Đang tải... (xem toàn văn)
Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRỊN §7 Vị trí tương đối hai đường trịn Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết u cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon86@gmail.com để nhận giải đáp §7 v ị trí tơng đối hai đờng tròn giảng theo chơng trình chuẩn ba vị trí tơng đối Hai đờng tròn Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 117 sgk): Ta gọi hai đờng tròn không trùng hai đờng tròn phân biệt Vì hai đờng tròn phân biệt có hai điểm chung ? Giải Hai đờng tròn phân biệt có hai điểm chung, qua ba điểm thẳng hàng có đờng tròn, qua ba điểm không thẳng hàng có đờng tròn Nh vậy, hai đờng tròn phân biệt cã thĨ: Cã hai ®iĨm chung Cã mét ®iĨm chung nhÊt Kh«ng cã ®iĨm chung Chú ý: Hai đờng tròn có nhiều hai điểm chung chúng trùng a Hai đờng tròn có hai điểm chung Cho hai đờng tròn (O; R) vµ (O’, r) víi R > r vµ d = OO Trờng hợp gọi hai đờng tròn cắt nhau, điểm chung gọi giao điểm Thí dơ 2: (H§ 1/tr 120 − sgk): Sư dơng bÊt đẳng thức tam A giác AOO' ta có: OA – O'A < OO' < OA + O'A, r R tõ ®ã, suy ®iỊu kiƯn: O' d O R – r < d < R + r NhËn xét: Hai đờng tròn cắt nhau: Có hai tiếp tuyến chung chúng đồng quy A với đờng thẳng OO' O O' Nếu toán cần vẽ đờng phụ, ta thờng vẽ thêm dây chung chúng Thí dụ 3: (HĐ 2.a/tr 118 sgk): Quan sát hình 85, chứng minh OO' đờng trung trực AB Giải Gọi I giao điểm OO' vµ AB, ta cã ngay: OA = OB ⇔ OAB cân O OI đờng trung trực AB OO đờng trung trực AB A I O' O B Bài toán: Cho hai đờng tròn (O; R) (O', r) với r < R cắt A B HÃy dựng tiếp tuyến chung hai đờng tròn đó, biết OO' = d Giải Phân tích: Giả sử đà dựng đợc tiếp tuyến chung hai đờng tròn M, M' theo thứ tự tiếp điểm tiếp tuyến chung với (O; R) (O', r) Gọi A điểm đồng quy hai tiÕp tuyÕn víi OO', ta cã: M M' A AO' O' M' r r = = ⇒ AO' = (AO' + O'O) R R AO OM rd ⇔ AO' = xác định đợc vị trí điểm A R −r O O' N' N Khi ®ã: TiÕp điểm M' giao điểm (O') đờng tròn ®êng kÝnh AO' TiÕp ®iĨm M lµ giao ®iĨm đờng thẳng AM' đờng tròn (O) Cách dựng: Ta thực hiện: Xác định điểm A tia OO' cho AO' = rd R −r Dùng đờng tròn đờng kính AO', đờng tròn cắt (O') M' Dựng đờng thẳng AM', tiếp tuyÕn chung cÇn dùng Chøng minh: Ta cã ngay: AM' O' = 900 ⇒ AM' lµ tiÕp tun cđa đờng tròn (O) Ngoài ra, ta có: rd AO' AO' r O' M' = = R−r = = AO' +O' O rd R AO OM +d R−r ⇒ OM // O'M' ⇒ OM ⊥ AM ⇒ AM' lµ tiÕp tuyến đờng tròn (O') Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình (tức tồn hai tiếp tuyến chung (O) (O')) b Hai đờng tròn có điểm chung Cho hai đờng tròn (O; R) vµ (O’, r) víi R > r vµ d = OO Trờng hợp gọi hai đờng tròn tiếp xúc nhau, điểm chung đợc gọi tiếp điểm Ta có hai khả tiếp xóc: TiÕp xóc ngoµi TiÕp xóc r O' A R d O d=R+r A r d O' O d=R−r ThÝ dơ 4: (H§ 2.b/tr 118 − sgk): Quan sát hình 86, hÃy dự đoán vị trí điểm A đờng nối tâm OO' Giải Dễ thấy A thuộc đờng thẳng OO Nhận xét: Hai đờng tiếp xúc với có ba tiếp tuyÕn chung M O' A A O O' O Hai ®êng tiÕp xóc víi cã mét tiếp tuyến chung Hai đờng tiếp xúc với mà cần vẽ đờng phụ, ta thờng vẽ thêm tiếp tuyến chung chúng c Hai đờng tròn điểm chung Cho hai đờng tròn (O; R) (O, r) với R > r d = OO Trờng hợp gọi hai đờng tròn không giao Ta có hai khả năng: Ngoài Trong r O' R d A r d O' O O dR+r Chú ý: a Hai đờng tròn phân biệt tâm (d = 0) gọi hai đờng tròn đồng tâm b Hai đờng tròn có bốn tiếp tuyÕn chung, ®ã: Cã hai tiÕp tuyÕn chung cắt đoạn OO' Có hai tiếp tuyến chung không đoạn cắt OO' A O' B O c Hai đờng tròn tiếp tuyến chung tính chất đờng nối tâm Tính chất 1: Đờng nối tâm trục đối xứng hình tạo hai đờng tròn Tính chất 2: Nếu hai đờng tròn cắt dây cung A vuông góc với đờng nối tâm bị đờng I chia làm hai phần O' O Cụ thể, theo hình vẽ ta cã: B OO' ⊥ AB vµ IA = IB Nếu hai đờng tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đờng nối tâm Cụ thể, theo hình vẽ sau ta có O, O', A thẳng hàng Tính chất 3: A O O' A O' O ThÝ dô 5: (HĐ 3/tr 119 sgk): Cho hình 88 a HÃy xác định vị trí tơng đối hai đờng tròn (O) vµ (O') b Chøng minh r»ng BC // OO' ba điểm C, B, D thẳng hàng Giải a Từ hình vẽ ta thấy (O) (O') cắt hai điểm A B b Gọi I giao điểm OO' với AB, ta lần lỵt: A Trong ∆ABC, ta cã: I O' O OI đờng trung bình OI // BC OO' // BC (1) C D B Trong ∆ABD, ta có: O'I đờng trung bình O'I // BD ⇔ OO' // BD (2) Tõ (1) vµ (2) suy ba điểm C, B, D thẳng hàng (vì thuộc đờng thẳng qua B song song với OO') Nhận xét: Trong lời giải ví dụ đà tận dụng đầy đủ tính chất hai đờng tròn cắt tổng kết Ta có bảng sau: Vị trí tơng đối hai đờng tròn (O; R) (O; r) (R r) Hai đờng tròn cắt Hai đờng tròn tiếp xúc nhau: Tiếp xúc Tiếp xúc Số điểm chung Hệ thức OO' với R r R − r < OO' < R + r Sè Ttc OO' = R − r > OO' = R + r Hai đờng tròn không giao nhau: (O) chứa (O') (O) (O') Đặc biệt (O) (O') đồng tâm OO' < R − r OO' > R + r OO' = 0 ThÝ dơ 6: (Bµi 40/tr 123 sgk): Đố: Trên hình 99a, 99b, 99c, bánh xe tròn có ca đợc khớp với Trên hình hệ thống bánh chuyển động đợc ? Trên hình hệ thống bánh không chuyển động đợc ? Hớng dẫn: Giải − Sư dơng h×nh vÏ 99a, 99b, 99c/tr 123 − Sgk Ta thấy ngay: Hệ thống bánh hình 99a chuyển động đợc Hệ thống bánh hình 99b không chuyển động đợc Hệ thống bánh hình 99c không chuyển động đợc tập lần Bài tập 1: Cho đờng (O) đờng kính AB Vẽ đờng tròn (B; BO), cắt đờng tròn Bµi tËp 2: Bµi tËp 3: Bµi tËp 4: Bµi tËp 5: Bµi tËp 6: (O) ë C, D a Xác định dạng tứ giác OCDB b Xác định dạng tam giác ACD Cho hai đờng tròn (O; 20cm) (O; 15cm) cắt A B Tính đoạn nèi t©m OO’, biÕt r»ng AB = 24cm Chøng minh đờng tròn qua điểm bên điểm bên đờng tròn khác hai đờng tròn cắt hai điểm Cho hình vuông ABCD Vẽ đờng tròn (D; DC) đờng tròn đờng kính BC, chúng cắt điểm thứ hai E Tia CE cắt AB M, tia BE cắt AD N Chứng minh M trung điểm AB, N trung điểm AD Cho đờng tròn tâm O bán kính OA đờng tròn đờng kính OA a HÃy xác định vị trí tơng đối hai đờng tròn b Dây AD đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ C Chứng minh AC = CD Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuộc bán kính OA cho AI = OA Vẽ đờng tròn (I; IA) a Xác định vị trí đờng tròn (O) (I) b Kẻ đờng thẳng qua A, cắt đờng tròn (I) (O) theo thứ tự B vµ C TÝnh tØ sè AB AC Bài tập 7: Cho hai đờng tròn (O; R) (O’, r) tiÕp xóc víi t¹i A VÏ mét cát tiếp qua A cắt hai đờng tròn B C Chứng minh tiếp tuyến B vµ C song song víi Bµi tËp 8: Cho ba đờng tròn tâm O1, O2, O3 có bán kính R tiếp xúc với đôi Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm Bài tập 9: Cho đờng tròn (O) đờng thẳng a không giao Gọi H hình chiếu O a Tia đối tia OH cắt đờng tròn A Vẽ đờng thẳng b a điểm B đờng thẳng a Đoạn thẳng AB cắt đờng tròn C Tia OC cắt b I Chứng minh đờng tròn (I; IB) tiếp xúc với đờng thẳng a đờng tròn (O) Bài tập 10: Cho hai đờng tròn (O) (O') tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B ∈ (O) , C ∈ (O') TiÕp tuyÕn chung A cắt BC I à a Chứng minh r»ng BAC = 900 b TÝnh sè ®o gãc OIO' c Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm Bài tập 11: Cho đờng tròn (O) điểm A đờng tròn Vẽ đờng tròn (I) qua O tiếp xúc với đờng tròn (O) A Qua A vẽ tiếp tuyến chung xy với hai đờng tròn Dây AC đờng tròn (O) cắt đờng tròn (I) M Tia CO cắt đờng tròn tâm I N Đờng thẳng OM cắt xy tia AN lần lợt B vµ D Chøng minh r»ng: a MA = MC b Tứ giác ABCD hình thoi Bài tập 12: Cho hai đờng tròn (O; R) (O, r) tiếp xúc với A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng tròn (O) a Chứng minh ABC tam giác vuông b Tính số đo góc OMO' c Tính diện tích tứ giác BCOO theo R r d Gọi I trung điểm OO Chứng minh BC tiếp tuyến đờng (I, IM) Bài tập 13: Cho đoạn thẳng AB điểm M không trùng với A, B Vẽ đờng tròn (A, AM) (B, BM) HÃy xác định vị trí tơng đối hai đờng tròn này, từ suy sè tiÕp tun chung cđa chóng Bµi tËp 14: Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A, vẽ đờng tròn O tiếp xúc với AB B, hai đờng tròn luôn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB tiếp xúc với Tìm quỹ tích tiếp điểm M hai đờng tròn Bài tập 15: Cho hai đờng tròn đồng tâm O Dây AB đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ C D Chứng minh AC = BD giảng nâng cao B phơng pháp giải toán Ví dụ 1: Cho ®êng (O) ®êng kÝnh AB VÏ ®êng trßn (B; BO), cắt đờng tròn (O) C, D a Xác định dạng tứ giác OCDB b Xác định dạng tam giác ACD Hớng dẫn: Với giả thiết, ta khẳng định đợc hai đờng C A O H B tròn nhau, từ đó: D Với câu a), ta nhận đợc tứ giác với bốn cạnh nên hình thoi Với câu b), cần chứng minh ABC vuông việc sử dụng tính chất đờng trung tuyến, tiếp tính đợc số đo góc BAC DAC để dẫn tới khẳng định ACD Giải a Ta có ngay: OC = OD = OB vµ BC = BD = BO ⇒ OC = CB = BD = DO OCDB hình thoi b Trong ∆ABC, ta cã: Trung tuyÕn CO CO = AB ABC vuông C BC = AB ⇔ B¢C = 300 ⇒ C¢D = 600 ACD Ví dụ 2: (Bài 34/tr 119 sgk): Cho hai đờng tròn (O; 20cm) (O; 15cm) cắt A B Tính đoạn nối tâm OO, biết AB = 24cm Hớng dẫn: Xét hai trờng hợp: O O' nằm khác phía AB; O O' nằm phía AB Và sử dụng định lí Pytago cho tam giác vuông tơng ứng, bởi: OO = OI + IO, với I trung điểm AB Giải Gọi I giao điểm AB OO' th× IA = IB = 12cm, xÐt hai trêng hợp: Trờng hợp 1: Khi O O' nằm khác phía AB, ta lần lợt: Trong OAI, ta cã: A IO2 = OA2 − IA2 = 202 − 122 = 256 I O' ⇔ IO = 16cm B Trong ∆O'AI, ta cã: 2 2 O'I = O'A − IA = 15 − 12 = 81 ⇔ IO = 9cm 10 O Khi ®ã: OO' = IO + IO' = 16 + = 25cm Trờng hợp 2: Khi O O' nằm phía AB Độ dài IO IO' đợc tính nh trờng hợp Khi đó: OO' = IO − IO' = 16 − = 7cm A I O' O B Chú ý: Bài toán ngợc cho biết độ dài OO yêu cầu tính AB: Bài 1: Cho hai đờng tròn (O 17cm) (O; 10cm) cắt A B BiÕt OO’ = 21cm TÝnh AB A Gi¶i I O' O Gọi I giao điểm AB OO', suy ra: AB = 2AI vµ AI ⊥ OO' B Trong ∆OAO', ta cã: S∆OAO' = p(p − a)(p − b)(p − c) = AI.OO' 2 p(p − a)(p − b)(p − c) 24.3.14.7 ⇔ AI = = = 8cm 21 OO' Vậy, ta đợc AB = 16cm Bài 2: Hai đờng tròn (O) (O) cắt tai A B, OA tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính dây cung AB biÕt OA = 20cm, O’A = 15cm Gi¶i A Gọi I trung điểm AB, suy ra: I O' AB = 2AI vµ AI ⊥ OO' Trong ∆OAO' vuông A, ta có: B 1 SOAO' = OA.O'A = AI.OO' = AI OA + O'A 2 2 OA.O 'A 20.15 ⇔ AI = = = 12cm 2 OA + O 'A 202 + 152 Vậy, ta đợc AB = 24cm O Ví dụ 3: Chứng minh đờng tròn qua điểm bên điểm bên đờng tròn khác hai đờng tròn cắt hai điểm Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức: Vị trí tơng đối điểm với đờng tròn Hệ thức liên hệ cạnh tam giác Để từ nhận đợc bất đẳng thức |R r| < OO' < R + r 11 Giải Giả sử đờng (O) qua A B, A bên (O), B ë bªn (O’) Gäi R, r theo thø tù bán kính đờng tròn (O), (O) Ta cã: OA = OB = R, O’A > r vµ O’B < r XÐt ∆OO’B ta cã: A OO’ ≤ OB + O’B < R + r (1) R NÕu R ≥ r th× ∆OO’B, ta cã: B d OO’ ≥ OB – O’B > R – r (2) O' O NÕu r ≥ R th× ∆OO’A, ta cã: OO’ ≥ O’A – OA > r R (3) Từ ta đợc: R r < OO' < R + r ⇔ Hai ®êng tròn (O) (O') cắt Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD Vẽ đờng tròn (D; DC) đờng tròn đờng kính BC, chúng cắt điểm thứ hai E Tia CE cắt AB M, tia BE cắt AD N Chứng minh M trung điểm AB, N trung điểm AD Hớng dẫn: Trớc tiên, em cần đọc kĩ đầu để thực việc vẽ hình Tiếp theo, ta sử dụng suy luận ngợc: M trung ®iĨm AB 1 AB = BC = CI, I trung điểm BC 2 CDI = BCM, điều theo g.c.g Nh vậy, cần trình bày theo chiều ngợc lại ta có đợc lời giải việc chứng minh M trung điểm AB Tơng tự ta có cách chứng minh N trung điểm AD BM = 12 Giải Gọi I trung điểm BC Xét hai tam giác vuông CDI BCM, ta có: CD = BC, hai cạnh hình vuông à à CDI = BCM , góc có cạnh tơng ứng vuông góc đó: CDI = BCM (cạnh góc vuông góc nhọn) 1 ⇒ BM = CI = BC = AB ⇔ M trung điểm AB 2 Chứng minh tơng tự, ta có: ABN = BCM (cạnh góc vuông vµ gãc nhän) I B M A C N D E ⇒ AN = BM = AD ⇔ N trung điểm AD Chú ý: Ví dụ tiÕp theo sÏ minh ho¹ viƯc sư dơng tÝnh chÊt hai đờng tròn tiếp xúc với Ví dụ 5: (Bài 36/tr 123 sgk): Cho đờng tròn tâm O bán kính OA đờng tròn đờng kính OA a HÃy xác định vị trí tơng đối hai đờng tròn b Dây AD đờng tròn lớn cắt ®êng trßn nhá ë C Chøng minh r»ng AC = CD Híng dÉn: Sư dơng tÝnh chÊt cđa hai đờng tròn tiếp xúc với D C Giải A O' a Gọi O' trung điểm OA, nhËn xÐt r»ng: OO' = OA − O'A = R r Hai đờng tròn tiếp xúc với b Trong ∆OAD, ta cã: O 'C r O 'A = = ⇒ O'C // OD ⇒ O'C lµ đờng trung bình OD R OA C trung ®iĨm AD ⇔ AC = CD O VÝ dơ 6: Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuộc bán kính OA cho AI = OA VÏ ®êng tròn (I; IA) a Xác định vị trí đờng tròn (O) (I) b Kẻ đờng thẳng qua A, cắt đờng tròn (I) (O) theo thø tù ë B vµ C TÝnh tØ sè AB AC Híng dÉn: Tham kh¶o vÝ dơ Gi¶i D IO A H B a Ta cã: C OI = OA – IA ⇔ (O) vµ (I, IA) tiÕp xóc víi b KỴ OH vuông góc với CD, ta đợc CH = AH Mặt kh¸c, ta cã: ˆ ABD = 90 ⇔ BD ⊥ AB ⇒ BD // OH AB AD AB AB = = ⇔ = = ⇒ ⇔ AH AO 2AH 2.3 AC 13 VÝ dơ 7: (Më réng bµi 33/tr 119 − Sgk): Cho hai đờng tròn (O; R) (O, r) tiếp xúc với A Vẽ cát tiếp qua A cắt hai đờng tròn B C Chứng minh tiếp tuyến B C song song víi Híng dÉn: Tham kh¶o vÝ dơ Tuy nhiên, toán cần xét hai trờng hợp tiếp xúc (O) (O') Giải C B Xét hai khả tiếp xúc (O; R) (O', r) Trờng hợp 1: Nếu (O; R) vµ (O', r) tiÕp xóc víi A O' O Trong ∆OAC, ta cã: O 'B r O 'A = = ⇒ O'B // OC OC R OA Nên tiếp tuyến B C song song với chúng vuông góc với O'B vuông góc với OC Trờng hợp 2: Nếu (O; R) (O', r) tiÕp xóc ngoµi víi B Ta cã: A O O' O 'B r O 'A = = O'B // OC OC R OA Nên tiếp tuyến B C song song với chúng vuông góc với O'B vuông góc với OC Ví dụ 8: Cho ba đờng tròn tâm O1, O2, O3 có bán kính R tiếp xúc với đôi Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm Hớng dẫn: Sử dụng tính chất tiếp xúc hai đờng tròn để khẳng định đợc O1O2O3 với cạnh 2R, từ suy diện tích Giải XÐt ∆O1O2O3, ta cã: O1O2 = O2O3 = O3O1 = 2R O1O2O3 có cạnh 2R ®ã: R O1 R R R O3 R R O2 S∆O1O2O3 = (2R) = R2 Ví dụ 9: Cho đờng tròn (O) đờng thẳng a không giao Gọi H hình chiếu O a Tia đối tia OH cắt đờng tròn A Vẽ đờng thẳng b a điểm B đờng thẳng a Đoạn thẳng AB cắt đờng tròn C Tia OC cắt b I Chứng minh đờng tròn (I; IB) tiếp xúc với đờng thẳng a đờng tròn (O) 14 Hớng dẫn: Trớc tiên, em cần đọc kĩ đầu ®Ĩ thùc hiƯn ®óng viƯc vÏ h×nh TiÕp theo, sư dụng đồng dạng hai tam giác để chứng minh IC = IB, từ nhận đợc kết cần chứng minh Giải Nhận xét rằng: A OA // IB, vuông góc với a OAC IBC đồng dạng OA OC IB OA O = = ⇒ ⇔ = ⇔ IB = IC C IB IC IC OC Khi đó: H Vì IB a nên (I, IB) tiếp xúc với a Vì IO = IC + OC = OC + IB nªn (I, IB) tiÕp xóc víi (O) b I B a VÝ dơ 10: (Bµi 39/tr 123 − sgk): Cho hai đờng tròn (O) (O') tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B (O) , C (O') Tiếp tuyến chung A cắt BC ë I · a Chøng minh r»ng BAC = 900 b TÝnh sè ®o gãc OIO' c TÝnh ®é dµi BC, biÕt OA = 9cm, O'A = 4cm Hớng dẫn: Ta lần lợt: B Với câu a), ta chứng minh ABC vuông I C t¹i A b»ng viƯc sư dơng tÝnh chÊt hai tiÕp O' A O tuyến cắt kết hợp với đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Với câu b), sử dụng tính chất tia phân giác với hai tiếp tuyến cắt Với câu c), sử dụng định lí Pytago cho tam giác vuông tơng ứng Giải a Trong ABC, ta có: IA = IB − TÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t với đờng tròn (O) IA = IC Tính chất hai tiếp tuyến cắt với đờng tròn (O') Từ ®ã, suy ra: · IA lµ trung tuyÕn vµ IA = BC ABC vuông A BAC = 900 b Ta cã: 1· 1· · 1· · · · · OIO ' = OIA + AIO ' = CIA + AIB = CIA + AIB = CIB = 90 2 2 c Trong tam giác vuông IAO, IAO' OIO', ta cã: ( ) 15 IA = OI2 − OA 2 IA = O 'I − O 'A ⇒ 2IA2 = (OI2 + O'I2) − (OA2 + O'A2) = O'O'2 − (OA2 + O'A2) = (O'A + OA)2 − (OA2 + O'A2) = 2O'A.OA = 2.9.4 = 72 ⇔ IA2 = 36 ⇔ IA = 6cm ⇒ BC = 2IA = 2.6 = 12cm Ví dụ 11: Cho đờng tròn (O) điểm A đờng tròn Vẽ đờng tròn (I) qua O tiếp xúc với đờng tròn (O) A Qua A vẽ tiếp tuyến chung xy với hai đờng tròn Dây AC đờng tròn (O) cắt đờng tròn (I) M Tia CO cắt đờng tròn tâm I N Đờng thẳng OM cắt xy tia AN lần lợt B vµ D Chøng minh r»ng: a MA = MC b Tứ giác ABCD hình thoi Hớng dẫn: Trớc tiên, em cần đọc kĩ đầu để thực việc vẽ hình Tiếp theo, ta cần chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành có hai đờng chéo vông góc với Giải a NhËn xÐt r»ng: ˆ OMA = 900 ⇒ OM ⊥ AC ⇒ MA = MC, ®pcm xy A b NhËn xÐt r»ng: N ˆA = 900 ⇒ DM ⊥ AC OM I ˆ ONA = 900 ⇒ CN ⊥ AD M O Suy ra, O trực tâm ACD, ®ã: C D CD ⊥ AO ⇒ CD // AB Xét hai tam giác vuông MAB MCD, ta có: ˆ MA = MC; M¢B = MCD , so le đó: CDI = BCM (cạnh góc vuông gãc nhän) ⇒ AB = CD Nh vËy, tø gi¸c ABCD cã: B // AB =CD vµ AC ⊥ BD ABCD nên hình thoi Ví dụ 12: Cho hai đờng tròn (O; R) (O, r) tiếp xúc với A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng tròn (O) a Chứng minh ABC tam giác vuông b Tính số đo góc OMO' c Tính diện tích tứ giác BCOO theo R r d Gọi I trung điểm OO Chứng minh BC tiếp tuyến đờng (I, IM) 16 Gi¶i a Qua A vÏ tiÕp tuyÕn chung trong, cắt BC M, ta có: MA = MB tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cña (O, R) MA = MC tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cña (O' , r) M C B H O' A I O BC Tøc lµ, ∆ABC cã trung tuyÕn AM øng với cạnh BC nửa cạnh nên tam giác vuông b Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: ) MO tia phân giác góc AMB ) MO tia phân gi¸c cđa gãc AMC Suy ra: · OMO ' = 90 (bởi hợp hai tia phân gi¸c cđa hai gãc kỊ bï) ⇒ MA = MB = MC = c Tø gi¸c BCO’O cã OB// O’C (vì vuông góc với BC) nên tứ giác hình thang, đó: SBCO 'O = (OB + O 'C)BC Hạ OD vuông góc với OB, suy tứ giác BCOH hình chữ nhật nên: BC = O’H Trong ∆OO’H ta cã: O’H2 = OO’2 – OH2 = (R + r)2 – (R – r)2 = 4Rr ⇒ O'H = Rr VËy, ta ®ỵc: SBCO 'O = (R + r).2 Rr = Rr (R + r) d Ta cã IM đờng trung bình hình thang BCOO, đó: IM // OB ⇒ IM ⊥ BC VËy, BC lµ tiếp tuyến đờng tròn (I, IM) Nhận xét: Ta có OO' tiếp tuyến đờng tròn có đờng kính BC Chúng ta đà biết " Nếu đờng thẳng d qua điểm bên đờng tròn (O) cắt đờng tròn " câu hỏi đợc đặt thay đờng thẳng d đờng tròn kết luận đợc vị trí tơng đối hai đờng tròn Ví dụ minh hoạ nhận định 17 Ví dụ 13: Cho đoạn thẳng AB điểm M không trùng với A, B Vẽ đ- ờng tròn (A, AM) (B, BM) HÃy xác định vị trí tơng đối hai đờng tròn này, từ suy số tiếp tuyến chung chúng Giải Để xét vị trí tơng đối hai đờng tròn (A, AM) đờng tròn (B; BM), ta phải xét trờng hợp vị trí điểm M đoạn thẳng AB Trờng hợp 1: Điểm M nằm A vµ B, ta cã: AB = AM + MB ⇔ d = R + r Vậy, hai đờng tròn tiếp xúc với chúng có ba tiÕp tun chung N A B M Trêng hỵp 2: Điểm M nằm tia đối tia AB (hoặc tia ®èi cđa tia BA), ta cã: d AB = BM − AM ⇔ = R − r AB = AM − BM ⇔ = r − R d M Vậy, hai đờng tròn tiếp xúc với chúng có tiếp tuyến chung A Trờng hợp 3: Điểm M nằm đờng thẳng AB, ta cã: MB − MA< AB < MB + MA ⇔ | R – r | < d < R + r Vậy, hai đờng tròn cắt ®ã chóng cã hai tiÕp tuyÕn chung B A B M M C A B Nhận xét: Để tránh bỏ sót trờng hợp, em học sinh hÃy nhớ lại vị trí tơng đối điểm đờng thẳng, cụ thể với điểm M đờng thẳng AB (M kh«ng trïng víi A, B) cho tríc, ta cã: Nếu M thuộc đờng thẳng AB, đó: M nằm A B A nằm M B B nằm M A M không thuộc đờng thẳng AB Ví dụ 14: Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A, vẽ đờng tròn O tiếp xúc với AB B, hai đờng tròn luôn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB tiếp xúc với Tìm quỹ tích tiếp ®iĨm M cđa hai ®êng trßn Híng dÉn: Sư dụng lợc đồ giải toán quĩ tích Giải Phần thuận: Dựng tiếp tuyến chung d M hai đờng tròn, giả sử d cắt AB I 18 Trong ∆MAB, ta cã: d IA = IM, IA, IM tiếp tuyến (O) IB = IM, IB, IM tiếp tuyến (O') M O O' suy ra: A IM = AB I B MAB vuông M (vìcó trung tuyến nửa cạnh huyền) M thuộc đờng tròn (AB) Phần đảo: Lấy điểm M ®êng trßn (AB) Ta thùc hiƯn dùng: Dùng ®êng thẳng m qua M vuông góc với IM Dựng tia phân giác Ix góc A , tia Ix cắt m O Dựng đờng tròn IM (O, OM), ta thÊy ngay: ˆ ∆OMI = ∆OAI (c.g.c) ⇒ O¢I = OMI = 900 ⇔ OA ⊥ AB ⇔ (O, OM) tiÕp xóc víi AB t¹i A Dùng tia phân giác Iy góc B , tia Iy cắt m O' Dựng đờng tròn IM (O', O'M) , ta thÊy ngay: ˆ ˆ ∆O'MI = ∆O'BI (c.g.c) ⇒ O' BI =O' MI = 900 ⇔ OB ⊥ AB ⇔ (O', O'M) tiÕp xóc víi AB t¹i B Trong cách dựng trên, ta thấy (O) (O') tiÕp xóc víi KÕt ln: Q tÝch cđa ®iĨm M đờng tròn (AB) Ví dụ 15: (Bài 37/tr 123 sgk): Cho hai đờng tròn đồng tâm O Dây AB đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ ë C vµ D Chøng minh r»ng AC = BD Hớng dẫn: Sử dụng quan hệ vông góc đờng kính dây Giải Gọi H trung ®iĨm cđa AB (HA = HB), suy ra: OH ⊥ AB OH CD H trung điểm CD (HC = HD) Khi ®ã: AC = HA − HC = HB − HD = BD O A H C D B Chú ý: Ta xét toán mở rộng sau: Bài: Cho đờng tròn (O) điểm A đờng tròn Trên bán kính OA lÊy ®iĨm B cho OB = OA VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AB a Chøng minh r»ng ®êng trßn ®êng kÝnh AB tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) cho trớc b Vẽ đờng tròn đồng tâm O với đờng tròn (O) cho trớc, cắt đờng tròn đờng kính AB C Tia AC cắt hai đờng tròn đồng tâm D E (D nằm C vµ E) Chøng minh r»ng AC = CD = DE 19 Giải a Gọi I trung điểm AB, ta cã: OI = OA – IA ⇔ (O) vµ (AB) tiếp xúc với b Kẻ OH vuông góc với CD, ta đợc: CH = DH AH = EH ®ã: AC = AH – CH = EH DH = ED Mặt khác, ta có: OB E A H C D AC AB · = = ACB = 90 ⇔ BC ⊥ AC ⇒ BC // OH ⇒ CH BO ⇔ AC = 2CH = CD Vậy, ta đà chứng minh đợc AC = CD = DE tập lần Bài tập Cho ba đờng tròn tâm O1, O2, O3 có bán kính R tiếp xúc với đôi Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm Bài tập Cho đoạn thẳng AB = 2a Gọi M trung điểm AB a Vẽ đờng tròn (A; a) (B; a) Chứng minh hai đờng tròn tiếp xúc với b Vẽ đờng tròn tâm M cắt hai đờng tròn (A) (B) lần lợt C, D, E, F (C vµ F cïng thc mét nưa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật c Xác định bán kính đờng tròn (M) tứ giác CDEF hình vuông Bài tập Cho đờng (O) đờng kính AB Vẽ đờng tròn (B; BO), cắt đờng tròn (O) C, D a Xác định dạng tứ giác OCDB b Xác định dạng tam giác ACD Bài tập Hai đờng tròn (O) (O) cắt tai A B, OA tiếp tuyến đờng tròn (O’) TÝnh d©y cung AB biÕt OA = 20cm, O’A = 15cm Bài tập Cho hai đờng tròn (O 17cm) (O; 10cm) cắt A B BiÕt OO’ = 21cm TÝnh AB Bµi tËp Hai đờng tròn (O) (O) cắt A B Gọi M trung điểm OO Qua A, kẻ đờng thẳng vuông góc với AM, cắt đờng tròn (O) (O) C D Chứng minh r»ng AC = AD 20 Bµi tËp Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuộc bán kính OA cho AI = OA Vẽ đờng tròn (I, IA) a Xác định vị trí đờng tròn (O) (I) b Kẻ đờng thẳng qua A, cắt đờng tròn (I) (O) theo thứ tù ë B vµ C AB TÝnh tØ sè AC Bài tập Cho đờng tròn (O) điểm A đờng tròn Trên bán kính OA lÊy ®iĨm B cho OB = OA VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AB c Chøng minh r»ng ®êng trßn ®êng kÝnh AB tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) cho trớc d Vẽ đờng tròn đồng tâm O với đờng tròn (O) cho trớc, cắt đờng tròn đờng kính AB C Tia AC cắt hai đờng tròn đồng tâm D E (D nằm C vµ E) Chøng minh r»ng AC = CD = DE Bài tập Cho đờng tròn (O) đờng thẳng a không giao Gọi H hình chiếu O a Tia đối tia OH cắt đờng tròn A Vẽ đờng thẳng b a điểm B đờng thẳng a Đoạn thẳng AB cắt đờng tròn C Tia OC cắt b I Chứng minh đờng tròn (I; IB) tiếp xúc với đờng thẳng a đờng tròn (O) Bài tập 10 Cho hình vuông ABCD Vẽ đờng tròn (D; DC) đờng tròn đờng kính BC, chúng cắt điểm thứ hai E Tia CE cắt AB M, tia BE cắt AD N Chứng minh M trung điểm AB, N trung điểm AD Bài tập 11 Cho đờng tròn (O) điểm A đờng tròn Vẽ đờng tròn (I) qua O tiếp xúc với đờng tròn (O) A Qua A vẽ tiếp tuyến chung xy với hai đờng tròn Dây AC đờng tròn (O) cắt đờng tròn (I) M Tia CO cắt đờng tròn tâm I N Đờng thẳng OM cắt xy tia AN lần lợt B D Chøng minh r»ng: a MA = MC b Tø giác ABCD hình thoi Bài tập 12 Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A, vẽ đờng tròn O tiếp xúc với AB B, hai đờng tròn luôn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB tiếp xúc với Tìm quỹ tích tiếp điểm M hai đờng tròn Bài tập 13 Cho đoạn thẳng OO = 4cm Vẽ đờng tròn (O; 2cm) (O; 1cm) a HÃy xác định vị trí tơng đối hai đờng tròn b Dựng đờng tròn (I; 1,5cm) tiếp xúc với hai đờng tròn (O) (O) Bài tập 14 Cho trớc đờng tròn (O, 2cm) đờng thẳng xy tiếp xúc với (O) A Dựng đờng tròn (I; 1cm) tiếp xúc với đờng tròn (O) vµ tiÕp xóc víi xy 21 Giáo án điện tử giảng giá: 1050.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 22 ... chuẩn ba vị trí tơng đối Hai đờng tròn Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 117 sgk): Ta gọi hai đờng tròn không trùng hai đờng tròn phân biệt Vì hai đờng tròn phân biệt có hai điểm chung ? Giải Hai đờng tròn phân... hình vẽ 99 a, 99 b, 99 c/tr 123 − Sgk Ta thÊy ngay: HÖ thống bánh hình 99 a chuyển động đợc Hệ thống bánh hình 99 b không chuyển động đợc Hệ thống bánh hình 99 c không chuyển động đợc tập lần Bài tập... hai đờng tròn Bài tập 13 Cho đoạn thẳng OO = 4cm Vẽ đờng tròn (O; 2cm) (O; 1cm) a HÃy xác định vị trí tơng đối hai đờng tròn b Dựng đờng tròn (I; 1,5cm) tiếp xúc với hai đờng tròn (O) (O) Bài tập
