ĐỀ THI TOÁN VÀO THPT CHUYÊN KHTN 2019 Bài a) Giải phương trình: 26 x  x  30  26 x   x  30 2  x  y  b) Giải hệ phương trình :    x  y    y  xy   27 Bài a) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn  x  x  1 y  xy   3x  b) Với x, y số thực thay đổi thỏa mãn  y  xy   y, tìm giá trị x2  nhỏ biểu thức M  y 1 Bài Cho hình vng ABCD, đường tròn  O  nội tiếp hình vuông tiếp xúc với cạnh AB, AD tai hai điểm E, F Gọi G giao điểm đường thẳng CE BF a) Chứng minh điểm A, F , O, G, E nằm đường tròn b) Gọi giao điểm đường thẳng FB đường tròn M  M  F  Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng BG Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  xz  CMR: 1 2 x y z       2 1 x 1 y 1 z   x  y2  z2     ĐÁP ÁN Bài 5 đặt a  26 x  b  x  30, a  0, b  26 a2 Phương trình trở thành:  2a  3b   a  b  a  3b    a  b b x 1  26 x   x  30    x  25 a) Điều kiện x  Vậy S  1;25 b) Thay  x  y vào phương trình thứ hai ta được:  x  y   x  y  y  xy   27   x  y   27  x   y thay vào phương trình thứ ta 3  y   y 1 x 1  y 0 y   x  5     Vậy  x; y   1;1 ;  ;    5   Bài a) Từ biểu thức  x  x  1 y  xy   3x  ta nhận thấy 3x  1phải chia hết cho  x  x  1 Ta có :  3x  1 3x    x  x    x  x  1  phải chia hết cho x  x  1 suy  x  x  1  x2  x    x  0;1;3; 2 , thay tìm y Vậy  x; y  1;1; 1; 2 ;  2;1 b) Từ giả thiết xy   y  xy   y Mà ta lại có: x  y  xy  x  y   xy   y   x2  4  y   y   x     y  1   y    y    y  1 x2  M  1 y 1 Dấu "  " xảy x  1, y  2, M  Bài E A M H G F D B O J C a) Do đường tròn (O) nội tiếp hình vng ABCD nên E F trung điểm cạnh AB, AD  ABF  BCE  EBG  BCG  BGC vuông suy tứ giác AGEF nội tiếp mà AEOF nội tiếp nên điểm A, F , O, G, E nằm đường tròn b) Ta có : AB tiếp tuyến đường tròn (O) nên BEM  EFM Lại có EAG  EFG chắn cung EG nên EAG  EFG  EM / / AG E trung điểm AB nên M trung điểm BG Bài 1 2 x y z        x  y  z   x  y2  z2 Ta có:  x2  xy  yz  xz  x   x  y  x  z       y  xy  yz  xz  y   x  y  y  z   z  xy  yz  xz  z   z  y  x  z  Ta có:  x y z      x2  y2  z2    x y z       x  y  z  2    x  y  z      2 x  y  z  x y z   x  y  z      x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  x  z    x  y  y  z  z  x  Do  4 x  y  z  y z  VP      3 x  y  y  z  z  x    x  y2  z  x y z Bất đẳng thức trở thành:     x2  y2  z2 Ta có: x  x2 y  y2 z  z2   1 x x       x  y  x  z   x  y x  z   1 y y       x  y  y  z   x  y y  z   1 z z       x  z  y  z   x  z y  z  x  x2 x y z  y  y2  z  z2 Dấu “=” xảy x  y  z   3 ... F D B O J C a) Do đường tròn (O) nội tiếp hình vng ABCD nên E F trung điểm cạnh AB, AD  ABF  BCE  EBG  BCG  BGC vuông suy tứ giác AGEF nội tiếp mà AEOF nội tiếp nên điểm A, F , O, G, E... b  26 a2 Phương trình trở thành:  2a  3b   a  b  a  3b    a  b b x 1  26 x   x  30    x  25 a) Điều kiện x  Vậy S  1;25 b) Thay  x  y vào phương trình thứ hai ta... 1  x2  x    x  0;1;3; 2 , thay tìm y Vậy  x; y  1;1; 1; 2 ;  2;1 b) Từ giả thi t xy   y  xy   y Mà ta lại có: x  y  xy  x  y   xy   y   x2  4  y   y 