Đang tải... (xem toàn văn)
Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I. VECTƠ §3 Tích vectơ với một số Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận được giải đáp. 2 Đ4 tích của một vectơ với một số Chúng ta đã xây dựng đợc phép cộng cho hai vectơ và có thể thấy ngay rằng sẽ tồn tại phép toán a + a , khi đó ta nhận đợc kết quả là hai lần vectơ a , kí hiệu là 2 a . Trong bài học này chúng ta sẽ xây dựng định nghĩa tích của một vectơ với một số. bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số Định nghĩa: Tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, kí hiệu k a đợc xác định nh sau: a. Vectơ k a cùng phơng với vectơ a và sẽ : Cùng hớng với vectơ a nếu k 0. Ngợc hớng với vectơ a nếu k < 0. b. Có độ dài bằng k. a . Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ). Từ định nghĩa trên ta có ngay các kết quả: 0. a = 0 r , k 0 r = 0 r ; 1. a = a , (1). a = a . Hoạt động: Cho vectơ a và điểm M. 1. Hãy nêu cách dựng vectơ 3 a . 2. Hãy nêu cách dựng vectơ 2 a . Thí dụ 1: Cho ABC, gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Ta có ngay các kết quả sau: AB 2AM AB AM = uuur uuuur AB = 2 AM = 2 MB MB = AM = 2 1 AB . AC = 2 NA NA = 2 1 AC . BC = 2 MN MN = 2 1 BC . Hoạt động: Cho ABC trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn: 1. Vectơ AM theo vectơ AG . 2. Vectơ AM theo vectơ MG . 2. Tính chất của phép nhân vectơ với số Với mọi véctơ a , b và các số thực m, n, ta có: 3 B C N M A Tính chất 1: m(n. a ) = (mn). a . Tính chất 2: (m + n). a = m. a + n. a . Tính chất 3: m( a + b ) = m. a + n. b . Tính chất 4: m a = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc m = 0. Hoạt động: 1. Chứng minh rằng a + a = 2 a . 2. Chứng minh các tính chất trên. Thí dụ 2: Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M bất kì ta có MA + MB = 2 MI . Giải Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi: IA + IB = 0 . Với điểm M bất kì ta luôn có: MA + MB = ( MI + IA ) + ( MI + IB ) = 2 MI + IA + IB = 2 MI , đpcm. Thí dụ 3: Cho ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: a. GA + GB + GC = 0 . b. MA + MB + MC = 3 MG . Giải a. Gọi A 1 là trung diểm của BC, do đó: GB + GC = 2 1 GA . (1) Mặt khác, ta có: = 1 1 GAGA GA2GA 2 1 GA = GA . (2) Từ (1) và (2) suy ra: GB + GC = GA GA + GB + GC = 0 , đpcm. b. Ta có: MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3 MG + ( GA + GB + GC ) = 3 MG , đpcm. Chú ý: Thông qua kết quả của câu b), ta có thể khẳng định đợc rằng nếu MA + MB + MC = 0 thì M là trọng tâm ABC, thật vậy: MA + MB + MC = 0 3 MG = 0 MG = 0 M G. 4 B I M A 3. điều kiện để hai vectơ cùng phơng Định lí (Quan hệ giữa hai vectơ cùng phơng): Vectơ b cùng phơng với vectơ a 0 khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho b = k a . Hoạt động: 1. Trong định lí trên tại sao phải có điều kiện a 0 . 2. Chứng minh định lí. Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là tồn tại số k sao cho AB = k AC . Hoạt động: Chứng minh hệ quả trên. Thí dụ 4: Cho ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. Chứng minh rằng: a. AH = 2 OE , với E là trung điểm BC. b. OH = OA + OB + OC . c. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng. Giải a. Gọi A 1 là điểm đối xứng với A qua O, ta đợc: ABvớigócngôvucùngBA//CH ACvớigócngôvucùngCA//BH 1 1 A 1 BHC là hình bình hành A 1 , E, H thẳng hàng AH = 2 OE , đpcm. b. Ta có: OH = OA + AH = OA + 2 OE = OA + OB + OC , đpcm. c. Ta có: OG = 3 1 ( OA + OB + OC ) = 3 1 OH O, G, H thẳng hàng. 4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng Định lí (Phân tích một vectơ thành hai vectơ khác 0 không cùng phơng): Cho hai vectơ a và b khác 0 và không cùng phơng. Với mọi vectơ c bao giờ cũng tìm đợc một cặp số thực m, n duy nhất, sao cho: c = m a + n b . Hoạt động: Chứng minh định lí. Thí dụ 5: Cho ABC, gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Ta có ngay các kết quả sau: AM = 2 1 ( AB + AC ) 5 A C B E A 1 H O B C N M A P = 2 1 (2 AP + AC ) = AP + 2 1 AC = 2 1 ( AB + 2 AN ) = 2 1 AB + AN = 2 1 (2 AP + 2 AN ) = AP + AN . bài tập lần 1 Bài tập 1: Cho OAB vuông cân với OA = OB = a. Hãy dựng các vectơ sau đây và tính độ dài của chúng: OA uuur + OB uuur , OA uuur OB uuur , 3 OA uuur + 4 OB uuur 21 4 OA uuur + 2.5 OB uuur , 14 4 OA uuur 3 7 OB uuur . Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng DA uuur DB uuur + DC uuur = 0 r . Bài tập 3: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: AD uuur + BE uuur + CF uuur = AE uuur + BF uuur + CD uuur . Bài tập 4: Cho M và N lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng: 2 MN uuuur = AC uuur + BD uuur = AD uuur + BC uuur . Bài tập 5: Cho ABC và điểm G. Chứng minh rằng: a. Nếu GA uuur + GB uuur + GC uuur = 0 r thì G là trọng tâm ABC. b. Nếu có điểm M sao cho MG uuuur = 1 3 ( MA uuuur + MB uuur + MC uuuur ) thì G là trọng tâm ABC. Bài tập 6: Cho O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có: MO uuuur = 1 4 ( MA uuuur + MB uuur + MC uuuur + MD uuuur ). Bài tập 7: Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho: 2 IA uur + 3 IB uur = 0 r . a. Tìm số k sao cho AI uur = k AB uuur . b. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có MI uuur = 2 5 MA uuuur + 3 5 MB uuur . Bài tập 8: Cho ABC. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng a. IA uur + b. IB uur + c. IC uur = 0 r . Bài tập 9: Cho OAB. Gọi M, N lần lợt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây: 6 OM uuuur = m OA uuur + n OB uuur ; MN uuuur = m OA uuur + n OB uuur ; AN uuur = m OA uuur + n OB uuur ; MB uuur = m OA uuur + n OB uuur . Bài tập 10: Gọi G là trọng tâm ABC. Đặt a r = GA uuur và b r = GB uuur . Hãy biểu thị mỗi vectơ AB uuur , GC uuur , BC uuur , CA uuur qua các vectơ a r và b r . Bài tập 11: Cho ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. a. Tính AI uur , AJ uur theo AB uuur và AC uuur . b. Gọi G là trọng tâm ABC, tính AG uuur theo AI uur và AJ uur . Bài tập 12: Cho hai điểm A, B phân biệt. a. Tìm tập hợp các điểm O sao cho OA uuur = OB uuur . b. Tìm tập hợp các điểm O sao cho OA uuur = OB uuur . Bài tập 13: Cho ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O. a. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho: OM uuuur = OA uuur + OB uuur , ON uuur = OB uuur + OC uuur , OP uuur = OC uuur + OA uuur . b. Chứng minh rằng OA uuur + OB uuur + OC uuur = 0 r . Bài tập 14: Cho ABC. a. Tìm các điểm M và N sao cho: MA uuuur MB uuur + MC uuuur = 0 r , 2 NA uuur + NB uuur + NC uuur = 0 r . b. Với các điểm M và N ở câu a), tìm các số p và q sao cho: MN uuuur = p AB uuur + q AC uuur . Bài tập 15: Cho trớc hai điểm A, B và hai số thực , thoả mãn + 0. a. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn: IA uur + IB uur = 0 r . b. Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có: MA uuuur + MB uuur = ( + ) MI uuur . Bài tập 16: Chứng minh rằng AB uuur = CD uuur khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Bài tập 17: Chứng minh rằng nếu G 1 và G 2 lần lợt là trọng tâm các tam giác A 1 B 1 C 1 và A 2 B 2 C 2 thì; 3 1 2 G G uuuuur = 1 2 A A uuuuur + 1 2 B B uuuuur + 1 2 C C uuuuur . Từ đó, suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác A 1 B 1 C 1 và A 2 B 2 C 2 có trọng tâm trùng nhau. Bài tập 18: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài tập 19: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 7 a. Có một điểm O duy nhất sao cho: OA uuur + OB uuur + OC uuur + OD uuur = 0 r . Điểm O đợc gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D. Tuy nhiên, ng- ời ta vẫn gọi quen O là trọng tâm của tứ giác ABCD. b. Trọng tâm O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo của tứ giác. c. Trọng tâm O nằm trên các đoạn thảng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại. Bài tập 20: Cho ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng. Bài tập 21: Cho ABC, điểm M trong mặt phẳng thoả mãn: MN uuuur = MA uuuur + 5 MB uuur MC uuuur . a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. b. Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. Bài tập 22: Cho ABC, M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. a. Chứng minh rằng vectơ v r = 3 MA uuuur 5 MB uuur + 2 MC uuuur không đổi. b. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: |3 MA uuuur + 2 MB uuur 2 MC uuuur | = | MB uuur MC uuuur |. Bài tập 23: Chứng minh rằng nếu AB uuur = CD uuur thì AC uuur = BD uuur . Bài tập 24: Cho tứ giác ABCD. Giả sử tồn tại điểm O sao cho: | OA | | OB | | OC | | OD | OA OB OC OD 0 = = = + + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r . Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật. Bài tập 25: Cho ABC, có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn a. GA uuur + b. GB uuur + c. GC uuur = 0 r . Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. 8 bài giảng nâng cao A. Tóm tắt lí thuyết 5. Phép nhân vectơ với một số thực Định nghĩa: Tích của vectơ a r với một số thực k là một vectơ k. a r đợc xác định nh sau: a. Với a r 0 r và k 0 thì vectơ k. a r : Cùng phơng với a r . Cùng hớng với a r nếu k > 0 Ngợc hớng với a r nếu k < 0 Có độ dài bằng |p|.| a r |. b. 0. a r = k. 0 r = 0 r . Tính chất của phép nhân vectơ với số: Với mọi véctơ a r , b r và các số thực m, n, ta có các tính chất sau: Tính chất 1: Ta có 1. a r = a r ; (1). a r = a r . Tính chất 2: Ta có m(n. a r ) = (mn). a r . Tính chất 3: Ta có (m + n). a r = m. a r + n. a r . Tính chất 4: Ta có m( a r + b r ) = m. a r + n. b r . Tính chất 5: Nếu a r 0 r thì hai véctơ a r , b r cùng phơng khi và chỉ khi a r = m b r , m Ă . 6. biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng Định lý: Cho trớc hai vectơ a r và b r khác 0 r và không cùng phơng. Với mọi vectơ c r bao giờ cũng tìm đợc một cặp số thực , duy nhất, sao cho: c r = a r + b r . B. phơng pháp giải toán Dạng toán 1: dựng vectơ Ví dụ 1: Cho OAB vuông cân với OA = OB = a. Hãy dựng các vectơ sau đây và tính độ dài của chúng: OA uuur + OB uuur , OA uuur OB uuur , 3 OA uuur + 4 OB uuur 21 4 OA uuur + 2.5 OB uuur , 14 4 OA uuur 3 7 OB uuur . Giải a. Với C là đỉnh thứ t của hình vuông OACD, ta có ngay: OA uuur + OB uuur = OC uuur , theo quy tắc hình bình hành. Từ đó, suy ra: OA uuur + OB uuur = OC uuur = OC = a 2 . 9 A B C O b. Ta có ngay: OA uuur OB uuur = BA uuur , quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc OA uuur OB uuur = BA uuur = BA = a 2 . c. Để dựng vectơ 3 OA uuur + 4 OB uuur ta lần lợt thực hiện: Trên tia OA lấy điểm A 1 sao cho OA 1 = 3OA. Trên tia OB lấy điểm B 1 sao cho OB 1 = 4OB. Dựng hình chữ nhật OA 1 C 1 B 1 . Từ đó, ta có: 3 OA uuur + 4 OB uuur = 1 OA uuuur + 1 OB uuuur = 1 OC uuuur 3 OA uuur + 4 OB uuur = 1 OC uuuur = OC 1 = 2 2 1 1 1 OA C A+ = 5a. d. Thực hiện tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ 21 4 OA uuur + 2.5 OB uuur và 21 4 OA uuur + 2.5 OB uuur = a 541 4 . e. Thực hiện tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ 14 4 OA uuur 3 7 OB uuur và 14 4 OA uuur 3 7 OB uuur = a 6073 28 . Dạng toán 2: Chứng minh một đẳng thức vectơ Phơng pháp thực hiện Ta lựa chọn một trong các hớng biến đổi sau: Hớng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT VP hoặc VP VT). Khi đó: Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức. Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ. Hớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. Hớng 3: Biến đổi một đẳng thức vectơ đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh. Hớng 4: Tạo dựng các hình phụ. Khi thực hiện các phép biến đổi ta sử dụng: Quy tắc ba điểm: AB = AC + CB . Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có: AC = AB + AD . Hiệu hai vectơ cùng gốc AB AC = CB . Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôn có: MI = 2 1 ( MA + MB ). Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC có trọng tâm G ta có: 10 A B O A 1 B 1 C 1 . nghĩa tích của một vectơ với một số. bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số Định. hớng với vectơ a nếu k < 0. b. Có độ dài bằng k. a . Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ) .