Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển từ một bài toán tính tổng I - đặt vấn đề Thực tiễn giảng dạy trong những năm qua cho ta thấy rằng: nếu chỉ với những bài giảng của ngời giáo viên thì thời lợng chơng trình không thể và cũng không nên đáp ứng hết sự tìm tòi của học sinh . Hãy giành ra một khoảng trống để phát huy khả năng sáng tạo và khả năng t duy tình huống trên những ví dụ cụ thể từ đó khơi dâỵ những tiềm năng sẵn có của các em. Niềm say mê trong quá trình học tập là tính sáng tạo. Tính sáng tạo đợc coi nh vấn đề khó và khả năng thực hiện sẽ nh thế nào? Giúp học sinh hiểu rằng sáng tạo không phải là bắt chớc, mà cần làm sáng tỏ tính tự nhiên, cho phép đem lại giải pháp tối đa về một vấn đề nào đó .Một bài toán có thể có nhiều cách giải, với một phơng pháp giảng dạy đúng đắn ngời giáo viên định hớng cho học sinh nắm bắt cốt lõi của vấn đề để từ đó đa ra kết quả đúng với những cách giải của riêng các em .Để làm ngời trợ giúp đắc lực cho quá trình đó ngời giáo viên có thể đa ra những gợi ý,những dạng toán vv Trong khi tự mình giải và đi tìm phơng pháp tối u cho một dạng toán,giáo viên cũng tìm thấy ở đó nhiều điều thú vị bồi dỡng thêm kiến thức và kinh nghiệm s phạm của mình. Vì vậy, với một số bài toán nhỏ mà tôi nêu ra dới đây đều có cùng một dạng đợc phát triển từ một bài toán cụ thể có thể coi nh những ví dụ tiêu biểu minh chứng cho luận điểm của mình 2 Sáng kiến kinh nghiệm II - Nội dung Bài toán 1:Cho A =1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100. Tính giá trị của A Lời giải 1:Theo đề bài ta có: A.3=(1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100).3 =1.2(3- 0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +98.99(100-97)+99.100(101-97) =1.2.3- 1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-3.4.5+4.5.6-4.5.6--97.98.99+98.99.100- 98.99.100-99.100.101=99.100.101. Vậy A = 3 99.100.101 = 333300 Bây giờ ta tạm thời quên đi đáp số 333300 mà chỉ chú ý tới tích cuối cùng 99.100.101 trong đó 99.100 là số hạng cuối cùng của A và 101là số tự nhiên kề sau của 100 , tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta dễ dàng nghĩ tới kết quả sau: 1.2+2.3+3.4+4.5+5.6 ++n(n+1)= 3 )2).(1.( ++ nnn . Các bạn có thể tự kiểm nghiệm kết quả này bằng cách giải tuơng tự nh trên. Bây giờ ta tìm lời giải khác cho bài toán . Lời giải 2: A.3=(1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100).3 =(0.1+1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100).3 =[1. (0+2)+3(2+4)+5(4+6)++97(96+98)+99(98+100)].3 =(1.1.2+3.3.2+5.5.2++97.97.2+99.99.2).3 =(1 2 +3 2 +5 2 ++97 2 +99 2 ).2.3=(1 2 +3 2 +5 2 ++97 2 +99 2 ).6. Ta cha biết cách tính tổng bình phơng các số lẻ liên tiếp bắt đàu từ 1,nhng liên hệ với lời giải 1, ta có: (1 2 +3 2 +5 2 ++97 2 +99 2 ).6=99.100.101, hay (1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 )= 6 101.100.99 =166650 Hoàn toàn hợp lí khi ta nghĩ ngay tới bài toán tổng quát: 3 Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 2: Tính tổng: P=1 2 +3 2 +5 2 +7 2 +9 2 ++(2n+1) 2 (Kết quả :P= 6 )32).(22).(12( +++ nnn ) Kết quả này có thể chứng minh theo một chách khác , ta sẽ xem xét sau Sau đây là một số bài toán có liên quan tới bài toán 1 và bài toán 2 chúng ta có thể ứng dụng những kết quả đó để giải và suy nghĩ tìm ra hớng giải nhanh nhất Bài toán 3 Tính tổng: Q = 9 2 +11 2 +13 2 +15 2 ++(2n+1) 2 . Bài toán 4 : Cho A = 1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100và C = A + 100.101. Tính giá trị C. Theo cách tính A của bài toán 1, ta đợc kết quả :C = 3 102.101.100 Theo lời giải 2 của bài toán 1, ta đi đến kết quả : C=2(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) Tình cờ. Ta lại có kết quả của bài toán tổng quát : Tính tổng bình phơng của các số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 Bài toán 5 : Chứng minh rằng ; 2 2 +4 2 +6 2 ++(2n) 2 = 6 )22).(12(2 ++ nnn Từ đây. ta tiếp tục đề xuất và giải quyết đợc các bài toán khác Bài toán 6 Tính tổng : 20 2 + 22 2 ++48 2 +50 2 . Bài toán 7 : Cho n N * . Tính tổng : n 2 +(n+2) 2 +(n+4)+(n+100) 2. ở bài toán này ta xét hai trờng hợp n chẵn và n lẻ; áp dụng kết quả bài toán 2 , bài toán 5 và cách giải bài toán 3 Bài toán chỉ có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n . Bài toán 8 : Chứng minh rằng : 1 2 +2 2 +3 2 ++n 2 = 6 )12).(1.( ++ nnn . 4 Sáng kiến kinh nghiệm Lời giải 1 Xét trờng hợp bài toán n chẵn ; 1 2 +2 2 +3 2 ++n 2 =(1 2 +3 2 +5 2 +(n-1) 2 +(2 2 +4 2 +6 2 ++n 2 ) = 6 )2).(1()1().1( ++++ nnnnnn = 6 )21).(1.( +++ nnnn = 6 )12).(1.( ++ nnn . Tơng tự với trờng hợp n lẻ ta có điều phải chứng minh Lời giải 2 : Ta có : 1 3 =1 3 2 3 =(1+1) 3 =1 3 +3.1 2 .1+3.1.1 2 +1 3 2 3 =(2+1) 3 =2 3 +3.2 2 .1+3.2.1 2 +1 3 (n+1) 3 =n 3 +3n 2 .1+3.n.1 2 +1 3 Cộng từng vế của các đẳng thức trên : 1 3 +2 3 +3 3 ++n 3 +(n+1) 3 =(1 3 +2 3 +3 3 ++n 3 )+3(1 3 +2 3 +3 3 ++n 3 )+3(1+2+3+. +n)+(1+n) ( n+1) 3 = 3 (1 2 +2 2 +3 2 ++n 2 )+3(1+2+3++n) =(n+1) 3 - 3(1+2+3++n)-(n+1)= (n+1) 2 .(n+1)-3. 2 )1.( + nn -(n+1) = 2 )23)1).(1.(2).(1( +++ nnnn = 2 )12.().1( ++ nnn 1 2 +2 2 +3 2 ++n 2 = 6 )12).(1.( ++ nnn . Lời giải 3: 1 2 +2 2 +3 2 ++n 2 = 1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)++n.(n+1- 1)=((1.2+2.3+3.4+4.5++n.(n+1))-(1+2+3+4++n) = 3 )2).(1.( ++ nnn - 2 )1.( + nn = 6 )12).(1.( ++ nnn . Bài toán 9 : Tính giá trị biểu thức : A = -1 2 +2 2 -3 2 +4 2 --19 2 +20 2 Lời giải : Đơng nhiên , ta có thể tách A = ( 2 2 + 4 2 ++20 2 )-(1 2 +3 2 ++19 2 ); Tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi tìm kết quả của bải toán . Song ta còn cách giải nh sau : 5 Sáng kiến kinh nghiệm A=(2 2 -1 2 )+(4 2 -3 2 )++(20 2 -19 2 )= (2+1).(2-1)+(4-3).(4+3)++(20+19).(20- 19)=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39= 2 10).393( + =210 Trở lại bài toán 1 . A .3 vì 3 là số tự nhiên liền sau của 2 trong nhóm đầu tiên : 1.2.Nếu đúng nh thế thì ta có thể giải đợc bài toán sau Bài toán 10: Tính A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11) Lờ giải: A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11 =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11). 4 4 =[1.2.3. (4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+4.5.6.(7-3)+5.6.7.(8-4)+6.7.8.(9-5)+7.8.9. (10-6)+8.9.10(11-7)+9.10.11.(12-8)]:4 =(1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5++7.8.9.10-7.8.9.10+8.9.10.11- 8.9.10.11+9.10.11.12):4 = 4 12.11.10.9 =3170 Tiếp tục hớng suy nghĩ trên, ta có ngay kết quả tổng quát của bài toán 10 Bài toán 11 : Tính A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5++(n-1).n.(n+1). Đáp số: A= 4 )2).(1().1( ++ nnnn . Các bạn tháy đấy, chỉ với một bài toán ta đã tìm ra đợc nhiều cách giải, đề xuất đợc những bài toán thú vị, thiết lập đợc môí liên hệ giữa các bài toán. III - Kết luận Trên đây là một ví dụ tôi nhỏ đa ra tham khảo. chắc còn nhiều cách phát triển hay hơn nữa mong các đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến hoàn thiện hơn. ngày 18 tháng 3 năm 2005 6 . đợc các bài toán khác Bài toán 6 Tính tổng : 20 2 + 22 2 ++48 2 +50 2 . Bài toán 7 : Cho n N * . Tính tổng : n 2 +(n+2) 2 +(n+4)+(n+100) 2. ở bài toán. dụng kết quả bài toán 2 , bài toán 5 và cách giải bài toán 3 Bài toán chỉ có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n . Bài toán 8 : Chứng