Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Đề thi chÝnh thøc Kú thi chän häc sinh giái tØnh Giải toán máy tính CầM TAY Khối 12 THPT - Năm học 2008-2009 Thi gian lam bai: 150 phỳt Ngày thi: 17/12/2008 - Đề thi gồm trang C¸c giám khảo Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) (Họ, tên chữ ký) Điểm toàn thi B»ng sè B»ng ch÷ GK1 GK2 Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, cơng thức áp dụng, kết tính tốn vào trống liền kề tốn Các kết tính gần đúng, khơng có định cụ thể, ngầm định xác tới chữ số phần thập phân sau dấu phẩy x Bài (5 điểm) Cho hàm số f ( x)  log x  Tính tổng S  f    f    f     f  Tóm tắt cách giải: 100  Kết quả: Bài (5 điểm) Tính gần khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số: f ( x)  Tóm tắt cách giải: x2  x  3x  Kết quả: MTCT12THPT-Trang Bài (5 điểm) Tính gần giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số:  f ( x) 3(sin x  cos x)  3co s 2 x    Hướng dẫn: Đặt t sin x  cos x Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài (5 điểm) Cho dãy hai số un và có số hạng tổng quát là: n   3    3  n n  2 5    5  n và ( n  N và n 1 ) 4 Xét dãy số zn 2un  3vn ( n  N và n 1 ) a) Tính giá trị xác u1 , u2 , u3 , u4 ; v1 , v2 , v3 , v4 b) Lập công thức truy hồi tính un 2 theo un 1 và un ; tính 2 theo 1 và c) Từ cơng thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính un 2 , 2 và zn 2 theo un 1 , un , 1 , ( n 1, 2, 3, ) Ghi lại giá trị xác của: z3 , z5 , z8 , z9 , z10 un Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT-Trang Bài (5 điểm) Cho đa thức g ( x) 8 x  18 x  x  a) Tìm hệ số a, b, c hàm số bậc ba y  f ( x)  x3  ax  bx  c , biết chia đa thức f ( x) cho đa thức g ( x) đa thức dư là r ( x ) 8 x  x  b) Với giá trị a, b, c vừa tìm được, tính giá trị gần hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) qua điểm B(0; 3) Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài (5 điểm) Lãi suất tiền gửi tiết kiệm số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy năm, lãi suất tăng lên 1,15% tháng nửa năm và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm lãi suất giảm xuống 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm số tháng tròn nữa, rút tiền bạn Châu vốn lẫn lãi là 747 478,359 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bạn Châu gửi tiền tiết kiệm tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím máy tính để giải Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT-Trang Bài (5 điểm) a) Tìm x biết C202 x  A2xx 1  Px   x8  x 33479022340 với Pn là số hoán vị n phần tử, Ank là số chỉnh hợp chập k n phần tử, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử 17 b) Tìm hệ số số hạng chứa x , x , x Tóm tắt cách giải: 28   khai triển nhị thức Niu-tơn   x5  x  30 Kết quả: Bài (5 điểm) a) Tìm số aabb cho aabb  a  1  a  1  b  1  b  1 Nêu quy trình bấm phím để kết b) Tìm số tự nhiên n nhỏ cho lập phương số ta số tự nhiên có chữ số cuối chữ số chữ số đầu chữ số 7: n3 777 777 Nêu sơ lược cách giải Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT-Trang Bài (5 điểm) Cho đường thẳng d1 : 3x  y  0; d : x  y  0; d3 : x  y  0 Hai đường thẳng (d1 ) và (d ) cắt A; hai đường thẳng (d ) và (d3 ) cắt B; hai đường thẳng (d3 ) và (d1 ) cắt C a) Tìm tọa độ điểm A, B, C (viết dạng phân số) b) Tính gần hệ số góc đường thẳng chứa tia phân giác góc A tam giác ABC và tọa độ giao điểm D tia phân giác với cạnh BC c) Tính gần diện tích phần hình phẳng đường trịn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC Kết làm trịn đến chữ số lẻ thập phân Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 10 (5 điểm) Cho hình chóp ngũ giác có cạnh đáy a = 6,74 cm, cạnh bên b = 9,44 cm a) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp b) Tính gần số đo (độ, phút, giây) góc hợp mặt bên và mặt đáy hình chóp c) Tìm thể tích phần hình cầu nội tiếp và hình cầu ngoại tiếp hình chóp cho Tóm tắt cách giải: Kết quả: HẾT - MTCT12THPT-Trang Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Đề thi thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Giải toán máy tính CầM TAY Khối 12 THPT - Năm học 2008-2009 ỏp ỏn biểu điểm x Bài 1: f ( x)  log x  SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( ^ ( ( ALPHA A ) )  ( ln ALPHA A  ln + ) Bấm liên tiếp = = = A nhận giá trị 100 dừng, đọc kết biến B: S 52.3967  Sơ lược cách giải nêu quy trình ấm phím: 2,0 điểm  Tính kết quả: 3,0 điểm Bài 2: Tính gần khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x)  x2  x  3x  + Tính đạo hàm cấp để tìm điểm cực đại và cực tiểu hàm số: TXĐ: R f '( x )   x2  x  5 x  3x   f '( x) 0  x1  ;   11   11 : Hàm số có điểm cực trị là x1 và x2 ; x2  2 Dùng chức CALC để tính giá trị cực trị: ( ALPHA X x2 + )  ( ALPHA X x2 + ALPHA X + ) CALC nhập giả trị  11  11 = SHIFT STO A cho y1 6.557106963 , CALC nhập tiếp = SHIFT STO B cho y2 0.871464465 Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: d  ( 11 + ( ALPHA B  ALPHA A ) x2 ) =  x2  x1  2   y2  y1  Bấm máy: cho kết quả: d  6.5823 Bài 3: Tính gần giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số:  f ( x) 3(sin x  cos x)  3co s 2 x    Đặt t sin x  cos x  cos  x  45  , t    2;  ; sin x t     f ( x) 3(sin x  cos x)  3co s 2 x   3t    t  1       g (t ) g (t ) 2 3t  3t  3t   3, t    2;  g '(t ) 8 3t  3t  , g '(t ) 0  t1  1.09445053; t2 0.2284251259; t3 0.8660254038 MTCT12THPT-Trang t1 , t2 , t3    2;  ALPHA X x2 + ALPHA X + + ALPHA X ^  CALC nhập vào (-) CALC nhập vào   g   8.974691495 ta g  0.4894101204 = = ta Tương tự, ta có: g (t1 )  1.879839877; g (t2 ) 5.065257315; g (t3 ) 4.082531755 Vậy: Max f ( x) 8.9747; Min f ( x)  1.8798 Bài 4: u1 1, u2 10, u3 87; u4 740 v1 1, v2 14, v3 167, v4 1932 Cơng thức truy hồi un+2 có dạng: un 2 aun 1  bun 2 Ta có hệ phương trình:  u3 au2  bu1  10a  b 87   a 10; b  13  87a  10b 740 u4 au3  bu2 un 2 10un 1  13un Do đó: Tương tự: 2 14vn 1  29vn Quy trình bấm phím: SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14 SHIFT STO D 2SHIFT STO X (Biến đếm) ALPHA X ALPHA = ALPHA X + ALPHA : ALPHA E ALPHA = 10 ALPHA B  13 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F ALPHA = 14 ALPHA D  29 ALPHA C ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA F ALPHA : ALPHA Y ALPHA = ALPHA E + ALPHA F = = = (giá trị E ứng với un+2, F ứng với vn+2, Y ứng với zn+2) Ghi lại giá trị sau: z3 675, z5 79153, z8 =108234392, z 1218810909, z10 13788770710 Bài 5: a) Các nghiệm đa thức g(x) là: x1  ; x2 2; x3  Theo giả thiết ta có: f ( x ) q.g ( x)  x  x  , suy ra:   1  1  f    r    5       f (2) r (2) 45   3 25  f   r     4    1   a  b  c 5    4a  2b  c 45  9 25 27  a  b c   64 16 Giải hệ phương trình ta được: a  Do đó: f ( x) x  23 33 23 ;b ;c 23 33 23 x  x MTCT12THPT-Trang b) Gọi đồ thị hàm số y  f ( x)  x  23 33 23 x  x là (C) Tiếp tuyến (C) qua điểm B(0; 3) là đường thẳng d : y kx  có hệ số góc là k Hệ phương trình cho hoành độ tiếp điểm và hệ số góc tiếp tuyến (C) qua B là: 23  23 33  x  x  x  kx     k  f '( x ) 3x  23 x  33   23 11 2x  x  0 (1)  4   k 3 x  23 x  33 (2)  Giải phương trình (1) ta nghiệm là hoành độ tiếp điểm ứng với tiếp tuyến (C) qua B(0; 3): x1  2.684151552; x2  0.817485121; x3 0.6266366734 Dùng chức CALC để tính hệ số góc tiếp tuyến tương ứng (C): k1  5.1287; k2  3.2712; k3 12.5093 Bài 6: Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng, số tháng gửi tiết kiệm là: a + + x Khi đó, số tiền gửi vốn lẫn lãi là: 5000000 1.007 a 1.01156 1.009 x 5747478.359 Quy trình bấm phím: 5000000  1.007 ^ ALPHA A  1.0115 ^  1.009 ^ ALPHA X  5747478.359 ALPHA = SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là = Nhập giá trị đầu cho X là = SHIFT SOLVE Cho kết X là số không nguyên Lặp lại quy trình với A nhập vào là 2, 3, 4, 5, đến nhận giá trị nguyên X = A = Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: + + = 15 tháng Bài 7: C202 x  A2xx 1  Px   x8  x 33479022340 33479022340 SHIFT STO A SHIFT STO X ALPHA X ALPHA = ALPHA X + ALPHA : 20 nCr ( ALPHA X ) + ( ALPHA X + ) nPr ALPHA X  ( ALPHA X  ) SHIFT x!  ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA A = = = đến biểu thức 0, ứng với X 9 b) 30 30  5 k 2 k     x   C30  x   x  x  k 0   30  k   k  53  30 k   30 k  50 113k   C  x   C30  x  k 0   k 0   30 k 30 Với 50  11k 28  k 6 Suy hệ số x 28 là C306 593775 Với 50  11k 17  k 9 Suy hệ số x17 là C309 14307150 MTCT12THPT-Trang Với 50  11k 12 6  k 12 Suy hệ số x là C30 86493225 Bài 8: a) Số cần tìm là: 3388 Cách giải: aabb 1000a  100a  10b  b 1100a  11b 11 100a  b   a  1  a  1  b  1  b  1 112  a  1  b  1 Do đó: aabb  a  1  a  1  b  1  b  1  100a  b 11 a  1  b  1 Nếu a 0  10b 11 , điều này không xảy Tương tự, b 1  100a  0 , điều này khơng xảy Quy trình bấm máy: 100 ALPHA A + ALPHA X  11 ( ALPHA A + ) ( ALPHA X  ) ALPHA = SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là = cho kết X là số lẻ thập phân SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là = cho kết X là số lẻ thập phân SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là = cho kết X = 8; tiếp tục quy trình A = Ta tìm số: 3388 b) Hàng đơn vị có 33 27 có chữ số cuối là Với cac số a3 có 533 14877 có chữ số cuối là Với chữ số  a53 có 7533 có chữ số cuối là Ta có: 777000 91.xxxx ; 777 106 919, xxx ; 777 107 1980, xxx ; 3 7770000 198.xxxx , 777 105 426, xxx ; 777 108 4267, xxx ; Như vậy, để số lập phương có số đuôi là chữ số phải bắt đầu số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; (x = 0, 1, 2, , 9) Thử số: 917533 77243 ; 1987533 785129 ; 4267533 77719455 Vậy số cần tìm là: n = 426753 và 4267533 77719455348459777 Bài 9: a)  15   19  A   3;   , B  ;   ; C   ;  4   5 1 1  b) A tan  tan    3 Góc tia phân giác At và Ox là:   A   2 tan1      tan   tan     Suy ra: Hệ số góc At là:  3 2  3 MTCT12THPT-Trang 1    a tan   tan   tan         2 Bấm máy: tan ( 0.5 ( SHIFT tan-1 + SHIFT tan-1 ( ab/c ) ) ) SHIFT STO A kết quả: cho a 1.3093 + Đường thẳng chứa tia phân giác At là đồ thị hàm số: y ax  b , At qua điểm A( 3;  4) nên b 3a  x  y 3 Giải hệ pt  ax  y  3a   + Tọa độ giao điểm D At và BC là nghiệm hệ phương trình:  cách bấm máy nhập hệ số a dùng ALPHA A và nhập hệ số c2 dùng () ALPHA A + 4, ta kết quả: D(0,9284; 1,1432) 2 15 c) AB         Tính và gán cho biến A     2  15   19  BC         Tính và gán cho biến B  5  4 2   19   CA         Tính và gán cho biến C 5     ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C )  SHIFT STO D (Nửa chu vi p) Diện tích tam giác ABC: ( ( ALPHA D ( ALPHA D  ( ALPHA A ) ( ALPHA D  ( ALPHA B ) ( ALPHA D ) ) SHIFT STO E Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC: R  abc : 4S ALPHA A ALPHA B ALPHA C   ALPHA E SHIFT STO F S p Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC: r  Diện tích phần hình phẳng đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: S  R   r   R  r  SHIFT  ( ALPHA E x2  ( ALPHA E  ALPHA D ) x2 = Cho kết S 46, 44 (cm ) S Bài 10: a) Tính bán kính đường ngoại tiếp đáy và trung đoạn hình chóp: + R OA  a 5.733386448 2sin 360 M J K D C O E A B MTCT12THPT-Trang 10 I 6.74 SHIFT STO A   sin 36 SHIFT STO B cho kết là bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp: R 5.733386448 + Chiều cao hình chóp: h SO  b  R ( 9.44 x2  ALPHA B x2 ) SHIFT STO C cho kết h 7.499458636 + Trung đoạn hình chóp: - Tính OI: OI  a a   Bấm máy:  d SI  h  OI  h   0  tan 36  tan 36  ( ALPHA C x2 + ( ALPHA A   tan 36 ) x2 ) SHIFT STO D cho kết trung đoạn hình chóp: d 8.817975958(cm) 2 2.5 ALPHA A ALPHA D = cho kết là S xq 148.5829 cm 1 + Thể tích hình chóp: Vchop  5  AB OI h + Diện tích xung quanh hình chóp: S xq 5  ad 2.5 ALPHA C ALPHA A x2   tan 36 = cho kết là: Vchop 195.3788 cm h  b) Góc tạo mặt bên SAB với mặt đáy ABCDE là SIO  Ta có: sin   d SHIFT sin-1 ( ALPHA C ALPHA D = cho kết  58015' 48" c) Phân giác góc SIO cắt SO K là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp có bán kính r1 = KO: 1  h  r1 KO OI tan  sin      d  2 ( ALPHA A   tan 36 ) tan ( 0.5 SHIFT sin-1 (  ALPHA C  ALPHA D ) ) SHIFT STO E cho kết quả: r1 KO 2,5851(cm) Trung trực đoạn SA mặt phẳng SAO cắt SO J Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm J, bán kính SJ SM SO SA2 b   r SJ   SJ SA 2SO 2h 9.44 x2   ALPHA C SHIFT STO F cho kết r SJ 5.941335523 Hiệu thể tích: V V2  V1    r  r13  ( ab/c ) SHIFT  ( ALPHA F x2  ALPHA E x2 ) = cho kết V 119.8704 cm3 Lưu ý: gán kết trung gian cho biến để kết cuối khơng có sai số lớn MTCT12THPT-Trang 11 ... quả: HẾT - MTCT12THPT-Trang Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thi? ?n Huế Đề thi thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Giải toán máy tính CầM TAY Khối 12 THPT - Năm học 200 8- 2009 ỏp ỏn v biểu điểm... 0.81748 5121 ; x3 0.6266366734 Dùng chức CALC để tính hệ số góc tiếp tuyến tương ứng (C): k1  5 .128 7; k2  3.2 712; k3 ? ?12. 5093 Bài 6: Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng... 0.22842 5125 9; t3 0.8660254038 MTCT12THPT-Trang t1 , t2 , t3    2;  ALPHA X x2 + ALPHA X + + ALPHA X ^  CALC nhập vào (-) CALC nhập vào   g   8.974691495 ta g  0.48941 0120 4 = =