NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN thông qua phép biến đổi đồ thị = Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y f= ( x ) , y f ( u ( x ) ) khoảng, đoạn ( Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y f= = ( x ), y f u ( x) khoảng, đoạn = số y Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm = f ( x) , y NHĨM TỐN VD – VDC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ) f (u ( x )) khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số ) ( ( ) y= f ( x + b ) , y= f u ( x ) + b , y= f ( x + a + b ) , y= f u ( x ) + a + b khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) + b , y = f ( u ( x ) ) + b , y = f ( x + a ) + b , y = f ( u ( x ) + a ) + b khoảng, đoạn ( ) ( ) y = f ( x ) + b , y = f u ( x ) + b , y = f ( x + a ) + b , y = f u ( x ) + a + b khoảng, đoạn PHẦN II: Xác định GTLN, NN so sánh giá trị hàm số thơng qua tích phân so sánh diện tích hình phẳng Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, NHĨM TỐNVD – VDC Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, đoạn 10 Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y= f ( x + a + b ) khoảng, đoạn 11 Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm = số y f ( x ) + b khoảng, đoạn 12 Các dạng khác https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN thông qua phép biến đổi đồ thị Dạng 1: Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Câu Biết hàm số y = f ( x ) liên tục  có M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  4x  hàm số đoạn [ 0; 2] Hàm số y = f   có tổng giá trị lớn nhỏ  x +1  A M + m B 2M + m C M + 2m D M + 2m Lời giải Chọn A Đặt g ( x ) = NHÓM TOÁN VD – VDC = hàm số y f= ( x ) , y f ( u ( x ) ) khoảng, đoạn −4 x + 4x ′ x ∈ 0; , Ta có: g x = ( ) [ ] 2 x2 + x + ( ) g ′ ( x ) = ⇔ x = ∈ [ 0; 2] Bảng biến thiên: NHĨM TỐNVD – VDC Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ≤ g ( x ) ≤ Do đó: Hàm số y = f ( x ) liên tục  có M m GTLN, GTNN hàm số đoạn [ 0; 2] hàm số y = f  g ( x )  liên tục  có M m GTLN, GTNN hàm số đoạn [ 0; 2]  4x  Vậy tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f   M + m  x +1  Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Khi hàm số = y f ( − x ) đạt GTLN 0;  A f ( ) C f ( 2) B f (1) D f ( ) Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Đặt t= − x , từ x ∈ 0;  , ta có t ∈ [ 0; 2] Trên [ 0; 2] hàm số y = f ( t ) nghịch biến Do max f ( t ) = f ( ) [0;2] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Biết f ( x ) = Tìm giá trị lớn hàm số g ( x ) đoạn [ −3; − 1] A −2 B ax + b g ( x ) = f ( f ( x ) ) cx + d NHĨM TỐN VD – VDC Câu D − C Lời giải Chọn B TCĐ x =− a =0⇔a =0 c d =⇔ c =−d c Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ nên Khi đó= f ( x) NHĨM TỐNVD – VDC Từ hình vẽ ta có: TCN y = d = x ) f ( f ( x= ⇒ g (= )) −dx + d − x + − b =1 ⇔ b = d ( d ≠ ) d −x +1 = x − +1 −x +1 TXĐ hàm g ( x ) Dg =  \ {0} ⇒ hàm số g ( x ) xác định [ −3; −1] g′( x) = , với ∀x ∈[ −3; − 1] x2 g ( −3) =, g ( −1) = Vậy max g ( x ) = [ −3; −1] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Câu Cho x , y thoả mãn 5x + xy + y = 16 hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi  x2 + y2 −  2 M , m giá trị lớn nhỏ P = f   Tính M + m  x − y − xy +  −1 O x −2 A M + m2 = B M + m2 = C M + m2 = 25 D M + m2 = NHĨM TỐN VD – VDC y Lời giải Chọn A Ta có: t = x2 + y2 − 8x + y − 16 3x − xy + y = = x − y − xy + 8x − y − 16 xy + 2.16 18x − xy + y TH1: Xét y = ⇒ t = ⇒ f ( t ) = m ∈ ( 0; −2 ) 3u − 6u + Xét g ( u )= ; g ' ( u )= 18u − 4u + Ta lại có: lim = = g ( u ) lim g (u) u →+∞ u →−∞ Từ bảng biến ta có ≤ g ( u ) ≤ 96u2 − 96u ( 18u − 4u + ) NHĨM TỐNVD – VDC x x   − + y y 3u − u + x TH2: Xét y ≠ ⇒ t =   Đặt u = , ta có: t = 18u2 − 4u + y x x 18   − + y y u = ; g ' ( u )= ⇔  u = 1 Từ lập bảng biến thiên ta có 3 ⇒0≤t≤ 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng: max P = 0; P = −2  3 0 ;   2  3 0 ;    Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m GTLN – GTNN hàm số g ( x ) f  ( sin x + cos x )  = NHĨM TỐN VD – VDC Vậy M + m2 = Tổng M + m A B C D Lời giải Chọn C Ta có sin x + cos x = − sin 2 x, ∀x ∈  1 ≤ − sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈  ⇒ ≤ ( sin x + cos x ) ≤ 2 NHĨM TỐNVD – VDC Vì ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈  ⇔ =  M max g= ( x ) f= (1)  Dựa vào đồ thị suy  ⇒ M +m= = ( x ) f= ( 2) m g= Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Xét hàm số g = ( x ) f ( x3 + x − 1) + m Tìm m để max g ( x ) = −10 [0;1] A m = B m = −12 C m = −13 D m = Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Chọn C Đặt t ( x )= x + x − với x ∈ [ 0;1] Ta có t ′ ( x= ) x + > 0, ∀x ∈ [0;1] NHĨM TỐN VD – VDC Suy hàm số t ( x ) đồng biến nên x ∈ [ 0;1] ⇒ t ∈ [ −1; 2] max  f ( t ) + m  =+ m Từ đồ thị hàm số ta có max f ( t ) =⇒ [ −1;2] [ −1;2] −10 ⇔ m = −13 Theo yêu cầu toán ta cần có: + m = Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Giá trị lớn hàm số y = f ( 2sin x ) ( 0; π ) A C B D Lời giải Chọn C NHĨM TỐNVD – VDC Đặt t = 2sin x Với x ∈ ( 0; π ) t ∈ ( 0; 2] Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có max f ( 2sin = x ) max = f ( t ) f= ( 2) ( 0;2] ( 0;π ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên dạng Hàm số y = f (2sin x) đạt giá trị lớn nhỏ M m Mệnh đề đúng? A m = −2 M B M = 2m C M + m = D M + m = Lời giải Chọn A Ta có: −1 ≤ sin x ≤ ⇔ −2 ≤ 2sin x ≤ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số = t 2sin x ⇒ t ∈ [ −2; 2] Với Khi đó: NHĨM TỐN VD – VDC = M max f = = f ( t ) ( 2sin x ) max [ −2;2] m = f ( 2sin x ) = f ( t ) = −4 [ −2;2] Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tập  có bảng biến thiên sau Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f ( x − x ) đoạn =  7  − ;  Tìm khẳng định sai khẳng định sau M A M m > 10 B C M − m > > m D M + m > Lời giải 5 25  7 t x − x Ta có x ∈  − ;  ⇔ − ≤ x − ≤ ⇔ ≤ ( x − 1) ≤ Đặt = 2  2 21  21  nên t ∈  −1;  ⇔ −1 ≤ ( x − 1) − ≤ 4   21  = y f ( t ) , t ∈  −1;  Xét hàm số 4  Từ bảng biến thiên suy= ra: m min= 2, M f (t ) = f (1) =  21  t∈ −1;  4  M  21  max= f ( t ) f= >   5⇒  21  4 m  t∈ −1;    Câu 10 Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c xác định liên tục  có bảng biến thiên sau: Giá trị nhỏ hàm số y  f x  3 đoạn  0;2 A 64 B 65 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C 66 D 67 Trang NHĨM TỐNVD – VDC Chọn B NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Lời giải Chọn C NHĨM TỐN VD – VDC Hàm số có dạng f x   ax  bx  c Từ bảng biến thiên ta có:   f 0    c3     c    f        b  2  f x   x  2x  a  b  c          a b        f     a      x   0;2  x   3;5 Trên đoạn 3;5 hàm số tăng, f x  3  f 3  66  0;2 Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −2; 4] có bảng biến thiên sau Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g ( x )= f ( cos x − 4sin x + 3) C D NHĨM TỐNVD – VDC Giá trị M − m A B −4 Lời giải Chọn A Ta có: cos x − 4sin = x + 3cos x + ⇒ g= , đặt t 3cos x + 1, với x ∈  ⇒ t ∈ [ −2; 4] ( x ) f ( 3cos x + 1) = Từ bảng biến thiên suy max f ( t ) = 3; f ( t ) = −1 [ −2;4] [ −2;4] Suy M = max g ( x ) = max f ( t ) = 3; m = g ( x ) = f ( t ) = −1  [ −2;4] Vậy M − m =  Câu 12 Cho hàm số f ( x ) = ax5 + bx + cx + dx + ex + n [ −2;4] ( a, b, c, d , e, n ∈  ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ bên (đồ thị cắt Ox điểm = f ( x ) ; m f ( x ) và= 2) Đặt M max [ −3;2] [ −3;2] T= M + m Khẳng định sau đúng? có hồnh độ −3; −1; https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số B T = f ( −3) + f ( ) 1 C T f   + f ( ) = 2 1 D T f   + f ( ) = 2 Lời giải Chọn A 1  Ta có f ' ( x= e 5a ( x + 3)( x + 1)  x −  ( x − ) (Vì phương trình ) 5ax + 4bx3 + 3cx + 2dx += 2  f ' ( x ) = có nghiệm −3; −1; 2) Từ đồ thị ta có bảng biến thiên f ( x ) NHĨM TỐNVD – VDC Từ bảng biến thiên ⇒ a < Suy bảng biến thiên f ( x ) :  f= ( −2 ) f ( ) ; f= ( −3) f ( 3)  Vì hàm số f ( x ) hàm số chẵn ⇒    1 f   f − 2 =  2   1 +) f ( 3) − f   = 2 ∫ f ' ( x ) dx = 1 11125a  f ( 0) NHĨM TỐN VD – VDC 1  +) f ( ) − f ( ) = −23a > 5a ∫ ( x + 3)( x + 1)  x −  ( x − ) dx = ∫0 f ' ( x ) dx = 2  (2) Từ (1) (2) ⇒ M = max f ( x ) = f ( −2 ) = f ( ) ; m = f ( x ) = f ( −3) [ −3;2] [ −3;2] Vậy T = M + m = f ( −3) + f ( ) Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên sau Gọi M giá trị lớn hàm số= y g (= x ) f ( − x ) [ 0;3] Mệnh đề sau đúng? A M = f ( ) B M = f ( 3) C M = f (1) D M = f ( ) NHĨM TỐNVD – VDC Lời giải Chọn C Ta có g ′ ( x ) = − f ′ (3 − x ) 3 − x =−1  x =4 g′ ( x ) = ⇔ − f ′ (3 − x ) = ⇔  ⇔ 3− x = = x 3 − x < −1 x > g′ ( x ) > ⇔ f ′ (3 − x ) < ⇔  ⇔ 3 − x > x < g ′ ( x ) < ⇔ f ′ ( − x ) > ⇔ −1 < − x < ⇔ < x < Từ ta có bảng biến thiên https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số y NHĨM TỐN VD – VDC O x y f ( x + − 2) Biết f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) Giá trị nhỏ giá trị lớn = đoạn [ −1;4] A f ( ) , f ( ) B f ( ) , f ( ) Lời giải C f ( ) , f ( ) D f ( −1) , f ( ) Chọn B Từ đồ thị y = f ′ ( x ) đoạn [ 0;5] ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) : NHĨM TỐNVD – VDC Suy f ( x ) = f ( ) [0;5] Từ giả thiết, ta có: f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) ⇒ f ( ) − f ( 3) = f ( ) − f ( ) Hàm số f ( x ) đồng biến [ 2;5] ⇒ f ( 3) > f ( ) ⇒ f ( ) − f ( ) > f ( ) − f ( 3) = f ( ) − f ( ) nên f ( ) > f ( ) Suy ra, max f ( x ) = f ( 5) [0;5] Đặt t = x + − , với x ∈ [ −1;4] t ∈ [ 0;5] Khi giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số = y f ( x + − ) đoạn [ −1;4] giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số y = f ( t ) đoạn [ 0;5] Do f ( x + = − ) max= f ( x ) f ( 5) − ) min= f ( x ) f ( ) ; max f ( x += [ −1;4] [0;5] [ −1;4] [0;5] Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số NHĨM TỐN VD – VDC 3 Xét hàm số g ( x )= f ( x ) − x3 − x + x + 2018 Mệnh đề đúng? g ( −3) + g (1) A g ( x + − ) = [ −2;2] C g ( x + − ) = g ( −3) B g ( x + − ) = g (1) [ −2;2] [ −2;2] [ −2;2] Lời giải Chọn D Ta có g ′ ( x= ) f ′( x ) − x2 − 3 x+ 2 NHÓM TOÁNVD – VDC g′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x2 + D g ( x + − ) = g ( −1)  x = −1 3 x− ⇔ 2 x = Lập Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có: g ( x= ) g ( −1) [ −3;1] Đặt t = x + − với x ∈ [ −2;2] t ∈ [ −3;1] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Khi g ( x + − ) = g ( t ) = g ( −1) [ −3;1] [ −2;2] Dạng 11 Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số Câu f ( x ) + b khoảng, đoạn NHĨM TỐN VD – VDC = y −5; f ( 3) = 15 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = f ' ( x ) hình vẽ bên f (1) = Xét hàm số g= ( x) f ( x ) + m Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm số g ( x ) đoạn [1; 3] Tổng tất phần tử tập S có giá trị A −10 B −8 C D 10 Lời giải Xét hàm số h= ( x ) f ( x ) + m liên tục đoạn [1; 3] Ta có: h' ( x )=  x = −1 f ' ( x )= ⇔  x = Khi h (1= ) m − ; h ( 3=) m + 15 NHĨM TỐNVD – VDC Chọn A Để hàm số y = h ( x ) đạt giá trị nhỏ đoạn [1; 3] đồ thị hàm số y = h ( x ) phải nằm hồn tồn phía phía trục hồnh (tức khơng cắt trục hồnh) [1; 3]  m = −18 Trường hợp 1: m + 15 < ⇔ m < −15 f ( x ) + m = m + 15 = ⇔  [1;3]  m = −12 ( tm ) (l ) ( tm ) Trường hợp 2: m − > ⇔ m > f ( x ) + m = m − = ⇔ m = [1;3] Vậy S = Câu2 {−18; 8} Do chọn phương án A Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số f ( x ) + đoạn [ −4; 4] đạt điểm nào? A x = −4 B x = −1 C x = D x = Lời giải Chọn C x) Xét g ( = f ( x ) + ⇒ g' ( = x) f ' ( x) g' ( x ) =0 ⇔ x =−4 ∨ x =−1 ∨ x =2 ∨ x =4 NHĨM TỐN VD – VDC −7 Giá trị lớn hàm = Biết f ( −4 ) =f ( ) = số y Bảng biến thiên = y Từ bảng biến thiên ta thấy Câu f ( x ) + đạt GTLN x = Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm  có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ NHĨM TỐNVD – VDC −4 , f ( −2 ) = −5, f ( ) = −1 Xét hàm số y= g ( x= Biết f ( ) = ) f ( x − ) + Mệnh đề sai? A Giá trị lớn hàm số [ −2; 2] B Giá trị lớn hàm số [ −2; 2] đạt x = x = C Giá trị nhỏ hàm số [ −2; 2] D Có hai giá trị x để hàm số đạt giá trị nhỏ [ −2; 2] Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số g ′ ( x ) x f ′ ( x − ) hàm số liên tục  = x =   x − =−1 ⇔  x2 − =  x =   x =±1  x = ±2 NHÓM TOÁN VD – VDC x = ⇔ g ′ ( x ) =0 ⇔ x f ′ ( x − ) =0 ⇔   f ′ ( x − ) = x > f ′ ( x2 − 2) > ⇔ x2 − > ⇔ x2 > ⇔   x < −2 Bảng biến thiên hàm số g ( x ) Từ bảng biến thiên, ta thấy đáp án C sai Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f '( x ) R Đồ thị f '( x ) hình vẽ sau f ( −1 ) < −2 NHĨM TỐNVD – VDC -2 -15 -10 -1 -5 10 15 -2 -4 -6 -8 = x) Khi gọi giá trị lớn nhỏ hàm số g( f ( x ) + đoạn [ −2;1] M ,m Tổng M + m A g( −2 ) + g( ) B g( −2 ) + g( −1 ) C f ( −1 ) + + f ( ) + D f ( −1 ) + f ( ) + Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Dựa vào đồ thị f '( x ) ta có BBT hàm y = f ( x ) sau −1 ∫ f ′( x ) dx < −2 ∫ NHĨM TỐN VD – VDC Ngồi ta có: f '( x )dx ⇒ f ( −1 ) − f ( −2 ) < f ( −1 ) − f ( ) −1 ⇒ f ( −2 ) > f ( ) ⇒ −2 > f ( −1 ) > f ( −2 ) > f ( ) Từ f ( ) + < f ( −2 ) + < f ( −1 ) + < hay g( ) > g( −2 ) > g( −1 ) Dạng 12 Các dạng khác Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hàm số đạo hàm y = f ' ( x ) hình vẽ NHĨM TỐNVD – VDC 3 Xét hàm số g ( x )= f ( x ) − x3 − x + x + 2019 Mệnh đề đúng? A g ( x= B g ( x ) = g (1) ) g ( −3) [ −3;1] [ −3;1] D g ( x ) = C g ( x= ) g ( −1) [ −3;1] [ −3;1] g ( −3) + g (1) Lời giải Chọn C 3 • Ta có: g' ( x= ) f ' ( x ) − x2 − x + ; 2 g' ( x ) =0 ⇔ f ' ( x ) =h ( x ) =x + https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 3 x− 2 Trang 40 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số  x = −3 ⇔  x = −1  x = NHĨM TỐN VD – VDC • Bảng biến thiên: • Dựa vào bảng biến thiên ta có: g ( x= ) g ( −1) [ −3;1] Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ 11 f ( x − 1) + ( x − 1) − x khoảng 19 A 11 f (1) + 19 B `14 f ( 4) − 19 C f ( 0) − D 70 f ( 2) − 19  5 0;  Lời giải Chọn D Ta có g ′ (= x ) f ′ ( x − 1) + Đặt t =2 x − ⇒ f ′ ( t ) =− 44 44 ⇔ f ′ ( x − 1) = − ( x − 1) + ( x − 1) −= 19 19 44 t + với ≤ x ≤ ⇒ −1 ≤ t ≤ 19 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41 NHÓM TOÁNVD – VDC Giá trị nhỏ hàm số g= ( x) NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Từ đồ thị ta có f ′ ( t ) =− t = 44 t+4⇔  19 t = Lập bảng biến thiên hàm số g ( t ) Giá trị nhỏ hàm số đạt t = ⇔ x = suy ( g (= x ) )min Câu 3: 70 f ( 2) − 19 Cho hàm số f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên A x0 = −3 B x0 = −4 C x0 = −1 D x0 = Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42 NHĨM TỐNVD – VDC Trên đoạn [ −4;3] , hàm số g (= x ) f ( x ) + (1 − x ) đạt giá trị nhỏ điểm NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Ta có g ′ ( x= ) f ′ ( x ) − (1 − x ) ⇔ f ′( x) = g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − (1 − x ) = 1− x  x = −4 −1 ⇔  x = Dựa vào hình vẽ ta có: g ′ ( x ) =  x = Và ta có bảng biến thiên Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ y −3 O −2 x Xét hàm số g (= x ) f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề sau đúng? A g ( x ) = g (1) [ −3;3] B max g ( x ) = g (1) [ −3;3] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43 NHÓM TOÁNVD – VDC Suy hàm số g (= x ) f ( x ) + (1 − x ) đạt giá trị nhỏ điểm x0 = −1 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số C max g ( x ) = g ( 3) [ −3;3] D Không tồn giá trị nhỏ hàm số g ( x ) [ −3;3] NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Chọn B g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) = ⇔ f ′ ( x ) = x + 1( ∗) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thấy đường thẳng y= x + cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x )  x = −3 ba điểm có hồnh độ là: −3;1;3 Do phương trình ( ∗) ⇔  x =1  x = NHĨM TỐNVD – VDC Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Vậy max g ( x ) = g (1) [ −3;3] Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  Biết đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) y -1 O x -1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Xét hàm số g ( x= ) f ( x) − x − x Mệnh đề sau đúng? B g ( −1) > g ( ) > g (1) C g (1) > g ( ) > g ( −1) D g (1) > g ( ) > g ( −1) NHĨM TỐN VD – VDC A g ( −1) > g (1) > g ( ) Lời giải Chọn D Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x − = ⇔ f ′ ( x ) = x + 1( ∗) Dựa vào độ thị hàm số y = f ′ ( x ) , ta thấy đường thẳng = y x + cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x )  x = −1 ba điểm có hồnh độ −1;1; Do ( ∗) ⇔  x =1  x = NHĨM TỐNVD – VDC Bảng biến thiên hàm số g ( x ) Từ bảng biến thiến suy max = g (1) [ −1;2] Đồ thị hàm số y = g ′ ( x ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x0 ( −1 < x0 < ) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = g ′ ( x ) , y = , x = −1 , x = x0 x0 S1 =− ∫ g ′ ( x ) dx =g ( −1) − g ( x0 ) −1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = g ′ ( x ) , y = , x = x0 , x = = S2 ) dx g ( ) − g ( x ) ∫ g ′ ( x= x0 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số S1 < S ⇒ g ( −1) − g ( x0 ) < g ( ) − g ( x0 ) ⇔ g ( −1) < g ( ) Vậy g (1) > g ( ) > g ( −1) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) liên tục  đồ thị hàm số f '( x) đoạn [ −2;6] hình vẽ Tìm mệnh đề mệnh đề sau A max f ( x= ) f (−2) B max f ( x) = f (2) C max f ( x) = f (6) D max f ( x= ) f (−1) x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] NHĨM TỐN VD – VDC Câu 6: x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] Lời giải NHĨM TỐNVD – VDC Chọn C Từ đồ thị hàm số f '( x) ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x) [ −2;6] Do hàm số y = f ( x) đạt giá trị lớn x = −1 x = Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f '( x) trục Ox ⇒ S1 = ∫ [ − f '( x)]dx = f (−1) − f (2) −1 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f '( x) , trục Ox hai đường thẳng= x 2;= x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số ⇒ S 2= ∫ f '( x)dx= f (6) − f (2) Vậy max f ( x) = f (6) x∈[ −2;6] Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) liên tục tập số thực có đồ thị hình vẽ NHĨM TỐN VD – VDC Ta có S > S1 ⇒ f (6) − f (2) > f (−1) − f (2) ⇔ f (6) > f (−1) 13 ,= f ( ) Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số = g ( x ) f ( x ) − f ( x ) [ −1; 2] Biết f= ( −1) A B 198 C 37 D 14245 64 Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên = Ta có g ′ ( x ) f ( x ) f ′ ( x ) − f ′ ( x )  x = −1 Xét đoạn [ −1; 2] ta có g ′ ( x ) =0 ⇔ f ′ ( x )  f ( x ) − 1 =0 ⇔ f ′ ( x ) =0 ⇔  x = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47 NHĨM TỐNVD – VDC 1573 64 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số 1573 g ( −1) = , g ( ) = 198 64 [ −1;2] [ −1;2] 1573 64 14245 Vậy max g ( x ) + g ( x ) = [ −1;2] [ −1;2] 64 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Biết hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ Câu 8: bên NHĨM TỐN VD – VDC Từ suy = max g ( x ) 198, g ( x ) = x3 x ) f ( x ) − + x − x + Hỏi mệnh đề sau Xét hàm số y = g ( x ) thỏa mãn g ( = đúng? A max g ( x ) = g (1) B max g ( x ) = g ( ) C max g ( x ) = g ( ) D max g ( x ) = [0; 2] [0; 2] [0; 2] NHÓM TOÁNVD – VDC [0; 2] g ( 0) + g ( 2) Lời giải Chọn A x) f ( x) − +) Xét hàm số g ( = x3 + x − x +  Ta có g '= − f ' ( x ) − ( x − 1) , ∀x ∈  ( x ) f ' ( x ) − x + x= ⇔ f '( x ) = Khi g ' ( x ) = ( x − 1) , x ∈  +) Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đồ thị parabol = y ( x − 1) ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ lần x 0,= x 1,= x lượt là= https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Ngoài miền x ∈ ( −∞; ) ∪ (1; ) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía đồ thị parabol = y ( x − 1) nên f ' ( x ) < ( x − 1) , ∀x ∈ ( −∞; ) ∪ (1; ) ( x − 1) nên f ' ( x ) > ( x − 1) , ∀x ∈ ( 0; 1) ∪ ( 2; + ∞ ) Ta có bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) NHĨM TỐN VD – VDC y x ∈ ( 0; 1) ∪ ( 2; + ∞ ) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía đồ thị parabol = miền +) Từ bảng biến thiên, ta có max g ( x ) = g (1) [0; 2] NHĨM TỐNVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49 ... VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Dạng 2: Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số ( ) = y f= ( x ) , y f u ( x ) khoảng, đoạn Cho hàm số y = f ( x) liên. .. NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Vậy M = f (1) Câu 14 Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục  có đồ thị hình vẽ GTLN, GTNN tương ứng M m hàm số T  M  m A... NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng: max P = 0; P = −2  3 0 ;   2  3 0 ;    Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có