Bài tập Casiô Bài 1. Cho đa thức P(x) = 2x 4 + x 3 -15x 2 +5x-13 Tìm số d khi chia P(x) lần lợt cho x-3; 2x+3; và tích (x-3).(2x+3) Bài 2 Cho đa thức P(x) = (x 2 +x+1) 2000 sau khi triển khai và ớc lợng các hạng tử đồng dạng ta có: P(x) = a 0 + a 1 x + + a 4000 x 4000 Gọi A là tổng các hệ số bậc chẵn, B là tổng các hệ số bậc lẻ? A, B là số chẵn hay số lẻ Bài 3 Cho đa thức bậc 4 P(x) = -3x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d có P(1) = 12; P(2)= 27; P(3) = 52; P(4 )=87. Tính P(5); P(6); P(7); P(8);P(2008) Đặt Q(x) = P(x) (5x 2 + 7). Kết quả: P(2008) = -48.530.131.670.193 Bài 4 Cho đa thức P(x) = x 5 +a x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e. có P(1) = 15; P(2)=21; P(3)= 31; P(4)= 45. Tính A = (50) ( 45) 4 P P+ Đặt Q(x) = P(x) (2x 2 +13) Khi đó Q(1)= Q(2)= Q(3)= Q(4)= 0 Chứng tỏ: Q(x) = P(x) (2x 2 +13) chia hết cho (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) Vì P(x) có bậc 5 nên Q(x) có bậc 5 Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-r) và P(x) = Q(x) +(2x 2 +13) hay P(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-r) +(2x 2 +13) Ta có: P(50) = 49 ì 48 ì 47 ì 46 ì (50-r)+2 ì 50 2 +13 và P(-45) = (-46) ì (-47) ì (-48) ì (-49) ì (-45-r)+2 ì (-45) 2 +13 A = (50) ( 45) 4 P P+ = 2 2 49 48 47 46 (50- r + 45 + r)+2 50 +13+2 45 13 4 ì ì ì ì ì ì + = 2 2 49 48 47 46 95+2 50 +13+2 ( 45) 13 118.146.169 4 ì ì ì ì ì ì + = Bài 5 Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx - 4022008 có P(1) = 1; P(2)=10; P(3)= 25. Tính giá trị của P(x) khi x = 123 Đặt Q(x) = P(x) (3x 2 - 2) ta có: Q(1) = 0; Q(2) = 0; Q(3) = 0; Q(4) = 0 chứng tỏ x = 1;2;3;4 là nghiệm của Q(x) nên Q(x) có dạng: Q(x) = P(x) (3x 2 - 2) = (x-1)(x-2)(x-3).R(x) Vì Q(x) có bậc 4 nên R(x) chỉ có thể có bậc cao nhất là 1. Giả sử R(x) = (x-r) Q(x) = P(x) (3x 2 - 2) = (x-1)(x-2)(x-3).(x-r). Tính Q(0)= P(0) (3.0 -2) = (0-1)(0-2)(0-3).(0-r) 0 4022008 0 + 2 = 6r r = - 670335 Kết quả r = -670335 Vậy P(x) = (x-1)(x-2)(x-3).(x+670335)+(3x 2 -2) P(123)= 1.187.676.164.905 Bài 6 Cho đa thức P(x) = 2x 5 - 3x 2 +1 có 5 nghiệm x 1 ; x 2 ; x 3 . x 4 , x 5 . Ký hiệu Q(x) = x 2 - 5. Tính: A = Q(x 1 ). Q(x 2 ). Q(x 3 ). Q(x 4 ). Q(x 5 ). Kết quả A= -12304 Bài 7 Tìm đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm nhỏ hơn 9 thoả mãn f(9) = 4022009. Kết quả f(x)= 7x 6 +5x 5 +x 4 +x 2 +3x+8 Bài 8 Cho đa thức f(x) xác định với mọi x Z và f(x 2 -1) = 3x 4 + 6x 2 -4. Tính chính xác f(422009) Kết quả f(x) = 3x 2 + 12x+5 và f(422009) = 534.279.852.356 Bài 9 Một ngời vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi xuất 0.9%/tháng với phơng thức trả gốc và lãi hàng tháng trong kỳ hạn 36 tháng. Hỏi hàng tháng ngời đó phải trả một số tiền cố định là bao nhiêu để đúng tháng thứ 36 thì hết nợ. HD Gọi số tiền Anh ta nợ ban đầu là A, lãi xuất phải trả là r%/tháng, hàng tháng Anh ta trả số tiền là x. - Sau tháng thứ nhất Anh ta trả lãi và x đồng nên còn nợ số tiền T 1 = ( ) 1 .A rA x A r x A k x- - = - - = - với ( ) 1k r= - - Sau tháng thứ hai Anh ta nợ số tiền T 2 = 2 2 2 1 ( ). . ( 1) . 1 k Ak x k x A k x k A k x k - - - = - + = - - - Sau tháng thứ ba Anh ta nợ số tiền T 3 = 3 2 3 2 3 1 ( . ( 1)) ( 1) 1 k A k x k k x Ak x k k Ak x k - - + - = - + + = - - . - Sau tháng thứ n Anh ta nợ số tiền 1 1 1 1 ( . ) . 1 1 n n n n n k k T A k x k x A k x k k - - - - = - - = - - - Sau n tháng Anh ta trả xong nợ nghĩa là T n = 0 hay: 1 1 . ( 1) .(1 ) . . 0 . 1 1 1 1 (1 ) n n n n n n n n k k A k k A r r A k x A k x x x k k k r - - - - - = = = = - - - - - áp dụng với A = 100.000.000; r = 0.009; n = 36 ta có: x=2.339.625 đ Vậy hàng tháng Anh ta phải trả số tiền cố định là 2.339.625 đồng. Bài 10. a) Tìm tất cả các số hữu tỷ a,b sao cho x = 3 5+ là nghiệm của PT x 3 +ax 2 +bx- 4 = 0 b) Gọi x 1 ; x 2 ; x 3 là 3 nghiệm của pt ứng với a, b tìm đợc. Đặt S n = x 1 n + x 2 n +x 3 n . CMR S n là số nguyên với mọi n là số tự nhiên. KQ: a) PT: x 3 -7x 2 +10x- 4 = 0 b) S n+2 = 1 + 6S n+1 - 4S n Với S 0 = 2; S 1 = 6; S 2 = 28; S 3 = 144 và S n+2 = 1 + 6S n+1 - 4S n nên S n là số nguyên n Ơ Bài 11. Tìm nghiệm nguyên của PT: a) x 2 xy 6y 2 + 2x 6y 10 = 0 (Đa về dạng (x - 3y)(x + 2y + 2) = 10) b) ( ) 5 5 3 2 2 1 1 1 3 2 2 1 * 3 3 x x y x y y x y = + + = + ữ ;x y  thì vế trái của (*) là số hữu tỷ, VP là số vô tỷ có hệ PT 5 1 0 3 3 6 3 2 2 1 0 x y x y x y + = = = + = c) (x 2 +y)(y 2 +x)=(x-y) 3