Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM : 1. Hệ tọa độ : Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là gốc tọa độ; x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung.Trong đó: → i = (1; 0) và → j = (0;1) là các vectơ đơn vò trên các trục.Ta có: → i = → j =1 và → i . → j =0. 2. Tọa độ của vectơ : → u = (x ; y) ⇔ → u = x. → i + y. → j . 3. Tọa độ của điểm : → OM = (x ; y) ⇔ M(x ; y) x: hoành độ và y: tung độ của điểm M 4. Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxy cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) và các vectơ → a =(a 1 ; a 2 ) và → b = (b 1 ; b 2 ). Ta có: a) → a ± → b = ( a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ). b) → ak = (ka 1 ; ka 2 ) (k là số thực). c) Tích vô hướng: → a . → b = a 1 b 1 + a 2 b 2. Hệ quả: 1. | a|  = 2 2 2 1 aa + . 2. 2 2 2 1 2 2 2 1 2211 bb.aa b.a b. a )b,acos( ++ + =   3. → a ⊥ → b ⇔ a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0. d) → a = → b ⇔    = = 22 11 ba ba e) → a , → b cùng phương ⇔        =−= =⇔=∈∃ →→ 0baba b b a a a b a b a.kb:Rk 1221 21 21 2 2 1 1 f) Tọa độ của vectơ: → AB =(x B −x A ;y B −y A ). g) Khoảng cách: 2 AB 2 AB )y-(y)x-(x | AB | AB +== → h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k≠1) ⇔ → MA = k. → MB . Khi đó tọa độ của M tính bởi: k1 kxx x BA M − − = và k1 kyy y BA M − − = M là trung điểm AB ta có: 2 xx x BA M + = và 2 yy y BA M + = 5. Kiến thức về tam giác : Cho A(x A ;y A ),B(x B ; y B ) và C(x C ; y C ). a) Trọïng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến): G là trọng tâm ∆ ABC: 3 xxx x CBA G ++ = ; 3 yyy y CBA G ++ = b) Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):      ⊥ ⊥ ⇔∆ →→ →→ CABH BCAH tâm trựclà H      = = ⇔ →→ →→ 0CA.BH 0BC.AH c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực): I(a;b) là tâm của (ABC) ⇔ AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC)).Giải hệ AI 2 =BI 2 và BI 2 =CI 2 ⇒ Tọa độ của I. d)Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các góc của tam giác): Tâm K của đường tròn nội tiếp ∆ ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k: Vì 1 k AC AB DC DB =−= → → nên D chia BC theo tỉ số k 1 ⇒Tọa độ của D. Vì 2 k BD BA KD KA =−= → → nên K chia AD theo tỉ số k 2 ⇒ Tọa độ của K e) Diện tích tam giác: • S= a ah 2 1 = b bh 2 1 = c ch 2 1 • S= Csinab 2 1 = Bsinac 2 1 = Asinbc 2 1 • S= R4 abc = pr = )cp)(bp)(ap(p −−− • S= 2 22 )AC.AB(AC.AB 2 1 →→→→ − = )AC,ABdet( 2 1 →→ , trong đó: det( → AB , → AC ) = 21 21 b b a a =a 1 b 2 −a 2 b 1 với → AB =(a 1 ; a 2 ) và → AC = (b 1 ; b 2 )  PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG : 1) Đònh nghóa : Cho các vectơ → u và → n khác vectơ → 0 . • → u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ khi → u nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng với ∆. Mọi vectơ chỉ phương của ∆ đều có dạng k. → u ( k ≠ 0). • → n là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ khi → n nằm trên 1 đường thẳng vuông góc với ∆. Mọi vectơ pháp tuyến của ∆ đều có dạng k. → n ( k ≠ 0). • Một đường thẳng ∆ hoàn toàn xác đònh khi biết M 0 ∈∆ và 1 vectơ chỉ phương → u hoặc 1 vectơ pháp tuyến → n của ∆. Trang 1 2) Phương trình tổng quát của đường thẳng: a) Đònh lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng: Ax+By+C = 0 với A 2 +B 2 ≠ 0 Chú ý: ∆ có vectơ pháp tuyến → n = (A;B) và có vectơ chỉ phương → u = (B; −A) hoặc → u = (− B; A) b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có vectơ pháp tuyến → n = (A;B) là: A(x−x 0 ) + B(y−y 0 ) = 0 với A 2 +B 2 ≠ 0 3) Phương trình tham số − chính tắc của đường thẳng: a) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có vectơ chỉ phương → u =(a; b) là:      += += btyy atxx 0 0 với a 2 +b 2 ≠ 0, t∈R b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có vectơ chỉ phương → u =(a; b) là: b yy a xx 00 − = − (a 2 +b 2 ≠ 0)  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÙM ĐƯỜNG THẲNG : 1) Vò trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng ∆ 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 (1) và ∆ 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0 (2) ( 2 1 2 1 BA + ≠0 và 2 2 2 2 BA + ≠ 0). Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau: • Hệ có duy nhất nghiệm ⇔A 1 B 2 −A 2 B 1 ≠0⇔∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau. • Hệ vô nghiệm ⇔A 1 B 2 −A 2 B 1 =0 và B 1 C 2 −B 2 C 1 ≠0⇔ ∆ 1 //ø ∆ 2 . • Hệ có vô số nghiệm ⇔A 1 B 2 −A 2 B 1 =B 1 C 2 −B 2 C 1 =C 1 A 2 −C 2 A 1 = 0⇔ ∆ 1 ≡ ∆ 2 . 2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I. Nếu ∆ 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và ∆ 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0 cắt nhau tại I (A 1 B 2 ≠A 2 B 1 ) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là: m(A 1 x+B 1 y+C 1 )+ n(A 2 x+B 2 y+C 2 ) = 0 (với m 2 +n 2 ≠ 0).  GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG − KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG : 1. Góc giữa hai đường thẳng : Cho 2 đường thẳng ∆ 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và ∆ 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0. Nếu gọi ϕ (0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0 ) là góc giữa ∆ 1 và ∆ 2 thì: 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 BA.BA BBAA cos ++ + =ϕ Hệ quả: ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: a) Công thức: Khoảng cách từ M(x 0 ;y 0 ) đến ∆:Ax+By+C=0 là: 22 00 BA CByAx ),M(d + ++ =∆ (A 2 +B 2 ≠0) b) Hệ quả: Nếu ∆ 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và ∆ 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0 cắt nhau tại I (A 1 B 2 ≠A 2 B 1 ) thì phương trình các phân giác tạo bởi (∆ 1 ) và (∆ 2 ) là: 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA + ++ ±= + ++  ĐƯỜNG TRÒN : 1.Phương trình của đường tròn: a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng: (x−a) 2 +(y−b) 2 =R 2 b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R : x 2 +y 2 = R 2 c) Phương trình x 2 +y 2 +2Ax+2By+C = 0 với A 2 +B 2 −C>0 là phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(−A;−B) và bán kính R= CBA 22 −+ . 2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: Cho (C) : F(x,y) = x 2 +y 2 +2Ax+2By+C = 0. Phương tích của một điểm M(x 0 ; y 0 ) đối với (C) là: P M/(C)= F(x 0 ,y 0 ) = C2By2Axyx 00 2 0 2 0 ++++ 3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm: a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn khác tâm (C 1 ) và (C 2 ) là một đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nối 2 tâm I 1 và I 2 của (C 1 ) và (C 2 ) và gọi là trục đẳng phương của (C 1 ) và (C 2 ). b) Cho hai đường tròn: (C 1 ):F 1 (x,y)=x 2 +y 2 +2A 1 x+2B 1 y+C 1 =0 và (C 2 ):F 2 (x,y)=x 2 +y 2 +2A 2 x+2B 2 y+C 2 =0 khác tâm, phương trình của trục đẳng phương của (C 1 ) và(C 2 ) là: F 1 (x,y)= F 2 (x,y)⇔ 2(A 1 − A 2 )x+2(B 1 − B 2 )y+C 1 − C 2 = 0 4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn : Cho (C):F(x;y)=(x−a) 2 +(y−b) 2 −R 2 =0 và điểm M(x 0 ;y 0 ), để viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M ta tìm phương tích của M đối với (C):  Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp tuyến nào với (C). Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến → IM = (x 0 −a; y 0 −b). Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau: • Gọi ∆ là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến → n =(A;B)⇒∆: A(x−x 0 )+B(y−y 0 ) = 0 (1) với A 2 +B 2 ≠0. • ∆ tiếp xúc (C)⇔ d(I,∆)= 22 BA CBbAa + ++ =R với C=−(Ax 0 +By 0 ). Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M.  ElÍP : 1)Đònh nghóa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF 1 +MF 2 =2a (2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp.  F 1 ,F 2 : cố đònh là hai tiêu điểm và F 1 F 2 =2c là tiêu cự của elíp.  MF 1 , MF 2 : là các bán kính qua tiêu. 2) Phương trình chính tắc của elíp: 1 b y a x 2 2 2 2 =+ với b 2 = a 2 − c 2 . 3) Tính chất và hình dạng của elíp:: 1 b y a x 2 2 2 2 =+ (a> b > 0) • Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn); Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O. • Đỉnh: A 1 (−a;0), A 2 (a;0), B 1 (0;−b) và B 2 (0; b). Độ dài trục lớn là 2a và độ dài trục bé là 2b. • Tiêu điểm: F 1 (−c; 0), F 2 ( c; 0). • Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với b 2 = a 2 − c 2 . • Tâm sai: a ba a c e 22 − == < 1 • Hai đường chuẩn: x= c a e a 2 ±=± • M(x;y)∈(E): MF 1 = a+ ex và MF 2 = a−ex 4) Tiếp tuyến của elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ :  Tại M 0 (x 0 ;y 0 )∈(E) có phương trình: 1 b yy a xx 2 0 2 0 =+  Đi qua M(x 1 ; y 1 ) là ∆:A(x−x 1 )+B(y−y 1 )=0 với điều kiện: ∆ tiếp xúc (E)⇔A 2 a 2 +B 2 b 2 =C 2 A 2 +B 2 ≠0,C=−(Ax 1 +By 1 )≠0  HYPEBOL : 1.Đònh nghóa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF 1 − MF 2 =2a (2a không đổi và c > a> 0) là một Hypebol.  F 1 , F 2 : cố đònh là 2 tiêu điểm và F 1 F 2 =2c là tiêu cự.  MF 1 , MF 2 : là các bán kính qua tiêu. 2.Phương trình chính tắc của hypebol: 1 b y a x 2 2 2 2 =− b 2 = c 2 − a 2 . Trang 2 3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H): 1 b y a x 2 2 2 2 =−  Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O.  Đỉnh:A 1 (−a;0),A 2 (a;0).Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b.  Tiêu điểm F 1 (−c; 0), F 2 ( c; 0).  Hai tiệm cận: y= ± a b x  Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b 2 = c 2 − a 2 .  Tâm sai: a ba a c e 22 + == > 1  Hai đường chuẩn: x= c a e a 2 ±=±  Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)∈(H): * MF 1 = ex + a và MF 2 = ex−a khi x > 0. * MF 1 = −ex−a và MF 2 =−ex+ a khi x < 0. 4) Tiếp tuyến của hypebol (H): 1 b y a x 2 2 2 2 =−  Tại M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈(H) có phương trình: 1 b yy a xx 2 0 2 0 =−  Đi qua M(x 1 ; y 1 ) là ∆: A(x−x 1 )+B(y−y 1 ) = 0 với điều kiện: ∆ tiếp xúc (H) ⇔ A 2 a 2 − B 2 b 2 = C 2 A 2 +B 2 ≠0,C=−(Ax 1 +By 1 )≠0  PARABOL : 1) Đònh nghóa : Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường thẳng ∆ cố đònh và 1 điểm F cố đònh không thuộc ∆ . ∆: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ∆) = p > 0 là tham số tiêu. 2) Phương trình chính tắc của Parabol : 2pxy 2 = 3) Hình dạng của Parabol (P) : 2pxy 2 = •Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F( 2 p ; 0). •Đường chuẩn ∆: x = − 2 p . •M(x;y)∈(P): MF = x+ 2 p với x ≥ 0 4) Tiếp tuyến của parabol (P): y 2 =2px: • Tại M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈(P):y 2 =2px có phương trình: y 0 y = p(x 0 +x) • Đi qua M(x 1 ; y 1 ) là ∆: A(x−x 1 )+B(y−y 1 ) = 0 với điều kiện: ∆ tiếp xúc (P) ⇔ pB 2 = 2AC A 2 +B 2 ≠0 và C=−(Ax 1 +By 1 )≠0 Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1 . → b cùng phương ⇔        =−= =⇔=∈∃ →→ 0baba b b a a a b a b a.kb:Rk 122 1 21 21 2 2 1 1 f) Tọa độ của vectơ: → AB =(x B −x A ;y B −y A ). g) Khoảng. =0. Nếu gọi ϕ (0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0 ) là góc giữa ∆ 1 và ∆ 2 thì: 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 BA.BA BBAA cos ++ + =ϕ Hệ quả: ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 2. Khoảng