Chương 1: sở lí luận thực tiễn 1.1 Năng lực , phát triển lực, lực giải tốn 1.1.1 Năng lực gì? Năng lực giải tốn gì? Đã có nhiều quan niệm khác lực vậy, có nhiều khái niệm khác Có thể xem xét khái niệm lực từ nhiều phương diện khác - Năng lực vấn đề trừu tượng tâm lí học khái niệm ngày có nhìu cách tiếp cận cách diễn đạt khác - Theo quan điểm nhà tâm lí học lực tổng hợp đặc điểm, thuộc tính tâm lí cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng hoạt động định nhằ đảm bảo cho hoạt động đạt hiệu cao - Theo Nguyên Huy Tú [ 12;11] : “… lực tự nhiên loại lực đc nảy sinh sở tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động giáo dục đào tạo cho phép người giải yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt cho cc sống” - X.L.Rubinxtein cho : “ lực tồn thuộc tính tâm lí làm cho người thích hợp với hoạt động có lợi ích xã hội định” - Tâm lí chia lực thành dạng khác lực chung lực chuyên môn.năng lực chia thành mức độ : lực, tài năng, thiên tài - Theo từ điển tiếng việt : “ lực khả làm việc tốt, nhờ có phẩm chất đạo đức trình độ chun mơn.” - song song với lực tri thức, kĩ kĩ xảo : tri thức, kĩ kĩ xảo điều kiện cần thiết để hình thành lực song khơng đồng với lực; lực góp phần làm cho q trình lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực hoạt động định nhanh chóng thuận lợi dễ dàng hơn; có lực hoạt động tức có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo khơng có nghĩa có lực lĩnh vực • lực tốn học - Trong tâm lí học khái niệm lực toán học hiểu theo hướng: + Thứ nhất: lực hoạt động sáng tạo hoạt động nghiên cứu toán học với tư cách khoa học Người có lực sáng tọa toán học cống hiến cho nhân lọai cơng trình tốn học đầy ý nghĩa hoạt động thực tiễn người phát triển khoa học toán học + Thứ hai: lực học tập, việc nắm vững khái niệm, định lí, tính chất, hệ tốn học với tư cách mơn học nguời học có lực học tốn nhanh nhạy việc tiếp thu kiến thức toán học thực thành thạo kĩ nang kĩ xảo tương ứng khẳng định có lực tốn học điều kiện cần lực sáng tọa toán học lực sáng tạo tốn học xuất phát từ việc tạo lập định nghĩa hay định lí mới, hồn tồn khác so với lực hiểu định lí toán học chứng minh thùa nhận trước - Có nhiều quan điểm khác lực tốn học Con người có lực khác có tố chất khác lực hình thành thơng qua hoạt động điều kiện xã hội môi trường sống Năng lực tốn học cho có mối quan hệ mật thiết với hoạt động trực giác sáng tạo tốn học người nghiên cứu Do đó, sở nghiên cứu trình sáng tạo nhà tốn học, J.Addamaa cho q trình sáng tạo toán học gồm giai đoạn tương ứng với giai đoạn đặc điểm riêng bao gồm giai đoạn chuẩn bị, giai đoạn ấp ủ, giai đoạn bừng sáng giai đoạn kiểm chứng Sự sáng tạo thể ý thức người trình độ cao, tức biểu thị mức độ phát triển cao nhận thức người - Theo A.N.Kô mô gô rơp, thành phần lực tốn học gồm: Năng lực biến đổi khéo léo biểu thức chữ phức tạp, lực tìm đường giải phương trình khơng theo quy tắc chuẩn nhà toán học quen gọi lực tính tốn hay lực trí tưởng tượng hình học Tóm lại lực tốn học gắn liền với hoạt động trí tuệ học sinh, giúp học sinh nắm vững vận dụng tốt tri thức, kĩ kĩ xảo học tập mơn tốn • lực giải tốn khả giải tốn hay nói cách xác khả giải tình tốn bao gồm dạng có motip giải, dạng chưa có phải biến đổi, vận dụng kiến thức khác Đây yếu tố bộc lộ nhanh nhẹn, linh hoạt, mềm dẻo,sáng tạo,biết khai thác, tích cực thân, kĩ mềm để giúp giải tốn- chìa khóa cho tốn kể hóc búa.tuy nhiên khơng phải có lực bộc lộ lực này.đây q trình khơng ngừng trau dồi, luyện tập, học hỏi từ năm sang năm khác, từ nhỏ đến lớn, từ dễ đến khó.năng lực học sinh thân học sinh xây dựng nhiên cịn chịu tác động khơng nhỏ thầy cô giảng dạy người giáo viên muốn nâng cao lực giải tốn cho học sinh phải tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo dạng tri thức khác nhau,rèn luyện cho học sinh kĩ bình diện khác nhau, bên cạnh cịn phải biết cho học sinh kết hợp chiếm lĩnh tri thức rèn luyện kĩ năng, cuối cần phải làm bật mạch tri thức xuyên suốt chương trình Như học sinh rèn luyện kĩ giải tốn tốt nhât từ tạo đà phát triển lực giải toán học sinh Vậy làm để học sinh có lực giải toán phát triển lực giải toán sao? - Thứ nhất, cần trang bị tri thức kĩ toán học kĩ vận dụng tốn học: ta biết mơn tốn cần cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thơng bản, thiết thực( chương trình giáo dục học năm 2002,tr.2 tr.6) Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, sở để thực mục tiêu phương diện khác Để đạt mục tiêu quan trọng môn toán cần trang bị cho học sinh hệ thống vững tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, bản, đại, sát thực tiễn Việt Nam, theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp; đồng thời bồi dưỡng cho họ khả vận dụng hiểu biết toán học vào việc học tập môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật - Thứ hai, cần phát triển lực trí tuệ cho học sinh: mơn tốn cần góp phần quan trọng vào việc phát triển lực tri tuệ, hình thành khả suy luận đặc trưng toán học cần thiết cho sống ( chương trình giáo dục học năm 2002, tr.2 tr.6) Mơn tốn có khả to lớn góp phần phát triển lực trí tuệ cho học sinh Mục tiêu cần thực cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch tự phát Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ mặt sau rèn luyện tư logic ngơn ngữ xác phát triển khả suy đốn tưởng tượng rèn luyện trí tuệ phẩm chất trí tuệ ( tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo…) - Thứ ba, cần giáo dục trị tư tưởng phẩm chất phong cách lao động khoa học: mơn tốn cần góp phần hình thành phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí thói quen tự học thường xun( chương trình 2002,tr.2 tr.26) Để thực hiên mục tiêu này, mơn tốn cần khai thác nhằm góp phần bồi dưỡng cho học sinh giới quan biện chứng, rèn luyện cho họ phẩm chất phong cách lao động khoa học học tập làm viêc có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kiểm tra, tính cẩn thận, kỉ luật, xác, có óc thẩm mĩ… - Thứ tư, tạo sở để học sinh tiếp tục học tập vào sống lao động 1.2.1 Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp học sinh THPT Chúng tiến hành khảo sát thực trạng kết học chủ đề Đại số Tổ hợp 129 học sinh lớp 11 – Ban trường THPT Đồng Hỷ với hình thức phiếu điều tra trắc nghiệm Đề phiếu điều tra học sinh Theo em chuyên đề đại số tổ hợp phần khó nhất? A: Chỉnh hợp B: Tổ hợp C: Nhị thức Niu- tơn D: Chỉnh hợp + Tổ hợp E: Tổ hợp + Nhị thức Niu- tơn F: Chỉnh hợp + Nhị thức Niu- tơn G: Khơng có phần khó H: Chỉnh hợp + Tổ hợp + Nhị thức Niu- tơn Các em có hứng thú( u thích) học chun đề đại số tổ hợp khơng? A: Có B: Khơng Theo em việc phát triển lực giải toán đại số tổ hợp cho học sinh THPT có cần thiết khơng? A: Rất cần thiết B: Cần thiết C: Ít cần thiết D: Khơng cần thiết 4.Theo em thầy (hoặc cô) ý phát triển lực giải toán đại số tổ hợp cho em trình dạy học chưa? A: Có B: Chưa • Trong q trình kiến tập trường THPT dự số tiết lớp 11 chủ đề đại số tổ hợp Bên cạnh em học tốt, hiểu chủ đề đại số tổ hợp cịn em học sinh hiểu sai đề bài, vận dụng sai cơng thức, Sau tơi xin trình bày số cách giải toán sai học sinh mà tổng hợp sau kiến tập Bài 1: Một đồn tàu có toa 1, 2, Trên ga có khách khách có chỗ trống hỏi a,có cách xếp khách lên tàu b,có cách xếp khách cho toa có khách - Học sinh lên bảng trả lời a, số cách xếp khách lên tàu C412 = 495 cách b, Chọn toa có C13 cách Chọn người người xếp vào toa chọn có A34 cách Xếp người cịn lại vào toa cịn lại có cách Vậy có C13 x A34 x =144 cách Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên sử dụng sai công thức - Lời giải: a, gọi người khách a, b, c, d a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn có x x x = 81 cách b, chọn khách số khách có C34 cách có cách xếp khách vừa chọn lên tàu có cách xếp khách cịn lại lên tàu có C34 x x = 24 cách Bài 2: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình Có cách chia 16 học sinh thành tổ, tổ người, cho tổ có học sinh giỏi học sinh khá? - Học sinh lên bảng trả lời Có học sinh giỏi chia cho tổ nên tổ có học sinh giỏi, tổ có học sinh giỏi Gọi A tổ có học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A số cách chia tổ thoả mãn u cầu tốn Có trường hợp chọn tổ A: Trường hợp 1: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: A13+A25+A58= 6743 cách Trường hợp 2: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: A13 + A35 + A48 = 1743 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu toán là: 6743 + 1743 = 8486 cách Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc - Lời giải: Có học sinh giỏi chia cho tổ nên tổ có học sinh giỏi, tổ có học sinh giỏi Gọi A tổ có học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A số cách chia tổ thoả mãn u cầu tốn Có trường hợp chọn tổ A: Trường hợp 1: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: C13.C25.C58 = 1680 cách Trường hợp 2: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: C13.C35.C48 = 2100 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu toán là: 1680 + 2100 = 3780 cách • Sau kết phiếu điều tra mà thu sau khảo sát học sinh lớp 11 – ban trường THPT Đồng Hỷ Câu hỏi Câu Câu Câu Câu Phần trăm đáp án (%) A : 2,3 B : 8,5 C : 44,2 A : 38 B : 62 A : 31 B : 41 C : 18,6 A : 71,3 B : 28,7 D :10,1 E :2,4 F :5,4 G :3,1 H : 24 D : 9,4 * Nhận xét chung : Qua thực tế thấy số học sinh mắc sai lầm giải tập chủ đề ”Đại số tổ hợp” nhiều, kể số học sinh lớp Đa số học sinh mắc sai lầm việc vận dụng quy tắc cộng quy tắc nhân, phân chia trường hợp riêng Qua cho thấy giải tốn học sinh cịn yếu Câu hỏi đặt học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh mắc sai lầm ? Cách hạn chế khắc phục sai lầm cho học sinh để nâng cao hiệu cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nói chung 1.2.2 : Những khó khăn, sai lầm học sinh giải toán đại số tổ hợp Bên cạnh phiếu điều tra học sinh chúng tơi cịn xin ý kiến em học sinh thầy cô giáo câu hỏi sau: Theo em ( thầy , giáo) có khó khăn em học sinh giải tốn đại số tổ hợp ? Sau tổng kết ý kiến tham khảo số tài liệu sau xin trình bày khó khăn, sai lầm học sinh giải toán đại số tổ hợp mà thu a, Sai lầm hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa khái niệm thao tác tư nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm đối tượng khác, thường cách vạch nội hàm khái niệm đó” Trong q trình học chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh chưa hiểu chất khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn ký hiệu đối tượng đối tượng định nghĩa Ví dụ : Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k n Ckn ’’ mà phát biểu là: ‘Số tổ hợp chập k n Ckn’’ ‘Chỉnh hợp chập k n Akn ’’ mà phát biểu là: ‘Số chỉnh hợp chập k n phân tử Akn ” Cũng có học sinh áp dụng cơng thức thành thạo lại không hiểu ý nghĩa cơng thức Ví dụ : Lớp 11A có 40 học sinh, có 20 học sinh nam Có cách bầu ban cán lớp gồm hai bạn: nam nữ? Học sinh giải sau: Số học sinh nữ là: 40 – 20 = 20 (học sinh) Vận dụng quy tắc cộng ta có : 20 + 20 = 40 cách Nguyên nhân sai lầm: Học sinh không hiểu rõ khái niệm chọn hai bạn: nam, nữ ta thực hai hành động liên tiếp chọn bạn nam sau chọn bạn nữ (hoặc ngược lại), hai hành động phụ thuộc (ứng với cách chọn bạn nam có 20 cách chọn bạn nữ) Lời giải là: Số học sinh nữ lớp là: 40 – 20 = 20 (học sinh) Việc chọn ban cán chia làm hai công đoạn: Công đoạn 1: Chọn bạn nam có 20 cách Cơng đoạn 2: Ứng với cách chọn bạn nam có 20 cách chọn bạn nữ Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ban cán gồm bạn nam bạn nữ là: 20.20 = 400 (cách chọn) Ví dụ 3: Trong buổi giao lưu kết bạn có nữ nam Người ta tổ chức chơi gồm cặp thi với nhau, cặp có nam nữ Hỏi có cách chọn cặp để tham gia trò chơi? Học sinh giải sau: Mỗi cách xếp thứ tự bạn nam bạn nam chỉnh hợp chập 7, nên số chọn nam có thứ tự A37 = 210 cách Tương tự số cách chọn nữ có thứ tự là: A39 = 504 cách Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn cặp để tham gia trò chơi là: A13.A35 = 210.504 = 105840 (cách) Sai lầm học sinh mắc phải: Việc xếp thứ tự nam nữ dẫn đến việc lặp lại Giả sử bạn nam xếp thứ tự A,B,C ghép với nữ theo thứ tự a, b, c Ta có cặp (A,a), (B,b), (C,c) Nếu lấy thứ tự khác nam B,C,A nữ b,c,a ta có cặp (B,b), (C,c), (A,a) giống trước Như toán ta phải dùng cơng thức tính số tổ hợp khơng dùng cơng thức tính số chỉnh hợp Lời giải là: Xem việc lập cặp để tham gia trò chơi gồm công đoạn: Công đoạn 1: Chọn học sinh nam Số cách chọn là: C13 = 35 cách Công đoạn 2: Chọn học sinh nữ Số cách chọn là: C39 = 84 cách Công đoạn 3: Sắp xếp bạn thành đơi nam nữ Có 3! Cách xếp Theo quy tắc nhân số cách chọn cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu toán là: 3! 84.35 = 17640 cách b, Hiểu sai khái niệm tốn học Trong q trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm ngoại diên khái niêm dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, chí hiểu sai lệch chất khái niệm Nhiều khái niệm mở rộng thu hẹp khái niệm trước, việc không nắm vững hiểu khơng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm khái niệm Sai lầm khái niệm toán học, khái niệm dẫn đến việc tất yếu học sinh giải tốn sai Ví dụ 1: Từ chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; lập số có chữ số phân biệt thiết phải có mặt chữ số 5? Lời giải học sinh: Số cách lập số có chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là: A46 = 360 cách Mỗi cách lập cho ta số có chữ số phân biệt thoả mãn u cầu tốn Trong số cách lập số có chữ số phân biệt khơng có mặt chữ số là: A45 = 120 cách Theo quy tắc cộng ta có kết toán là: A46 - A45 = 360 – 120 = 240 (Số) Sai lầm là: Học sinh tính số cách lập số có chữ số phân biệt số lập có số dạng 0abc, dạng số có chữ số khơng thoả mãu u cầu tốn Như học sinh không trừ số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết Lời giải là: Giả sử a1a2a3a4 số thoả mãn yêu cầu toán, suy a1 ≠ Số cách xếp chữ số chữ số từ đến A46 – A35 = 300 cách Trong số cách xếp chữ số chữ số từ đến khơng có mặt chữ số là: A45 – A34 = 96 cách Mỗi cách xếp cho ta số Sử dụng quy tắc cơng ta có kết toán là: 300 – 96 = 204 số c, Phân chia trường hợp riêng Phân chia trường hợp biện pháp hay dùng giải tập tổ hợp Đứng trước toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá toán giúp học sinh giải tập cách xác Tuy nhiên, để phân chia đúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng quy tắc nhân Nếu quy tắc nhân phân chia thành cơng đoạn thích hợp, cịn quy tắc cộng phân chia thành tập hợp Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí phân chia nên dẫn đến sai lầm giải toán Để phân chia khái niệm thành khái niệm nhỏ phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) phân chia Ví dụ1: Cho 10 người ngồi 10 ghế, xung quanh bàn trịn, có học sinh nữ học sinh nam Hỏi có cách xếp cho khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau? Lời giải học sinh: Ta xét tốn gián tiếp: Tính số cách xếp cho học sinh nữ ngồi cạnh học sinh nam khác Ta có A24 cách chọn học sinh nữ (có thứ tự) Như học sinh nữ chia làm nhóm Ta cần tìm số cặp chỗ ngồi cho cặp học sinh nữ Có C25 cách chọn chỗ ngồi cho cặp học sinh nữ học sinh nam lại xếp tuỳ ý học sinh nữ, ta cố định vị trí học sinh nam học sinh nam cịn lại có 5! Cách xếp vịng trịn Vậy số cách xếp để học sinh nữ ngồi cạnh học sinh nữ khác là: A24.C25.5! = 14400 cách Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn trịn có 9! Cách xếp Vậy số cách xếp học sinh nữ không ngồi cạnh là: 9! – 14400 = 348480 cách Nguyên nhân sai lầm: Do học sinh phân chia thiếu trường hợp nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ cịn lại khơng ngồi cạnh bạn nữ Lời giải là: Giả sử xếp chỗ ngồi cho học sinh nam Vì học sinh nữ không ngồi cạnh nên họ chọn vị trí xen kẽ học sinh nam Số cách chọn là: A46 Vì cách xếp vị trí cho 10 người với thứ tự quanh bàn trịn coi nên ta chọn trước vị trí cho học sinh nam đó, số hốn vị học sinh nam cịn lại vào vị trí 5! Vậy theo quy tắc nhân, số cách xếp là: A46.5! = 43200 cách • • Ngồi cịn số khó khăn, sai lầm sau: Nhớ lẫn lộn cơng thức tính số tổ hợp số chỉnh hợp Không biết phối hợp công thức, quy tắc Sử dụng sai quy tắc Kết luận Chủ đề đại số tổ hợp lĩnh vực khó học sinh THPT Để hiểu lĩnh vực em học sinh cần phải hiểu chất khái niệm , nhớ công thức, biết phối hợp cơng thức, làm thật nhiều tập,…từ tích lũy vốn kiến thức cho thân để khơng mắc sai lầm giải tốn Các thầy , giáo cần nắm bắt khó khăn sai lầm mà học sinh gặp phải học chủ đề đại số tổ hợp để từ xây dựng biên pháp khắc phục thiện lực giải toán đại số tổ hợp em học sinh ngày tốt ... rèn luyện kĩ giải toán tốt nhât từ tạo đà phát triển lực giải tốn học sinh Vậy làm để học sinh có lực giải toán phát triển lực giải toán sao? - Thứ nhất, cần trang bị tri thức kĩ toán học kĩ vận... số 16 học sinh có học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình Có cách chia 16 học sinh thành tổ, tổ người, cho tổ có học sinh giỏi học sinh khá? - Học sinh lên bảng trả lời Có học sinh giỏi... trịn, có học sinh nữ học sinh nam Hỏi có cách xếp cho khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau? Lời giải học sinh: Ta xét toán gián tiếp: Tính số cách xếp cho học sinh nữ ngồi cạnh học sinh nam