Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1994- 1995 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) Thời gian: 150 phút không kể chép đề Ngày thi :5 tháng 01 năm 1995 Bài 1 (4 điểm) Xét số A = 91995 4 .444 sochu và B = 1644428 Hỏi số A có chia hết cho số B hay không , tại sao ? Bài 2 (4 điểm) Bạn Việt nói với bạn Nam : Nếu một tứ giác có hai góc đối bàng nhau đồng thời có một đờng chéo đi qua trung điểm của đờng chéo kia thì tứ giác đó là hình bình hành. . Bạn Nam nói Điều bạn nói là sai rồi !. Ai nói đúng , ai nói sai . Tại sao ? Bài 3 (4 điểm) Giải phơng trình : 2 51 8 2 =+ x x Bài 4 (4 điểm) Cho ABC vuông tại A. Một đờng tròn (O) thay đổi luôn luôn đi qua hai điểm A, B và cắt các cạnh AC, BC tại các điểm thứ hai t ơng ứng D, E. Gọi F là điểm đối xứng với E qua OD và I là giao điểm của BF với đ ờng trung trực của AF . Tìm quĩ tích điểm I. Bài 5 ( 4 điểm) Trên mặt phẳng có 1994 điểm tô xanh sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể kẻ đ ợc hai đờng thẳng cắt nhau tạo thành cặp góc đối đỉnh sao cho với mỗi cặp góc đối đỉnh đó, số điểm xanh trên miền trong góc này bằng số điểm xanh trên miền trong góc kia. Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1994- 1995 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 ) Thời gian: 180 phút không kể chép đề Ngày thi :13 tháng 01 năm 1995 Bài 1 (4 điểm) Xét 1995 số tự nhiên a 1 , a 2 , a 1 9 95 có tổng bằng 1994x1995. Đặt P = a 1 3 +a 2 3 +a 3 3 + .a 1 9 95 3 . Chứng minh rằng P chia hết cho 3. Bài 2 (4 điểm) Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đ ờng tròn (O;R). Gọi M, N lần l ợt là trung điểm của CD, EA. Biết AB = CD =DE = R. Chứng minh rằng BMN đều. Bài 3 (4 điểm) Giải phơng trình :(x+2) 2 + (x+3) 3 + (x+4) 4 = 2 Bài 4 (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn (O). Gọi A / B / C / D / là ảnh của tứ giác ABCD trong phép quay tâm D. Chứng minh rằng các đ ờng thẳng AA / , BB / , CC / , DD / đồng qui tại một điểm. Bài 5 (4 điểm) Cho lục giác đều ABCDEF, các điểm M, N, P theo thứ tự là giao điểm của các cặp đờng thẳng: AB với CD; CD với EF ; EF với AB. Ng ời ta tô các điểm A,B,C,D,E,F,M,N,P hoặc xanh hoặh đỏ. Hỏi có cách nào tô sao cho bất cứ ba điểm nào cùng mầu đều không phải là ba đỉnh của mọt tam giác vuông hay không , tại sao ? Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1994- 1995 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 3 ) Thời gian: 180 phút không kể chép đề Ngày thi :14 tháng 01 năm 1995 Bài 1 (4 điểm ) Xét biểu thức N = a 1 9 95 + b 1 9 9 5 + c 1 9 9 5 + d 1 9 95 Trong đó a, b, c, d là các số tự nhiên sao cho ab = cd 0. Chứng minh rằng N là hợp số . Bài 2 ( 4 điểm ) Cho hai đờng tròn (O), (O / ) cắt nhau tại A, B , hai cát tuyên MAN, PAQ bằng nhau (M, P (O); N, Q (O / )). Gọi I, K lần lợt là giao điểm của các đờng thẳng MN, PQ với OO / . So sánh BI với BK. Bài 3( 4 điểm ) Giải phơng trình : 0112 3 =+ xx Bài 4 ( 4 điểm ) Cho góc xOy có độ lớn bằng (0 0 < < 45 0 ) và điểm P ởbên trong góc ấy. Dựng góc x / Oy / có độ lớn bằng 2 ; Px / cắt Ox tại điểm A; Py / cắt Oy tại điểm B sao cho hai tam giác OPA, OPB có diện tích bằng nhau. Bài 5 ( 4 điểm ) Ngời ta dùng m mầu để tô các mặt của hai hình lập ph ơng sao cho trong mỗi hình không có hai mặt nào cùng mầu, đồng thời không có ba mầu nào đôi một kề nhau trong cả hai hình (hai mầu kề nhau trong một hình nếu chúng đ ợc tô trên hai mặt kề nhau của hình ấy). Hãy tìm số m bé nhất . Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1995- 1996 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) Thời gian: 150 phút không kể chép đề Ngày thi :5 tháng 01 năm 1996 Bài 1 (4 điểm) Giải phơng trình : 4x 4 x 3 16x 2 + 4x 1995 = 0 với x N Bài 2 (4 điểm) Cho hai đờng tròn (O,r),(O / ; r 3 2 ) tiếp xúc trong với nhau tại điểmA.Kẻ đ ờng kính AB của đờng tròn(O). Dây BC của đờng tròn (O) cắt đờng tròn (O / ) tại hai điểm D, E. Tính BC theo r, biết rằng E là trung điểm của DC. Bài 3 (4 điểm) Cho bốn số a,b,c,d có tổng bằng 1996. Chứng minh rằng trong ba số m=ab+cd; n=ac+bd; P=ad+bc phải có ít nhất một số bé hơn 500 000. Bài 4 ( điểm) Cho tam giác ABC với điểm M nằm giữa B,C. Dựng đờng tròn qua A,M cắt AB, AC tại các điểm thứ hai t ơng ứng PQ sao cho PQ//BC Bài 5 (4 điểm) Ngời ta tô đỏ 7 cạnh của một hình lập phơng một cách hú hoạ .Mõi đỉnh kề với ít nhất hai cạnh đỏ dều đ ợc gọi là đỉnh đỏ.Chứng minh rằng có ít nhất một mặt của lập phơng đó chứa ít nhất 3đỉnh đỏ. Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1997- 1998 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 ) Thời gian: 150 phút không kể chép đề Ngày thi :15 tháng 01 năm 1998 Câu 1 (5 điểm ) 1) Cho x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phơng trình x 2 2x 1 = 0 Chứng minh rằng x 1 2 k + x 2 2 k + 2 là số chính phơng với mọi số tự nhiên chẵn k . 2) Cho m, n là hai số tự nhiên thoả mãn : 1331 1 1330 1 1329 1 . 4 1 3 1 2 1 1 +++= n m Chứng minh rằng m 1997 Câu 2 (4 điểm) Hãy giải và biện luận phơng trình : x 4 4x 3 + x 2 + 6x m = 0 Theo tham số m Câu 3 (3 điểm) Cho biểu thức 22 1 1 5 xx A + = , với 0< x < 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A. Câu 4 (4 điểm) Cho 37 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng, nằm bên trong hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm đ ợc 5 điểm trong 37 điểm đã cho thoả mãn : Các tam giác đợc tạo bởi 3 điểm bất kì trong 5 điểm đó có diện tích S 18 1 . Câu 5 (5 điểm ) Cho ABC vuông ở C. Một đờng thẳngd đi qua A không song song với BC và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d, K là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Hãy dựng đ ờng thẳng d thoả mãn góc CHK bằng 30 3 . Đề thi thuyển sinhvào lớp 10 trờng quốc học huế năm học 2004 thời gian làm bài 120 phút (THTT 5 - 2005) Bài 1 ( 1,5 điểm) Cho biểu thức : a aab a b A 2 = 1) Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức A đ ợc xác định . 2) Rút gọn biểu thức A. Bài 2 ( 2 điểm) 1) Giải hệ phơng trình : = =+ 13 13 2 2 yx yx 2) Giải bất phơng trình : x + x - 1 > 5 Bài 3 ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng, nếu phơng trình X 2 + 2mx + n = 0 (1) có nghiệm, thì phơng trình : 0 11 2 2 2 = ++ ++ k knmx k kx (2) cũng có nghiệm. (m, n, k là các tham số : k 0) Bài 4 ( 1,5 điểm) Cho hàm số y = ax+ b có đồ thị (D) và hàm số y = kx 2 có đồ thị (P). a) tìm a, b biết rằng (D) đi qua A(-1; 3) và B(2; 0) b) Tìm k (k 0) sao cho (P) tiếp xúc với đ ơừng thẳng (D) vờa tìm đợc . Viết ph- ơng trình của (P). Bài 5 ( 3,5 điểm) Cho ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp trong đ ờng tròn tâm O. Hai đờng cao AI, BE cắt nhau tại H. 1) Chứng minh : Góc CHI = góc CBA. 2) Chứng minh : EI CO. 3) Cho góc ACB = 60 0 . Chứng minh CO = CH. đề thi tuyển sinh lớp 10 khối THPT chuyên trờng đại học s phạm vinh 2005 (dành cho mọi thí sinh . Thòi gan làm bài 150 phút) THTH 10 2005 Vòng 1 Câu1 . a) Rút gọn biểu thức sau : 2 158 2 158 + + = A b) Giải phơng trình : 435 =++ xx Câu2 . Chứng minh rằng (n 3 + 17n) 6 với mọi số tự nhiên n. Câu3 . Giả sử phơng trình x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình mx x xx += 3 1 4 2 , Trong đó m là tham số. Tìm m để biểu thức x 1 - x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu4 . Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I, J lần l ợt thuộc hai cạnh BC, CD sao cho góc IAJ = 45 0 . Đờng chéo BD cắt AI, AJ tơng ứng tại H, K. Tính tỉ số IJ HK Câu5 . Cho hai đờng tròn (O 1 ;R 1 )và (O 2 ;R 2 )có R 1 > R 2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Đờng thẳng d đi qua A cắt đờng tròn(O 1 ;R 1 ) tại M và cắt đờng tròn (O 2 ;R 2 ) tại N (Các điểm M, N khác A). a) Xác định vị trí của đờng thẳng d để độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất. b) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đ ờng thẳng d quay quanh điểm A. Vòng 2 Câu6 . Câu7 . Câu8 . Câu9 . Câu10 . Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1991 -1992 * Môn Toán * Ngày thi 6/8/1991 * Thời gian 150 phút Bài 1 : Trên một đờng giao thông đi qua ba tỉnh A, B, C ( B nằm giữa A, C) có hai ng ời chuyển động đều : M xuất phất từ A đi bằng ô tô và N xuất phát từ B đi bằng xe đạp. Họ xuất phát cùng một lúc và đi về phía C. Đến C thì M quay trở lại A ngay và về đến B đúng vào lúc N đến C.Tính quãng đ ờng AC biết rằng quãng đờng BC dài gấp đôi quãng đờng AB và khoảng cách giữa hai địa điểm họ gặp nhau trên đ ờng đi (một lần khi họ đi cùng chiều , một lần khi họ đi ng ợc chiều) là 8 km. Bài 2 : Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 1991 1 9 92 . Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho 1992 hay không ? tại sao ? Bài 3 : Cho góc nhọn xAy với tia phân giác Az , một điểm B cố định trên Az (B A). Ngời ta kẻ một đờng tròn tâm O đi qua A, B cắt Ax, Ay lần l ợt tại các điểm M, N. Gọi I là trung điểm của MN, dựng hình vuông ACID. Tìm tập hợp C, tập hợp D khi đờng tròn (O) thay đổi luôn luôn qua A, B. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1992 -1993 * Môn Toán * Ngày thi 11/6/1992 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : ( ) ( ) 3 2 1 2 12 1 12 1 a a aa P + + + = a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2 : (2,5 điểm) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 Km/h . Sau đó một thời gian , một xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhng ngay sau khi đợc nửa quãng đờng AB thì xe con tăng vận tốc thành 45 Km/h nên sau đó 1 h thì đuổi kịp ô tô tải. Tính quãng đ ờng AB. Bài 3 : (4 điểm) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB trên đó có một điểm M. Trên đờng kính AB có một điểm C sao cho AC < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, ng ời ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB; đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P; đờng thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại điểm Q. Gọi D là giao điểm của CP, AM; E là giao điểm của CQ, BM. a) Chứng minh rằng các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp đ ợc. b) Chứng minh rằng hai đờng thẳng AB, DE song song. c) Chứng minh rằng ba điểm P, M, Q thẳng hàng. d) Ngoài điểm M ra , các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn có điểm chung nào nữa không , tại sao ? Bài 4 : (1 điểm) Giải phơng trình : 2x 4 x 3 5x 2 + x + 2 = 0 Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trờng Chu Văn An & Amsterdam [...]... B / C / c) Chứng minh hệ thức : cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 S / S Bài 4 : (2 điểm) Xét những số đợc tạo bởi bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với (2n + 1) chữ số 1 có dạng nh sau : 101 01 ; 101 0101 ; .; 101 0 101 ; (n là số nguyên d ơng) Chứng minh rằng các số trên đều là hợp số Bài 5 : (2 điểm) Cho hình vuông cạnh n (n là số nguyên lớn hơn 1) đ ợc chia thành n ìn ô vuông nhỏ Trong mỗi ô nhỏ này... chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vợt quá 1 10 Tổng quát hoá bài toán cho n giác lồi với n điểm nằm ở miền trong của đa gác đó Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `2004 -2005 Môn Toán Ngày thi 18/6/2004 Thời gian 150 phút Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức : P = x 1 x +1 1 x ... ABCD là hình thang ? Bài 5 : (4 điểm) Chứng minh rằng ph ơng trình : x 6 x 5 + x 4 x 3 + x 2 x + 3 = 0 4 không có nghiệm Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1994 -1995 * Môn Toán * Ngày thi 7/7/1994 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : 2 x P = x x + x x 1 x : 1 + x +1 x 1 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P ... 4 : (1 điểm) Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho x 2 d 2 ; chia cho x + 2 d 2 ; chia cho x 2 4 đợc thơng là x và còn d Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1994 -1995 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 8/7/1994 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) 2 a) Tìm x, y nguyên d ơng để phân số x + x + 1 nhận giá trị nguyên xy 1 b) Tồn tại hay không các... có thể chọn ra một vài hình tròn đôi một không có điểm chung trong các hình tròn đã cho, có tổng diện tích không lớn hơn 1/9 Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1995 -1996 * Môn Toán * Ngày thi 11/7/1995 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2 điểm) Cho các biểu thức : A= 2 x 3 x 2 và B= x 2 3 x x + 2x 2 x +2 a) Rút gọn A và B b) Tìm giá trị x... ngoại tiếp MNQ tiếp xúc với đờng tròn (O) Bài 4 :(1 điểm) Giải phơng trình : x 2 + y + 1995 + z 1996 = 1 ( x + y + z) 2 Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1995 -1996 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 12/7/1995 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(1,5 điểm) Giải phơng trình: x 94 + 96 x = x 2 190 x + 9027 Bài 2 : (1,5 điểm) Cho 40 số nguyên d ơng thoả... ờng thẳng AB tại P và Q Chứng minh rằng nếu CP = CQ thì 4R 2 = CB 2 + CA 2 Trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1996 -1997 * Môn Toán * Ngày thi 2/7/1996 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : P = 3a + 9a 3 a 2 + a + a 2 a 1 1 a +2 1 1 Rút gọn P 2 Tìm a để P = 1 3 Tìm các... = 0 (2) với a.c < 0 Gọi và tơng ứng là nghiệm lớn nhất của ph ơng trình (1) và ph ơng trình (2), Chứng minh rằng + 2 Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1996 -1997 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 3/7/1996 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(4 điểm) Viết các số liên tiếp 111, 112, 113, ., 887, 888 , ta đ ợc số A = 111112113 887888 Chứng minh rằng... không vợt quá 5 Chứng minh kết luận của bài toán vẫn đúng khi số điểm là 6 và không còn đúng khi số điểm là 5 Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1997 -1998 * Môn Toán Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : * Ngày thi 8/.7/1997 * Thời gian 150 phút P= 3( x + x 3) x + x 2 + x +3 x +2 x 2 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 15 4 Bài 2 :(2,5 điểm) Một... tứ giác AIFK Bài 4 :(1 điểm) Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức sau : (2 3 ) x ( + (7 4 3 )(2 + 3 ) x = 4 2 3 ) Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1997 -1998 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 9/7/1998 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2 điểm) Cho bốn số dơng a, b, c, d Chứng minh rằng : ab + cd ( a + d )( b + c ) Khi nào xảy ra dấu đẳng . Câu9 . Câu10 . Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1991 -1992 * Môn Toán * Ngày thi 6/8/1991. 199619 952 Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trờng Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1995 -1996 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 12/7/1995