi Ơy l khĂc rộng P := P0 ( @f @y ) [ P1( @f @y ) [ P0 ( @f @y ) [ P1( â f(x; y) = f( x; y); P0 ( @f @y ) := f @f PR( @y v ) : v(f(x; (x))) < min(f) v( (x) (x)) 0g; 2PR P1 @f ( ) := f @y @f ) : v(f(x; (x))) PR( @y v min(f) v( (x) (x)) > 0g; 2PR P0 ( @f @y ) := f @f PR( @y v min( f ) : v(f(x; (x))) < ) 2PR 79 v( (x) (x)) 0g; @f @y ); @f P1( @f @y ) := f PR( @y v ( ) : v(f(x; (x))) v( (x) (x)) > 0g: ) f 2PR L§y P ; °t v(f(x; (x))) ( ) := > @f n¸u P0 ( @ @f ) y [ P 1( ) @y @f @f > < v(f(x; (x))) P0 ( n¸u ) ( @y > ); @y [ P1 > 8: @f > > > D( ) := > > > > R (f) 2P f v( (x) n¸u PR( @y ) v PR(f) = ; @f (x)) n¸u )v R( R(f) = g P P @y 6; @f > > > < n¸u > R( @y )v @f P R (f) = ; 2P > > > > v( (x) R (f) 2P (x)) f n¸u g > > > > > : °t ( ) = D( ) ( ); v °t (f) = max ( ): 2P Rã r ng, (f) > 0; v¼ P 6= ;: nh lỵ 4.4.2 Cho a thực R( P @y )v P R(f) = : 6; d f(x; y) = a0y + a1(x)y d + + ad(x); õ d l bêc cừa f: Khi õ, tỗn tÔi > v c > cho 1 jf(x; y)j + jf(x; y)jd + (1 + jxj) (f) vỵi måi (x; y) R : 80 jf(x; y)j cdist((x; y); f (0)); (4.7) Chùng minh Trữợc hát, ta chựng minh tỗn tÔi > v c1 > cho jf(x; y)j1 + (1 + jxj) (f) jf(x; y)j c dist((x; y); f (0)); (4.8) vỵi måi (x; y) V1 r > 0; vỵi r õ lỵn, â (x; y) V1 L§y (x; y) R cho jxj @f @f @y ) [ PR( @y n¸u v ch¿ náu tỗn tÔi (x) PR( (x; (x)): Ta thĐy r¬ng jf(x; y)j = jf(x; (x))j jxj () ) cho (x; y) = ; v 1 dist((x; y); f (0)) = dist((x; (x)); f (0)) jxj @f @f D( ) : Do â, vỵi måi (x) PR( @y ) [ PR( @y ); ta câ, jf(x; (x))j(1 + jxj) (f) c1dist((x; (x)); f (0)); vỵi c1 > n o â, ho°c t÷ìng ÷ìng jf(x; y)j(1 + jxj) (f) c1dist((x; y); f (0)); (4.9) vỵi måi (x; y) V1 \ f(x; y) R : jxj rg: compact, â theo b§t ¯ng Tªp V1 \ f(x; y) R : jxj rg l thực Lojasiewicz, tỗn tÔi > v c2 > cho jf(x; y)j c2dist((x; y); f (0)) ; (4.10) vỵi måi (x; y) V1 \ f(x; y) R : jxj rg: Vẳ vêy, (4.8) ÷đc suy tø (4.9) v (4.10) H» qu£, bĐt ng thực (4.7) luổn úng náu (x; y) V1: BƠy giớ, lĐy (x; y) l mởt im tũy ỵ cừa R cho (x; y) 2= f (0) [ V1: Khi â, theo Bê · 3.3.2 tỗn tÔi im (x; y ) R cho (x; y ) f (0) [ V1; 81 (4.11) jf(x; y)j jf(x; y )j; v k(x; y) (x; y )k = jy y j c3jf(x; y)j vỵi c3 > n o d ; (4.12) â Khi â 1 dist((x; y); f (0)) dist((x; y); (x; y )) + dist((x; y ); f (0)) Sû dưng (4.10), (4.11), (4.12), ta ÷đc dist((x; y); f (0)) 1 c3 jf(x; y )j d 1 + 1 c2 jf(x; y )j 1 + jf(x; y )j(1 + jxj) c1 (f) c3 jf(x; y)j + c2 jf(x; y)j + c1 jf(x; y)j(1 + jxj) : d i·u n y suy b§t ng thực (4.7) luổn úng 82 (f) Kát luên Trong luên Ăn n y, chúng tổi  thu ữủc nhỳng kát quÊ sau: 1) ữa mởt iÃu kiằn mởt a thực khổng Ơm l tờng bẳnh phữỡng cừa cĂc a thực ( nh lỵ 1.2.4) iÃu kiằn n y ÷đc ph¡t biºu thỉng qua a di»n Newton cừa a thực 2) Chựng minh rơng tỗn tÔi mởt têp nỷa Ôi số m, trũ mêt khổng gian t§t c£ c¡c a thùc câ cịng mët a di»n Newton cho trữợc, cho vợi mội a thực thuởc têp n y v b chn dữợi, b i toĂn t¼m infimum to n cưc l °t ch¿nh ( ành lỵ 2.2.1) 3) ữa mởt tiảu chuân mợi cừa sỹ tỗn tÔi bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc ( nh lỵ 3.3.3) Tiảu chuân n y cung cĐp mởt thuêt toĂn cho trữớng hủp hai bián, kim tra sỹ tỗn tÔi cừa bĐt ng thực Lojasiewicz to n cöc (M»nh · 4.1.2, 4.1.3) 4) Cho mët ¡nh gi¡ c¡c sè mơ Lojasiewicz thỉng qua bªc cõa a thùc v cĂc số mụ khĂc tẵnh toĂn hỡn(Mằnh à 3.4.3, 3.4.5) Trong trữớng hủp hai bián, tẵnh toĂn mởt c¡ch t÷íng minh sè mơ Lojasiewicz cõa mët a thùc(M»nh · 4.2.7, 4.2.9), a thùc thäa m¢n i·u ki»n khỉng suy bián ( nh lỵ 4.3.11) Hỡn nỳa, ữa mởt dÔng tữớng minh cừa bĐt ng thực kiu Hormander, õ cĂc số mụ xuĐt hiằn vợi nhỳng giĂ tr cử th ( nh lỵ 4.4.2) 83 CĂc cổng trẳnh liản quan án luên Ăn V D Dang and T T Nguyen, Sufficient Conditions for a real Polynomial to be a Sum of Squares of Polynomials Kodai J Math., 39 (2016),253 275 V D Dang, H V Ha and T S Pham, Well-posedness in unconstrained Polynomial Optimization Problems SIAM J Optim., 26(3) (2016), 1411 1428 H V Ha and V D Dang, On the Global Lojasiewicz inequality for polynomial functions (34 pp)(accepted for publication in Annales Polonici Mathematici.) 84 CĂc kát quÊ luên Ăn ữủc bĂo cĂo Xảmina tÔi Viằn nghiản cựu cao cĐp và ToĂn Xảmina Hẳnh hồc v Tổ pổ - Viằn ToĂn hồc Xảmina khoa ToĂn - Trữớng ¤i håc L¤t Hëi nghà Nghi¶n cùu sinh cõa Vi»n To¡n håc, 10/2014, 10/2015, 10/2016, 11/2017 Hëi nghà ¤i sè - H¼nh håc - Tỉpỉ, Bn Ma Tht, 10/2016 Hởi thÊo Tối ữu v tẵnh toĂn khoa hồc lƯn thự 15, Ba Vẳ, 4/2017 th The Franco - Japanese - Vietnamese Symposium on Singu-larities (FJV 2017), Japan, 26/10-02/11/2017 Hëi nghà To¡n håc mi·n trung - TƠy nguyản lƯn thự 2, LÔt, 12/2017 Hởi nghà To¡n håc to n quèc l¦n thù 9, Nha Trang, 14-18/08/2018 10 th The Franco - Japanese - Vietnamese Symposium on Singu-larities (FJV 2018), Nha Trang, 15-21/09/2018 85 T i li»u tham kh£o [AGV] V I Arnold, S M Gusein-Zade, A N Varchenko, Singularities of differentiable maps, Vol I and Vol II Springer, (1988) [BCR] J Bochnak, M Coste and M F Roy, Real algebraic geometry, Springer, Berlin, (1998) [BM] E Bierstone and P.D Milman,Semianalytic and subanalytic set, Publ Math Inst Hautes Etudes Sci., 67(1988), 42 [Br] W.D Brownawell,Bounds for the degrees Nullstellensatz, Ann of Math., 126(1987), 577 591 in the [CL2] M D Choi, T Y Lam, Extremal positive semidefinite forms, Math Ann., 231(1) (1977), 18 [CLR] M D Choi, T Y Lam and B Reznick, Sum of squares of real polynomials, Proc Sympos Pure Math., 58(2) (1995), 103 126 [DHT] S T Dinh, H V Ha, N T Thao, Lojasiewicz inequality for polynomial function on non-compact domains, Internat J Math., 23(4)(2012), 28 [DHP1] S T Dinh, H V Ha and T S Pham, A Frank-Wolfe type the-orem for nondegenerate polynomial programs, Math Program Ser A., 147 (1) (2014), 519 538 86 [DHP2] S T Dinh, H V Ha and T S Pham, Holder-type global error bounds for non-degenerate polynomial systems, Acta Math Vietnam, 42(2017), 563 585 [DHPT] S T Dinh, H V Ha, T S Pham and N T Thao, Global Lojasiewicz-type inequality for nondegenerate polynomial maps, J Math Anal Appl., 410 (2) (2014), 541 560 [DKL] S T Dinh, K Kurdyka, O Le Gal, Lojasiewicz inequality on non compact domains and singularities at infinity, Internat J Math., 24(10) (2013), [FK] C Fidalgo and A Kovacec, Positive semidefinite diagonal minus tail forms are sum of squares, Math Z., 269 (2011), 629 645 [GM1] M Ghasemi and M Marshall, Lower bounds for polynomials in terms of its coefficients, Arch Math., 95 (2010), 343 354 [GM2] M Ghasemi and M Marshall, Lower bounds for polynomials using geometric programming, SIAM J Optim., 22(2) (2012), 460 473 [Gi] S G Gindikin, Energy estimates connected with the Newton polyhedron, Trans Moscow Math Soc., 31(1974), 193 246 [GV] S.Gindikin, L.R.Volevich, Method of Newton's Polyhedron in the Theory of Partial Differential Equations, Kluwer Academic Pub-lishers (1992) [Gr] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Spinger, (2008) [GP] V Guillemin and A Pollack, Differential topology, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, (2010) [Gw] J Gwozdziewicz, The Lojasiewicz exponent of an analytic func-tion at an isolated zero, Comment Math Helv., 74(3) (1999), 364 375 87 [Had] J Hadamard, Sur les probleme aux derive²s et partielles leur signification physique, Bull Princeton Univ., 13 (1902), 49 53 [Ha1] H V Ha, Nombres de Lojasiewicz et singularites l' infini des polynæmes de deux variables complexes, C R Acad SciParis, Ser I Math., 311 (1990), 429 432 [Ha2] H H Vui, Global Holderian error bound for non-degenerate polynomials, SIAM J Optim., 23(2) (2013), 917 933 [Ha3] H H Vui, Computation of the Lojasiewicz exponent for a germ of a smooth function in two variables, Studia Math., 240 (2018), 161 176, [HD] H H Vui and N H Duc, Lojasiewicz inequality at infinity for polynomials in two real variables, Math.Z., 266(2) (2010) 243 264 [HNS] H V Ha, H V Ngai and T S Pham, A global smooth version of the classical Lojasiewicz inequality J Math Anal Appl., 421 (2015), 1559 1572 [HP] H V Ha and T S Pham, Genericity in Polynomial Optimization, (Series on Optimization and its Applications-Vol.3), World Scientific Publishing Europe Ltd., (2017) [HP1] H V Ha and T S Pham, Minimizing polynomial functions, Acta Math Vietnamica 32(1) (2007), 71 82 [HP2] H V Ha and T S Pham, Global optimization of polynomials using the truncated tangency variety and sums of squares, SIAM J Optim., 19 (2008), 941 951 [HP3] H V Ha and T S Pham, Solving polynomial optimization problems via the truncated tangency variety and sums of squares, J Pure Appl Algebra, 213 (2009), 2167 2176 88 [HP4] H V Ha and T S Pham, Representations of positive polynomi-als and optimization on noncompact semialgebraic sets, SIAM J Optim., 20(2010), 3082 3103 [Hi] D Hilbert, Uber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten, Math Ann., 32 (1888), 342 350 [Ho] L Hormander, On the division of distributions by polynomials, Ark.Mat.,3 (1958), 555 568 [Hu] A Hurwitz, Uber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen, Mittels.J.Reine Angew.Math., 108 (1891), 266 268 [Io] A D Ioffe, An invitation to tame optimization, SIAM J Optim., 19 (2009), 1894 1917 [IZ] A D Ioffe and A J Zaslavski, Variational principles and wellposedness in optimization and calculus of variations, SIAM J Control Optim., 38 (2000), 566 581 [ILR] A D Ioffe, R E Lucchetti and J P Revalski, Almost every convex or quadratic programming problem is well posed, Math Oper Res., 29(2) (2004), 369 382 [IL1] A D Ioffe and R E Lucchetti, Typical convex program is very well posed, Math Program., Ser B, 104 (2005), 483 499 [IL2] A D Ioffe and R E Lucchetti, Generic well-posedness in minimization problems, Abstr Appl Anal., (2005), 343 360 [JL] D Jibetean and M Laurent, Semidefinite approximations for global unconstrained polynomial optimization, SIAM J Optim., 16 (2005), 490 514 [Kh] A G Khovanskii, Newton polyhedra and toroidal varieties, Funct Anal Appl., 11 (1978), 289 296 89 [Ko] A G Kouchnirenko, Polyhedres de Newton et nombre de Milnor, Invent Math., 32 (1976), 31 [KMP] K Kurdyka, T Mostowski, A Parusinski, Proof of the gradi-ent conjecture of R Thom, Ann of Math., 152 (2000), 763 792 [Ku] C T Kuo, Computation of Lojasiewicz exponent of f(x; y); Comment.Math.Helv., 49(1974), 201 213 [Kur] K Kurdyka, On gradient of function definable in o-minimal structures, Ann Inst Fourier (Grenoble) 48(1998), 769 783 k [Re1] B Reznick, Midpoint polytopes and the map x i ! x i In prepa-ration [Re2] B Reznick, Forms derived from the arithmetic-geometric inequality, Math Ann., 383 (1989), 431 464 [Ro] R M Robinson, Some definite polynomials which are not sums of squares of real polynomials, Abstr Amer Math Soc., 16 (1969), 554 [La] M Laurent, Sums of squares, moment matrices and optimiza-tion over polynomials, Springer, (2009), 157 270 [La1] J B Lasserre, Global optimization with polynomials and the problem of moments, SIAM J Optim., 11(2001), 796 817 [La2] J B Lasserre, Moments, positive polynomials and their appli-cations, Imperial College Press, (2009) [La3] J B Lasserre, Sufficient conditions for a real polynomial to be a sum of squares, Arch Math., (Basel) 89 (2007), 390 398 [Lo] S Lojasiewicz, Sur le probl±me de la division, Studia Math., 18 (1959), 87 136 90 [LN] J B Lasserre and T Netzer, SOS approximation of nonnegative polynomial via simple high degree perturbations, Math Z., 256 (2006), 99 112 [Ma1] M Marshall, Positive polynomials and sums of squares, Math Survey Monogr 146, AMS, Providence, RI, (2008) [Ma2] M Marshall, Representations of non-negative polynomials, de-gree bounds and applications to optimization, Canad J Math., 61(1) (2009), 205 221 [Ma3] M Marshall, Optimization of polynomials functions, Canad Math Bull., 46 (2008), 537 587 [Ma4] M Marshall, Representation of non-negative polynomials, de-gree bounds and application to optimization, Canad J Math., 61 (2009), 205 221 [Mo] T S Motzkin, The arithmetic-geometric inequality, in Inequalities , Oved Shisha (ed.) Academic Press, (1967), 205 224 [NDS] J Nie, J Demmel, and B Sturmfels, Minimizing polynomials via sum of squares over the gradient ideal, Math Program Ser., 106 (3),(2006), 587 606 [OR] G Oleksik and A Rozycki The Lojasiewicz exponent at infinity of non-negative and non-degenerate polynomials, Preprint [Sch] K Schmudgen, An example of a positive polynomial which is not a sum of squares of polynomials A positive, but not strongly positive functional Math Nachr., 88 (1979), 385 390 [Te] B Teissier, Some resonances of Lojasiewicz inequalities, Wiad Mat., 48(2)(2012), 271 284 [Ty] A N Tykhonov and V Y Arsenin, Solutions of ill-posed problems, Winston, New York, 1977 91 [Wa] R J Walker, Algebraic Curves, Princeton Univ Press., (1950) [WKKM] H Waki, S Kim, M Kojima and M Muramatsu, Sum of squarer and semidefinite program relaxations for polynomials optimization problems with structured sparsity, SIAM J Optim., 17 (2006), 218 242 [Zo] T Zolezzi, Well-posedness criteria in optimization with applica-tion to the calculus of variations, Nonlinear Anal Theory Meth-ods Appl., 25 (1995), 437 453 92 ... di»n Newton cõa a thùc f a diằn Newton tÔi vổ hÔn cừa a thùc f (f) L0(V1) L1(V1) L0(f) Sè mơ Lojasiewicz g¦n têp cừa h m f trản têp V L1(f) Số mụ Lojasiewicz xa têp cừa h m f trản R Sè mơ Lojasiewicz. .. tữớng minh số mô Lojasiewicz cõa mët a thùc °c bi»t, a thực hai bián khổng suy bián theo phƯn chẵnh Newton tÔi vổ hÔn, chúng tổi cụng tẵnh toĂn ữủc số mụ Lojasiewicz theo phƯn chẵnh Newton tÔi vổ... số mụ Lojasiewicz cừa bĐt ¯ng thùc Lojasiewicz to n cưc cơng nh÷ c¡c sè mụ liản quan, ữủc tẵnh toĂn bơng thuêt toĂn Newton- Puiseux °c bi»t, n¸u a thùc hai bi¸n l khỉng suy bián theo lữủc ỗ Newton,