Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA Bài 1. Căn bậc hai  Kiến thức cơ bản 1. Căn bậc hai Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho ax = 2 ( )      == ≥ ⇔= aax x ax 2 2 0 Nhận xét: • Mỗi số thực a dương có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là: a ± • Ta có : 00 = • Số âm không có căn bậc hai 2. Căn bậc hai số học Định nghĩa: Với số dương a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a . Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0. Nhận xét: • Với 0 ≥ a , ta có:  Nếu ax = thì 0 ≥ x và ax = 2  Nếu 0 ≥ x và ax = 2 thì ax = • Phương trình ax = có nghiệm 2 ax = nếu 0 ≥ a , vô nghiệm nếu 0 < a 3. Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự Định lý: Với ba, là các số không âm, ta có: baba <⇔< Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức AA = 2  Kiến thức cần nhớ 1. Căn thức bậc hai • Với A là một biểu thức đại số. Người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. • Điều kiện để A có nghĩa ( xác định ): A có nghĩa khi 0 ≥ A Trang 1 hay ta viết    = ≥ ⇔= ax x ax 2 0 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba 2. Hằng đẳng thức AA = 2    <− ≥ == 0 0 2 AkhiA AkhiA AA Chú ý: Khi 0 > A • AXAAXAX ≤≤−⇔≤⇔≤ 2 •      −≤ ≥ ⇔≥⇔≥ AX AX AXAX 2  Bài tập áp dụng: 1. Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có nghĩa a. 1 2 + x b. 5 1 2 + − x c. 2 1 2 + − − x x d. 4 1 2 −− x e. 14 2 − x f. xx 2 1 2 − g. 72 + x h. 43 +− x 2.Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử a. 7 2 − x b. 3622 ++ xx c*. 14 2 ++ xx d. 7262 2 +− xx e*. ( ) 1244 2 2 2 −+++ xxxx f. 122 ++ xx 3. Rút gọn các biểu thức a. 324324 −++= A b. 526526 ++−= B c. 347347 ++−= C d. 3413526 +−+= D e*. 25353 −−−+= E Bài 3. Khai phương một tích – Nhân các căn thức bậc hai  Kiến thức cần nhớ 1. Khai phương một tích • Định lý: Nếu 0 ≥ a và 0 ≥ b thì baba = Trang 2 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba • Quy tắc: Muốn khai phương một tích của các số không âm ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau. 2. Nhân các căn thức bậc hai • Quy tắc: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó. • Chú ý: Định lý và các quy tắc trên vẫn đúng khi thay các số không âm bởi các biểu thức có giá trị không âm.  Bài tập áp dụng 1. Rút gọn các biểu thức sau a. 2832 146 + + b. 35 27359 + + c. 432 48632 ++ ++++ d. 45272183 2012283 +− +− 2. Thực hiện phép tính a. 638 4 1 253462       −+− b. 179.179 +− c*. ( ) ( ) ( ) ( ) 53535353 −+++− d*. ( ) ( ) 610154154 −−+ 3. Phân tích các biểu thức thành nhân tử a. 531533 −+− b. 2 11 aa −+− với 11 <<− a c. ( ) 0, 2233 >−+− baabbaba d. ( ) 0, 32 >−+− yxyxyyx 4. Giải các phương trình sau a. 281878522 =+− xxx b. 4459 3 1 5204 =−−−+− xxx c. 1 3 72 2 53 −= − − − x xx d. 05615 =+− xx Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai thương  Kiến thức cần nhớ 1. Khai phương một thương • Định lý: Nếu 0,0 >≥ ba thì: b a b a = Trang 3 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba • Quy tắc: Muốn khai phương một thương b a , trong đó a là số không âm, b là số dương thì ta có thể lần lượt khai phương số a và khai thương số b , rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai. 2. Chia hai căn thức bậc hai Quy tắc: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.  Bài tập áp dụng 1. Rút gọn các biểu thức sau đây a. 4 62 3 y zx zx y với 0,0,0 <≠> zyx b. 2 4 3 2 4 2 y x x y với 0,0 ≠< xy c. 6 2 25 5 y x xy với 0,0 >< yx d. 610 33 16 4 1 yx yx với 0,0 >< yx 2. Thực hiện phép tính a. ( ) 15:277512 ++ b. ( ) 3:122273487 −+ c. ( ) 450720085012 +− 3. Giải các phương trình a. 4483 −=− xx b. 0805 2 =− x c. ( ) 255 2 =− x d. 496 2 =++ xx Bài 5. Bảng căn bậc hai ( SGK ) Chú ý: Số chính phương là số tự nhiên có căn bậc hai là số nguyên hay có thể viết dưới dạng bình phương của một số tự nhiên. Bài 6 - 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai  Kiến thức cơ bản 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ( ) 0 2 ≥= BBABA 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn • BABA 2 = ( với 0 ≥ A và 0 ≥ B ) • BABA 2 −= ( với 0 < A và 0 ≥ B ) 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn ( ) 0,0 2 ≠≥== BAB B AB B AB B A 4. Trục căn thức ở mẫu Trang 4 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba • Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số thì ta phân tích tử thành dạng tích có thừa số là căn thức bậc hai ở mẫu để giản ước. ( ) 0 >= B B BA B A • Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tổng có chứa căn thì hoặc ta phân tích tử thành dạng tích có thừa số là biểu thức chứa căn ở mẫu để giản ước hoặc ta nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của biểu thức ở mẫu để có thể làm mất căn thức ở mẫu ( ) BABA BA BA BA ≠≥≥ − = ± ,0,0 1   Bài tập áp dụng 1. Rút gọn các biểu thức sau a. ( ) 2 21 − b. 22 1 1. ba ab + c. ba aba + + d. ( ) 0,0 43 >>+ ba b a b a 2. Giải phương trình a. 11644993636 −−=−−−−− xxxx b. 12255048918 =+++−+ xxx 3.Tính a. 1247 1 1247 1 −+ − +− = A b. 549 4 549 4 + − − = B c. 113 3 113 3 ++ − −+ d. 3 22 1 3 22 1 3 22 1 3 22 1 −−+ −++ 4. Xét biểu thức 2 65 xyxyB +−= a. Phân tích B thành nhân tử b. Tính giá trị của B khi 74 18 ; 3 2 + =−= yx 5. Cho biểu thức x x x x xx x B − + − − + − +− − = 3 12 2 3 65 92 a. Tìm điều kiện của x để B có nghĩa Trang 5 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba b. Rút gọn B Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai  Kiến thức cần nhớ Các công thức và các quy tắc đã học ở các bài trước.  Bài tập áp dụng 1. Thực hiện phép tính a. ( ) 2 12 1 .1 25 1 25 1 +       + + − − b. ( ) 32 12 22 3 323 +− + + + + c. 53 53 53 53 + − + − + d. 625 625 625 625 + − + − + 2. Cho biểu thức x x x x xx xx P − − + + + − −+ −+ = 1 2 2 1 2 393 a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa b. Rút gọn P c. Tìm các giá trị của x để P có giá trị nguyên. 3. Chứng minh rằng với yxyx ≠≥≥ ,0,0 , biểu thức sau không phụ thuộc vào x xyyx yx yx yx A ++ − − − − = 3 3 4. Chứng minh rằng với 0,0 >> ba , biểu thức: ( ) ab abba ba abba P − − + +− = 4 2 không phụ thuộc váo a 5. Cho biểu thức: ( ) 623 2 24 2 −−+ − = xx x y a. Rút gọn y b. Tìm giá trị lớn nhất của y Bài 9. Căn bậc ba  Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa căn bậc ba • Căn bậc ba của một số thực a là số x sao cho ax = 3 • Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba • Kí hiệu căn bậc ba của số a là 3 a 2. Tính chất căn bậc ba Trang 6 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba • Liên hệ giữa thứ tự và căn bậc ba Nếu ba < thì 33 ba < • Liên hệ giữa phép nhân và phép khai căn bậc ba Với ba, bất kì thì 333 . abba = • Liên hệ giữa phép chia và phép khai căn bậc ba Với ba, bất kì và 0 ≠ b thì 3 3 3 b a b a =  Bài tập áp dụng 1. Thực hiện phép tính a. 333 125827 −−+ b. 3333 4038413548 −−+ c. 33 3 3 3 1 2: 3 1 43 5 9         +−− d. 33 378.378 +− 2. Tính a. 33 725725 −−+= A b. 33 2142021420 −++= B 3. Rút gọn biểu thức: 3 2 3 3 2 3 4 3 22 3 4 baba bbaa A ++ ++ = với 0 ≠ ab 4. Trục căn thức ở mẫu a. 3 33 469 1 +− b. 33 3 33 3752432439 1 +−+− c. 33 42 1 + d. 44 1255534 2 −+− 5. Giải phương trình a. 213 3 =− x b. 0123 3 =+− x c. 3524 3 =+− x d. 21123622 3 23 +=+++ xxx Trang 7 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba TRẮC NGHIỆM Câu 1. Câu nào sau đây đúng nhất ? Căn bậc hai của 9 bằng: a. 3 b. -3 c. 3 hoặc -3 d. 3 và -3 Câu 2. Với giá trị nào sau đây của x thì xx = ? a. 0 > x b. 1 > x c. 0=x ; 1=x d. Một giá trị khác Câu 3. Với giá trị nào của x thì biểu thức xxx −−+− 221 2 có nghĩa: a. 2 > x b. 2 < x c. 2 ≤ x d. 21 ≤≤ x Câu 4. Với giá trị nào của yx, ta có x y x y = 2 a. 0,0 >< xy b. 0,0 >> xy c. 0,0 <≥ xy d. 0,0 >≥ xy Câu 5. Với giá trị nào của x thì biểu thức 169 2 ++ xx có nghĩa ? a. Với mọi 0 > x b. Với mọi x c. 0 = x d. 3 1 −= x Trang 8 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba Câu 6. Giá trị của biểu thức 64 3 . 32 121 . 75 2 bằng: a. 40 11 b. 20 33 c. 160 11 d. 5 4 Câu 7. Giá trị của biểu thức ( ) 2 2132 − bằng: a. ( ) 214 − b. ( ) 124 − c. 28 d. ( ) 224 − Câu 8. Trong các câu sau câu nào sai ? a. ( ) 1919 2 =− b. ( ) 1919 2 −=− c. ( ) 1919 2 −=−− d. 1919 2 = Câu 9. Giá trị của biểu thức 15 4 − bằng: a. 1 b. 15 − c. 15 + d. 2 Câu 10. Cho 53 53 + − = x và 53 53 − + = y . Giá trị yx + bằng: a. 7 b. 8 c. 4 d. 56 Câu 11. Giá trị của biểu thức 53 2 53 2 − + + bằng: a. 2 b. 5 c. 4 d. 54 Câu 12. Giá trị của biểu thức 48 23 23 23 23 − + − + − bằng: a. 2 b. 2 c. 1 d. 4 Câu 13. Giá trị của biểu thức ( ) 12 12 223 − + − bằng: a. 1 b. 223+ c. ( ) 2 223 + d. Một đáp số khác Câu 14. Giá trị của phân thức ( ) 322 622 + + bằng: a. 3 22 b. 1 c. 3 32 d. 3 4 Câu 15. Lũy thừa bậc 4 của 111 ++ là: a. 32 + b. ( ) 537 2 1 + Trang 9 Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba c. 321 + d. 223 + Câu 16. Giá trị của biểu thức 324324 −−+ bằng: a. 0 b. 2 c. 4 d. 34 Câu 17. Giá trị của biểu thức ( ) 2 322 −− bằng: a. 3 − b. 4 c. 3 d. 34 + Câu 18. Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn ( ) 4 23 + là: a. 968 b. 969 c. 970 d. 971 Câu 19. Biết 1 =− yx . Biểu thức aybxbyax −+− bằng: a. ba + b. ba − c. ( ) ba +− d. ( ) ba −− Câu 20. Biết 3 35142 223 ba += ++ . Giá trị của tích ba. bằng: a. 6 b. 7 c. -6 d. -7 Câu 21. Biết 6 23 625 ba += − + . Giá trị của tích ba. bằng: a. 5 b. 6 c. 7 d. 10 Câu 22. Biết 22 =+ x , giá trị ( ) 2 2 + x bằng: a. 4 b. 8 c. 16 d. 32 Câu 23. Biết 31 =+ x , giá trị của ( ) 52 2 ++ xx bằng: a. 9 b. 27 c. 81 d. 85 Câu 24. Tổng các nghiệm của phương trình 271 33 =−++ xx bằng: a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 Câu 25. Điều kiện của x để 244 2 −=+− xxx là: a. 2 < x b. 2 > x c. 2 ≥ x d. 2 ≤ x Câu 26. Điều kiện của x để xxx −−=++ 321234 2 là: a. 32 −< x b. 32 −> x c. 32 ≤ x d. 32 ≥ x Câu 27. Phương trình ( ) 31 2 =−+ xx có: a. 1 nghiệm âm b. 1 nghiệm dương c. Vô số nghiệm d. Vô nghiệm Câu 28. Tập nghiệm của phương trình 243 2 =+− xx là: a. { } 0 b. { } 3 Trang 10 [...].. .Chương I – Căn bậc hai, căn bậc ba c {0;3} Câu 29 Phương trình d Một đáp số khác 4 (1 + x ) = 6 2 có: a Vô nghiệm b Vô số nghiệm c 1 nghiệm d 2 nghiệm Câu 30 Nghiệm của phương trình a x = 1 x + 2 x +1 + 2 =1 là: b x = 1 c x = 2 d x = −2 Câu 31 Để phương trình 3 x 3 − 3x 2 + 3x − 1 = x + m vô nghiệm thì giá trị của a m ≠ 1 b m = 1 Câu 32 Với x > 2 thì giá trị biểu thức m là: c m = 1 x +3 +... +3 + 2 x + 2 − x −6 −4 x + 2 d m ≠ 1 bằng: a 3 b 2 c d Một đáp số khác − x +2 Câu 33 Nghiệm của phương trình a 3 2 3 x − 4 3 x = 27 − 3 3 x b 27 là: c 81 d 243 Câu 34 Nghiệm của phương trình ( 23 x + 5)( 23 x − 5) = − 21 là: a x = 1 b x = 1 c Cả a, b đều đúng d Cả a, b đều sai Câu 35 Phương trình a Vô nghiệm x2 − 2x + 5 = 2 có nghiệm là: b x = 2 c x = 1 Trang 11 d x = −2 . a. 11 644993636 −−=−−−−− xxxx b. 12 255048 918 =+++−+ xxx 3.Tính a. 12 47 1 1247 1 −+ − +− = A b. 549 4 549 4 + − − = B c. 11 3 3 11 3 3 ++ − −+ d. 3 22 1 3. sai ? a. ( ) 19 19 2 =− b. ( ) 19 19 2 −=− c. ( ) 19 19 2 −=−− d. 19 19 2 = Câu 9. Giá trị của biểu thức 15 4 − bằng: a. 1 b. 15 − c. 15 + d. 2 Câu 10 . Cho 53