Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI tập tự LUẬN ĐỘNG lực học CHẤT điểm HSG vật lý được rút ra từ các tài liệu ôn thi HSG các cấp Bài 1: Cho hệ vật như hình vẽ, khối lượng các vật tương ứng là m0, m1 và ,m2. Ròng rọc có khối lượng không đáng kể, sợi dây nối giữa các vật không dãn, hệ số ma sát giữa m1, m2 với mặt bàn là . Tính gia tốc của mỗi vật và lực căng dây nối giữa vật m1 và m2. Bài giải Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ. Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật, ta được: Đối với vật m0: (1) Đối với vật m1: (2) Đối với vật m2: (3) Giải hệ (1), (2) và (3) ta được: Gia tốc : Lực căng dây nối hai vật m1 và m2: Bài 2: Cho hệ vật gồm hai vật m1 và m2, được bố trí như hình vẽ. Cho biết mặt phẳng nghiêng góc , ròng rọc có khối lượng không đáng kể, sợi dây không dãn và hệ số ma sát giữa m1 và mặt phẳng nghiêng là . Hỏi tỉ số giữa bằng bao nhiêu để vật m2: a) đi xuống. b) đi lên. c) đứng yên.
BÀI TẬP TỰ LUẬN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM HSG VẬT LÝ Bài 1: Cho hệ vật hình vẽ, khối lượng vật tương ứng m0, m1 ,m2 Ròng rọc có khối lượng khơng đáng kể, sợi dây nối vật không dãn, hệ số ma sát m1, m2 với mặt bàn Tính gia tốc vật lực căng dây nối vật m1 m2 Bài giải Các lực tác dụng lên vật hình vẽ Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật, ta được: Đối với vật m0: m0 g T1 m0 a (1) Đối với vật m1: T1 T2 m1 g m1a (2) Đối với vật m2: T2 m2 g m2 a (3) Giải hệ (1), (2) (3) ta được: Gia tốc : a m0 (m1 m2 ) g m0 m1 m2 Lực căng dây nối hai vật m1 m2: T2 (1 )m0 m2 g m0 m1 m2 Bài 2: Cho hệ vật gồm hai vật m1 m2, bố trí hình vẽ Cho biết mặt phẳng nghiêng góc , ròng rọc có khối lượng khơng đáng kể, sợi dây không dãn hệ số ma sát m1 mặt phẳng nghiêng Hỏi tỉ m2 số m để vật m2: a) xuống b) lên c) đứng yên Bài giải a) Giả sử vật m1 lên; lực tác dụng lên vật hình vẽ Theo định luật II Niu tơn: m2 g m1 g sin Fms ma �0 � m2 g m1 g sin m1 g cos m Khi đó: m sin cos b) Tương tự, m2 lên: m1 g sin m1 g cos m2 g m Khi đó: m sin cos m c) Để hệ vật đứng yên khi: sin cos m sin cos Bài 3: Một vật có khối lượng m2 đặt ván dài có khối lượng m 1, hệ đặt mặt phẳng nằm ngang không ma sát, hệ số ma sát vật m m1 Tác dụng vào m2 lực F t nằm ngang, với t thời gian số dương Tính gia tốc a1 ván a2 vật Bài giải Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật Đối với vật m2: F Fms m2 a2 � a2 t m2 g m2 m g Đối với vật m1: Fms m1a1 � a1 m Trong giai đoạn đầu F � m2 g vật m2 không trượt so với m1, tức hai vật chuyển động gia tốc: a1 a2 F t m1 m2 m1 m2 Khi t �t0 lúc F � m2 g tức là: a2 �a1 � m g Khi đó: a1 m a2 t m2 g m2 g (m m2 )m2 g � �t � t0 m2 m1 m1 t m2 g m2 Bài 4: Một vật A chuyển động từ đỉnh mặt phẳng nghiêng góc so với phương nằm ngang, hình chiếu chuyển động vật mặt phẳng ngang có chiều dài l hình vẽ Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng Hỏi góc nhận giá trị để thời gian chuyển động vật nhỏ Tính thời gian Bài giải Các lực tác dụng lên vật hình vẽ Theo định luật II Niu tơn ta có: mg sin Fms ma � a g (sin cos ) 2l gcos (sin cos ) Thời gian chuyển động vật là: t Thời gian đạt giá trị nhỏ khi: cos (sin cos ) đạt giá trị lớn Tức là: cos sin cos � tan Thời gian chuyển động nhỏ nhất: tmin l g cos cos l g Bài 5: Một vật kéo trượt mặt phẳng ngiêng góc so với mặt phẳng ngang lực T tạo với mặt phẳng nghiêng góc hình vẽ Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng Hỏi lực kéo T đạt giá trị nhỏ để kéo vật m lên mặt phẳng nghiêng Tính lực kéo T Bài giải Các lực tác dụng lên vật hình vẽ Theo định luật II Niu tơn T cos mg sin ( mg cos T sin ) mg cos Suy ra: T mg sin cos sin Để lực kéo T nhỏ cos sin đạt giá trị lớn Tức là: d (cos sin ) � tan d Giá trị lực kéo T : Tmin mg (sin cos ) 1 2 Bài 6: Một vật có khối lượng m đặt mặt phẳng ngang, hệ số ma sát m mặt phẳng ngang Tác dụng lên vật lực F kt tạo với phương ngang góc , với k số dương, t thời gian Hãy tính: a) Vận tốc vật bắt đầu rời mặt phẳng ngang b) Quãng đường vật mặt phẳng ngang Bài giải Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật Theo Oy: N mg F sin mg kt sin (1) Theo Ox: F (cos sin ) mg ma � a k (cos sin )t g (2) m Thời gian từ lúc bắt đầu chịu tác dụng lực đến vật bắt đầu chuyển động t0 mg a �0 � t � t0 k (cos sin ) Thời điểm vật rời mặt phẳng ngang, ứng với N � mg kt1 sin � t1 mg k sin Vận tốc vật vật rời mặt phẳng ngang: a dv k (cos sin )t k (cos sin )t g � dv ( g )dt dt m m t1 k (cos sin )t k (cos sin )t12 dv � ( g ) dt � v gt1 C Tích phân vế: � m 2m t0 v Quãng đường vật mặt phẳng ngang: v ds k (cos sin )t k (cos sin )t gt C � ds ( gt C )dt dt 2m 2m Tích phân vế: t1 k (cos sin )t k (cos sin )t13 t12 ds ( gt C ) dt � s g Ct1 C1 � � 2m 6m t0 s Bài 7: Một vật nằm mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát vật mặt phẳng ngang Tác dụng vào vật lực F có độ lớn khơng đổi vật bắt đầu chuyển động, đồng thời hướng lực F tạo với phương ngang góc ks hình vẽ, với k số s quãng đường vật Tìm vận tốc vật hàm s Bài giải Theo định luật II Niu tơn Theo Oy: N mg F sin mg F sin(ks ) Theo trục Ox: F cos mg F sin(ks ) m v s 0 dv dv mv � vdv ( F (cos(ks) sin(ks )) mg )ds dt ds vdv � ( F (cos(ks ) sin( ks)) mg )ds Tích phân vế: � Ta được: v2 F �F � (sin( ks) cos(ks)) mgs � v � (sin( ks) cos(ks)) mgs � k �k � Bài 8: Một động điện gắn với đế đặt mặt phẳng nằm ngang có tổng khối lượng m Dùng động kéo vật có khối lượng 2m sợi dây không dãn khơng có khối lượng chiều dài l Trong q trình kéo động vật trượt mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát động cơ, vật mặt phẳng ngang Hỏi sau hai vật va chạm với Biết gia tốc vật 2m a2 a Bài giải Gọi a1; a2 gia tốc động vật 2m; t thời gian từ lúc hai vật bặt đầu chuyển động đến va chạm với Theo định luật II Niu tơn Đối với động cơ: T mg ma1 (1) Trong thời gian t động chuyển động quãng đường là: l1 a1t Đối với vật 2m: T 2 mg 2ma2 (2) Trong thời gian t động chuyển động quãng đường là: l2 a2t 2 Khi động vật chạm vào nhau: l l1 l2 (a1 a2 )t (3) Giải hệ (1), (2) (3) ta được: t 2l g 3a Bài 9: Tính gia tốc chuyển động vật 2, bố trí hình vẽ Trong góc tạo mặt phăng m2 nghiêng mặt phẳng nằm ngang; tỉ số m Bỏ qua ma sát, sợi dây khơng dãn ròng rọc có khối lượng không đáng kể Bài giải Các lực tác dụng lên vật hình vẽ Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật Đối với vật m1: T1 m1 g sin m1a1 (1) Đối với vật m2: m2 g T2 m2 a2 (2) Do ròng ròng có khối lượng khơng đáng kể: T1 2T2 (3) Vì ròng rọc động: a1 2a2 a (4) Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (4) ta được: m2 sin ) m1 g (2 sin ) a m2 4 1 m1 r r g (2 sin ) a Nếu thì: 4 g (2 Bài 10: Một hệ bố trí hình vẽ bên Trong có chiều dài l , khối lượng M; cầu m < M kẹp vào sợi dây khơng dãn trượt sợi dây Ban đầu cầu m ngang với đầu bắt đầu buông nhẹ, cho hệ chuyển động với gia tốc không đổi Sau thời gian t0 cầu ngang đầu Tính lực ma sát sợi dây cầu Bài giải Các lực tác dụng lên vật hình vẽ Gọi aM ; am gia tốc vật M m Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật Đối với thanh: Mg Fms MaM (1) Đối với cầu: mg Fms mam (2) Chọn hệ quy chiếu gắn với cầu: aM / m aM am (3) Theo đề bài: l aM / mt02 (4) Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (4) ta được: Fms 2lMm ( M m)t02 Bài 11: Một hệ gồm vật nhỏ có khối lượng m có chiều dài l, khối lượng M bố trí hình vẽ Ban đầu vật m giữ ngang với đầu M, sau bng nhẹ Hỏi sau vật nhỏ m ngang với đầu M Bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc sợi dây không dãn Cho biết khối lượng m lớn gấp lần khối lượng M ( 1) Bài giải Các lực tác dụng lên vật hình vẽ Gọi aM ; am gia tốc gia tốc vật nhỏ Theo định luật II Niu tơn Vật M: Mg T ' MaM (1) Vật m: T mg mam (2) Do bỏ qua khối lượng ròng rọc: T 2T ' (3) Do ròng rọc động: aM 2am (4) Giải hệ phương trình: (1), (2), (3) (4) ta kết quả: am Và (2 M m) g (2 ) g m 4M 4 aM 2(2 ) g 4 Chọn hệ quy chiếu gắn với m, gia tốc M so với m: a aM am am 3(2 ) g 4 Thời gian để m từ đầu đến đầu là: l 2l 2l ( 4) at � t a 3(2 ) g Bài 12: Cho hệ hình vẽ Trong vật có khối lượng m gắn với ròng rọc động, vật có khối lượng m Biết khối lượng vật gấp lần khối lượng vật Bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc sợi dây không dãn Ban đầu vật sát mặt đất, vật cách mặt đất khoảng h Thả cho hệ chuyển động Tìm độ cao lớn mà vật m đạt tới so với mặt đất Bài giải Gọi a1 ; a2 gia tốc vật vật Theo định luật II Niu tơn Vật m1: m1 g T1 m1a1 (1) Vật m: T2 m2 g m2 a2 (2) Do bỏ qua khối lượng ròng rọc: T1 2T2 (3) Do ròng rọc động: a2 2a1 (4) Giải hệ phương trình: (1), (2), (3) (4) ta kết quả: a1 Và: (2 M m) g (2 ) g m 4M 4 a2 2(2 ) g 4 Khi vật m1 chạm đất vận tốc vật m2: v a2 h 8(2 ) gh 2(2 ) gh �v 4 4 Ngay sau vật m2 chuyển động ném thẳng đứng lên cao, độ cao đạt thêm là: h v 4(2 )h 2g 4 6 h Độ cao lớn vật đạt là: H h h Bài 13: Cho hệ nhe hình vẽ Nêm có khối lượng M, góc đặt mặt phẳng ngang; khối mang vật có khối lượng m Bỏ qua ma sát, dây nối không dãn Tính gia tốc nêm Bài giải Các lực tác dụng lên vật nêm hình vẽ Áp dụng định luật II Niu tơn nêm: T T cos N sin Ma0 (1) Đối với vật m Gọi a gia tốc m nêm M; r r r Theo công thức công gia tốc: a1 a a0 Theo Ox nằm ngang: a1x a cos a0 (2) Theo trục Oy thẳng đứng hướng lên: a1 y a sin (3) Áp dụng định luật II Niu tơn m: Theo Ox: N sin T cos ma1x (4) Theo Oy: N cos T sin mg ma1 y (5) Do sợi dây không dãn: a a (6) Giải hệ phương trinh (1), (2), (3), (4), (5) (6) ta được: a0 mg sin M 2m(1 cos ) Bài 14: Một lắc gồm sợi dây dài l không dãn, đầu cố định, đầu treo vật nặng có khối lượng m, gia tốc rơi tự g Kéo lắc lệch với phương thẳng đứng góc 900 bng nhẹ Hãy tính: a) Gia tốc tồn phần vật theo góc lệch so với phương thẳng đứng b) Tính lực căng sợi dây vận tốc vật theo phương thẳng đứng đạt giá trị cực đại c) Góc tạo sợi dây phương thẳng đứng gia tốc vật theo phương thẳng đứng không Bài giải a) Theo định luật II Niu tơn ta có: m v dv dv mg sin � v g sin � vdv gl sin d dt ds v2 v2 vdv gl � sin d � gl cos � an g cos Tích phân vế: � (1) l Theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động vật: mg sin mat � at g sin (2) Từ (1) (2) suy gia tốc toàn phần vật: a an2 at2 g 3cos 2 2 b) Vận tốc vật theo phương thẳng đứng: v y v sin gl cos sin v y đạt cực đại khi: d (cos sin ) � cos d Lực căng dây: T 3mg cos 3mg c) Gia tốc toàn phần vật: r r r a an at � a y any aty g cos g sin � cos Bài 15: Một người xe đạp đường đua, quỹ đạo đường tròn nằm mặt phẳng nằm ngang với bán kính đường đua lớn R Hỏi phải đường đua có bán kính r người đạt vận tốc lớn Tính vận tốc lớn này? Cho biết hệ số ma sát bánh xe đường đua phụ thuộc vào bán r kính đường đua theo cơng thức: 0 (1 ) , với 0 số dương R Bài giải v2 r mg � v gr 0 g (1 )r r R r d (1 )r Để vận tốc đạt giá trị lớn khi: R � r R � v Rg 0 max dr 2 Theo định luật II Niu tơn: Fms man m Bài 16: Cho hệ hình vẽ M m1 m2 , bàn nhẵn, hệ m số ma sát vật m1 m2 Tính tỉ số m để chúng không trượt lên Bài giải Do m1 không trượt m2 nên: Mg ( M m1 m2 )a � a Lực căng dây: T g Mg m1 m2 g (1) 4 - Giả sử m1 có xu hướng trượt trước m2: Ta có: T m1 g m1a1 ; T m1 g m2 a2 (2) Do m1 có xu hướng trượt lên trước m2 nên: a1 �a2 (3) m Từ (1); (2), (3) ta được: m �1 4 (*) - Giả sử m2 có xu hướng trượt trước m1: Ta có: T m1 g m1a1 ; T m1 g m2 a2 (4) Do m2 có xu hướng trượt lên trước m1 nên: a1 �a2 (5) m Từ (1); (4), (5) ta được: m �1 4 (**) m Vậy để chứng không trượt lên khi: m Bài 17: Cho hệ học hình vẽ Hai vật m m3 đặt mặt bàn nằm ngang Bng tay khỏi m1 hệ ba vật m1, m2 m3 chuyển động, làm cho phương dây treo bị lệch góc 300 so với phương thẳng đứng Cho biết m3 = 2m2 = 0,4kg bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s2 Hãy tính khối lượng m1 gia tốc vật Bài giải Tính khối lượng m1: m1 tham gia hai chuyển động: theo phương ngang với gia tốc a (gia tốc vật m2); theo phương sợi dây a3 r r r Theo công thức cộng gia tốc: a1 a2 a3 T 2m1a1x � r r T sin 30 m1a1x � r � Đối với m1: P1 T1 m1a1 � �m g T cos 30 m a � � (1) 10m1 T m1a1 y �1 1y � � r r r r r Đối với vật m2: P2 N T T ' m2 a2 � T T sin 30 m2 a2 � T 0, 4a2 (2) r r r r Đối với vật m3: P3 N T ' m3a3 � T m3a3 � T 0, 4a3 (3) Từ (2) (3) suy ra: a2 a3 r Theo đề a3 tạo với phương thẳng đứng góc 300 nên: a � a1x � � a1 a2 a3 a � � a � a1 y � � Thay vào (1) (2), ta được: m1 0, 4kg g m/s Tính gia tốc: Thay m1 vào (1) suy ra: a Bài 18: Một vật A có khối lượng m = 1kg đặt mặt vật B, khối lượng m = 2kg; vật B đặt mặt phẳng ngang Hệ số ma sát A B 0,1 ; B mặt phẳng ngang không đáng kể a) Phải tác dụng lên vật A lực theo phương ngang tối thiểu F0 để bắt đầu trượt B b) Vận tốc cảu A vào lúc rời khỏi B lực kéo 2F0, vật B có chiều dài l = 1m Bài giải r r r Đối với vật A: F Fms m1a1 � a1 r F Fms F m1 g (1) m1 m1 m g r Đối với vật B: Fms m2 a2 � a2 m (2) m Để vật A bắt đầu trượt vật B: a1 �a2 � F � m1 g (1 m ) F0 Hay: F0 = 1,5N Nếu F = 2F0 Chọn hệ quy chiếu gắn với vật B; gia tốc vật A so với vật B: a a1 a2 g (1 m1 ) m2 Vận tốc vật A rời B: v A 2al g (1 m1 )l 1, m/s m2 Bài 19: Cho hệ học gồm vật m đặt chồng lên vật M hệ thống đặt mặt phẳng ngang Hệ số ma sát m M 1 , M mặt phẳng ngang Tìm độ lớn lực F nằm ngang: a) Đặt lên m để m trượt M b) Đặt lên M để M trượt khỏi m Bài giải a) Trường hợp F đặt lên m: r r r r r Đối với vật m: F Fms P1 N1 ma1 (1) r r r r r r Đối với vật M: Fms1 Fms P2 N1 N Ma2 (2) Chiếu (1) (2) lên trục tọa độ, ta được: �F 1 N1 ma1 Vật m: �N mg �1 � a1 1 N1 2 N Ma2 � F 1mg ; m � a2 Vật M: �N (m M ) g �2 1mg 2 (m M ) g M Để vật m trượt M: a1 a2 � F ( 1 2 ) mM mg M Nhận xét: Các khả xảy ra: a1 > 0; a2 > 0; F > 0… b) Trường hợp F đặt lên M: r r r r r r Đối với vật m: Fms P1 N1 ma1 (3) r r r r r Đối với vật M: F Fms1 Fms P2 N1 N Ma2 (4) Chiếu (1) (2) lên trục tọa độ, ta được: �1 N1 ma1 Vật m: �N mg �1 � a1 1 g ; �F 1 N1 N Ma2 Vật M: �N (m M ) g �2 � a2 F 1mg 2 (m M ) g M Để vật M trượt m: a2 a1 � F ( 1 2 )(m M ) g Nhận xét: Các khả xảy Bài 20: Cho hệ học gồm vật m đặt chồng lên vật M hệ thống đặt mặt phẳng ngang Hệ số ma sát m M 1 M mặt phẳng ngang 2 Tác dụng vào M lực F hợp với phương ngang góc chếch lên Khi thay đổi, xác định giá trị nhỏ F để M trượt khỏi m, tính lúc Bài giải �1 N1 ma1 Đối với vật m: �N mg �1 � a1 1 g (1) �F cos 1 N1 2 N Ma2 Đối với vật M: �N N Mg F sin �2 F cos 1mg1 (m M ) g 2 F sin M ( 1 2 )(m M ) Để M trượt m: a2 a1 � F cos sin Suy ra: a2 dy � tan 2 F đạt cực tiểu y cos 2 sin cực tiểu; hay: d Cuối ta được: Fmin ( 1 )( m M ) g 22 Bài 21: Một nêm có khối lượng M, có góc nghiêng , chuyển động khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang a) Phải kéo dây theo phương ngang lực F để vật m chuyển động lên theo mặt nêm? Khi m nêm M chuyển động với gia tốc nào? Bỏ qua ma sát, khối lượng dây ròng rọc b) Xét trường hợp m đứng yên nêm M Bài giải Chọn Oxy; Ox nằm ngang chiều F; Oy thẳng đứng hướng lên r r r Gọi a1 gia tốc nêm; a2 gia tốc m; a21 gia tốc m so với nêm r r r a a a cos � 2x 21 Ta có: a2 a1 a21 � �a a sin �2 y 21 (1) Đối với m: F cos N sin ma2 x ; F sin N cos mg ma2 y (2) Đối với M: F F cos N sin Ma1 (3) Giải hệ (1), (2) (3), ta được: a1 F (1 cos ) mg sin cos M m sin Và: a2 x a2 y F (m sin M cos ) Mm sin cos ; m( M m sin ) F cos M m(1 cos ) mg ( M m) sin cos tan m( M m sin ) Muốn cho vật m dịch chuyển lên phải có hai điều kiện sau: � mg ( M m) sin �F M m(1 cos ) � � Mg cos �N � F � (1 cos ) sin � mg ( M m) sin Mg cos Cuối cùng, ta được: M m(1 cos ) F (1 cos ) sin mg ( M m)sin Nếu: F M m(1 cos ) � a21 vật m đứng yên so với nêm hai vật chuyển động Bài 22: Trong cách bố trí hình bên, cho biết nêm khối lượng M hình nêm khối lượng m vật m; hệ số ma sát m M M mặt phăng ngang Bỏ qua khối lượng ròng rọc dây Hãy xác định gia tốc vật m mặt phẳng ngang, có hình nêm chuyển động Bài giải r r Gọi a gia tốc m đất; a1 gia tốc nêm Chọn Oxy; Ox nằm ngang chiều F; Oy thẳng đứng hướng lên r r r r r �N1 max P F T N ma �� Đối với m: ms mg N1 T ma y (1) � r r r r r T N Ma � r 1x Đôi với M: P2 Fms T N N1 Ma1 � �Mg N N (2) � Ta có: ax a1x ay a (3) Giải hệ (1), (2) (3) ta được: a g 2 M m ;T ( M m) g M 2 m Bài 23: Cho hệ hình vẽ Tính gia tốc vật m nêm M nêm M đất trường hợp sau: a) Hệ số ma sát M mặt phẳng ngang , m trượt không ma sát M b) Hệ số ma sát m M , mặt phẳng ngang nhẵn c) Bỏ qua ma sát Tính vận tốc nêm thời điểm vật tới chân nêm, biết độ cao nêm h Bài giải r r r Gọi a1 gia tốc m; a2 gia tốc M so với nêm; a12 gia tốc m so với M r r r Ta có: a1 a12 a2 a) Hệ số ma sát M mặt phẳng ngang , m trượt không ma sát M Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ r r r Đối với vật m: N1 P1 ma1 mg sin ma1x � Chiếu lên trục tọa độ: �N mg cos ma (1) �1 1y a1x a12 a2 cos � Với: �a a sin �1 y (2) Đối với vật M: r r r r �N sin N Ma2 r P2 N N1 Fms Ma2 � � (3) �Mg N1cos N Từ (1), (2) (3), ta được: a2 mg sin cos (M m cos ) g (*) M m sin m sin cos Thế vào (2) tính a12 b) Hệ số ma sát m M , mặt phẳng ngang nhẵn r r r r Đối với vật m: N1 P1 Fms ma1 mg sin N1 ma1x � Chiếu lên trục tọa độ: �N mg cos ma �1 1y a1x a12 a2 cos � Với: �a a sin �1 y r r (4) (5) r r r Đối với vật M: P2 N N1 Fms Ma2 � N1 (sin cos ) Ma2 (6) Từ (4), (5) (6), ta được: a2 mg sin cos mg cos (**) M m sin m sin cos c) Tính vận tốc nêm thời điểm vật tới chân nêm, biết độ cao nêm h Từ (*) (**) ta dễ dàng suy gia tốc a12 a2 cách cho mg sin cos ; (7) M m sin (m M ) g sin a12 g sin a2 cos (8) M m sin a2 Thời gian để vật hết chiều dài nêm: l a12t � t 2l g 2h a12 sin Vận tốc nêm đó: v2 a2t a2 Từ (7), (8) (9) ta được: v2 2h a12 sin (9) gh.m cos 2 ( M m)( M m sin ) gh M M M ( ) (1 ) tan m m m Bài 24: Cho hệ hình vẽ, biết hệ số ma sát m M r a) Tính gia tốc a0 nêm để m hết chiều dài l nêm khoảng thời gian t r b) Xác định gia tốc a0 để vật m lên Bài giải r a) Tính gia tốc a0 nêm để m hết chiều dài l nêm khoảng thời gian t r Trường hợp 1: a0 hướng sang trái: Chọn hệ quy chiếu gắn với nêm r r r r mg sin ma0 cos N ma r � P N Fms Fqt ma � � �N ma0 sin mg cos Suy ra: a g (sin cos ) a0 ( sin cos ) 2l g (sin cos ) 1 Ta có: l at g (sin cos ) a ( sin cos ) t � a t 0 2 sin cos Với tùy ý r Trường hợp 2: a0 hướng sang phải: mg sin ma0cos N ma � � �N ma0 sin mg cos Suy ra: a g (sin cos ) a0 ( sin cos ) Cuối cùng: a g (sin cos ) sin cos 2l t2 Với tan nêm chưa chuyển động vật trượt xuống r b) Xác định gia tốc a0 để vật m lên Để vật trượt lên a0 phải có hướng sang trái mg sin ma0 cos N ma � � �N ma0 sin mg cos g (sin cos ) Suy ra: a g (sin cos ) a0 (cos sin ) �0 � a0 � cos sin Với điều kiện: cot Bài 25: Cho hai miếng gỗ có khối lượng m1 m2 đặt chồng lên trượt mặt phẳng nghiêng Hệ số ma sát chúng , m1 mặt phẳng nghiêng 1 Trong q trình trượt, miếng gỗ chuyển động nhanh miếng hay khơng? Tìm điều điện để hai vật chuyển động Bài giải Chọn chiều dương chiều xuống Gọi gia tốc a1 a2 Giả thiết a1 > a2 (miếng gỗ chuyển động nhanh hơn) Vật m1 chịu tác dụng lực: m1 g sin ; lực ma sát: F1 1 (m1 m2 ) g cos ; F m2 g cos r r Hai lực F1 ; F hướng lên Ta có phương trình: m1 g sin F1 F m1a1 F F Suy ra: a1 g sin m (1) Vật m2 chịu tác dụng lực: m2 g sin ; lực ma sát: F m2 g cos (hướng xuống, m1 chuyển động nhanh nên lực ma sát kéo vật m2 đi) Ta có phương trình: m2 g sin F m2 a2 F Suy ra: a2 g sin m a1 , mâu thuẫn với giả thiết Vậy miếng gỗ chuyển động nhanh miếng gỗ Nếu giả thiết a2 > a1 có phương trình: m1 g sin F1 F m1a1 � a1 g sin m2 g sin F m2 a2 � a2 g sin a1 a2 F1 F m1 F m2 F1 F F (m m2 ) m2 1 hay m1 m2 m1 + 1 , vật m2 chuyển động nhanh vật m ma sát hai miếng gỗ nhỏ ma sát vật m1 mặt phẳng nghiêng + 1 � a1 a2 g (sin cos ) hai vật trượt Bài 26: Treo vào hai đầu sợi dây khơng dãn khơng có khối lượng hai vật nặng m1 m2 , sợi dây vắt qua ròng rọc cố định Giữa sợi dây ròng rọc có m ma sát Khi tỉ số m 0 sợi dây bắt đầu trượt Hãy tính: a) Hệ số ma sát sợi dây ròng rọc m b) Tính gia tốc vật m 0 Bài giải a) Gọi dl chiều dài phần dây tiếp xúc với ròng rọc, góc tâm dθ r r r r r Phần dây chịu tác dụng lực căng T1 T , T2 T dT , dFms r phản lực dN ròng rọc tác dụng lên phần dây Do ròng r r r r r rọc cân bằng: T1 T2 dFms dN Theo phương tiếp tuyến với ròng rọc: dT dFms � dT dFms .dN (1) r Theo phương phản lực dN : d d (T dT )sin T sin dN dm R � Td dN 2 d (Do d nhỏ dT �0 ) (2) T dT dT T � d � ln Thay (2) vào (1): dT Td � T d � � T T1 T1 � T2 T m ln ln 0 0 T1 T1 m1 m b) Khi m 0 Phương trình định luật II viết cho vật m2 g T2 m2 a; T1 m2 g m1a T T 0 (3) m Giải hệ phương trình (3) kết hợp với điều kiện m , ta được: a g Bài 27: Một xuồng máy chuyển dọc theo hồ nước với vận tốc v0, tắt máy chuyển động chậm dần dừng lại Biết lực cản tác dụng lên thuyền máy Fc kv , k = const Hãy tìm: a) Thời gian kể từ lúc tắt máy đến xuồng dừng hẳn b) Quãng đường xuồng kể từ tắt máy đến dừng hẳn c) Tốc độ trung bình xuồng máy kể từ tắt máy đến vận tốc giảm lần Bài giải a) Thời gian kể từ lúc tắt máy đến xuồng dừng hẳn Theo định luật II Niu tơn: v m t k t dv dv k dv k v k kv � dt � � � dt � ln t � v v0 e m dt v m v m0 v0 m v0 Khi xuồng dừng lại v � t � b) Quãng đường từ lúc xuồng bắt đầu tắt máy đến dừng hẳn là: s � k k t t ds m m m ds � v0e dt v0 Từ công thức: v dt � ds vdt v v0e dt � smax � k 0 c) Tốc độ trung bình xuồng máy kể từ tắt máy đến vận tốc giảm lần là: Thời gian xuồng đượclà: Từ v v0e k t m �t m v0 m ln ln k v k Quãng đường xuồng là: s s� ds m ln k �v e k t m dt mv0 ln mv (e 1) ( 1) k k mv0 ( 1) s k 1 v0 Tốc độ trung bình: v m t ln ln k Bài 28: Sau xuyên qua tâm ván có bề dày h, tốcđộ viên đạn thay đổi từ v0 đến v Tìm thời gian chuyển động viên đạn qua ván, giả sử lực cản ván tác dụng lên viên đạn tỉ lệ với bình phương vận tốc Bài giải Theo định luật II Niu tơn: m v t dv dv k dv k m 1 m v v kv � dt � �2 � dt � t ( ) ( ) dt v m v m0 k v v0 k v0v v0 Ta viết: F m v dv dv dv dv k mv mv kv � ds dt vdt ds v m h v dv k k k v �� � ds � ln h � ln v m0 v m m h v v0 m v v v v v 0 Cuối ta được: t k ( v v ) ( v vh ) ln v 0 Bài 29: Một vật trượt mặt phẳng nghiêng dài hợp với phương ngang góc α Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng phụ thuộc quãng đường vật ks Tìm thời gian từ lúc bắt đầu trượt đến dừng hẳn tốc độ lớn mà vật đạt trình chuyển động Bài giải r r r r Phương trình định luật II Niu tơn: N P Fms ma Theo phương Oy vng góc với mặt phẳng nghiêng: N mg cos � N mg cos (1) Theo phương Ox: mg sin N ma m Thay dv (2) dt (1) (2): dv dv g (sin cos ) � v g (sin ascos ) � vdv g (sin ascos )ds (3) dt ds v s 0 vdv � g (sin ascos )ds � Tích phân vế (3): � Khi vật dừng lại: v2 as gs (sin cos ) 2 v2 as gs (sin cos ) � s tan 2 a Vận tốc vật đạt cực đại: vdv g (sin ascos )ds � s Tốc độ cực đại vật là: vmax tan a g sin tan a Bài 30: Một vật có khối lượng m ném thẳng đứng lên cao với tốc độ ban đầu v0, lực cản khơng khí tỉ lệ với bình phương vận tốc Fc kv Hãy tính: a) Độ cao lớn mà vật đạt b) Tốc độ vật vật quay vị trí ném vật ban đầu Bài giải h dv mvdv mvdv m mg kv02 ds � �h ln Ta có: mv ds (mg kv ) � ds mg kv � � mg kv 2k mg v0 h v dv mvdv mvdv mv (mg kv ) � ds �� ds � �v ds mg kv mg kv Khi vật rơi xuống: 0 v0 kv02 1 mg Bài 31: Một vật m đứng yên mặt phẳng nằm ngang chịu tác dụng r lực F có độ lớn khơng đổi có hướng nằm mặt phẳng quay với tốc độ góc khơng đổi Hãy tính: a) Tốc độ vật theo thời gian b) Quãng đương vật hai điểm mà tốc độ vật khơng tốc độ trung bình vật thời gian Bài giải r Chọn hệ trục tọa độ Oxy hìnhr vẽ, Ox trùng với hướng F thời điểm t = Tại thời điểm t bất kì, véctơ lực F hợp với Ox góc t r r Theo định luật II Niu tơn: F ma v t x dvx F F F � dvx cos tdt � vx � dvx � cos tdt sin t Theo Ox: F cos t max m dt m m0 m Theo Oy: F sin t ma y m vy � vy � dv y dv y dt t � dv y F sin tdt m F F sin tdt (1 cost ) � m0 m 2 Tốc độ vật thời điểm t: v vx v y 2F t sin m Thời gian nhỏ hai lần tốc độ vật 0: t 2 �t Quãng đương vật hai điểm mà tốc độ vật không: s 2 0 s� ds 2F 2 vdt sin � m � t 8F dt m 8F s m 4F Tốc độ trung bình vật: v 2 t m Bài 32: Một vật nhỏ đặt mặt phăng nghiêng góc α so với mặt phẳng nằm ngang Truyền cho vật vận tốc độ ban đầu v0 có phương ban đầu tạo với Ox góc 0 Tốc độ vật phụ thuộc vào góc ( góc tạo hướng véc tơ vận tốc với Ox hình vẽ) hệ số ma sát vật mặt phăng nghiêng tan Bài giải Hình chiếu trọng lực theo Ox, Oy: Fx mg sin ; Fy mg cos Lực ma sát tác dụng lên vật: Fms Fy mg cos tan mg sin Hình chiếu phương trình định luật II Niu tơn theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo: mg sin cos mg sin mat � at g sin (cos 1) theo phương Ox: mg sin mg sin cos max � ax g sin (1 cos ) Tức theo Ox phương tiếp tuyến : ax at , tức vận tốc vật theo phương tiếp tuyến với với quỹ đạo v phương Ox vx sai khác số C, tức là: v v x C Đồng thời: vx v cos � v v cos C � v(1 cos ) C v Tại t � v v0 ; 0 � C v0 � v cos Khi � v v0 Bài 33: Một vật nhỏ đặt đỉnh cầu bán kính R Truyền cho cầu r gia tốc không đổi a0 theo phương ngang, vật nhỏ bắt đầu trượt xuống Hãy tính: a) Vận tốc vật so với cầu vật bắt đầu rời cầu vị trí vật rời cầu b) Thời gian từ lúc vật bắt đầu trượt đến rời cầu Bài giải Chọn hệ quy chiếu gắn với cầu Theo định luật II Niu tơn ta có: r r r P Fqt N ma Chiếu theo phương bán kính nối tâm cầu vật: mv R Khi vật bắt đầu rời cầu N � v v0 ; 0 mg cos N ma0 sin maht v02 g cos a0 sin (1) R Khi ta được: Chiếu theo phương tiếp tuyến với cầu: mg sin ma0cos mat mv dv dv mv � vdv R ( g sin a0cos )d (2) ds Rd v0 0 0 vdv R � ( g sin a0cos )d Tích phấn hai vế phương trình (2): � � v R (a sin g cos 1) (3) Giải hệ (1) (3) ta đươc: v0 � gR k 9k ; 0 cos 1 � � � 3(1 k ) � a �, với k g � � Chú ý: Để có cơng thức (3) ta dùng định luật bảo toàn hệ quy chiếu gắn với cầu: mgR(1 cos ) ma0 R sin mv02 v2 � g (1 cos ) a0 sin 2R Thời gian trượt vật cầu: ds d Rd Rd Từ: v dt R dt � dt v R( g cos a sin ) 0 t0 0 d � t0 � dt R � ( g cos a0 sin ) 0 Vận tốc cầu thời điểm t0: v a0t0 r r r Vận tốc cầu so với đất là: v1 v0 v � v1 v02 v 2vv0 cos0 Bài 34: Một đứa trẻ quay đầu hon đá, khối lượng m nhờ sợi dây dài l Nắm tay chuyển động đường tròn bán kính l, hình vẽ Hãy xác định bán kính đường tròn chuyển động đá, lực cản khơng khí tỉ lệ với bình phương vận tốc Fc kv Bỏ qua trọng lượng đá Bài giải Từ hình vẽ, ta có: Fht T cos mv (1) R T sin Fc kv (2) R 2l cos (3) Từ (1) (2) suy ra: tan Từ (3) (4), suy ra: kR (4) m k2 R R 4l m � 2 � Giải phương trình ta được: R m �1 16l 2k � 2k � m � Bài 35: Một hạt xâu qua vành cứng, cố định, bán kính R Mặt phẳng vành nằm ngang Tại thời điểm đó, người ta truyền cho hạt vận tốc v0 theo phương tiếp tuyến Hãy xác định lực vành tác dụng lên hạt hai thời điểm: sau bắt đầu chuyển động trước dừng lại Biết hệ số ma sát vành hạt Bài giải Trong trình chuyển động, phản lực N vành lên hạt có hai thành phần: thành phần cân với trọng lực thành phần hướng vào tâm vành Khi hạt có vận tốc v , phản lực N bằng: v4 N m g m R 2 Lực mà vành tác dụng lên hạt: F N Fms2 N m g Khi bắt đầu chuyển động v v0 � F m g v04 R2 Ngay trước dừng lại: v � F mg Xét vật có vận tốc v, theo định luật II Niu tơn: m dv dv v4 N � m m g � ds dt ds R vdv v4 g R Đặt u v lấy tích phân vế ta thu kết quả: s R R �v02 ln u u g R 2 ln � 2 v0 � �gR � v04 1 � 2 � g R � Bài 36: Ba vật 1, 2, khối lượng m 1, m2, m3 xếp chồng lên thành khối hình vẽ Mặt ngang A mặt tiếp xúc có hệ số ma sát nghỉ A Mạt phẳng B nghiêng góc mặt tiếp xúc có hệ số ma sát nghỉ B v4 R2 a) Vật A kéo sáng phải cho gia tốc tăng dần Trên mặt xảy chuyển động tương đối vật trước b) Giải lại câu a trường hợp kéo vật sang trái c) Nếu A 0,5; B 0,8; trị số góc để xảy trượt mặt B trước kéo vật sang trái để xảy trượt trên mặt A trước kéo vật sang trái? Bài giải a) Xét vật đứng yên twong nhau, có gia tốc a hướng sang phải Đầu tiên tính lực ma sát tĩnh A: FA m1a Đối với vật 2: phân tích lực hình vẽ Từ định luật II Niu tơn: FB cos FA N sin m2 a Theo phương vng góc: FB sin N cos (m1 m2 ) g Từ ta được: FB (m1 m2 )(a cos g sin ) N (m1 m2 )( g cos a sin ) FB max B N B (m1 m2 )(a cos g sin ) Do đó: FA ma a F a cos g sin ; B ; FA max A m1 g A g FB max B ( gcos a sin ) b) Đối với vật 1, gia tốc tối đa a1max đó: F1max A m1 g m1a Cho nên: a1max A g Vì a a1max mặt A phát sinh chuyển động tương đối cos sin B Đối với vật 2, FB max B N thay vào công thức ta được: a2max sin cos g B cos sin B Do đóvới a � sin cos g mặt B có chuyển động tương đối B cos sin B Nếu a1max a2 max tức A sin cos g chuyển động mặt A trước B cos sin B Nếu a1max a2max tức A sin cos g mặt B chuyển động trước B cos sin B c) Thay góc góc A sin cos g trêm mặt A có chuyển B động trước d) Nếu A 0,5; B 0,8 thay vaaof bất đẳng thức trên, có: 0,5 0,8cos sin g 0,8sin cos Do tính trị số tối thiểu 12,10 Với goc nghiêng khơng lớn góc ma sát Trong trường hợp sau ta có điều kiện tan B 0,8 ứng với trị số max 38, Do đó: 12,10 � �38, Bài 37: Trong thí nghiệm điển hình qn tính, thầy giáo đặt cốc thủy tinh méo bàn, tờ giấy, sau giật mạnh tờ giấy theo phương ngang Cả lớp lo sợ cốc rơi xuống vỡ tan Nhưng không! Tờ giấy nằm yên vị trí cũ Trong tốn này, ta tính tốn xem thầy giáo phải thực thí nghiệm việc diễn biến Giả thiết khối lượng cốc 50g, hệ số ma sát trượt giấy thủy tinh 0,4, giấy bàn gỗ 0,2 Ta bỏ qua khối lượng nhỏ tờ giấy lấy g = 10m/s2 a) Tờ giấy chuyển động từ trạng thái nghỉ nên rõ ràng chuyển động có gia tốc Giả sử gia tốc khơng đổi Em tìm gia tốc tối thiểu tờ giấy để cốc “trượt tờ giấy” Khi lực thầy giáo tác dụng lên tờ giấy bao nhiêu? b) Giả thiết quãng đường di chuyển tờ giấy 5cm (bằng đường kính cốc thơng thường) Em tính cem thầy giáo phải kéo tờ giấy lực bào nhiêu để cốc dịch chuyển không 2mm mặt bàn Thời gian chuyển động cốc bao nhiêu? c) Để tăng thêm phần hấp dẫn cho thí nghiệm, thầy giáo đổ thêm nước vào cốc Khi kết thay đổi nào? Bài giải Mơ hình cốc (2) tờ giấy (1) hình vẽ Trong hệ qua chiếu chuyển động có gia tốc với mốc tờ giấy, lực tác dụng r lên cốc (2) gồm: trọng lực P2 ; phản lực r r N12 ; lực ma sát với tờ giấy Fms12 lực r quán tính Fq Áp dụng định luật II Niu tơn ta có: r r r r r P2 N12 Fms12 Fq m2 a21 Theo phương thẳng đứng: P2 N12 Theo phương ngang: a21 Fq Fms12 m2 a1 g 12 Trong hệ quy chiếurphòng thí nghiệm, lực tác dụng lênr tờ giấy (1)r gồm: áp lực cốc lê tờ giấy N 21 ; phản lực mặt bàn lên tờ giấy N1 ; lực kéo Fk ; lực ma sát r r r với cốc Fms 21 ; lực ma sát với bàn Fms1 ; trognj lực tờ giấy P1 r r r r r r r Áp dụng định luật II Niu tơn ta có: P1 N 21 N1 Fms 21 Fms1 Fk m1a1 Theo phương thẳng đứng: N1 P1 N 21 P1 P2 (m1 m2 ) g Theo phương ngang: Fk Fms1 Fms m1a1 � Fk (m1 m2 ) g m2 g 12 m1a1 Bỏ qua khối lượng tờ giấy, ta được: N1 m2 g ; Fk m2 g ( 1 12 ) 0,3N a) Cái cốc “trượt tờ giấy” tác dụng lực quán tính hệ quy chiếu có gia tốc Để điều xảy thì: a21 �0 � a1 �g 12 � a1min m/s2 Lực kéo tờ giấy: Fk 0, N b) Tờ giấy dịch chuyển 50mm cốc dịch chuyển 2mm, suy hệ quy chiếu phi qn tính có mốc tờ giấy, cốc dịch chuyển 48mm Thời gian di chuyển vật nên: 1 s a a1 s1 s1 a1t ; s21 a21t � � a1 g 12 100 m/s2 2 s2 a21 a1 g 12 s1 s21 Thời gian chuyển động vật: t 2s1 a1 2.0, 05 �31,6.103 s 100 10 10 Lực kéo tờ giấy Fk 0,3N không phụ thuộc vào gia tốc tờ giấy Trong thực tế, tờ giấy A4 thơng thường có khối lượng 5g Nếu thay giá trị vào biểu thức Fk (trước bỏ qua khối lượng tờ giấy) ta thu lực kéo hai trường hợp kha khác biệt: Fk 0, 33N ; Fk 0,81N Tuy nhiên, so sánh hai lực vơi lực thường ngày mà tay người thực thìh q nhỏ Vì thế, thí nghiệm này, lực kéo tác dụng lên tờ giấy đóng vai trò khơng quan trọng, vấn đề chỗ kéo “nhanh” (có gia tốc lớn) đến mức Ta nên để ý thêm gia tốc tờ giấy gia tốc tay người kéo, tức người kéo không tờ giấy mà “kéo tay minh” nên lực thực mà bắp phải sinh lớn tính tốn nhiều làm thí nghiệm thật, người làm thường cố kéo tờ giấy nhanh (thực kéo tay mạnh nhất) Mơ hình đặt tốn thơ nên kết giúp ta có hình dung định thí nghiệm Việc giải tốn giúp ta làm sáng tỏ nhiều vấn đề như: điều kiện chuyển động trượt vật, xét chuyển động tương đối vật hệ quy chiếu khơng qn tính… c) Việc đổ nước vào cốc tương đương với việc khối lượng cốc tăng Điều không ảnh hưởng đến gia tốc thời gian tính Lực kéo tờ giấy với giả sử bỏ qua khối lượng tờ giấy không đổi (và lực kéo thực mà tay người cần sinh thế) Nếu bạn thực thí nghiệm này, bạn không nhận khác biệt hai trường hợp: cốc có nước khơng có nước ... số ma sát động cơ, vật mặt phẳng ngang Hỏi sau hai vật va chạm với Biết gia tốc vật 2m a2 a Bài giải Gọi a1; a2 gia tốc động vật 2m; t thời gian từ lúc hai vật bặt đầu chuyển động đến va... � � 2m 6m t0 s Bài 7: Một vật nằm mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát vật mặt phẳng ngang Tác dụng vào vật lực F có độ lớn không đổi vật bắt đầu chuyển động, đồng thời hướng lực F tạo với phương... Ban đầu vật sát mặt đất, vật cách mặt đất khoảng h Thả cho hệ chuyển động Tìm độ cao lớn mà vật m đạt tới so với mặt đất Bài giải Gọi a1 ; a2 gia tốc vật vật Theo định luật II Niu tơn Vật m1: