Đang tải... (xem toàn văn)
ích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theoích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theoích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theo
ƠN TẬP CUỐI HỌC KỲ Mơn: Giải tích ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Thor Họ tên: MSSV: Chủ đề 2: Tích phân đường Tích phân đường loại Tích phân đường loại tích phân có dạng: f dl C Tính chất: Là tích phân khơng phụ thuộc vào đường C Độ dài đường C : L = 1dl C f dl = C f dl + C1 f dl C2 Phương pháp giải: Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = Nếu C : x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 ta đổi dl thành dt theo cơng thức: dl = Bài tập: 1 + y (x)2 dx x (t)2 + y (t)2 dt Tích phân đường loại Tích phân đường loại tích phân có dạng: P dx + Qdy C Tính chất: Là tích phân phụ thuộc vào đường Đổi chiều đường tích phân đổi dấu B A P dx + Qdy = − A P dx + Qdy B Nếu C = C1 ∪ C2 , C1 ∩ C2 = ∅ : P dx + Qdy = C P dx + Qdy + C1 P dx + Qdy C2 Phương pháp giải: Đưa dy dx theo công thức dy = y (x)dx đưa dx dy theo công thức dx = x (y)dy x2 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 I = [P + Q.y (x)]dx P dx + Qdy = x1 y2 C Nếu C : x = x(y), y : y1 → y2 I = P dx + Qdy = [P.x (y) + Q]dy y1 C Đưa dx, dy dt theo công thức dx = x (t)dt, dy = y (t)dt x = x(t) y = y(t) Nếu C : t2 , t : t1 → t2 I = P dx + Qdy = [P.x (t) + Q.y (t)]dt t1 C Bài tập: x2 dx + 2xydy với C đoạn nối điểm từ O(0, 0) đến A(1, 1) theo: Tính I = C a Đoạn thẳng OA b Parabol y = x2 c Đường tròn x2 + y = 2x theo chiều kim đồng hồ (chiều âm) Hướng dẫn: a C : y = x, x : → 1 x2 dx + 2xydy = (x2 + 2x2 )dx = I= C b C : y = x2 , x : → 1 17 15 x2 dx + 2xydy = (x2 + 2x.x2 2x)dx = I= C π x = cos t + ,t : π → y = sin t c C : π 2 x dx + 2xydy = [(cos t + 1)2 (− sin t) + 2(cos t + 1) sin t cos t]dt I= π C π π = [(cos t + 1)2 − 2(cos t + 1) cos t]d(cos t) = (1 − cos2 t)d(cos t) = π π (4x − y)dx + 5x2 ydy với C parabol y = 3x2 từ điểm O(0, 0) đến điểm B(1, 3) Tính I = C Hướng dẫn: C : y = 3x2 , x : → 1 I = (4x − y)dx + 5x2 ydy = (4x − 3x2 + 5x2 3x2 6x)dx = 16 C xydx − y dy với C parabol y = 2x từ điểm O(0, 0) đến điểm A(2, 2) Tính I = C Hướng dẫn: y2 C : x = ,y : → 2 I= C 15 xydx − y dy = ( y2 y.y − y )dy = x2 ydx + ydy với C chu tuyến dương miền giới hạn y = x2 , x = y Tính I = C Hướng dẫn: C1 : y = x , x : → Gọi C = C1 ∪ C2 C2 : x = y , y : → I = x2 ydx + ydy = x2 ydx + ydy + x2 ydx + ydy C C1 C2 = (x2 x2 + x2 2x)dx + (y y.2y + y)dy = 11 − =− 10 14 35 (x2 + 2y)dx + y dy với C đường y = − |1 − x|, x từ đến Tính I = C Hướng dẫn: C1 : y = − (x − 1) = − x, x : → Gọi C = C1 ∪ C2 C2 : y = − (1 − x) = x, x : → I = (x2 + 2y)dx + y dy = (x2 + 2y)dx + y dy + (x2 + 2y)dx + y dy C C1 C2 = [x2 + 2(2 − x) + (2 − x)2 (−1)]dx + [x2 + 2x + x2 ]dx = + 14 = 3 xydx − (x2 + y − 2x)dy với C nửa đường tròn (x − 1)2 + y = theo ngược Tính I = C chiều kim đồng hồ (chiều dương) Hướng dẫn: x = cos t + C: ,t : → π y = sin t π xydx − (x2 + y − 2x)dy = [(2 cos t + 1).2 sin t.(−2 sin t) − 3.2 cos t]dt = −2π I= C 2ydx + xdy với C cung ellipse x2 + 3y = từ (0, 1) đến giao điểm Tính I = C ellipse với đường thẳng y = x theo chiều kim đồng hồ (chiều âm) Hướng dẫn:√ x = cos t C: y = sin t √ √ π π cos t = Tại (0, 1) : ⇒ t = Tại giao điểm : sin t = cos t ⇒ t = sin t = √ π π x = cos t ,t : → ⇒C: y = sin t π √ √ I = 2ydx + xdy = [2 sin t.(− sin t) + cos t cos t]dt C π π √ = [− 3(1 − cos 2t) + π √ (1 + cos 2t)]dt = π √ − π 3 + √ 3 √ π cos 2t dt = + 12 √ x2 dx + xdy với C cung ellipse 3x2 + y = từ điểm ( 3, 0) đến giao điểm đầu C √ tiên ellipse với đường y = 3x theo chiều kim đồng hồ (chiều âm) Tính I = Hướng dẫn:√ x = cos t C: y = sin t √ √ √ √ √ 3π cos t = Tại ( 3, 0) : ⇒ t = Tại giao điểm : sin t = 3 cos t ⇒ t = − sin t = √ 3π x = cos t ⇒C: ,t : → − y = sin t − 3π √ √ I = x2 dx + xdy = [3 cos2 t.(− sin t) + cos t.3 cos t]dt C − 3π 3π √ −4 √ √ = 3 cos td(cos t) + 3 cos2 tdt = cos3 t √ √ √ 3+ 3π − =− − 3π √ +3 t + sin 2t − 3π (2x2 + y)dx − xdy với C biên miền giới hạn y = x2 − 2x, y = x theo Tính I = C chiều kim đồng hồ (chiều âm) Hướng dẫn: C1 : y = x, x : → Gọi C = C1 ∪ C2 C2 : y = x2 − 2x, x : → I = (2x2 + y)dx − xdy = (2x2 + y)dx − xdy + (2x2 + y)dx − xdy C C1 C2 = [(2x2 + x) − x]dx + [2x2 + x2 − 2x − x(2x − 2)]dx = 18 − = (x − y)dx + (x + 2y)dy với C phần đường tròn x2 + y = C √ từ điểm (−2, 0) đến giao điểm thứ đường tròn với y = − 3x tính theo chiều KĐH Đáp số: 32 − 4π 10 [181-DT] Tính tích phân sau 11 [182-CA1] Cho miền phẳng D : x2 + y 4, x (x − 1)dy − ydx x2 + y C √ Đáp số: 23 + 4π I= C biên định hướng dương D Tính Cơng thức Green (Đường → Bội 2) Cho đường cong kín C bao quanh miền D P, Q hàm khả vi liên tục D Khi đó: P dx + Qdy = ± I= C Qx − Py dxdy D Lấy dấu + C chu tuyến dương (đứng C, miền D nằm bên trái) Lấy dấu − C chu tuyến âm (đứng C, miền D nằm bên phải) Bài tập: x2 ydx + ydy với C chu tuyến dương miền giới hạn y = x2 , y = x Tính I = C Hướng dẫn: √ x2 ydx + ydy = + Áp dụng công thức Green: I = C (0 − x2 )dxdy = Dxy 2(x2 + y )dx + (x + y)2 dy với C chu tuyến Tính I = x −x2 dy = − dx x2 35 ABC, A(2, 1), B(6, 1), C(4, 3) C lấy ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương) Hướng dẫn: Phương trình AC : y = x − 1, BC : y = − x Áp dụng công thức Green: I = 2(x2 + y )dx + (x + y)2 dy = + C 7−y = (2x − 2y)dx = [(7 − y)2 − (y + 1)2 − 2y(7 − y − y − 1)]dy = dy y+1 [2(x + y) − 2.2y]dxdy Dxy 56 x2 ydx − (x + x2 )y dy với C đường tròn x2 + y = 1, lấy ngược chiều kim đồng hồ Tính I = C Hướng dẫn: Gọi Dxy : x2 + y Áp dụng công thức Green: I = x2 ydx − (x + x2 )y dy = + C [−(1 + 2x)y − x2 ]dxdy Dxy (−y − 2xy − x2 )dxdy = Dxy Ta có Dxy miền đối xứng qua trục Oy (x = 0), −2xy hàm lẻ x ⇒ −2xy dxdy = Dxy 2π (−y − x2 )dxdy = ⇒I= dϕ −r2 rdr = − Dxy π x2 ydx − xy dy với C đường tròn x2 + y = 9, lấy chiều kim đồng hồ Tính I = C Hướng dẫn: Gọi Dxy : x2 + y Áp dụng công thức Green: I = x2 ydx − xy dy = − C 2π dϕ r2 rdr = = 0 Dxy (−y − x2 )dxdy = (x2 + y )dxdy Dxy 81π (4x−2y)dx−(2x+3y)dy với C chu tuyến dương hình tròn (x−1)2 +(y+1)2 = Tính I = C lấy chiều kim đồng hồ Hướng dẫn: Gọi Dxy : (x − 1)2 + (y + 1)2 Áp dụng công thức Green: I = (4x − 2y)dx − (2x + 3y)dy = C (−2 + 2)dxdy = Dxy (y − cos y)dx + x sin ydy với C đường tròn (x − 3)2 + (y − 2)2 = lấy chiều Tính I = C kim đồng hồ Hướng dẫn: Gọi Dxy : (x − 3)2 + (y − 2)2 Áp dụng công thức Green: I = (y − cos y)dx + x sin ydy = − C = [sin y − (1 + sin y)]dxdy Dxy dxdy = S(D) = 4π Dxy (x2 + 2y)dx − (y + 2x)dy với C phần đường tròn x2 + y = (y Tính I = x) lấy ngược C chiều kim đồng hồ Hướng dẫn: √ x2 + y = ⇔y=x=± y=x √ √ Gọi C : y = x, x : − → I = (x2 +2y)dx−(y +2x)dy = (x2 +2y)dx−(y +2x)dy− (x2 +2y)dx−(y +2x)dy = I1 −I2 Giao tuyến: C C∪C x +y y x Gọi Dxy : C (−2 − 2)dxdy = −4S(D) = −4 .4π = −8π Dxy Áp dụng công thức Green: I1 = + √ I2 = √ − [x2 + 2x − (x2 + 2x)]dx = ⇒ I = I1 − I2 = −8π (y − cos y)dx + x sin ydy với C nửa đường tròn (x − 3)2 + (y − 2)2 = từ A(1, 2) Tính I = C đến B(5, 2) lấy chiều kim đồng hồ Hướng dẫn: Gọi C : y = 2, x : → I = (y −cos y)dx+x sin ydy = C (y −cos y)dx+x sin ydy − (y −cos y)dx+x sin ydy = I1 −I2 C C∪C (x − 3)2 + (y − 2)2 y Gọi Dxy : Áp dụng công thức Green: I1 = − [sin y − (1 + sin y)]dxdy = Dxy Dxy dxdy = S(D) = 4π = 2π I2 = (2 − cos 2)dx = −4(2 − cos 2) ⇒ I = I1 − I2 = 2π + − cos (y ex −5y)dx+(5y ex −5)dy với C đường x = Tính I = C Hướng dẫn: Gọi C : x = 0, y : −1 → − y từ A(0, 1) đến B(0, −1) I = (y ex − 5y)dx + (5y ex − 5)dy = C (y ex − 5y)dx + (5y ex − 5)dy C∪C − (y ex − 5y)dx + (5y ex − 5)dy = I1 − I2 C x2 + y x Gọi Dxy : [5y ex − (5y ex − 5)]dxdy = −5S(D) = − Áp dụng công thức Green: I1 = − Dxy (5y e0 − 5)dy = −8 ⇒ I = I1 − I2 = − I2 = −1 x3 (x2 +y cos xy)dx+ 10 Tính I = C 5π 5π + xy + x cos xy dy với C nửa đường tròn x2 +y = 2x lấy ngược chiều kim đồng hồ Hướng dẫn: Gọi C : y = 0, x : → I = (x2 +y cos xy)dx+ C x3 + xy + x cos xy dy = (x2 +y cos xy)dx+ x3 + xy + x cos xy dy C∪C x3 − (x + y cos xy)dx + + xy + x cos xy dy = I1 − I2 C x2 + y y Gọi Dxy : 2x [x2 + y + cos xy − xy sin xy − (cos xy − xy sin xy)]dxdy Áp dụng công thức Green: I1 = + Dxy cos ϕ (x2 + y )dxdy = = − π2 Dxy x2 dx = − I2 = r2 rdr = dϕ 3π 3π ⇒ I = I1 − I2 = + (x − 2y)dx + (3x2 + y)dy với C đường x + y = lấy theo chiều kim đồng hồ 11 Tính I = C Hướng dẫn: Gọi Dxy : x + y Áp dụng công thức Green: I = (x − 2y)dx + (3x2 + y)dy = − C (6x + 2)dxdy Dxy Ta có Dxy miền đối xứng qua Oy (x = 0), 6x hàm lẻ x nên 6xdxdy = Dxy √ √ ⇒ I = −2 dxdy = −2S(D) = −2 2 = −4 Dxy (xy − y ) dx + (2xy + x2 ) dy với C biên miền 12 [152-CA1] Tính tích phân I = C D : x2 + y 4x,√0 y, x + y − 2 ≈ 4.38 Đáp số: 3π+32−20 lấy theo chiều kim đồng hồ (ex−y − y sin x + xy + y ) dx + (cos x − ex−y + x2 y) dy với C 13 [152-CA2] Tính tích phân I = C nửa đường tròn x2 + y + 2x = 0, y Đáp số: 37 − e12 ≈ 2.2 lấy ngược chiều kim đồng hồ 14 [162-CA2] Cho (L) đường gấp khúc ABC, AB cung y = − x2 , BC cung y = (x−1)2 tọa độ điểm A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0) Tính I = C A cos2 ydx−(2xy+x sin 2y)dy theo đường cong (L) Đáp số: 41 15 15 [172-DT] Tính tích phân I = C y sin(xy) + 21 y + y dx + (x sin(xy) + xy) dy với C nửa đường tròn x + y + 2x = từ A(−1, −1) đến B(−1, 1) theo chiều kim đồng hồ Đáp số: π2 16 [172-CA2] Cho miền phẳng D giới hạn y = x2 , y = (x − 2)2 , x = 2, C biên D, lấy theo chiều kim đồng hồ a Chứng minh diện tích D tính tích phân −xdy C b Tìm diện tích miền D theo cách tính Đáp số: a Áp dụng cơng thức Green b Dùng tích phân đường để tính S(D) = 17 [182-DT] Cho C chu tuyến kín, trơn khúc, định hướng dương I= C y−1 dx (x−1)2 +(y−1)2 + 1−x dy (x−1)2 +(y−1)2 Tính I hai trường hợp: a Điểm (1, 1) nằm C b Điểm (1, 1) nằm C Đáp số: a I = b I = −2π Tích phân khơng phụ thuộc đường Cho hàm P, Q khả vi liên tục miền D mở, đơn liên Khi đó, mệnh đề sau tương đương với nhau: Qx = Py ∀C kín nằm D, I = P dx + Qdy = C ∃ U (x, y) thỏa dU = P dx + Qdy Khi I = B A B A P dx + Qdy = dU = U (B) − U (A) P dx + Qdy không phụ thuộc vào đường đi, phục thuộc vào điểm đầu điểm Tích phân C cuối Phương pháp giải: Kiểm tra điều kiện Qx = Py Nếu thỏa ⇒ I tích phân khơng phụ thuộc đường Nếu C kín ⇒ I = P dx + Qdy = C Nếu C hở ⇒ đổi đường cho C thành hai đoạn song song với hai trục tọa độ (hoặc đoạn song song với trục tọa độ) ⇒ tính trực tiếp Bài tập: xdx + ydy với C biên đường tròn x2 + y = 4y nối từ A(2, 2) đến B(0, 4) lấy Tính I = C ngược chiều kim đồng hồ Hướng dẫn: P = x, Q = y Ta có Qx = Py = ⇒ I tích phân khơng phụ thuộc đường Gọi C1 : x = 2, y : → C2 : y = 4, x : → I= xdx + ydy = C xdx + ydy + C1 Cách 2: Ta thấy U (x, y) = B ⇒I= xdx + ydy = C2 ydy + xdx = x2 y + có dU = xdx + ydy 2 xdx + ydy = U (B) − U (A) = A Lưu ý: Chỉ cần hàm U (x, y), khơng cần phải nêu cách tìm hàm U (x, y) phải dU = P dx + Qdy ydx + xdy với C đường y = 2x2 − 4x + từ A(1, −1) đến B(2, 1) Tính I = C Hướng dẫn: P = y, Q = x Ta có Qx = Py = ⇒ I tích phân không phụ thuộc đường Gọi C1 : x = 1, y : −1 → C2 : y = 1, x : → 2 I= ydx + xdy = C ydx + xdy + C1 − C2 Cách 2: Ta thấy U (x, y) = xy có dU = ydx + xdy B ⇒I= 11 xdy + ydx + xdy = ydx + xdy = U (B) − U (A) = A ydx = x2 y + xex Tính I = C dx + x3 + y sin y dy với C nửa đường tròn (x − 3)2 + (y − 2)2 = lấy ngược chiều kim đồng hồ Hướng dẫn: P = x2 y + xex , Q = x3 + y sin y Ta có Qx = Py = x2 ⇒ I tích phân khơng phụ thuộc đường Gọi C : y = 2, x : → 2 I= x2 y + xex dx + x3 + y sin y dy = x2 y + xex dx + C + y sin y dy C 2x2 + xex = x3 Cách 2: 2 1 dx = x3 + ex =− 248 e − e25 + x3 y + ex + sin y − y cos y có dU = x2 y + xex dx + x3 + y sin y dy 248 e − e25 x2 dx + x3 + y sin y dy = U (5, 2) − U (1, 2) = − + x y + xe Ta thấy U (x, y) = ⇒I= C B Tính I = A xdy − ydx theo đường không cắt trục Oy với A(2, 1), B(1, 2) x2 Hướng dẫn: y P = − 2,Q = x x Ta có Qx = Py = − ⇒ I tích phân không phụ thuộc đường x Gọi C1 : x = 2, y : → C2 : y = 2, x : → B xdy − ydx 1 xdy − ydx xdy − ydx I= = + = dy + − dx = x2 x2 x2 x2 2 A C1 C2 Cách 2: y y Ta thấy U (x, y) = có dU = − dx + dy x x x B xdy − ydx = U (1, 2) − U (2, 1) = ⇒I= x A B Tính I = A (x + 2y)dx + ydy theo đường không cắt đường x + y = với A(2, −1), B(0, 2) (x + y)2 Hướng dẫn: x + 2y y P = ,Q = (x + y) (x + y)2 2y Ta có Qx = Py = − ⇒ I tích phân khơng phụ thuộc đường (x + y)3 Gọi C1 : x = 2, y : −1 → C2 : y = 2, x : → B (x + 2y)dx + ydy (x + 2y)dx + ydy (x + 2y)dx + ydy I= = + (x + y)2 (x + y)2 (x + y)2 A C1 C2 x+4 y = dy + dx = ln − 2 −1 (2 + y) (x + 2) B Tính I = A (x + y)dy + (x − y)dx theo đường không qua O(0, 0) với A(1, 1), B(3, 2) x2 + y Hướng dẫn: x−y x+y P = ,Q = 2 x +y x + y2 10 y − x2 − 2xy ⇒ I tích phân khơng phụ thuộc đường (x2 + y )2 Gọi C1 : x = 1, y : → C2 : y = 2, x : → B (x + y)dy + (x − y)dx (x + y)dy + (x − y)dx (x + y)dy + (x − y)dx I= = + 2 2 x +y x +y x2 + y A C1 C2 1+y x−2 √ √ 10 65 π = dx = ln − + arctan + ln − arctan 47 ≈ 0.7385 dy + 2+4 + y x 1 Ta có Qx = Py = Tìm h(x, y) = xa y b để I = h(x, y) [(2x2 y + y)dx + (x3 y − x)dy] tích phân khơng phụ thuộc C vào đường Hướng dẫn: P = 2xa+2 y b+2 + xa y b+1 , Q = xa+3 y b+1 − xa+1 y b Qx = (a + 3)xa+2 y b+1 − (a + 1)xa y b Py = 2(b + 2)xa+2 y b+1 + (b + 1)xa y b I tích phân khơng phụ thuộc đường Qx = Py ⇔ a + = 2(b + 2) −(a + 1) = b + ⇔ a = b = −1 Tìm số tự nhiên m, n để tích phân sau khơng phụ thuộc đường đi: xm y n+1 (3 − 2xy )dx + xm+1 y n (4 − 3xy )dy I= C Hướng dẫn: P = 3xm y n+1 − 2xm+1 y n+3 , Q = 4xm+1 y n − 3xm+2 y n+2 Qx = 4(m + 1)xm y n − 3(m + 2)xm+1 y n+2 Py = 3(n + 1)xm y n − 2(n + 3)xm+1 y n+2 I tích phân không phụ thuộc đường Qx = Py ⇔ 4(m + 1) = 3(n + 1) −3(m + 2) = −2(n + 3) ⇔ m = 2, n = (ex sin y − emy sin x) dx + (ex cos y + 2emy cos x) dy [172-CA1] Cho I = C a Tìm m để I tích phân khơng phụ thuộc đường Oxy b Với m tìm √câu a, tính I với C đường cong từ O(0, 0) đến A Đáp số: m = I = 22 e−π/2 − eπ/4 − ≈ −2.4039 π , − π4 (1,1) (2xy + 3)h(y)dy − y h(y)dx khơng phụ thuộc đường 10 Tìm h(y) thỏa h(1) = cho I = (−1,1) Đáp số: h = y4 11 Cho P = + xy , Q = − xy2 Tìm h = h Đáp số: h = e x y thỏa h(0) = cho ∃U (x, y) : dU = P.hdx + Q.hdy x y 11 ... = (x2 + 2y)dx + y dy = (x2 + 2y)dx + y dy + (x2 + 2y)dx + y dy C C1 C2 = [x2 + 2( 2 − x) + (2 − x )2 (−1)]dx + [x2 + 2x + x2 ]dx = + 14 = 3 xydx − (x2 + y − 2x)dy với C nửa đường tròn (x − 1 )2 +... x2 dx + 2xydy = (x2 + 2x2 )dx = I= C b C : y = x2 , x : → 1 17 15 x2 dx + 2xydy = (x2 + 2x.x2 2x)dx = I= C π x = cos t + ,t : π → y = sin t c C : π 2 x dx + 2xydy = [(cos t + 1 )2 (− sin t) + 2( cos... Hướng dẫn: √ x2 + y = ⇔y=x=± y=x √ √ Gọi C : y = x, x : − → I = (x2 +2y)dx−(y +2x)dy = (x2 +2y)dx−(y +2x)dy− (x2 +2y)dx−(y +2x)dy = I1 −I2 Giao tuyến: C C∪C x +y y x Gọi Dxy : C ( 2 − 2) dxdy = −4S(D)