ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH KĨ THUẬT GIẢI NHANH CÁC CÂU KHÓ VỀ HÀM SỐ PHẦN CỰC TRỊ HÀM SỐ Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y  ax  bx  c cực trị: ab  a  : cực tiểu a  : cực đại cực trị: ab  a  : cực đại, a  : cực đại, cực tiểu cực tiểu  b    b   b4 b b A (0; c), B   ;  , C   ;    AB  AC   , BC       2a a   2a a  16a 2a 2a với   b2  ac  b    x  c AB, AC : y     a  4a Phương trình qua điểm cực trị: BC : y      , ln có: 8a(1  cos)  b3 (1  cos )   cos  b  8a S   b Gọi BAC b3  a 32a3 Phương trình đường tròn qua A , B, C : x  y  c  n  x  c.n  0, với n  ngoại tiếp tam giác R  b  8a 8ab   bán kính đường tròn b 4a ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2(m  m  1) x  2017 m  m có cực trị cho khoảng cách hai cực tiểu A m  0, B m  0, C m  0, m  0, D m  Hướng dẫn: Với a  1, b  2(m  m  1) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 2(m  m  1)   m   2(m  m  1) b   BC    2  hay m  m    (2m  1)2   m  0,  Chọn đáp án 2a 2.1 A Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2(1  m ) x  2017 m  2016 có cực trị cho khoảng cách hai cực tiểu nhỏ A m  B m  C m  m  1 D m  1 Hướng dẫn: Với a  1, b  2(m  1) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 2(m  1)   m   BC   2(m  1) b    m    BC  m  2  2a 2.1  Chọn đáp án B Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2mx  2016 m  2017 có cực trị cho khoảng cách hai cực tiểu cực đại A m  2 B m  m  C m  D m  Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1.(2 m )   m  AB  AC  b4 b (2 m ) (2 m )     m  m , với AB  AC  16a 2a 16.12 2.1 m  m   m  m    (m 1)(m  m  m  2)   m   Chọn đáp án C ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  (2 m  1) x  x  2017 m 2018  2016 có cực trị tạo thành   7 tam giác ABC thỏa mãn A  Oy cosBAC A m  2 B m  1 m  1 C m  4 D m  1 Hướng dẫn: Với a  m  1, b  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: (2 m  1).1   m   cos  b3  8a 13  8.(2 m  1)    144 m  81  112 m  49  m  1 b  8a  8.(2 m  1)  Chọn đáp án D Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  m x  2016 m 2017  2018 m có cực trị tạo thành tam giác ABC có diện tích s thỏa mãn phương trình (3 s  1) s2  s   s2  s  A m  B m  m  C m  D m  Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1.(2m )   m  (3 s  1) s2  s   s2  s   ( s2  s   s)( s2  s   s  1)   s  S2  b5 (2 m )5    (m )5   m   Chọn đáp án A 32.1 32 a Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2(16  m ) x  m 2018  m 2017 có cực trị tạo thành tam giác ABC có diện tích lớn A m  1 B m  C m  1 m  D m  Hướng dẫn: Với a  1, b  2(16  m ) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 2(16  m )   2  m  2(16  m ) b5    (16  m )5  1024  maxS  1024 m  S    32 a3 32  Chọn đáp án B ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2m x  m  có cực trị A , B, C cho bốn điểm A, B, C , O nằm đường tròn A m  1 B m  C m  1 m  D m  Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m , c  m  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1(2 m )   m    b2  ac  4 Phương trình đường tròn qua  A, B, C : x  y  c  n  x  c.n  0, với n   m2   O (0;0) thuộc đường tròn:   c  n   c.n   c.n  hay (m  1) 1    suy m  1  Chọn  m  đáp án C Một số dạng toán hàm số y  ax  bx  c ( chứng minh hình học đơn giản )  b   b  Giả sử hàm số y  ax  bx  c có cực trị A (0; c), B   ;  , C   ;   tạo thành tam giác ABC  a a   2a a   thỏa mãn kiện: Dữ kiện Công thức thỏa ab  1) Tam giác ABC vuông cân A 8a  b3  2) Tam giác ABC 24 a  b3    3) Tam giác ABC có góc BAC 8a  b3 tan 4) Tam giác ABC có diện tích S ABC  S 32 a3 (S )2  b5  5) Tam giác ABC có diện tích max (S ) 6) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rABC  r0 S0   r0  b2  0 b5 32 a3  b3   a 1    a   ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH 7) Tam giác ABC có độ dài cạnh BC  m am 02  2b  8) Tam giác ABC có độ dài AB  AC  n0 16a n02  b  ab  9) Tam giác ABC có cực trị B, C  Ox b2  ac  10) Tam giác ABC có góc nhọn b(8a  b3 )  11) Tam giác ABC có trọng tâm O b2  ac  12) Tam giác ABC có trực tâm O b3  8a  ac  13) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R ABC  R R 14) Tam giác ABC điểm O tạo hình thoi b2  ac  b3  8a 8ab 15) Tam giác ABC có O tâm đường tròn nội tiếp b3  8a  abc  16) Tam giác ABC có O tâm đường tròn ngọai tiếp b3  8a  8abc  17) Tam giác ABC có cạnh BC  kAB  kAC b3 k  8a (k  4)  18) Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích b2  ac 19) Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hồnh b2  8ac  Dạng tốn 1: Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác vng cân A   b b2    b b2  Chứng minh: AB    ; , AC    ;   Từ u cầu tốn, ta có:   a a  a a    b b AB AC      8a  b  2a 16 a2 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y  x  (m  2015) x  2017 có cực trị tạo thành tam giác vuông cân A A m  2017 B m  2014 C m  2016 D m  2015 Hướng dẫn: Với a  1, b  m  2015 Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: (m  2015)   m  2015 Tam giác ABC vuông cân A khi: Cách 1: 8a  b3   8.(1)  (m  2015)3   m  2015   m  2017  Chọn đáp án A Cách 2: A  90 Hướng giải 1: cos  b3  8a () ,vì cosA  nên ()  8a  b3  b3  a Hướng giải 2: 8a  b3 tan  A  () ,vì tan  nên ()  8a  b3  2 Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y  x  2(m  2016) x  2017 m  2016 có cực trị tạo thành tam giác vng cân A A m  2017 B m  2017 C m  2018 D m  2015 Hướng dẫn: Với a  1, b  2(m  2016) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 2(m  2016)   m  2016 Từ 8a  b3   8.1  8(m  2016)3   m  2016  1  m  2017  Chọn đáp án A Dạng tốn 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác   b b2    b  Chứng minh: AB    ; , BC  2  ;0 Từ u cầu tốn, ta có: AB  BC hay   a a  a   b b4 2b     b4  24 ab   b3  24 a  2a 16 a a ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  3(m  2017) x  2016 có cực trị tạo thành tam giác A m  2015 B m  2016 C m  2017 D m  2017 Hướng dẫn: Với a  , b  3(m  2017) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 3(m  2017)   m  2017 Tam giác ABC , : 9 Cách 1: 24 a  b3   24    3(m  2017)   m  2017  1  m  2016    Chọn đáp án B Cách 2: A  60 Hướng giải 1: cos  b3  8a () ,vì cosA  nên ()  2b3  16 a  b3  8a  b3  24 a  b3  a Hướng giải 2: 8a  b3 tan  A  () ,vì tan  nên ()  24 a  b3  2 Ví dụ 2: Nếu đồ thị hàm số y  x  2(m  2020) x  2017 m  2016 có cực trị tạo thành tam giác giá trị tham số m thuộc khoảng nào? A (2015;2017) B (2016;2018) C (2017;2019) D (2017;2020) Hướng dẫn: Với a  9, b  2(m  2020) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 9.2(m  2020)   m  2020 24 a  b3   24.9  2(m  2020)   m  2020  3  m  2017  Chọn đáp án B Dạng tốn 3: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác cân A thỏa   mãn BAC      b AB AC b b4 b4  .cos  Chứng minh: cos     AB AC  AB cos       2 a 16 a  a 16a  AB AC  8a(1  cos)  b3 (1  cos )   cos  b3  a b3  8a ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Cách khác: Gọi H trung điểm BC , tam giác AHC vng H có: tan  HC BC      BC  AH tan   8a  b3 tan  AH AH 2 Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  3 x  (m  2015) x  2016 có cực trị tạo thành tam giác có góc 120 A m  2017 B m  2015 C m  2017 D m  2016 Hướng dẫn: Với a  3, b  m  2015 Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 3.(m  2015)   m  2015 Tam giác ABC có góc 120 , phải có:     120  tan BAC  nên có 8a  3b3   với BAC 2  8.(3)  3(m  2015)   m  2015   m  2017  Chọn đáp án C 8a  b3 tan Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2(m  2018) x  2017 có cực trị tạo thành tam giác có góc 120 A m  2018 B m  2017 C m  2017 D m  2018 Hướng dẫn: Với a  3, b  2(m  2018) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 3.2(m  2018)   m  2018 Từ 8a  b3 tan 60   8.3  8.(m  2018)3   m  2018  1  m  2017  Chọn đáp án C Dạng toán 4: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0      b2  Chứng minh: Gọi H trung điểm BC ln có: H 0;    AH  0;   4a  a   Diện tích S  1 b4  2b  b5 AH BC  S 02      32 a3 (S )2  b5    16a  a  32a3 Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  x  m  có cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m  2 B m  C m  D m  1 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Hướng dẫn: Với a  m , b  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m.2   m  Tam giác ABC có diện tích , : 32 a3 (S )2  b5   32.m    m    m  1  Chọn đáp án D Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  x  2017 m  2016 có cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m  2 B m  C m  D m  1 Hướng dẫn: Với a  m , b  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m.4   m  32 a3 (S )2  b5   32.m (4 )2    m    m  1  Chọn đáp án D Dạng tốn 5: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Chứng minh: maxS  maxS 02   b5 32 a3 Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2(1  m ) x   2017 m  2016 có cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn A m  B m  C m  0, D m  0, Hướng dẫn: Với a  1, b  2(1  m ) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 2(1  m )    m   1  m  S0   b5 nên S  (1  m )5   m   Chọn đáp án A 32 a3 Dạng tốn 6: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác có góc nhọn     AB AC b b4  Chứng minh: BAC  90      AB AC      b(b3  8a)  2 a 16 a AB AC Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  (m  6) x  2017m  2016 m  có cực trị tạo thành tam giác có góc nhọn A m  2 B 2  m  C m  D   m  ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Hướng dẫn: Với a  1, b  (m  6) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1 (m  6)     m    b(8a  b3 )   (m  6) 8.(1)  (m  6)   (m  6) 8  (m  6)3     (m  6)3   2  m   Chọn đáp án B Dạng toán 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r0 Chứng minh: S  p.r0  r0  S0 2S   p AB  BC  CA   b5 32a3 b b4 b  2  a 16 a 2a  r0  b2  b3   a 1     a  Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  2017 m  2015m  2016 có cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp A m  2 B m  C m  D m  Hướng dẫn: Với a  1, b  m Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1(m )   m  Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp , phải có: r0  b2  b3   a 1     a    (m ) 1   (m )3    m  1 1 m3  m   Chọn đáp án C Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2(m  5) x  2016 m  2017 có cực trị tạo thành tam giác có bán kính nội tiếp A m  B m  4 C m  7 D m  7 m  4 Hướng dẫn: Với a  1, b  2(m  5) Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1.2(m  5)   m  5 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH b2 r0   b3   a 1     a   m   2 1   m  7 m   1.(1   8(m  5)  4(m  5)  Chọn đáp án C Dạng tốn 8: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính R0 Chứng minh: Gọi H trung điểm BC , AB.BC.CA AH BC   R 02 AH  AB 4 R0  b b4 b4  b3  a   R0     2  2a 16a  16 a 8ab 2 R 02 Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  x  27 m 2016  2017 có cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính R  A m  2 B m  1 m  2 C m  D m  1 Hướng dẫn: Với a  m , b  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m.1   m  Tam giác ABC đường tròn có bán kính R  R0  , phải có: b3  a 13  8.m     8m  m  m  1  Chọn đáp án D 8ab 8.m.1 Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  x  2017 m  2016 có cực trị tạo thành tam giác có bán kính ngoại tiếp A m  B m  m  C m  1 D m  Hướng dẫn: Với a  m, b  2 Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m (2)   m  R0  b3  8a (2)3  8.m     m  m  m   Chọn đáp án D 8ab 8m.(2) Dạng tốn 9: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị cực trị mà có BC  m ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Chứng minh:  b  m  am 02  2b  2a Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  m x  mx  2016 m  1026 có cực trị mà có BC  A m  B m  m  C m  D m  Hướng dẫn:Với a  m , b  m Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m (m )   m  am 02  2b   m ( )2  2(m )   m (m 1)   m   Chọn đáp án A Dạng tốn 10: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị mà có AB  AC  n0 Chứng minh:  b b4   n0  16 a n02  b4  8ab  2a 16 a2 Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  mx  2016 m 2017  2018m  có cực trị mà có AC  0,75 A m  1 B m  1 m  C m  D m  Hướng dẫn:Với a  m , b  m Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m (m )   m  16a n02  b  8ab   16.m (0, 75)2  (m )  8.m.(m )   m (1  m )   m  1  Chọn đáp án B Dạng toán 11: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác có B, C  Ox Chứng minh: B, C  Ox  y B  yC          b2  ac  4a Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  1008 x  mx  1008 có cực trị tạo thành tam giác có B, C  Ox A m  1008 B m  1008 m  C m  2016 D m  Hướng dẫn:Với a  1008, b  m , c  1008 Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1008.(m )   m  b2  ac   (m )2  4.1008.1008   m  (2016)  m  2016  Chọn đáp án C ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Dạng tốn 12: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Chứng minh: Từ tốn, ln có:    0    b    b  3.0    2a  2a b2      3c   b2  6ac    b2  2a  2 c     c   b   c  3.0     a   4a   Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  336 m có cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm A m  B m  20 m  16 C m  336 D m  2016 Hướng dẫn:Với a  1, b  m , c  336m Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1.m   m  b2  ac   m  6.1.(336 m )   m (m  2016)   m  2016  Chọn đáp án D Dạng tốn 13: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị thành tam giác có trực tâm O Chứng minh:   b b4 b2 c OB AC       b4  8ab  b2 c   b3  8a  ac  2 a 16 a 4a Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  504 m  có cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm A m  12 14 B m  12 m  14 C m  14 D m  504 Hướng dẫn:Với a  1, b  m , c  504 m  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1.m   m  b3  8a  ac   m  8.1  4.1.(504 m  2)   m (m  2016)   m  12 14  Chọn đáp án A Dạng toán 14: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị gốc tọa độ O lập thành hình thoi ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH   b b2    b   Chứng minh: AB    ; , OC    ;   Theo toán, ta có: AB  OC hay   a a  a a   b b4 b b4 2b2 c      c2  2ac  b2 c   b2  2ac  2 2a 16 a a 16a 4a Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  có cực trị gốc tọa độ O lập thành hình thoi A m  B m  4 C m  D m  16 Hướng dẫn:Với a  2, b  m, c  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 2.m   m  b2  2ac   m  2.2.4   m  16  m  4  Chọn đáp án B Dạng tốn 15: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn nội tiếp   b b4 b2 c Chứng minh: AB.OB        b3  8a  abc  2 a 16a 4a Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  x  có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn nội tiếp A m  2 B m  C m  1 D m  Hướng dẫn: Với a  m, b  2, c  2 Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m.2   m  b3  8a  abc    8.m  4.m.2.(2)    8m   m  1  Chọn đáp án C Dạng toán 16: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: OA  OB  c   b b4 2b c    c  b4  8ab2 c  8ab   b3  8a  8abc  a 16 a2 4a Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  x  m 1 có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn ngoại tiếp A m  B m  4 Hướng dẫn: Với a  m, b  1, c  2 m  C m  0, 25 D m  0, 25 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m.1   m  b3  8a  8abc   13  8.(m )  8.(m ).1.(2 m  1)    16 m   m  0, 25  Chọn đáp án D Dạng toán 17: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị lập tam giác có cạnh đáy k lần cạnh bên Chứng minh: BC  kAB   b b b4 k    b3 k  8a(k  4)  2a a 16a Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  2017 m  2016 có cực trị lập tam giác thỏa mãn điều kiện AB  BC A m  B m  2 Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m, k  C m  4 D m  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1.(2 m )   m   2   2 b3 k  8a(k  4)   (2 m )3    8.1       m   m         Chọn đáp án A Dạng toán 18: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị cho trục hồnh chia tam giác ABC có diện tích Chứng minh: Gọi M , N giao điểm đồ thị với trục hồnh, AOM  AHB , H trung điểm BC  S AMN  OA      AH  2OA  b  ac  S ABC  AH  2 Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  x  có cực trị cho trục hồnh chia tam giác ABC có diện tích A m  0, 25 B m  0, 25 C m  0, 25 m  0, 25 D m  4 Hướng dẫn: Với a  m, b  2, c  Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: m   m  b2  ac  ( )2  m.1  m   m  0, 25  Chọn đáp án B Dạng tốn 19: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ax  bx  c có cực trị cách trục hoành ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Chứng minh: d ( A , Ox )  d ( B ;Ox )  y A  y B  ac  b2  ac  b2  8ac  Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  252 m có cực trị cách trục hồnh A m  252 B m  2016 C m  2016 D m  m  2016 Hướng dẫn: Với a  1, b  m , c  252 m Hàm số có cực trị ab  , tức phải có: 1.m   m  b2  8ac   m  8.1.252 m   m (m  2016)   m  2016  Chọn đáp án C PHẦN TIỆM CẬN Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đồ thị hàm số y  Gọi M ( x ; y ) điểm thuộc đồ thị hàm số y  Đồ thị hàm số y  ax  b cx  d  ax  b  ax  b  , nên M  x ; y   cx  d cx  d  ax  b d a có tiệm cận đứng: 1 : x   0, tiệm cận ngang 2 : y   cx  d c c Khoảng cách từ M đến 1 , 2 là: d1  x  Ta có kết sau: d1 d2  cx  d ad  bc ad  bc  p , với p  p  const c c(cx  d ) c2 d1  d2  p  d  p , xảy Ví dụ 1: Tìm đồ thị hàm số y  cận A x  5 x  3 cx  d d a ad  bc  , d2  y0   c c c c(cx  d ) cx  d ad  bc   (cx  d )2  ad  bc c c(cx  d ) x 5 điểm M có hồnh độ x cho M cách hai đường tiệm x 1 B x  C x  D x  x  Hướng dẫn: d1  d2  (cx  d )2  ad  bc  ( x  1)  4  x  5 x  3 ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH  Chọn đáp án A Ví dụ 2: Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y  tiệm cận bằng: A C B Hướng dẫn: p  5x 1 có tích khoảng cách từ điểm M đến hai đường x 1 D ad  bc 5.1 1.1    Chọn đáp án B c2 12 Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ điểm M đến hai x m đường tiệm cận hàm số y  ? x 1 A m  B m  C m  2 m  D m  ad  bc  p   m , d  p d   p  hay  m   m  2 c2 m   Chọn đáp án C Hướng dẫn: p  Một số dạng toán liên quan tiệm cận đồ thị hàm số y  Dạng tốn 1: Tìm đồ thị hàm số y  lần khoảng cách từ M đến 2 Chứng minh: d1  kd2  ax  b cx  d ax  b điểm M cho khoảng cách từ điểm M đến 1 k  cx  d cx  d ad  bc d k  x    kp c c(cx  d ) c x 1 điểm M có hồnh độ x cho khoảng cách từ điểm M đến x 1 tiệm cận đứng lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Ví dụ: Tìm đồ thị hàm số y  A x   x  2 B x  C x   3 D x   x  2 d p 1 Hướng dẫn: d1  kd2  x    kp   x     x   x  k 4 c 2  Chọn đáp án A ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Dạng toán 2: Tìm đồ thị hàm số y  biết I giao điểm hai đường tiệm cận ax  b điểm M cho khoảng cách từ điểm M đến I ngắn nhất, cx  d  ax  b   d a  d , I  ;   IM  p x    p Chứng minh: M  x ;  cx  d   c c  c 3x 1 điểm M có hồnh độ x cho khoảng cách từ điểm M đến x 5 điểm I ngắn nhất, biết I giao điểm hai đường tiệm cận Ví dụ: Tìm đồ thị hàm số y  A x  x  B x  1 C x  9 D x  9 x  1 d Hướng dẫn: IM  p , p  16 x    p  x    x  x  c  Chọn đáp án A ax  b điểm M cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M vng góc cx  d với đường thẳng IM , I giao điểm hai đường tiệm cận Dạng tốn 3: Tìm đồ thị hàm số y  Chứng minh: Hệ số góc đường thẳng IM k  y '( x )  ad  bc (cx  d )2 y0  y I ad  bc  ; tiếp tuyến đồ thị hàm số M có hệ số góc: x0  xI (cx  d )2 Theo tốn, ta phải có: y '( x ).k  1  (cx  d )2  ad  bc x 3 điểm M có hồnh độ x cho tiếp tuyến đồ thị hàm số x 1 M vng góc với đường thẳng IM , I giao điểm hai đường tiệm cận Ví dụ: Tìm đồ thị hàm số y  A x  3 x  B x  5 C x  D x  5 x  Hướng dẫn: (cx  d )  ad  bc  ( x 1)2  4  x  x  3  Chọn đáp án A ax  b ; tiếp tuyến (t ) đồ thị hàm số M cắt hai đường cx  d tiệm cận hai điểm phân biệt A, B diện tích AIB số không đổi, I giao điểm hai đường tiệm cận Dạng toán 4: Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y  Chứng minh: (t ) : y  y0  y '( x )( x  x ) ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH  d 2bc  ad  acx  2(ad  bc)   IA   (t )  1  A  ;   c c(cx  d )  c(cx  d )  d  2acx a  2(cx  d ) (t )  2  B  ;   IB  , M luôn trung điểm AB  c c c IA IB AB AIB vuông I nên: S AIB  IA IB  p S AIB  4R R bán kính đường tròn ngoại tiếp AIB nên minR  p ;min AB  ad  bc c x 1 ; tiếp tuyến (t ) đồ thị hàm số M cắt hai x 2 đường tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Khi diện tích tam giác AIB bao nhiêu, biết I giao điểm hai đường tiệm cận? Ví dụ 1: Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y  A 0, B Hướng dẫn: S AIB  p, p  ad  bc 1.(2) 1.(1)    S AIB   Chọn đáp án D c2 12 C D x 8 , I giao điểm hai đường tiệm cận d1 , d2 x 1 khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Ví dụ 2: Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y  Có phát biểu sau: (1) Khoảng cách IM ngắn M có hồnh độ x  4 x  (2) d1  d2 M có hồnh độ x  7 x  (3) Tích d1 d2 tổng d1  d2 ngắn (4) Tiếp tuyến (t ) đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B diện tích tam giác AIB 18 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB nhỏ 24 Số phát biểu là: A B C d Hướng dẫn: IM  p x    p  1   (1) c d p d1  kd2  x    kp   x  1   (2) k 4 c D ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH d1 d2  p  9, d1  d2  p   (3) sai S AIB  IA IB  p  18; minR  p  24  (4)  Chọn đáp án C PHẦN TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số  Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số cộng Điều kiện cần: Giả sử x1 , x , x nghiệm phương trình ax  bx  cx  d  Khi đó: ax  bx  cx  d  a( x  x1 )( x  x )( x  x ) , đồng hệ số ta x   Thế x   b 3a b vào phương trình ax  bx  cx  d  ta điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số 3a Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax  bx  cx  d  có nghiệm phân biệt  Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử x1 , x , x nghiệm phương trình ax  bx  cx  d  Khi đó: ax  bx  cx  d  a( x  x1 )( x  x )( x  x ) , đồng hệ số ta x   Thế x   d a d vào phương trình ax  bx  cx  d  ta điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số a Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax  bx  cx  d  có nghiệm phân biệt ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH  Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax  bx  c cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số cộng Ta có: ax  bx  c  (1) , đặt t  x  , có : at  bt  c  (2)      Để (1) có nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là:  t1  t      t1 t  Khi (1) có nghiệm phân biệt  t ;  t1 ; t1 ; t lập cấp số cộng khi: t  t1  t1  ( t1 )  t  t1  t  t1 Theo định lý Vi – et t1  t   hợp t1 t  b b 9b suy t1   ; t2   , kết a 10 a 10 a c nên có: ab2  100 a c a Tóm lại: Hàm số y  ax  bx  c cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số cộng, điều kiện cần b2  ac    b    a đủ là:   c    a 9 ab2  100a c  Ví dụ 1: Tìm cơng sai d để đồ thị hàm số y  x  3mx  2mx  m  16 cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số cộng A d  2 C d  2 B d  2 Hướng dẫn: a  1, b  3m  x   D d   b m 3a x  m có: m  3m.m  2m.m  m  16   m  m  m    (m  2)(m  m  4)   m  Với m  x  x  x    ( x  2)( x  x  4)   x  2, x   2  Vậy, x   2;2;2  2  lập cấp số cộng có cơng sai d  2  Chọn đáp án A Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực m để đồ thị hàm số y  x  (3m  1) x  (5m  4) x  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số nhân A m  2 B m  C m  D khơng có m ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Hướng dẫn: a  1, d  8  x   d 2 a x  có:  (3m  1)2  (5m  4)2    m  Với m  x  x  14 x    ( x  2)( x  x  4)   x  2, x  1, x  Vậy, x  1;2;  lập cấp số nhân  Chọn đáp án B Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực m để đồ thị hàm số y  x  2(m  2) x  m  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số nhân A m  13 B m  C m  D m  1 Hướng dẫn: a  1; b  2(m  2); c  2 m   2(m  2) 2  4(1)(2 m  3)  b2  ac             m  1 b 2(m  2)     m    0 0       a 1     m    13   2m   m   c     0 0    13   1  m   a         2     9 ab  100 a c 9.(1) 2(m  2)   100.(1) (2 m  3)  Chọn đáp án C Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao đường thẳng y  kx  p đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Giả sử d : y  kx  p cắt đồ thị hàm số y  ax  b điểm phân biệt M , N cx  d ax  b cho ta phương trình có dạng: Ax  Bx  C  thỏa điều kiện cx  d  , có   B  AC Khi cx  d   đó: 1) M ( x1 ; kx1  p), N ( x ; kx  p)  MN  ( x  x1 ; k ( x  x1 ))  MN  (k  1) A Với kx  m  Chú ý: MN tồn , k  const 2) OM  ON  (k  1)( x12  x 22 )  ( x1  x )2 kp  p   3) OM ON  ( x1 x )(1  k )  ( x1  x ) kp  p2 4) OM  ON  ( x1  x )(1  k )  kp  ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm số y  phân biệt M , N cho MN  A m  2 Hướng dẫn: x  m  B m  D khơng có m 2x   x  mx  m   0, x  1 có   m  8m  16 x 1 Với k  2, A  MN  (k  1) Ta có: C m  2x  điểm x 1   (m  8m  16) A2 (m  8m 16)   m  8m  20   m  2 m  10 thỏa    Chọn đáp án A Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm số y  phân biệt M , N cho MN ngắn A m  2 Hướng dẫn: x  m  B m  C m  x 1 điểm x 2 D m  2 x 1  x  (m  4) x  m   0, x  2 có   m  12 x 2 Với k  1, A  MN  (k  1)   2. , MN ngắn tồn  A2 Ta có:   m  12  12    12 m  0, MN   Chọn đáp án B Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y  mx  m  cắt đồ thị hàm số y  phân biệt M , N cho MN  A m  2 B m  Hướng dẫn: mx  m   D m  2x  mx  mx  m   0, x  có   8m   m  x 1 Với k  m , A  m MN  (m  1) đáp án C C m  2x điểm x 1  8m 1  m   MN   m   (m 1)2   m   Chọn   m m m ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HOÀI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH Chú ý: Do m  nên m  1   MN   MN  m   m  m  m m Ví dụ 4: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm số y  phân biệt M , N cho OMN vuông O A m  1 B m  C m  x 2 điểm 2x  D m  4 x 2  x  (2 m  3) x  m   0, x  có   m  m  25 2x    OMN vuông O OM ON   ( x1 x )(1  k )  ( x1  x ) kp  p  Hướng dẫn: x  m  Với k  1, A  2, p  m có: (m 1)(1  12 )  ( 2m  )1.m  m   m  4  Chọn đáp án D Ví dụ 5: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm số y  phân biệt M , N cho OMN cân O A m  0, 25 Hướng dẫn: x  m  B m  C m  x 1 điểm 2x D m  4 x 1  x  (2 m  1) x   0, x  có   m  m  2x OMN cân O nên có OM  ON  ( x1  x )(1  k )  kp   2m  1 Với k  1; A  2, p  m có:  (1  12 )  2.1.m   m 1   m     Chọn đáp án A Ví dụ 6: Tìm tất giá trị thực m  để đường thẳng d : y  x  2m cắt đồ thị hàm số y    điểm phân biệt M , N cho OM ON   A m  2, B m  2 Hướng dẫn: x  m  2x  m  x  2mx   0, m  0, x   mx  m Với k  2, A  2, p  2m C m   D m  2x m mx  ELEPHANT MATH – THẠC SĨ PHẠM HỒI TRUNG ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP CAO LÃNH GỌI 0972 611 839 TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH    1 5 OM ON      (1  2 )  (m ).2.(2 m )  (2 m )   , m    Chọn đáp án D   2 ...  Chọn đáp án C PHẦN TIỆM CẬN Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đồ thị hàm số y  Gọi M ( x ; y ) điểm thuộc đồ thị hàm số y  Đồ thị hàm số y  ax  b cx  d  ax  b  ax... tất giá trị tham số m để hàm số y  x  2mx  2016 m  2017 có cực trị cho khoảng cách hai cực tiểu cực đại A m  2 B m  m  C m  D m  Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m Hàm số có cực trị ab...   c.n   c.n  hay (m  1) 1    suy m  1  Chọn  m  đáp án C Một số dạng toán hàm số y  ax  bx  c ( chứng minh hình học đơn giản )  b   b  Giả sử hàm số y  ax  bx  c