2 0 0 8 Tailieuonthi Chủ đề 5. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz 1. Các bài toán tính toán. Loại 1. Tính các khoảng cách (giữa hai điểm, từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, giữa hai đường thẳng). Tính (độ dài các cạnh, chu vi, diện tích, đường cao, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ). Loại 2. Tính thể tích các khối (tứ diện, chóp, hộp, .) và tính chiều cao của các khối đó. Loại 3. Tính góc giữa ( 2 vectơ, 2 đường thẳng, 2 mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng). Phương pháp: p dụng công thức (xem bảng tóm tắt các công thức) 2. Các bài toán chứng minh. Dùng vectơ (cùng phương, tích vô hướng, tích có hướng, tích hỗn tạp) chứng minh (một hệ thức vectơ, 3 điểm A, B, C thẳng hàng, 3 điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện, tính song song, tính vuông góc). Phương pháp: p dụng các mệnh đề (xem bảng tóm tắt các công thức) 3. Các bài toán về mặt phẳng Bài toán 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) khi biết: Loại 1a. ( 16 dạng SGK ) º 1 điểm và 1 vectơ pháp tuyến º đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng º đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng º mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng º đi qua 3 điểm không thẳng hàng º đi qua 2 điểm phân biệt và vuông góc với 1 mặt phẳng º mặt phẳng theo đoạn chắn º đi qua 1 điểm, song song với 1 đường thẳng và vuông góc với 1 mặt phẳng º đi qua 1 điểm và qua giao tuyến của 2 mặt phẳng (qua 1 điểm và 1 đường thẳng) º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và song song với 1 đường thẳng (qua 1 đường thẳng và song song với 1 đường thẳng) º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và vuông góc với 1 mặt phẳng (qua 1 đường thẳng và vuông góc với 1 mặt phẳng) º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và song song với 1 mặt phẳng (qua 1 đường thẳng và song song với 1 mặt phẳng) º mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi 2 mặt phẳng º mặt phẳng phân giác của góc chứa 1 điểm cho trước nằm trong miền của góc tạo bởi 2 mặt phẳng º mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại tiếp điểm (tiếp diện) º mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và song song với 1 mặt phẳng. Loại 1b. ( 11 dạng bổ sung) º chứa 2 đường thẳng song song º chứa 2 đường thẳng cắt nhau º qua 1 điểm và song song với 2 đường thẳng chéo nhau º song song với 1 mặt phẳng và cách 1 điểm một khoảng d º song song với 1 mặt phẳng và chúng cách nhau 1 khoảng d cho trước º song song với 2 đường thẳng chéo nhau và cách đều hai đường thẳng đó º qua 2 điểm phân biệt và song song với 1 đường thẳng º qua 1 điểm và vuông góc với 2 mặt phẳng cắt nhau º tiếp xúc với mặt cầu và song song với 2 đường thẳng chéo nhau º chứa 1 đường thẳng và tiếp xúc với 1 mặt cầu º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và vuông góc với 1 đường thẳng (qua 1 đường thẳng và vuông góc với 1 đường thẳng) Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 1 2 0 0 8 Tailieuonthi ❒ Phương pháp chung: Phương pháp 1 (dùng vectơ pháp tuyến ) Phương pháp 2 (dùng chùm mặt phẳng) Cách 1. ( tìm được điểm M 0 thuộc (P) ) b1. Tìm 1 VTPT của (P): p n (A;B;C) = uur b2. Tìm 1 điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ (P) b3. ADCT (P): A(x–x 0 )+B(y–y 0 )+C(z–z 0 ) = 0 (thu gọn về dạng Ax+By+Cz+D = 0) Cách 2. ( không tìm được điểm M 0 thuộc (P) ) b1. Tìm 1 VTPT của (P): p n (A;B;C) = uur ⇒ (P): Ax+By+Cz+D = 0 (1) b2. Tính D : tìm 1 yếu tố khác b3. Kết luận (thay D = ? vào (1)) Cho (d): ( ) ( ) Ax By Cz D 0 A'x B'y C'z D' 0  + + + = α   + + + = β   Với: f(x;y;z) = Ax+By+Cz+D g(x;y;z) = A’x+B’y+C’z+D’ Mặt phẳng (P) chứa (d) hoặc (P) đi qua giao tuyến (d) của 2 mặt phẳng (α) và (β) b1. Mặt phẳng (P) có dạng (P): m.f(x;y;z)+n.g(x;y;z) = 0 (m 2 +n 2 ≠ 0) b2. Tìm m và n (tùy theo đề bài) b3. Kết luận Bài toán 2. Xét vò trí tương đối của 2 mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 và (Q): A’x+B’y+C’z+D’ = 0 ❒ Phương pháp: b1. Tìm: p n (A;B;C) = uur là VTPT của (P) và Q n (A;B;C) = uur là VTPT của (Q) b2. Xét sự cùng phương của 2 vectơ p n uur và Q n uur . Tính: p Q [n ,n ] ?= uur uur p Q [n ,n ] 0 ≠ uur uur r ( p Q n k.n≠ uur uur ) p Q [n ,n ] 0= uur uur r ( p Q n k.n = uur uur ) Kết luận: (P) và (Q) cắt nhau i). Tính tỉ số: D D' và so sánh với A A' ii). Kết luận: + A D A' D' ≠ : (P) // (Q) + A D A' D' = : (P) ≡ (Q) Notes: Ta có º (P) cắt (Q) ⇔ p Q n ,n uur uur không cùng phương ⇔ A : B : C A' : B' : C' ≠ º (P) ≡ (Q) ⇔ p Q 0 0 n ,n cùng phương M (P) M (Q)    ∈ ⇒ ∈   uur uur ⇔ A B C D A' B' C' D' = = = º (P) // (Q) ⇔ p Q 0 0 n ,n cùng phương M (P) M (Q)    ∈ ⇒ ∉   uur uur ⇔ A B C D A' B' C' D' = = ≠ Bài toán 3. Viết phương trình các mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng (P 1 ): A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 và (P 2 ): A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 = 0 ❒ Phương pháp: p dụng công thức phương trình các mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi 2 mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C + + + + + + = + + + + ⇔ 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C + + + + + + = ± + + + + Bài toán 4. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M 1 (x M ; y M ; z M ) Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 2 2 0 0 8 Tailieuonthi tạo bởi 2 mặt phẳng (P 1 ): A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 và (P 2 ): A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 = 0 ❒ Phương pháp: Bổ đề 1. Cho mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 ) Ta có: f(M) = Ax M + By M + Cz M + D và f(N) = Ax N + By N + Cz N + D i). f(M).f(N) < 0 ⇔ M, N khác phía đối với mặt phẳng (P) ii). f(M).f(N) > 0 ⇔ M, N cùng 1 phía đối với mặt phẳng (P) Cách 1. ( áp dụng bổ đề 1 ) b1. Đặt f(x;y;z) = A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 và g(x;y;z) = A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 M(x;y;z) (P) ∀ ∈ , với (P) là mặt phẳng phân giác cần tìm. Ta có: 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 M,M cùng phía đối với (P ) M,M cùng phía đối với (P ) A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C       + + + + + +  =  + + + +  ⇔ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 f(M).f(M ) 0 g(M).g(M ) 0 A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C   >   >   + + + + + +  =  + + + +  b2. Kết luận: (tùy theo dấu của f(M).f(M 1 ) và g(M).g(M 1 ) mà chọn ra mặt phẳng cần tìm) Bổ đề 2. Cho mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 ) Ta có: f(M) = Ax M + By M + Cz M + D i). f(M) > 0 ⇔ Ax+By+Cz+D > 0 ii). f(M) < 0 ⇔ Ax+By+Cz+D < 0 Cách 2. ( áp dụng bổ đề 2 ) b1. Tính: º Từ (P 1 ) suy ra f(M) = A 1 x M + B 1 y M + C 1 z M + D 1 º Từ (P 2 ) suy ra g(M) = A 2 x M + B 2 y M + C 2 z M + D 2 b2. Kết luận: ( tùy theo dấu của f(M).g(M) mà chỉ ra mặt phẳng cần tìm theo bảng sau đây) f(M).g(M) > 0 f(M).g(M) < 0 Mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C + + + + + + = + + + + + Mặt phẳng phân giác của miền góc không chứa điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C + + + + + + = − + + + + Mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C + + + + + + = − + + + + Mặt phẳng phân giác của miền góc không chứa điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C + + + + + + = + + + + + Bài toán 5. Tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 3 2 0 0 8 Tailieuonthi ❒ Phương pháp: H là hình chiếu của M lên (P) ⇔ MH ⊥ (P) tại H b1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P). b2. Tọa độ H là nghiệm của hệ: .(d) .(P)    b3. Kết luận Bài toán 6. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 ) ❒ Phương pháp: M’ đối xứng với M qua (P) ⇔ MM' (P) tại H HM HM' ⊥    = −   uuur uuuur b1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P). b2. Tọa độ H là nghiệm của hệ: .(d) .(P)    b3. Tọa độ M’ : x M’ = 2x H –x M ; y M’ = 2y H –y M ; z M’ = 2.z H –z M b3. Kết luận Bài toán 7. Cho hai điểm phân biệt A, B và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 ) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM + BM nhỏ nhất ❒ Phương pháp b1. Xét vò trí của A, B với mặt phẳng (P) Tính: f(A).f(B) = ( Ax A +By A +Cz A +D ).( Ax B +By B +Cz B +D ) b2. Ta có: f(A).f(B) < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P) f(A).f(B) > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P) + Ta có: AM+BM ≥ AB AM+BM nhỏ nhất ⇔ M (P) A,B,M thẳng hàng ∈    ⇔ { } M (P) (AB) = ∩ + Viết phương trình (AB) + Tọa độ M là nghiệm của hệ: .(P) .(AB)    + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P). Ta có: AM+BM = A’M+BM ≥ AB AM+BM nhỏ nhất ⇔ A’M+BM nhỏ nhất ⇔ M (P) A',B,M thẳng hàng ∈    ⇔ { } M (P) (A'B) = ∩ + Viết phương trình (A’B) + Tọa độ M là nghiệm của hệ: .(P) .(A'B)    b3. Kết luận tọa độ M Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 4 2 0 0 8 Tailieuonthi 4. Các bài toán về đường thẳng (trong không gian) Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng (d) khi biết: Loại 1a. ( 14 dạng SGK ) º 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương º qua 2 điểm phân biệt º qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng º là giao tuyến của 2 mặt phẳng (bắt buộc) º là hình chiếu của 1 đường thẳng lên 1 mặt phẳng º qua 1 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng º qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng º song song với 1 đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng khác º qua 1 điểm và cắt cả hai đường thẳng º nằm trong 1 mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng º là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau º vuông góc với 1 mặt phẳng và cắt cả 2 đường thẳng º đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt đường thẳng thứ hai º qua giao điểm của 1 đường thẳng và mặt phẳng, nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng đó (12/107sgk). Loại 1b. ( 12 dạng bổ sung ) º là đường cao của tam giác º là đường trung trực của tam giác º là đường trung tuyến của tam giác º là các đường phân giác của tam giác º là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó) º qua trực tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó º đi qua 1 điểm, vuông góc và cắt 1 đường thẳng cho trước º đi qua 1 điểm, cắt 1 đường thẳng và song song với 1 mặt phẳng cho trước º đi qua 1 điểm và cùng song song với 2 mặt phẳng cho trước º là đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cho trước º vuông góc với 1 đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng cho trước º đi qua 1 điểm, song song với 1 mặt phẳng và vuông góc với 1 đường thẳng cho trước. ❒ Phương pháp chung: phương pháp 1 ( vectơ chỉ phương ) phương pháp 2 ( giao tuyến ) Cách 1: b1. Tìm 1 VTCP của (d): d u (a;b;c) = uur b2. Tìm 1 điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ (d) b3. Kết luận (áp dụng công thức) º PT tham số (d): 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  ( ) t R ∈ º PT chính tắc (d): 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = Cách 2: b1. Tìm hai điểm phân biệt A, B ∈ (d) b2. Kết luận (áp dụng công thức) (d): A A A B A B A B A x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − b1. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) (P): Ax+By+Cz+D = 0 b2. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) (Q): A’x+B’y+C’z+D’ = 0 b3. Kết luận (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) ⇒ (d): Ax By Cz D 0 A'x B'y C'z D' 0 + + + =   + + + =  Bài toán 2. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng (d): 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 5 2 0 0 8 Tailieuonthi và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ❒ Phương pháp phương pháp 1 phương pháp 2 b1. Tìm: º điểm M 0 ∈ d và 1 VTCP của d là d u uur º 1 VTPT của (P) là p n uur b2. Tính: d p u .n uur uur = ? d p u .n 0≠ uur uur d p u .n 0= uur uur d cắt (P) º Thay tọa độ M 0 vào (P) i). M 0 ∉ (P): d // (P) ii). M 0 ∈ (P): d ⊂ (P) b3. Kết luận b1. Viết phương trình tham số của (d) b2. Thay phương trình tham số của (d) và (P). Ta được: phương trình f(t) = 0 (1) b3. Kết luận º (1) vô nghiệm ⇔ d // (P) º (1) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ (P) º (1) có nghiệm t = t 0 ⇔ d cắt (P) Notes: Thay t = t 0 vào phương trình tham số của (d) ta được tọa độ giao điểm của (d) và (P) Notes: º M 0 ∈ d và d u uur là 1 VTCP của d º p n uur là 1 VTPT của (P). Ta có: º d cắt (P) ⇔ d u uur và p n uur không vuông góc ⇔ d p u .n 0≠ uur uur º d // (P) ⇔ d p u n ⊥ uur uur và điểm M 0 ∉ (P) ⇔ d p 0 0 0 u .n 0 Ax By Cz D 0  =   + + + ≠   uur uur º d ⊂ (P) ⇔ d p u n ⊥ uur uur và điểm M 0 ∈ (P) ⇔ d p 0 0 0 u .n 0 Ax By Cz D 0  =   + + + =   uur uur º Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ phương trình : 0 0 0 x x y y z z a b c Ax By Cz D 0 − − −  = =    + + + =  Bài toán 3. Xét vò trí tương đối của giữa hai đường thẳng (d 1 ): 1 1 1 1 1 1 x x y y z z a b c − − − = = và (d 2 ): 2 2 2 2 2 2 x x y y z z a b c − − − = = ❒ Phương pháp phương pháp 1 phương pháp 2 b1. Tìm: º điểm M 1 ∈ d 1 và 1 VTCP của d 1 là 1 u uur º điểm M 2 ∈ d 2 và 1 VTCP của d 2 là 2 u uur b2. Tìm tọa độ: 1 2 MM uuuuur và 1 2 [u ,u ] uur uur 1 u uur và 2 u uur cùng phương ( 1 2 [u ,u ] 0 = uur uur r ) không cùng phương ( 1 2 [u ,u ] 0 ≠ uur uur r ) Tính: 1 2 1 [MM ,u ] ? = uuuuur uur 1 2 1 [MM ,u ] 0 = uuuuur uur r : d 1 ≡ d 2 1 2 1 [MM ,u ] 0 ≠ uuuuur uur r : d 1 // d 2 Tính: D = 1 2 1 2 [u ,u ].MM uur uur uuuuur D = 0 : d 1 cắt d 2 D ≠ 0: d 1 ,d 2 chéo nhau b3. Kết luận b1. Tìm phương trình tham số của (d 1 ) và tìm phương trình tổng quát của (d 2 ) b2. Thay PTTS của (d 1 ) vào PTTQ của (d 2 ). Ta được hệ phương trình theo t có dạng  =  =  f(t) 0 g(t) 0 (1) b3. Kết luận º (1) vô số nghiệm ⇔ d 1 ≡ d 2 º (1) có nghiệm t = t 0 ⇔ d 1 cắt d 2 [thế t = t 0 vào PTTS (d 1 ) tìm tọa độ giao điểm] º (1) vô nghiệm ⇔ d 1 // d 2 hoặc d 1 chéo d 2 i). 1 u uur , 2 u uur cùng phương: d 1 // d 2 ii). 1 u uur , 2 u uur không cùng phương: d 1 chéo d 2 Notes: º M 1 ∈ d 1 và 1 u uur là 1 VTCP của d 1 º M 2 ∈ d 2 và 2 u uur là 1 VTCP của d 2 . Ta có: i). d 1 , d 2 đồng phẳng ⇔ 1 2 1 2 [u ,u ].MM 0 = uur uur uuuuur Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 6 2 0 0 8 Tailieuonthi º d 1 cắt d 2 ⇔ 1 2 1 2 1 2 u ,u không cùng phương [u ,u ].MM 0    =   uur uur uur uur uuuuur ⇔ 1 2 1 2 1 2 [u ,u ] 0 [u ,u ].MM 0  ≠   =   uur uur r uur uur uuuuur º d 1 // d 2 ⇔ 1 2 1 2 1 u ,u cùng phương MM , u không cùng phương      uur uur uuuuur uur ⇔ 1 2 1 2 1 [u ,u ] 0 [M M ,u ] 0  =   ≠   uur uur r uuuuur uur r º d 1 ≡ d 2 ⇔ 1 2 1 2 1 u ,u cùng phương MM ,u cùng phương      uur uur uuuuur uur ⇔ 1 2 1 2 1 [u ,u ] 0 [MM ,u ] 0  =   =   uur uur r uuuuur uur r º Tọa độ giao điểm của d 1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x x y y z z a b c x x y y z z a b c − − −  = =    − − −  = =   ii). d 1 , d 2 không đồng phẳng: º d 1 , d 2 chéo nhau ⇔ 1 2 1 2 [u ,u ].MM 0 ≠ uur uur uuuuur Bài toán 4. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d): 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = ❒ Phương pháp: H là hình chiếu của M lên (d) ⇔ MH ⊥ (d) tại H Cách 1: b1. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với (d) b2. Tọa độ H ( { } d (P) H ∩ = ) là nghiệm của hệ: (P) .(d)    b3. Kết luận Cách 2: b1. Đổi phương trình (d) ra dạng phương trình tham số. Ta có (d): 0 0 0 x x at y y bt (t R) z z ct = +   = + ∈   = +  b2. Lấy điểm H thuộc (d), ta được H(x 0 +a.t ; y 0 +b.t ; z 0 +c.t ). Tính tọa độ MH uuur b3. Tìm t: dùng tính chất MH uuur ⊥ d u uur ⇔ d 0 MH.u 0 t t = ⇒ = uuur uur b4. Kết luận ( thay t = t 0 vào điểm H ) Bài toán 5. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d): 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 7 (d) H M 2 0 0 8 Tailieuonthi ❒ Phương pháp: M’đối xứng với M qua (d) ⇔ MM' d tại H HM HM' ⊥    = −   uuur uuuur b1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d) b2. Tọa độ H ( { } d (P) H ∩ = ) là nghiệm của hệ: (P) .(d)    b3. M’ đối xứng với M qua (d) ⇒ H là trung điểm MM’ ⇒ M' H M M' H M M' H M x 2x x y 2y y z 2z z = −   = −   = −  b3. Kết luận Bài toán 6. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). Biết: (d): 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = và (P): Ax+By+Cz+D = 0 ❒ Phương pháp: b1. Ta có: (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) ⇒ (d') (P) (Q) = ∩ , với (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P) b2. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P) b3. Kết luận (d') (P) (Q) = ∩ ⇒ (d’): .(P) .(Q)    Notes: bước 1. có thể nêu ngắn gọn bằng ký hiệu như sau: (P) d' hc (d) = ⇒ (d') (P) (Q) = ∩ , với: (Q) (d) (Q) (P) ⊃   ⊥  Bài toán 7. Tìm điểm M(x M ; y M ; z M ) trên đường thẳng (d) sao cho biểu thức A = 2 2 2 M M M x y z + + đạt giá trò nhỏ nhất. ❒ Phương pháp b1. Tìm phương trình tham số của (d): 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  và M ∈ (d) ⇒ M(x 0 +at; y 0 +bt; z 0 +ct) b2. Tính giá trò biểu thức A theo t: A = 2 2 2 M M M x y z + + = f(t) b3. Tìm GTNN của f(t) b4. Kết luận Bài toán 8. Viết phương trình đường vuông góc chung (d) của hai đường thẳng chéo nhau (d 1 ): 1 1 1 1 1 1 x x y y z z a b c − − − = = và (d 2 ): 2 2 2 2 2 2 x x y y z z a b c − − − = = ❒ Phương pháp: (d) là đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) ⇔ { } { } 1 1 2 2 (d) (d ),(d) (d ) A (d) (d ),(d) (d ) B  ⊥ ∩ =   ⊥ ∩ =   phương pháp 1 ( vectơ chỉ phương ) phương pháp 2 ( giao tuyến ) Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 8 (d) M' H M 2 0 0 8 Tailieuonthi b1. Tìm PTTS của (d 1 ) và (d 2 ). + { } 1 (d) (d ) A ∩ = ⇒ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x a t A (d ) : y y b t z z c t = +   ∈ = +   = +  ⇒ A(x 1 +a 1 t 1 ; y 1 +b 1 t 1 ; z 1 +c 1 t 1 ) (1) + { } 2 (d) (d ) B ∩ = ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x a t B (d ) : y y b t z z c t = +   ∈ = +   = +  ⇒ B(x 2 +a 2 t 2 ; y 2 +b 2 t 2 ; z 2 +c 2 t 2 ) (2) + Tìm tọa độ AB uuur = ? (3) b2. Tìm các tham số t 1 , t 2 + Ta có: 1 2 AB u AB u  ⊥   ⊥   uuur uur uuur uur ⇔ 1 2 AB.u 0 AB.u 0  =   =   uuur uur uuur uur ⇔ 1 2 1 2 f(t ,t ) 0 g(t ,t ) 0 =   =  ⇔ 1 2 t u t v =   =  + Thay t 1 = u , t 2 = v vào (1) và (2) tìm tọa độ A, B. b3. Kết luận phương trình đường vuông góc chung là (AB): A A A B A B A B A x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − b1. Tìm VTCP của (d) + Tìm: 1 1 1 1 M (d ) VTCP (d ) : u ∈      uur và 2 2 2 2 M (d ) VTCP (d ) : u ∈      uur + VTCP của (d) là d 1 2 u [u ,u ] = uur uur uur b2. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và (d 1 ) + VTPT của (P) là P d 1 n [u ,u ] = uur uur uur + M 1 ∈ (d 1 ) và (d 1 ) ⊂ (P) ⇒ M 1 ∈ (P) ( có thể dùng chùm mặt phẳng tìm phương trình (P) ) b3. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và (d 2 ) + VTPT của (Q) là Q d 2 n [u ,u ] = uur uur uur + M 2 ∈ (d 2 ) và (d 2 ) ⊂ (Q) ⇒ M 2 ∈ (Q) ( có thể dùng chùm mặt phẳng tìm phương trình (Q) ) b4. Kết luận (d)= (P) ∩ (Q) ⇒ (d): .(P) .(Q)    Notes: Nếu (d 1 ), (d 2 ) chéo nhau và vuông góc với nhau thì lập phương trình đường vuông góc chung như sau: b1. Lập phương trình mặt phẳng (R 1 ) chứa (d 1 ) và vuông góc với (d 2 ) b2. Lập phương trình mặt phẳng (R 2 ) chứa (d 2 ) và vuông góc với (d 1 ) b3. Kết luận (d) = (R 1 ) ∩ (R 2 ) ⇒ (d): 1 2 .(R ) .(R )    Bài toán 9. Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau (d 1 ): 1 1 1 1 1 1 x x y y z z a b c − − − = = và (d 2 ): 2 2 2 2 2 2 x x y y z z a b c − − − = = ❒ Phương pháp: Cách 1: b1. Tìm giao điểm A của (d 1 ) và (d 2 ). Chọn 1 điểm B trên (d 1 ) sao cho B ≡ A b2. Tìm PTTS (d 2 ) và lấy 1 điểm C trên (d 2 ) sao cho AC = AB. Từ đó suy ra tọa độ C 1 và C 2 b3. Viết phương trình các đường phân giác của · 1 2 (d ,d ) + phương trình đường phân giác thứ I ( 1 ∆ ): ∆ ABC 1 cân tại A ⇒ tọa độ trung điểm K của BC 1 ⇒ ( 1 ∆ ): A A A K A K A K A x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − + phương trình đường phân giác thứ II ( 2 ∆ ): ∆ ABC 2 cân tại A ⇒ tọa độ trung điểm J của BC 2 ⇒ ( 2 ∆ ): A A A J A J A J A x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − Cách 2: b1. Tìm: + giao điểm A của (d 1 ) và (d 2 ). Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 9 2 0 0 8 Tailieuonthi + d1 u uur là VTCP (d 1 ) và lấy điểm B trên (d 1 ) sao cho d1 d1 u AB u = uur uuur uur + d2 u uuur là VTCP (d 2 ) và lấy điểm C trên (d 2 ) sao cho d2 d2 u AC u = uuur uuur uuur b2. Chứng minh ∆ ABC cân tại A ( chứng minh AB = AC ) b3. Viết phương trình các đường phân giác của · 1 2 (d ,d ) + phương trình đường phân giác thứ I ( 1 ∆ ): 1 qua A VTCP v AB AC    = +   uur uuur uuur + phương trình đường phân giác thứ II ( 2 ∆ ): 2 qua A VTCP v AB AC    = −   uur uuur uuur 4. Các bài toán về mặt cầu Bài toán 1. Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 –2ax–2by–2cz+d = 0 ❒ Phương pháp Cách 1 Cách 2 b1. Dùng phương pháp đồng nhất, từ phương trình mặt cầu (S) suy ra a =?, b = ?, c = ?, d = ? b2. Chứng minh: M = a 2 +b 2 +c 2 –d > 0 b3. Kết luận: Tâm I(a; b; c) và bán kính R = M b1. Dùng các hằng đẳng thức: (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 , (A–B) 2 = A 2 –2AB+B 2 biến đổi phương trình của (S) về dạng (S): (x–a) 2 +(y–b) 2 +(z–c) 2 = R 2 b2. Kết luận: Tâm I(a; b; c) và bán kính R Bài toán 2. Viết phương trình mặt cầu (S) khi biết: Loại 1. º tâm I và bán kính R º hai đầu mút của đường kính º tâm nằm trên 1 đường thẳng và tiếp xúc với hai mặt phẳng º tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng Loại 2. º qua 4 điểm không đồng phẳng ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ) º qua 3 điểm không thẳng hàng và có tâm nằm trên 1 mặt phẳng ❒ Phương pháp Cách 1 (loại 1) Cách 2 (loại 2) b1. Phương trình mặt cầu (S) có dạng (S): (x–a) 2 +(y–b) 2 +(z–c) 2 = R 2 b2. Tìm: Tâm I(a; b; c) và bán kính R b3. Kết luận b1. Phương trình mặt cầu (S) có dạng (S): x 2 +y 2 +z 2 –2ax–2by–2cz+d = 0 b2. Tìm: a, b, c và d b3. Kết luận Bài toán 3. Xét vò trí tương đối của mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 –2ax–2by–2cz+d = 0 Trần Chí Thanh chithanhtranvl@gmail.com Page 10 [...]... º d > R ⇔ (P) không cắt (S) ( (P) ∩ (S) = ∅ ) º d = R ⇔ (P) tiếp xúc với (S) tại điểm M0 ( (P) ∩ (S) = { M0 } và M0 là tiếp điểm) º d < R ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn (C) ( (P) ∩ (S) = (C) ) Bài toán 5 Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến ( đường tròn trong không gian )  x2 + y 2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (S) (C):   Ax + By + Cz + D = 0 (P) ❒ Phương pháp b1 Tìm tâm I(a; b; c) và bán . 2 0 0 8 Tailieuonthi Chủ đề 5. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz 1. Các bài toán tính toán. Loại. một tứ diện, tính song song, tính vuông góc). Phương pháp: p dụng các mệnh đề (xem bảng tóm tắt các công thức) 3. Các bài toán về mặt phẳng Bài toán 1.