TRNG CSP TUYấN QUANG Khoa t nhiờn s 01 ỏp ỏn - thi hc phn Mụn: Lý thuyt s Lp :Toỏn Lý K16 Hc k II; nm hc 2008-2009 Thi gian: 90 phỳt. Cõu ỏp ỏn Cho im 1 (3,0) a) CMR: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9. Giải Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - 1 , n , n+1 Ta có: A = (n - 1) 3 + n 3 + (n + 1) 3 = 3n 3 - 3n + 18n + 9n 2 + 9 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n 2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1) 3 (CM Ví dụ 1) 3(n - 1)n (n + 1) 9 mà + 918 9)1(9 2 n n A 9 (ĐPCM) 1,5 c) Chng minh rng 1172 14 2 + + n với n N Ta có: 2 4 6 (mod) 2 4n+1 2 (mod 10) 2 4n+1 = 10q + 2 (q N) 2102 22 14 + = + q n Theo định lý Fermat ta có: 2 10 1 (mod 11) 2 10q 1 (mod 11) 7272 2102 14 +=+ + + q n 4+7 (mod 11) 0 (mod 11) Vậy 1172 14 2 + + n với n N (ĐPCM) 1,5 1. Chng minh rng ( ) 1728 1 0 d1729n mo vi mi s nguyờn dng n. Ta chỳ ý 19.13.71729 = v 7, 13, 19 u l cỏc s nguyờn t nờn theo nh lý Fermat nh, ta cú )19(mod1;)13(mod1;)7(mod1 18126 nnn . Do ú ).19(mod1)(;)13(mod1)(;)7(mod1)( 9618172814412172828861728 == nnnnnn 1,0 2 Vì 7, 13, 19 đôi một nguyên tố cùng nhau nên sử dụng tính chất 9 của đồng dư ta có )1729(mod1 1728 ≡ n 1,0 đ 2) Chứng minh rằng với mọi a, n * N∈ thì ( ) 1 , 1 , 1 1 m a UCLN a UCLN m a a   − − = −  ÷ −   Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 1 1 1 . 1 1 . 1 1 1 1 m m m m a a a a a a a a a a m a M m − − − − + + + − = − − = + + + = − + + − + − + = − + Vậy ( ) 1 , 1 , 1 1 m a UCLN a UCLN m a a   − − = −  ÷ −   1,0 đ 1,0 đ 3 (3,0đ) a) Chứng minh rằng với d là một số nguyên dương và x là một số thực tùy ý ta có [ ] x x d d     =         Đặt m = x d       . Khi đó ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] 1 d 1 d 1 1 x m m d m x m d m x m d x m m d x m d ≤ < + ⇒ ≤ < + ⇒ ≤ < + ⇒ ≤ < +   ⇒ =     1,5 đ b) Giải hệ phương trình đồng dư : ( ) ( ) ( ) 2x+11 0 d9 3x 11 0 d10 4x-3 0 d5 mo mo mo ≡  − ≡   ≡  Đáp số : ( ) x 17 d90mo≡ 1,0 đ . 13 , 19 u l cỏc s nguyờn t nờn theo nh lý Fermat nh, ta cú )19 (mod1; )13 (mod1;)7(mod1 18 126 nnn . Do ú ) .19 (mod1)(; )13 (mod1)(;)7(mod1)( 9 618 172 814 412 1728288 617 28. mọi a, n * N∈ thì ( ) 1 , 1 , 1 1 m a UCLN a UCLN m a a   − − = −  ÷ −   Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 1 1 1 . 1 1 . 1 1 1 1 m m m m a a a a a