ĐÁP ÁN BÀI TẬP BÀI 2.KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ CHỌN HÀM NHỜ YẾU TỐ BẤT BIẾN Cho < a < 1, b > M A M N > > = log a B M ,N > = log b N Khi khẳng định sau đúng? < C M < N < D M < N > Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào đáp số tốn (có yếu tố bất biến dấu M , N ) Nên ta chọn a = 0, b = M = log ⇒ 0,5 ≈ −1, 58 < → đáp án D N = log ≈ 0, 63 > Cách (Giải Xi) Ta có: { > ⇒ log < 0 < a < 1; b > 1; a ⇒ { > ⇒ log b > , z2 thỏa mãn |z A 3√2 | = |z2 | = √2 đáp án D Khi T = |z1 + z2 | + |z1 − z2 | C B Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào đáp số toán cho ta biết kết T (*) Do đó, ta chọn z |z1 | = |z2 | = √2 → N > Cho hai số phức z nhiêu? M < = |z1 + z2 | = √2 z = bao D 5√2 + |z1 − z2 | √2 2 không đổi (bất biến) (thỏa mãn (*)) Khi ∣ T = ∣ √2 + ∣ √2∣ ∣ ∣ ∣ + ∣√2 + ∣ √2∣ ∣ ∣ = 5→ đáp án C Chú ý: Với số phức z = a (là số thực) |z| = |a| z = bi (là số ảo) |z| = |b| Ở toán ta chọn theo số thực z = √2 z √2 = Cách (Giải Xuôi) Gọi { cách chọn “nhẹ nhàng” để tính tốn z = a1 + b i |z1 |=2|z2 |=√2 − − − − − − − − → √a z = a2 + b i + b = 2√a 2 + b 2 a = √2 ⇔ a 2 + b + b 2 = = (*) Khi T = |(a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i| = (a + b + a 2 2 ) = 5→ 2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) + (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) Đáp án C 33 a a a A (−1; 0) + |(a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i| + b ) = (2 + √ Ta có đẳng thức = a α với < a ≠ Khi α thuộc khoảng sau ? B (0; 1) C (1; 3) D (3; 4) Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) 33 √ Chọn a = 2, giải phương trình 2.2 X = phím SOLVE (SHIFT +CALC) với X = Trang 1/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 1/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI đáp án A ⇒ α ≈ −0, 4975 ∈ (−1; 0)→ Cách (Giải Xi) Ta có: a √ a a α = a Cho biểu thức P 33 √ a = a 38 38 a 15 = a = √x √x √x = a − 7 15 ⇒ α = − ∈ (−1; 0) → 15 đáp án A với x > Biết viết gọn P ta P m = x n m với n giản (m, n > 0) Hỏi tổng m + n bao nhiêu? B 47 A 45 C 46 phân số tối D 48 Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Chọn a = 2, giải phương trình √2.√2 X = m ⇒ √2 − X phím SOLVE (SHIFT +CALC) với = ta được: 23 ⇒ m + n = 23 + 24 = 47→ 24 = 0, 958(3) = n đáp án B Cách (Giải Xi) Ta có: P m ⇒ → n 3 3 √ √ √ √ = √x √x √x = x x x4 = x x 11 = √ 11 x x 12 = √ 23 23 x 12 = x 24 23 = ⇒ m + n = 23 + 24 = 47 24 đáp án B Hàm số y = 2x − x − có thị (C) Gọi M điểm thuộc (C), tiếp tuyến M đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bao nhiêu? (C) A B C D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Do diện tích tam giác khơng đổi với điểm M thuộc (C) Do đó, ta chọn M (2; 3) ∈ (C) Ta có y ′ −1 = (x − 1) ′ ⇒ y (2) = −1 , suy phương trình tiếp tuyến M : y = −x + (Δ) Khi A(1; 4), B(3; 2) giao điểm Δ với TCĐ: x = 1và TCN: y = Ta có I (1; 2) giao điểm tiệm cận, suy ra: S I A I B I AB = 2.2 = = 2→ đáp án B Cách (Giải Xuôi) Cách (Chuyển hệ trục) Đặt { x = X + 1 ⇒ Y = X y = Y + ′ (C ) Ta có Y ′ = − X Gọi M (m; (Δ) ′ ) ∈ (C ) m , phương trình tiếp tuyến M : Y = −1 (X − m) + m m hay Y = −1 X + m m Khi A (0; ) , B(2m; 0) m giao điểm (Δ) với TCĐ X Suy S OA OB OAB = , TCN Y = của(C ) ′ |2m| |m| = = = 2→ đáp án B Trang 2/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 2/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách 2 Gọi M (m; 2m − ) ∈ (C) m − 2m − −1 y = (m − 1) (x − m) + m − 2m ⇒A (1; ) , B(2m − 1; 2) m − Ta có y (m − 1) Suy phương trình tiếp tuyến M : 2 − 2m + x + (m − 1) (Δ) B T b = 1009 = 2017 = I AB 2m ∣2 − ∣ I A I B ∣ |2m − 2| ∣ m−1 = −c = 2018 Giá trị biểu thức T C T = −c a b 2018 2018 = blog 2018 1009 = −c ⇔ T = ab + bc + ca = a log = a log b = a 1009 − a log 1009 log = alog1009 2 2018 − a log (log1009 − log1009 2.log2018 − log2018 2) = a = 0→ m (*) 1009 Cho m, n, p số thực dương thỏa mãn −c = 2018 2018 2018 2018 2.log = −c 2018 c = −alog2018 ⇔ alog b đáp án B = ab + bc + ca D T a b = 2→ Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Vì T = ab + bc + ca khơng đổi với số (a, b, c)thỏa mãn = 1009 Do ta chọn: a = b = c = (thỏa mãn (*))⇒ T = 0→đáp án C Cách (Giải Xi) Ta có: = 1009 = 2018 ⇒ log = log 1009 = log 2018 a giao điểm Δ với TCĐ: x = 1và TCN y = a 2m −1 hay y = Cho a, b, c số thực thỏa mãn bao nhiêu? = 2018 −1 = (x − 1) Ta có I (1; 2) giao điểm tiệm cận, suy ra: S A T ′ n = 10 p = 25 2018 đáp án C Giá trị biểu thức T = n + m n p bao nhiêu? A T = B T = C T = D T = 10 Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Vì T n = n m + p không đổi với số (m, n, p) dương thỏa mãn m (∗) m n = 1− → p = 10 = 25 ⇒ { m = log4 10 + log4 10 p = log25 10 p = 25 (*) Ta chọn: 1 ⇒ T = n = 10 = log + log 25 = log 100 = log4 25 đáp án C Cách (Giải Xuôi) → m n = 10 p = 25 n ⇒ log m 25 = log n 25 10 = log p 25 25 m ⇔ mlog 25 = nlog 25 10 = p ⇔ n p ⇒ T = log + log 25 = log 100 = 2→ Cho hàm số y = ax + bx log = = log 25 25 10 log 25 10 = log = log 25 đáp án C + cx + d có đồ thị (C) với a, b, c, d ∈ R, lim y = +∞ x→−∞ ; lim y = −∞ { 8a + 4b + 2c + d − 2017 > −8a + 4b − 2c + d − 2017 < x→+∞ Hỏi (C) cắt đường thẳng y = 2017 điểm phân biệt? A B C D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Trang 3/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 3/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Từ đáp án cho ta biết số giao điểm đồ thị y = ax đổi với ∀(a; b; c; d) thỏa mãn: { 8a + 4b + 2c + d − 2017 > lim + bx y = +∞ ; x→−∞ −8a + 4b − 2c + d − 2017 < + cx + d lim đường thẳng y = 2017 không y = −∞ (*) x→+∞ a = −1 Với lim y = +∞ ; lim x→−∞ y = −∞⇒ a < b = , ta chọn: x→+∞ thỏa mãn (*)⇒ c = d = 2017 Khi phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng y = 2017 là: y = −x −x 3 + 5x + 2017 (C) + 5x + 2017 = 2017 ⇔ −x x = , suy có giao điểm→đáp án D + 5x = ⇔ [ x = ±√5 Cách (Giải Xi) Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y = ax f (x) = ax + bx + cx + d − 2017 = (*) 3 + bx + cx + d đường thẳng y = 2017 là: limx→−∞ f (x) = +∞ Ta có f (−2) limx→−∞ f (x) < f (−2) = −8a + 4b − 2c + d − 2017 < ⇒ f (−2) f (2) < f (2) = 8a + 4b + 2c + d − 2017 > f (2) limx→+∞ f (x) < limx→+∞ f (x) = −∞ ⇒ ∃x1 ∈ (−∞; −2), x2 ∈ (−2; 2), x3 ∈ (2; +∞) với f (x ) = f (x2 ) = f (x3 ) = Suy phương trình (*) có nghiệm→đáp án D Chú ý : Ở tốn a khơng thể 0, a = ⇒ b = (do lim y = +∞ x→−∞ với lim y = +∞ ; x→−∞ lim y = −∞ ; lim y = −∞ ) x→+∞ , suy ra: c < (không thỏa mãn hệ điều kiện) x→+∞ Câu Với điều kiện { ac(b − 4ac) > đồ thị hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành ab < điểm? A B C Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Từ đáp án cho ta biết số giao điểm đồ thị y = ax thỏa mãn: { ac(b + bx D + c trục hồnh khơng đổi với ∀(a; b; c) − 4ac) > ab < a = (*) Nên ta chọn b = −3 thỏa mãn (*) c = Khi y = x x − 3x − 3x + + = ⇔ [ x x , suy phương trình hồnh độ giao điểm: 2 = = x = ±1 , hay đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm→Đáp án ⇔ [ x = ± √2 D Cách (Giải Xi) Phương trình hồnh độ giao điểm: ax (2∗) Ta có: ac(b + bx − 4ac) > (3∗) ⇔ { t=x + c = (∗)− − − → at ac > Δ = b 2 + bt + c = (vì ac < ⇒ b − 4ac > – − 4ac > không thỏa mãn (3∗)) https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 Trang 4/14 4/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Khi (2∗) có nghiệm phân biệt t , t2 t1 + t2 = − thỏa mãn t1 t2 = t1 > ⇔ { t2 > c a b > a (vì ab < ac > 0) > Do nghiệm t dương sinh nghiệm x⇒(∗) có nghiệm phân biệt→Đáp án D 10 Cho số phức zcó mơđun 2 Hỏi số phức w = có mơđun bao nhiêu? ¯ ¯ i¯ z A |w| = B |w| = C |w| = D |w| = Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào đáp số tốn (có yếu tố bất biến) cho ta biết |w| không đổi z thỏa mãn |z| = nên ∣ 2∣ ∣ = |−i| = 1→ ∣ 2i∣ ta chọn z = ⇒ |w| = ∣ đáp án A Cách (Giải Xuôi) |z|=2 Gọi z = a + bi −−−→ a (*) + b = 2(b − ai) 2 Ta có w = = = b + i(a − bi) a + b (∗) b − − → 2 √a2 + b ∣ b − ai∣ ⇒ |w| = ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ = 1→ đáp án A 11 Nếu số phức z thỏa mãn |z| = 2017 z khơng phải số thực 1 B A 2 2017 − z có phần thực D C 2017 4034 Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào đáp số tốn (có yếu tố bất biến) cho ta biết 2017 − z có phần thực không đổi z số thực |z| = 2017 nên ta chọn 2 z = 2017i ⇒ = 2017 − z Suy phần thực = + 2017 − 2017i 2017 − z 2017 → 2017 i 2017 đáp án B Cách (Giải Xuôi) |z|=2017 Gọi z = a + bi −−−−−→ a (*) 2 = 2017 = (2017 − a) − bi (∗) + b 2(2017 − a + bi) Ta có (2017 − a) 2.(2017 − a + bi) =− → + b = + 2017 − z 2(2017 − a + bi) = a + b b 2017 2.2017.(2017 − a) Suy phần thực i 2017(2017 − a) → 2017 + 2017 − 2.2017a đáp án B 12 Cho x, y số thực thỏa mãn x > y > 2log (x − y) = log2 x + log2 y + Khi tỉ số x y bao nhiêu? A B C − 2√6 D + 2√6 Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Chọn y = 1, điều kiện có dạng: 2log2 (x − 1) = log2 x + ⇔ log2 (x − 1) Trang 5/14 = log2 (8x) ⇔ (x − 1) https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 = 8x ⇔ x − 10x + = 5/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI x = − 2√6 ⇔ [ x>y=1 x − − − − → x = + 2√6 ⇒ y x = + 2√6 Cách (Giải Xi) Ta có: 2log (x − y) = log ⇔ (x − y) = 8xy ⇔ x 2 = + 2√ → x + log2 y + ⇔ log2 (x − y) − 10xy + y y≠0 = ⟷ ( x ) y đáp án D = log2 (8xy) − 10 ( x ) + = y x x ⇔ y = − 2√6 >1 x y x y = + 2√6− − → = + 2√6→ y 13 Cho x, y số thực thỏa mãn x > y > log x số bao nhiêu? (x đáp án D − x y + 2y ) = + log2 x + 2log2 y Khi tỉ y A √2 B − 2√2 C + 2√2 D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Chọn y = 1, điều kiện có dạng: log (x − x + 2) = + log x ⇔ log (x − x + 2) = log (2x) x>y=1 ⇔ x − x − 2x + = ⇔ (x − 1)(x − 2) = − − − − → x = √2 ⇒ x y = √2 → đáp án A Cách (Giải Xi) Ta có: log2 (x 3 − x y + 2y ) = + log2 x + 2log2 y ⇔ log2 (x y≠0 ⇔ x ⇔ ( − x y − 2xy x − 1) y x ( ) y + 2y = ⟷ ( x ) y − ( x ) y 3 − x y + 2y ) = log2 (2xy ) ⇔ x − 2( − x y + 2y = 2xy x ) + = y x − = ⇔ x = y x y >1 y = ±√2− − → x y = √2 → đáp án A 14 (Chuyên Ngữ).Chon số tự nhiên chẵn a số thực lớn Phương trình sau có − 3(n + 2)x + a = nghiệm (n + 1)x n+2 A n+1 n+2 B C D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Việc phương án nghiệm ; 1; 2; chứng tỏ toán với ∀n, a n số tự nhiên chẵn a số thực lớn Do ta chọn { n = , phương trình có dạng: a = , phương trình vơ nghiệm→đáp án A Cách (Giải Xuôi) − 3(n + 2)x + a Xét hàm số f (x) = (n + 1)x − 3(n + 1)(n + 2)x Khi ta có f (x) = (n + 1)(n + 2)x = (n + 1)(n + 2)x (x − 3) f (x) = ⇔ x = x = (nghiệm bội chẵn) Dựa vào bảng biến thiên ta có f (x) > Do phương trình f (x) = vơ nghiệm→đáp án A x − 6x + 16 = n+2 n+1 ′ n+2 n+1 n n ′ 15 Câu 15 (Chuyên KHTN Hà Nội) Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt A nV S B V nS https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 C 3V S D V Trang 6/14 3S 6/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Do khối đa diện có loại ứng với n ∈ {4; 6; 8; 12; 20} có đáp án thể tính bất biến (khơng phụ thuộc vào n), hai đáp án lại phụ thuộc vào n Do ta chọn n = (khối tứ diện đều) Gọi M điểm nằm khối tứ diện chia khối tứ diện thành khối chóp tam giác có đáy mặt có diện tích S thể tích V , V , V , V Khi : ∑ h = h1 + h2 + h3 + h4 = 3V1 + 3V2 3V3 + S S + 3V4 3(V1 + V2 + V3 + V4 ) = = S S S 3V → đáp án C S Cách (Giải Xuôi) Gọi M điểm nằm khối đa diện n mặt chia khối đa diện thành n khối chóp có đáy mặt có diện tích S tích V , V , V , , V Khi : ∑ h = h1 + h2 + h3 + +hn = 3V1 + 3V2 + 3V3 S S + + S n 3Vn 3(V1 + V2 + V3 + +Vn ) = = S 3V S S đáp án C → Chú ý: Chỉ có loại khối đa diện : Tứ diện (4 mặt), khối lập phương (6 mặt), bát diện (8 mặt), mười hai mặt (12 mặt) hai mươi mặt (20 mặt) 16 Câu 16 Cho a, b số thực thuộc khoảng (0; biểu thức P π ) thỏa mãn điều kiện cot a − cot b = a − b Giá trị 3a + 11b = a + b B A C D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào phương án ta nhận thấy P cho giá trị không đổi (bất biến), nghĩa ta cần tìm điều kiện a, b thỏa mãn cot a − cot b = a − b (*) Dễ thấy a = b (*) nên thay a = b vào P ta P Cách (Giải Xi) Ta có cot a − cot b = a − b ⇔ a − cot a = b − cot b (*) Xét hàm số f (x) = x − cot x với x ∈ (0; ⇒f (x) đồng biến π (0; ) π ) Ta có f ′ (x) = + Suy (∗) ⇔ f (a) = f (b) ⇔ a = b⇒ P > , ∀x ∈ (0; sin x 17 Cho phương trình log (mx − 5mx + √6 − x) = log âm phương trình cho có nghiệm? 2 A đáp án B = 7→ B 2+m C 14a = (3 − √x − 1) π ) đáp án B = 7→ 2a Với số thực m không D vơ số Dựa vào đáp số tốn cho ta biết số nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào giá trị m khơng âm Nghĩa với ∀m ≥ 0, nên ta chọn m = Khi phương trình trở thành: log √6 − x = log (3 − √x − 1)(1) ĐK 2 Trang 7/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 7/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI − x > x − ≥ ⇔ ≤ x < − √x − > PT(1)⇔ √6 − x = − √x − ⇔ √6 − x + √x − = ⇔ + 2√(6 − x) (x − 1) = ⇔ √(6 − x) (x − 1) = ⇔ −x + 7x − = ⇔ [ x = x = Thử lại: +) Với x = 2⇒PT log2 (mx − 5mx + √6 − x) = log2+m (3 − √x − 1) ⇔ log2 (2 − 12m) = log2+m phương trình khơng thể nghiệm ∀m ≥ 0, với m = ⇒ log (−12) = log (vô lý) +) Với x = 5⇒PT log (mx − 5mx + √6 − x) = log (3 − √x − 1) ⇔ log = log 1(đúng ∀m ≥ 0) Vậy ∀m ≥ phương trình cho có nghiệm x = 5→Đáp án A 2+m 18 Hỏi có giá trị nguyên m để bất phương trình log giá trị x ∈ (0; +∞)? A Có giá trị nguyên B Có giá trị nguyên 2+m x + mlog x − m ≥ 2 C Có giá trị nguyên nghiệm với D Có giá trị nguyên Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Chọn x = 2, x = ∈ (0; +∞), ta hệ: m∈Z −m ≥ { ⇔ −4 ≤ m ≤ − − − → m ∈ {−4; −3; −2; −1; 0} + m ≥ Đáp án D Chú ý: Ở toán có thêm đáp án “có giá trị nghiệm nguyên” bạn phải thử giá trị m tìm được, xem có loại bỏ trường hợp khơng Khi tốn lại bị thời gian, cách giải xuôi trường hợp “tối ưu” Cách (Giải Xuôi) → x∈(0;+∞) Đặt t = log x −−−−−−→ t ∈ R Khi tốn phát biểu lại: “Có giá trị nguyên m để bất phương trình t + mt − m ≥ nghiệm với ∀t ∈ R” Bài toán tương đương: 2 Δ = m m∈Z + 4m ≤ ⇔ −4 ≤ m ≤ − − − → m ∈ {−4; −3; −2; −1; 0} 19 Có giá trị nguyên m để bất phương trình log m +1 : Có giá trị nguyên→Đáp án D (2 − √x + 1) ≥ (m − 1) có nghiệm ? B A C D Vô số Điều kiện: − √x + > ⇔ x ∈ [−√3; √3] Vì bất phương trình chứa x nên ta giả sử x = x nghiệm bất phương trình cho thì⇒ x = −x nghiệm bất phương trình Vậy bất phương trình có nghiệm x = −x ⇔ x = Thay x = vào BPT ta được: log ≥ (m − 1) ⇔ (m − 1) ≤ ⇔ m = Thử lại với m = vào bất phương trình ta được: 2 o o o o o o log2 (2 − √x 2 m +1 + 1) ≥ ⇔ − √x + ≥ ⇔ √x + ≤ ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ ⇔ x = Vậy với m = bất phương trình có nghiệm x = 0→Đáp án B 20 Có giá trị nguyên m để bất phương trình 2 ∣ ∣ ∣2x +m(x+1)+15∣ https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 ≤ − (m + 8) (x − 3x + 2) Trang 8/14 8/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI nghiệm với ∀x ∈ [1; 3]? A B C Nhận xét: Ta dễ nhận thấy phương trình x − 3x + = D vơ số có nghiệm x = x = thuộc [1; 3] nên ta xét bất phương trình với x = x = Khi thay x = 1, x = vào bất phương trình ta hệ: |2m+17| |3m+23| ≤ |2m + 17| ≤ ⇔ { ⇔ { |3m + 23| ≤ ≤ −1 ≤ 2m + 17 ≤ −9 ≤ m ≤ −8 ⇔ −1 ≤ 3m + 23 ≤ −8 ≤ m ≤ − ⇔ m = −8 22 Thay m = −8 vào lại bất phương trình ta ∣ ∣2x −8x+7∣ ∣ ≤ ⇔ ∣ ∣2x − 8x + 7∣ ∣ ≤ ⇔ −1 ≤ 2x − 8x + ≤ ⇔ { 2x 2x 2 − 8x + ≥ − 8x + ≤ ⇔ { (x − 2) ≥ ⇔ ≤ x ≤ ≤ x ≤ Vậy với m = −8 bất phương trình nghiệm với ∀x ∈ [1; 3]→Đáp án B 21 Giả sử f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1], thỏa mãn điều kiện f (0) = ∫ ′ (2x − 2)f (x)dx = Khi ∫ f (x)dx A −3 C B −9 D Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = ax + b Khi f (0) = ⇔ b = ⇒ f (x) = ax + Ta có: 1 ′ = ∫ (2x − 2)f (x)dx = ∫ (2x − 2)adx = a (x − 2x)∣ ∣0 = −a ⇒ a = −6 Vậy chọn f (x) = −6x + Suy ra: ∫ f (x)dx = ∫ (−6x + 6)dx = (−3x + 6x)∣ ∣ = 3→ đáp án C Cách (Giải Xuôi) Đặt { u = 2x − du = 2dx ⇒ { ′ dv = f (x)dx v = f (x) Suy ra: = (2x − 2) f (x)| − 2∫ f (x)dx = 2f (0) − ∫ → f (x)dx = 12 − ∫ f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = ⇔ ∫ f (x)dx = Đáp án C 22 (Đề Tham Khảo – Lần 3) Cho hàm số f (x) thỏa mãn ∫ ′ (x + 1)f (x)dx = 10 2f (1) − f (0) = Tính I = ∫ f (x)dx A I = −12 Cách (Chọn hàm) Chọn: f (x) = ax + b⇒ f B I ′ = (x) = a C I = 12 D I = −8 Trang 9/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 9/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Khi đó: ∫ 3a ′ (x + 1)f (x)dx = 10 ⇔ a ∫ (x + 1)dx = 10 ⇔ 20 = 10 ⇔ a = ⇒ f (x) = 20 x + b Suy = 2f (1) − f (0) = ( 20 34 + b) − b ⇔ b = − ⇒ f (x) = 3 20 34 x − 3 Suy ra: I = ∫ ( 34 20 x − ) dx = − 8→ 3 đáp án D Cách 2: Đặt { u = x + du = dx ⇒ { ′ dv = f (x)dx ′ v = ∫ f (x)dx = f (x) Suy 1 ′ 10 = ∫ (x + 1)f (x)dx = (x + 1)f (x)| − ∫ f (x)dx ⇔ 10 = 2f (1) − f (0) − I ⇔ 10 = − I ⇔ I = −8 đáp án D → 23 Cho f (x) hàm chẵn liên tục R thỏa mãn ∫ f (x)dx = Khi giá trị tích phân −1 ∫ f (x)dx A B 1 C D Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = a hàm số chẵn, = ∫ f (x)dx = −1 f (x) = ∫ adx = ax| −1 = 2a ⇒ a = Suy ra: −1 Khi đó: ∫ f (x)dx = ∫ dx = x| = 1→ đáp án B Cách (Giải Xuôi) Do f (x) hàm chẵn nên ta có: = ∫ f (x)dx = ∫ −1 24 f (x)dx ⇒ ∫ Đáp án B Cho ∫ f (x)dx = → f (x)dx = f (x) hàm số chẵn Giá trị tích phân ∫ f (x)dx −2 A −2 B C −1 D Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = a hàm số chẵn, = ∫ f (x)dx = ∫ adx = ax| = 2a ⇒ a = Suy ra: f (x) = Khi đó: ∫ −2 f (x)dx = ∫ dx = x∣0 ∣−2 = 1→ đáp án B Trang 10/14 −2 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 10/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách (Giải Xi) Do f (x) hàm chẵn nên ta có: ∫ f (x)dx = ∫ Đáp án B −2 25 f (x)dx = → Biết ∫ f (x)dx = f (x) hàm số lẻ 0 Khi I = ∫ f (x)dx có giá trị −1 A I = B I = C I = −2 D I = Cách 1: Do f (x) hàm số lẻ nên: = ∫ f (x)dx = −1 ∫ f (x)dx+ ∫ −1 f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = − ∫ −1 f (x)dx = −2→ đáp án C Cách 2: Do f (x) hàm số lẻ nên f (−x) = −f (x) hay f (x) = −f (−x) ⇒ I = − ∫ f (−x)dx −1 Đặt t = −x ⇒ dt = −dx x : −1 → → 0, đó: I = ∫ f (t)dt = − ∫ f (t)dt = − ∫ f (x)dx = −2→ đáp án C Cách 3: Chọn f (x) = 2x hàm số lẻ thỏa mãn ∫ f (x)dx = ∫ 0 I = ∫ 4xdx = Khi : 0 f (x)dx = −1 ∫ 4xdx = −2→ đáp án C −1 Chú ý: +) Thực Cách Cách chất (chỉ cách trình bày khác – Cách việc chứng minh kết Cách 1) +) Ở Cách ta dùng phương pháp chọn hàm – bạn xem lại cách làm giảng 26 Cho hàm số y = f (x) hàm số chẵn đoạn [−4; 4] Biết ∫ −2 f (x)dx = 16 ∫ f (2x)dx = 28 Tính tích phân ∫ f (x)dx A 64 B 30 C 10 D 68 Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = ax + b hàm chẵn Khi đó: Trang 11/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 11/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI 16 = ∫ f (x)dx = ∫ (ax −2 + b) dx = ( ax 3 ∣ + bx)∣ −2 2 −2 + 4b ⇔ { 28 = ∫ f (2x)dx = ∫ (4ax 16a = + b) dx = ( 4ax 3 ∣ + bx) ∣ Vậy chọn f (x) = 3x Suy ra: ∫ 2 28a = 4a + 3b = 12 ⇔ { 28a + 9b = 84 a = b = + 3b 3x dx = x ∣ ∣ f (x)dx = ∫ = 64→ đáp án A Cách (Giải Xuôi) Do y = f (x) hàm số chẵn đoạn [−4; 4] nên ta có: 16 = ∫ f (x)dx = ∫ −2 f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx x : → t : → Suy ra: (∗) 4 28 = ∫ f (t)dt = ∫ f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx =56 2 (2∗) 1 2 Từ (∗) (2∗), suy ra: ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ Đáp án A f (x)dx = + 56 = 64→ 27 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + f (−x) = x , ∀x ∈ R Tính ∫ f (x)dx −1 A I = B I = C I = D I = Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = x 2 thỏa mãn f (x) + f (−x) = x x ∫ f (x)dx = ∫ x ∣ ∣ ∣ dx = −1 −1 , ∀x ∈ R , đó: = −1 đáp án D Cách (Giải Xuôi) → a Sử dụng tính chất ∫ a f (x)dx = −a ∫ f (−x)dx −a f (x) + f (−x) = x với f (x) xác định liên tục [−a; a] Ta có: ⇒ ∫ f (x)dx + ∫ −1 −1 f (−x)dx = 1 2 ∫ x dx ⇔ ∫ −1 −1 f (x)dx = ⇒ ∫ → f (x)dx = −1 Đáp án D π 28 Cho hàm số f (x) liên tục R, f (−x) + 2f (x) = cos x Tính tích phân I = ∫ − A I = B I = C I https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 = f (x)dx ? π D I = Trang 12/14 12/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách 1: (Kĩ thuật chọn hàm) cos x Do y = cos x hàm chẵn nên ta chọn f (x) = cos x f (−x) + 2f (x) = + π 2 = ∫ Casio f (x)dx = ∫ cos xdx − − − → − π − 2 → đáp án C π (cos x − f (−x)) Cách 2: Với điều kiện toán ta có: f (x) = π π π 2 2 ∫ − Khi đó: π I = thỏa mãn = cos x π Khi I cos x f (x)dx = ∫ π − [cos x − f (−x)] dx = π ∫ π − cos xdx − π ∫ − 2 π f (−x)dx = 1 ∣2 sin x∣ − π ∣ 2 − ∫ π I π − f (x)dx = − 2 ⇒ I = − I ⇔ I = → đáp án C a Chú ý: Ở toán ta sử dụng tính chất ∫ a f (x)dx = −a b [−a; a] (tổng quát ∫ ∫ f (−x)dx với f (x) xác định liên tục −a b f (a + b − x)dx = ∫ a f (x)dx ) a 29 Cho hàm số f (x) liên tục R, 2f (−x) + 3f (x) = |x| Tính tích phân I = ∫ f (x)dx ? −5 A I = B I = 20 C I = 15 D I = 10 Cách 1: (Kĩ thuật chọn hàm) Do y = |x| hàm chẵn nên ta chọn f (x) = Khi I = ∫ |x| thỏa mãn 2f (−x) + 3f (x) = |x| f (x)dx = −5 Casio |x| dx − − − → 20→ đáp án C ∫ −5 a Cách 2: Sử dụng tính chất ∫ a f (x)dx = −a ∫ f (−x)dx , ta được: −a 5 2f (−x) + 3f (x) = |x| ⇒ ∫ f (−x)dx + ∫ −5 −5 f (x)dx = ∫ |x| ⇔ ∫ −5 −5 f (x)dx = 100 ⇒ ∫ f (x)dx = 20 −5 đáp án C → 30 (Đề Tham Khảo – 2017) Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + f (−x) = √2 + cos 2x, 3π ∀x ∈ R TínhI = ∫ − A I = −6 f (x)dx 3π B I = C I = −2 D I = Cách (Chọn hàm) Do g(x) = √2 + cos 2x hàm chẵn nên ta chọn f (x) = √2 + cos 2x thỏa mãn Trang 13/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 13/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Toán - HOCMAI √2 + cos(−2x) √2 + cos 2x f (x) + f (−x) = + Khi I = 3π 3π 2 ∫ f (x)dx = Casio √2 + cos 2x dx − − − →= 6→ đáp án D ∫ 3π − = √2 + cos 2x 3π − 2 3π Chú ý: Do phương án “nhiễu” toán chưa tốt nên thiết lập I = ∫ √2 + cos 2xdx 3π − ta suy ln I = (vì + cos 2x ≥ g(x) = √2 + cos 2x hàm chẵn nên I Cách 2: (Sử dụng tính chất ) a Ta có tính chất > ) a ∫ f (x)dx = −a ∫ f (−x)dx với f (x) xác định liên tục [−a; a] −a Khi đó: f (x) + f (−x) = √2 + cos 2x ⇔ 3π 3π 3π 2 ∫ f (x)dx + ∫ 3π − f (−x)dx = ∫ 3π − √2 + cos 2xdx 3π − 2 3π ⇔ 2I = ∫ √2 + cos 2xdx = 3π − 12 đáp án D ⇒ I = = → Cách Ta có I = 3π 3π 3π 3π 2 2 ∫ − f (x)dx = 3π ∫ − (√2 + cos 2x − f (−x)) dx = 3π ∫ 3π − √2 + cos 2xdx − ∫ − f (−x)dx 3π (∗) Đặt t = −x ⇒ dt = −dx x : − 3π 3π 3π 2 3π 3π → 2 t : 3π 3π → − 2 Khi đó: 3π (∗) ∫ − f (−x)dx = 3π ∫ − f (t)dt = 3π ∫ − 3π 3π 3π 2 ∫ − √2 + cos 2xdx = ∫ √4cos xdx = ∫ ∫ 3π − π π 3π 2 − cos xdx + 3π ∫ − − |cos x| dx = ∫ π π 3π 2 |cos x| dx + ∫ |cos x| dx + ∫ |cos x| dx 3π − 3π cos xdx − ∫ π π 2 cos xdx = − sin x| − − = − √2 + cos 2xdx − I 3π − − ∫ 3π ⇔ I = f (x)dx = I − → I = − π 3π 2 − − π 2 3π π + sin x| 3π π π − sin x| π 2 = + + = 6→ đáp án D Trang 14/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 14/14 ... 6/14 3S 6/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2 .Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Do khối đa diện có loại ứng với... (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Trang 3/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 3/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2 .Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất. .. 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2 .Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách 1: (Kĩ thuật chọn hàm) cos x Do y = cos x hàm chẵn nên ta chọn f (x) = cos x f (−x)