Đang tải... (xem toàn văn)
ích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theoích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theoích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theoích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theoích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theo
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 172 DỰ THÍNH Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 03/06/2018 Thời gian: 90 phút Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu Cho hàm f (x, y) = x3 − 2xy + 5y + 4x điểm M (−2, 1, −7) nằm mặt S có phương trình z = f (x, y) −→ Tính hệ số góc mặt S theo hướng vector Oy M Tìm phương trình tiếp diện mặt S M √ √ Câu Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: y = x, y = x, z = 0, z = − x y sin(xy) + y + y dx + (x sin(xy) + xy) dy với C nửa đường Câu Tính tích phân I = C tròn x2 + y + 2x = từ A(−1, −1) đến B(−1, 1) theo chiều kim đồng hồ Câu Tính tích phân I = (y−z)dydz+(z−x)dzdx+(x−y)dxdy với S mặt nón z = x2 + y , S phần ứng với z ≤ x ≥ 0, lấy phía ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n=1 ∞ Câu Cho chuỗi lũy thừa n=1 (−1)n (2n)! (n!)2 3n 22n+1 n x n(n + 2) Tìm bán kính hội tụ R chuỗi ∞ Với R câu trên, tính tổng chuỗi ∀x ∈ (−R, R) biết n=1 xn = − ln (1 − x) , ∀x ∈ (−1, 1) n CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÁP ÁN Câu (1.5đ) k = 18 (0.5đ) 14(x + 2) + 18(y − 1) = z + (1đ) Câu (1.5đ) √ x V = dx dy √ 6−x dz (0.5đ) = x √ √ 48 (6 − x) xdx (0.5đ) = ≈ 23.52 (0.5đ) Câu (2đ) Gọi C1 đường thẳng x = −1, từ B đến A C ∪ C1 biên âm D : x2 + y + 2x ≤ 0, x ≤ −1 (0.5đ) P dx + Qdy − I= P dx + Qdy (0.5đ) (− sin(−y) − y) dy (0.5đ) = (−1)dxdy − Câu (2đ) x y → − , , −1 (0.5đ) n =√ z z I= π (0.5đ) D √ hình tròn C1 −1 C∪C1 =− π (y − x)ds (0.5đ) = 2 − π2 S r2 (sin ϕ − cos ϕ)dr (0.5đ) = − dϕ 16 (0.5đ) Câu (1đ) lim n→∞ (2n + 1)(2n + 2) un+1 = lim = (0.5đ) ⇒ P K (0.5đ) n→∞ un (n + 1) 3 Câu (2đ) 22n+1 → R = (0.5đ) n(n + 2) ∞ ∞ 2n+1 1 n S(x) = x = − n(n + 2) n n+2 n=1 n=1 an = ∞ x=0: n=1 S(x) = n (4x) = n+2 (4x)2 ∞ n=1 ∞ n (4x) = n=1 ∞ n+2 (4x) = n+2 16x2 n=1 0, x = 1 − ln (1 − 4x) + + ,x ∈ 16x2 4x 2 ∞ (4x)n (4x)n − (0.5đ) n n+2 n=1 (4x)n 4x (4x)2 − − n 1 − , ∪ 0, 4 (0.5đ) (0.5đ) ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 173 DỰ THÍNH Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 09/09/2018 Thời gian: 90 phút Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu Cho mặt cong S có phương trình z = x3 − 2xy + 5y + 8x − 4y Tìm vector pháp mặt cong phương trình tiếp diện mặt cong M (−1, 2, 11) Câu Tính thể tích vật thể giới hạn z = 0, x + y + z = 3, y = 0, x y x y + = 1, + = Câu Tính diện tích phần mặt trụ z = − y bị cắt mặt phẳng z = 0, x + y = 2, x = Câu Dùng cơng thức Stokes để tính tích phân (z + x2 y)dx + (2xz − x2 y)dy + x3 − y + 3z y dz với C đường cong I= C x + 2y + z = 4y lấy chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương (Nhìn theo hướng z=x từ dương sang âm trục Oz) Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n=3 ∞ n=1 3n2 − n2 + n (4n−3) n−3 n+1 (n−3)(n+1) (−1)n−1 4.7 (3n + 1) 23n+1 (n!) ∞ Câu Tìm bán kính hội tụ R chuỗi lũy thừa n=2 (−1)n−1 + 3n+1 n+1 x tính tổng chuỗi n2 − x ∈ (−R, R) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÁP ÁN Câu (1.5đ) − Pháp vector: → n = ±(3, 24, −1) (1đ) PTTD: z = 3(x + 1) + 24(y − 2) + 11 3(x + 1) + 24(y − 2) − (z − 11) = (0.5đ) Câu (1.5đ) 3−y dxdydz = V = dy Ω 3−x−y dx (3 − y) − y − = dz + 6−2y − 2y − 12−4y 3 dx dy 3−y dz (0.5đ) 3−x−y (3 − y)2 (6 − 2y)2 + dy + 18 (y − 3) = 12 − 4y (12 − 4y)2 (3 − y)2 1 −3+y + − dy (0.5đ) = + = (0.5đ) 18 2 Câu (1.5đ) PTGT: z = − y ∧ z = ⇔ y = ±2 D : y = ±2, x + y = 2, x = (0.5đ) + 4y dxdy (0.5đ) = ds = SS = S = ln(4 + √ D dy −2 √ + 4y dx = + 4y (2 + y)dy −2 2−y 17) + 17 ≈ 18.59 (0.5đ) Câu (2đ) Gọi S phần mặt phẳng z = x nằm ellipsoid, lấy phía theo hướng Oz (0.5đ) (−y + 3z − 4xz)dydz + (3z − 3x2 )dzdx + (2z − 2xy − x2 )dxdy (0.5đ) Stokes: I = S Dxy : x2 + y ≤ 2y (−y + 3z − 4xz, 3z − 3x2 , 2z − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy I= Dxy (−y + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ) = Dxy (−2x2 + 2xy − y )dxdy = = Dxy π = Dxy sin ϕ π 2 2 (8 cos2 ϕ sin4 ϕ + sin6 ϕ)dϕ = − (−2r cos ϕ − r sin ϕ)rdr = − dϕ (−2x2 − y )dxdy (Do Dxy đối xứng qua Oy) 7π (0.5đ) Câu (1.5đ) √ lim n un = lim n→∞ lim n→∞ n→∞ 3n2 − n2 + n 4n−3 n 1− n+1 (n+1) n−3 n = 34 > (0.5đ) ⇒ P K (0.25đ) e4 un+1 (3n + 4) = lim = < (0.5đ) ⇒ HT (0.25đ) n→∞ (n + 1) un Câu (2đ) an = (−1)n−1 + 3n+1 → R = (0.5đ) n −1 (−1)n−1 + 3n+1 n+1 S(x) = x n2 − n=2 ∞ S(x) = ∞ (3x)n+1 ∞ (−1)n−1 xn+1 ∞ (3x)n+1 (−1)n−1 xn+1 + − − (0.5đ) n−1 n+1 n=2 n=2 n − n=2 n=2 n + ∞ ∞ (3x)n ∞ (−x)n = x + (3x) − n n n=1 n=1 (0.5đ) S(x) = (−x)n x x2 + − n n=1 ∞ (3x)n 3x (3x)2 − − − n n=1 ∞ [(1 − x2 ) ln(1 + x) + (1 − 9x2 ) ln(1 − 3x) + 2x + 5x2 ] , x ∈ 1 − , 3 (0.5đ) ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 181 DỰ THÍNH Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 12/12/2018 Thời gian: 90 phút Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu Cho u = rs2 ln t, r = x2 , s = 4y − 3, t = xy ∂u ∂u Tìm + (x, y, r, s, t) = (1, 1, 1, 1, 1) ∂x ∂y x2 + y dxdydz với Ω vật thể giới hạn x2 + y + z ≤ Câu Tính tích phân bội ba Ω 4, x ≤ y, z ≥ ((x − y)dx + (x + 2y)dy với C phần đường tròn x2 + y = từ Câu Tính tích phân sau √ điểm (−2, 0) đến giao điểm thứ đường tròn với y = − 3x tính theo chiều KĐH C y dx + z dy + x2 dz, C giao Câu Dùng cơng thức Stokes để tính tích phân I = C tuyến mặt cầu x2 + y + z = 4x mặt phẳng x = + y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương ∞ (un + ) với Câu Khảo sát hội tụ n=1 5n (n!)2 un = , = n2n cos n n3 ∞ 1+ n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=1 n2 (2x + 1)n+2 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÁP ÁN Câu (2đ) ∂u ∂u ∂u ∂r ∂u ∂t ∂u ∂s ∂u ∂t + (1, 1, 1, 1, 1) = + + + (1đ) ∂x ∂y ∂r ∂x ∂t ∂x ∂s ∂y ∂t ∂y rs2 rs2 = s2 ln t.2x + y + 2rs ln t.4 + 3xy = + = (1đ) t t Câu (1đ) x = ρ sin θ cos ϕ Đặt y = ρ sin θ sin ϕ z = ρ cos θ 5π/4 I= |J| = ρ2 sin θ π/2 dϕ π/4 ρ sin θ.ρ2 sin θdρ (0.5đ) = π (0.5đ) dθ 0 Lưu ý: Có thể giải theo cách dùng tọa độ trụ Câu (1.5đ) x = cos t y = sin t Đặt π≤t≤ 2π (0.5đ) 2π/3 [(2 cos t − sin t)(−2 sin t) + (2 cos t + sin t)(2 cos t)] dt (0.5đ) = I= π 4π − (0.5đ) Câu (2đ) Chọn S phần mặt phẳng x = y + lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương π Suy α < ⇒ cos α > − Pt mặt phẳng S F (x, y, z) = x − y − Pháp vector → n = √ (1, −1, 0) Áp dụng định lý Stokes ta có: y dx + z dy + x2 dz = I= C −2ydxdy − 2zdydz − 2xdxdz (1đ) S −2ydxdy = Do S phần mặt x = y + song song với trục Oz nên I3 = S 1 −2z √ + 2x √ 2 −2zdydz − 2xdxdz = I= S √ ds = −4π (1đ) S (Hình chiếu xuống mp y = DOzx : (x − 2)2 + z = 2) Câu (1.5đ) ∞ • Khảo sát hội tụ chuỗi ∞ un = n=1 Ta có lim n→∞ ∞ ⇒ un+1 = lim − n→∞ un n+1 5n (n!)2 : n2n n=1 2n (n+1) n+1 = 5e−2 < un hội tụ theo tiêu chuẩn D Alembert (0.5đ) n=1 ∞ ∞ • Khảo sát hội tụ chuỗi = n=1 √ Ta có lim n = lim n→∞ n→∞ n=1 (2n2 ) 1− 2n n2 2n2 n3 cos n : = e−1/2 < ∞ ⇒ hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy (0.5đ) n=1 ∞ • Ta có ∞ ∞ hội tụ ⇒ un , n=1 (un + ) hội tụ theo tính chất chuỗi số n=1 n=1 (0.5đ) Câu (2đ) ∞ 1+ n Đặt X = 2x + 1, chuỗi viết lại X n=1 • Tìm bán kính R với an = Ta có ρ = lim n→∞ n n→∞ • Khoảng hội tụ x ∈ 1+ n n =e⇒R= −1/e − 1/e − , 2 • Xét hội tụ hai đầu mút 1/e − Tại x = chuỗi trở thành n2 Xn n2 1+ n |an | = lim n2 ∞ n=1 1 = (0.5đ) ρ e (0.5đ) 1+ n n2 n n+2 e n+2 n + n1 n 1 = lim = lim eln(1+ n ) −1 Ta có lim n→∞ n→∞ n→∞ e e e n n 1 1 1 = lim en ln(1+ n )−1 = lim en.( n − 2n2 + 3n3 )−1 = e−5/2 n→∞ n→∞ e e ⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC ∞ n2 n+2 −1/e − 1 n Tại x = (−1) + chuỗi trở thành n e n=1 1+ n n2 n+2 1 Ta có lim (−1) + n→∞ n e ⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC −1/e − 1/e − Miền hội tụ x ∈ , 2 n (1đ) n e2 ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 182 DỰ THÍNH Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 01/06/2019 Thời gian: 90 phút Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu − Câu Tìm đạo hàm h(x, y, z) = cos xy + eyz + ln zx theo hướng vector → u = (1, 2, 2) P0 1, 0, Câu Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: z = x2 + y , z = x2 + y + 1, x2 + y = Câu Cho C chu tuyến kín, trơn khúc, định hướng dương 1−x y−1 dx + dy 2 (x − 1) + (y − 1) (x − 1)2 + (y − 1)2 I= C Tính I hai trường hợp: a) Điểm (1, 1) nằm C b) Điểm (1, 1) nằm C yzdzdx + z dxdy, S phần mặt trụ y + z = 1, z ≥ bị Câu Tính tích phân I = S − → chắn mặt x = 0, x = 1, lấy phía theo hướng vector Oz Câu Khảo sát hội tụ chuỗi sau: ∞ a) n=1 ∞ b) n=1 1.3 (2n − 1) [2.4 (2n)] (3n + 1) (n!)n nn2 ∞ x2 + Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=0 n CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÁP ÁN Câu (1.5đ) → − u → − n = = u 2 , (0.5đ) 3 1 (0.5đ) ∇h = −y sin xy + , −x sin xy + zeyz , yeyz + x z ∂h → = ∇h 1, 0, − n = (0.5đ) 1, 0, → − 2 ∂u Câu (1.5đ) dϕ dxdydz (0.5đ) = V = Ω r2 +1 2π rdr dz (0.5đ) = π (0.5đ) r2 Câu (2đ) P (x, y) = y−1 1−x , Q(x, y) = (x − 1)2 + (y − 1)2 (x − 1)2 + (y − 1)2 a) Qx = Py = (x − 1)2 − (y − 1)2 (0.5đ) [(x − 1)2 + (y − 1)2 ]2 (Qx − Py )dxdy = (0.5đ) P dx + Qdy = + I= C D b) P (x, y), Q(x, y) không liên tục (1, 1) Gọi C đường (x − 1)2 + (y − 1)2 = R2 với R đủ nhỏ để C nằm bên C, lấy chiều kim đồng hồ I= P dx + Qdy − P dx + Qdy = C C∪C I1 = C (Qx − Py )dxdy = (0.5đ) (D nằm C C ) P dx + Qdy = + D C∪C I2 = P dx + Qdy = I1 − I2 1−x y−1 dx + dy = − R R2 P dx + Qdy = C − 1 − 2 R R dxdy = D C = 2π (D : (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ R2 ) ⇒ I = I1 − I2 = −2π (0.5đ) Câu (1.5đ) (S) : z = y − y ⇒ zx = 0, zy = − y2 S y 1− y2 −y − y2 − ⇒→ n = 0, y − y2 + (1 − y ).1 dxdy (0.5đ) = ,1 dxdy = (0.5đ) Dxy Câu (2đ) un+1 2n + 3n + 1 = lim n+1 = (0.5đ) n→∞ 2n + n→∞ un +1 D = < ⇒ chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn D Alembert (0.5đ) n! √ b) C = lim n un = lim n = (0.5đ) n→∞ n→∞ n C = < ⇒ chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy (0.5đ) a) D = lim (0.5đ) S(D ) R2 Câu (1.5đ) ∞ n Đặt X = x + 1, chuỗi viết lại n=0 Xn n 1 = ⇒ R = = (0.5đ) n→∞ n→∞ 3 ρ √ √ Khoảng hội tụ: ≤ X < ⇔ − < x < (0.5đ) ∞ √ (1)n Tại x = ± chuỗi trở thành Ta có ρ = lim n |un | = lim n n=0 Ta có lim (1)n = = ⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC n→∞ √ √ Miền hội tụ: − < x < (0.5đ) ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 172 DỰ THÍNH Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 03/06/2018 Thời gian: 90 phút Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu Cho hàm f (x, y) = x3 − 2xy + 5y + 4x điểm M (−2, 1, −7) nằm mặt S có phương trình z = f (x, y) −→ Tính hệ số góc mặt S theo hướng vector Oy M Tìm phương trình tiếp diện mặt S M √ √ Câu Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: y = x, y = x, z = 0, z = − x y sin(xy) + y + y dx + (x sin(xy) + xy) dy với C nửa đường Câu Tính tích phân I = C tròn x2 + y + 2x = từ A(−1, −1) đến B(−1, 1) theo chiều kim đồng hồ Câu Tính tích phân I = (y−z)dydz+(z−x)dzdx+(x−y)dxdy với S mặt nón z = x2 + y , S phần ứng với z ≤ x ≥ 0, lấy phía ∞ Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n=1 ∞ Câu Cho chuỗi lũy thừa n=1 (−1)n (2n)! (n!)2 3n 22n+1 n x n(n + 2) Tìm bán kính hội tụ R chuỗi ∞ Với R câu trên, tính tổng chuỗi ∀x ∈ (−R, R) biết n=1 xn = − ln (1 − x) , ∀x ∈ (−1, 1) n CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÁP ÁN Câu (1.5đ) k = 18 (0.5đ) 14(x + 2) + 18(y − 1) = z + (1đ) Câu (1.5đ) √ x V = dx dy √ 6−x dz (0.5đ) = x √ √ 48 (6 − x) xdx (0.5đ) = ≈ 23.52 (0.5đ) Câu (2đ) Gọi C1 đường thẳng x = −1, từ B đến A C ∪ C1 biên âm D : x2 + y + 2x ≤ 0, x ≤ −1 (0.5đ) P dx + Qdy − I= P dx + Qdy (0.5đ) (− sin(−y) − y) dy (0.5đ) = (−1)dxdy − Câu (2đ) x y → − , , −1 (0.5đ) n =√ z z I= π (0.5đ) D √ hình tròn C1 −1 C∪C1 =− π (y − x)ds (0.5đ) = 2 − π2 S r2 (sin ϕ − cos ϕ)dr (0.5đ) = − dϕ 16 (0.5đ) Câu (1đ) lim n→∞ (2n + 1)(2n + 2) un+1 = lim = (0.5đ) ⇒ P K (0.5đ) n→∞ un (n + 1) 3 Câu (2đ) 22n+1 → R = (0.5đ) n(n + 2) ∞ ∞ 2n+1 1 n S(x) = x = − n(n + 2) n n+2 n=1 n=1 an = ∞ x=0: n=1 S(x) = n (4x) = n+2 (4x)2 ∞ n=1 ∞ n (4x) = n=1 ∞ n+2 (4x) = n+2 16x2 n=1 0, x = 1 − ln (1 − 4x) + + ,x ∈ 16x2 4x 2 ∞ (4x)n (4x)n − (0.5đ) n n+2 n=1 (4x)n 4x (4x)2 − − n 1 − , ∪ 0, 4 (0.5đ) (0.5đ) ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 173 DỰ THÍNH Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 09/09/2018 Thời gian: 90 phút Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu Cho mặt cong S có phương trình z = x3 − 2xy + 5y + 8x − 4y Tìm vector pháp mặt cong phương trình tiếp diện mặt cong M (−1, 2, 11) Câu Tính thể tích vật thể giới hạn z = 0, x + y + z = 3, y = 0, x y x y + = 1, + = Câu Tính diện tích phần mặt trụ z = − y bị cắt mặt phẳng z = 0, x + y = 2, x = Câu Dùng công thức Stokes để tính tích phân (z + x2 y)dx + (2xz − x2 y)dy + x3 − y + 3z y dz với C đường cong I= C x + 2y + z = 4y lấy chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương (Nhìn theo hướng z=x từ dương sang âm trục Oz) Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n=3 ∞ n=1 3n2 − n2 + n (4n−3) n−3 n+1 (n−3)(n+1) (−1)n−1 4.7 (3n + 1) 23n+1 (n!) ∞ Câu Tìm bán kính hội tụ R chuỗi lũy thừa n=2 (−1)n−1 + 3n+1 n+1 x tính tổng chuỗi n2 − x ∈ (−R, R) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÁP ÁN Câu (1.5đ) − Pháp vector: → n = ±(3, 24, −1) (1đ) PTTD: z = 3(x + 1) + 24(y − 2) + 11 3(x + 1) + 24(y − 2) − (z − 11) = (0.5đ) Câu (1.5đ) 3−y dxdydz = V = dy Ω 3−x−y dx (3 − y) − y − = dz + 6−2y − 2y − 12−4y 3 dx dy 3−y dz (0.5đ) 3−x−y (3 − y)2 (6 − 2y)2 + dy + 18 (y − 3) = 12 − 4y (12 − 4y)2 (3 − y)2 1 −3+y + − dy (0.5đ) = + = (0.5đ) 18 2 Câu (1.5đ) PTGT: z = − y ∧ z = ⇔ y = ±2 D : y = ±2, x + y = 2, x = (0.5đ) + 4y dxdy (0.5đ) = ds = SS = S = ln(4 + √ D dy −2 √ + 4y dx = + 4y (2 + y)dy −2 2−y 17) + 17 ≈ 18.59 (0.5đ) Câu (2đ) Gọi S phần mặt phẳng z = x nằm ellipsoid, lấy phía theo hướng Oz (0.5đ) (−y + 3z − 4xz)dydz + (3z − 3x2 )dzdx + (2z − 2xy − x2 )dxdy (0.5đ) Stokes: I = S Dxy : x2 + y ≤ 2y (−y + 3z − 4xz, 3z − 3x2 , 2z − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy I= Dxy (−y + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ) = Dxy (−2x2 + 2xy − y )dxdy = = Dxy π = Dxy sin ϕ π 2 2 (8 cos2 ϕ sin4 ϕ + sin6 ϕ)dϕ = − (−2r cos ϕ − r sin ϕ)rdr = − dϕ (−2x2 − y )dxdy (Do Dxy đối xứng qua Oy) 7π (0.5đ) Câu (1.5đ) √ lim n un = lim n→∞ lim n→∞ n→∞ 3n2 − n2 + n 4n−3 n 1− n+1 (n+1) n−3 n = 34 > (0.5đ) ⇒ P K (0.25đ) e4 un+1 (3n + 4) = lim = < (0.5đ) ⇒ HT (0.25đ) n→∞ (n + 1) un Câu (2đ) an = (−1)n−1 + 3n+1 → R = (0.5đ) n −1 (−1)n−1 + 3n+1 n+1 S(x) = x n2 − n=2 ∞ S(x) = ∞ (3x)n+1 ∞ (−1)n−1 xn+1 ∞ (3x)n+1 (−1)n−1 xn+1 + − − (0.5đ) n−1 n+1 n=2 n=2 n − n=2 n=2 n + ∞ ∞ (3x)n ∞ (−x)n = x + (3x) − n n n=1 n=1 (0.5đ) S(x) = (−x)n x x2 + − n n=1 ∞ (3x)n 3x (3x)2 − − − n n=1 ∞ [(1 − x2 ) ln(1 + x) + (1 − 9x2 ) ln(1 − 3x) + 2x + 5x2 ] , x ∈ 1 − , 3 (0.5đ) ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 181 DỰ THÍNH Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 12/12/2018 Thời gian: 90 phút Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu Cho u = rs2 ln t, r = x2 , s = 4y − 3, t = xy ∂u ∂u Tìm + (x, y, r, s, t) = (1, 1, 1, 1, 1) ∂x ∂y x2 + y dxdydz với Ω vật thể giới hạn x2 + y + z ≤ Câu Tính tích phân bội ba Ω 4, x ≤ y, z ≥ ((x − y)dx + (x + 2y)dy với C phần đường tròn x2 + y = từ Câu Tính tích phân sau √ điểm (−2, 0) đến giao điểm thứ đường tròn với y = − 3x tính theo chiều KĐH C y dx + z dy + x2 dz, C giao Câu Dùng cơng thức Stokes để tính tích phân I = C tuyến mặt cầu x2 + y + z = 4x mặt phẳng x = + y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương ∞ (un + ) với Câu Khảo sát hội tụ n=1 5n (n!)2 un = , = n2n cos n n3 ∞ 1+ n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=1 n2 (2x + 1)n+2 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÁP ÁN Câu (2đ) ∂u ∂u ∂u ∂r ∂u ∂t ∂u ∂s ∂u ∂t + (1, 1, 1, 1, 1) = + + + (1đ) ∂x ∂y ∂r ∂x ∂t ∂x ∂s ∂y ∂t ∂y rs2 rs2 = s2 ln t.2x + y + 2rs ln t.4 + 3xy = + = (1đ) t t Câu (1đ) x = ρ sin θ cos ϕ Đặt y = ρ sin θ sin ϕ z = ρ cos θ 5π/4 I= |J| = ρ2 sin θ π/2 dϕ π/4 ρ sin θ.ρ2 sin θdρ (0.5đ) = π (0.5đ) dθ 0 Lưu ý: Có thể giải theo cách dùng tọa độ trụ Câu (1.5đ) x = cos t y = sin t Đặt π≤t≤ 2π (0.5đ) 2π/3 [(2 cos t − sin t)(−2 sin t) + (2 cos t + sin t)(2 cos t)] dt (0.5đ) = I= π 4π − (0.5đ) Câu (2đ) Chọn S phần mặt phẳng x = y + lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương π Suy α < ⇒ cos α > − Pt mặt phẳng S F (x, y, z) = x − y − Pháp vector → n = √ (1, −1, 0) Áp dụng định lý Stokes ta có: y dx + z dy + x2 dz = I= C −2ydxdy − 2zdydz − 2xdxdz (1đ) S −2ydxdy = Do S phần mặt x = y + song song với trục Oz nên I3 = S 1 −2z √ + 2x √ 2 −2zdydz − 2xdxdz = I= S √ ds = −4π (1đ) S (Hình chiếu xuống mp y = DOzx : (x − 2)2 + z = 2) Câu (1.5đ) ∞ • Khảo sát hội tụ chuỗi ∞ un = n=1 Ta có lim n→∞ ∞ ⇒ un+1 = lim − n→∞ un n+1 5n (n!)2 : n2n n=1 2n (n+1) n+1 = 5e−2 < un hội tụ theo tiêu chuẩn D Alembert (0.5đ) n=1 ∞ ∞ • Khảo sát hội tụ chuỗi = n=1 √ Ta có lim n = lim n→∞ n→∞ n=1 (2n2 ) 1− 2n n2 2n2 n3 cos n : = e−1/2 < ∞ ⇒ hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy (0.5đ) n=1 ∞ • Ta có ∞ ∞ hội tụ ⇒ un , n=1 (un + ) hội tụ theo tính chất chuỗi số n=1 n=1 (0.5đ) Câu (2đ) ∞ 1+ n Đặt X = 2x + 1, chuỗi viết lại X n=1 • Tìm bán kính R với an = Ta có ρ = lim n→∞ n n→∞ • Khoảng hội tụ x ∈ 1+ n n =e⇒R= −1/e − 1/e − , 2 • Xét hội tụ hai đầu mút 1/e − Tại x = chuỗi trở thành n2 Xn n2 1+ n |an | = lim n2 ∞ n=1 1 = (0.5đ) ρ e (0.5đ) 1+ n n2 n n+2 e n+2 n + n1 n 1 = lim = lim eln(1+ n ) −1 Ta có lim n→∞ n→∞ n→∞ e e e n n 1 1 1 = lim en ln(1+ n )−1 = lim en.( n − 2n2 + 3n3 )−1 = e−5/2 n→∞ n→∞ e e ⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC ∞ n2 n+2 −1/e − 1 n Tại x = (−1) + chuỗi trở thành n e n=1 1+ n n2 n+2 1 Ta có lim (−1) + n→∞ n e ⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC −1/e − 1/e − Miền hội tụ x ∈ , 2 n (1đ) n e2 ... (2z − 2xy − x2 )dxdy (0.5đ) Stokes: I = S Dxy : x2 + y ≤ 2y (−y + 3z − 4xz, 3z − 3x2 , 2z − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy I= Dxy (−y + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ) = Dxy (−2x2 + 2xy − y )dxdy... (2z − 2xy − x2 )dxdy (0.5đ) Stokes: I = S Dxy : x2 + y ≤ 2y (−y + 3z − 4xz, 3z − 3x2 , 2z − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy I= Dxy (−y + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ) = Dxy (−2x2 + 2xy − y )dxdy... V = Ω r2 +1 2 rdr dz (0.5đ) = π (0.5đ) r2 Câu (2 ) P (x, y) = y−1 1−x , Q(x, y) = (x − 1 )2 + (y − 1 )2 (x − 1 )2 + (y − 1 )2 a) Qx = Py = (x − 1 )2 − (y − 1 )2 (0.5đ) [(x − 1 )2 + (y − 1 )2 ]2 (Qx −