KIỂM TRA BÀI CŨ Biết bốn số hạng đầu tiên của một dãy số là 3,7,11,15 .Hãy chỉ ra quy luật của dãy số trên và viết tiếp năm số hạng của dãy số đã cho ? • Quy luật của dãy số trên là : 7=3+4;11=7+4;15=11+4 . • Năm số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là :19,23,27,31,35 BÀI GIẢI §3 CẤP SỐ CỘNG I/ ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai ,mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d gọi là công sai Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi VD : 5,5,5,5,5,5,5 với U 1 =5 và d = 0 + = + ∈ ¥ * n 1 n u u d (n ) Công thức truy hồi : ĐỊNH NGHĨA §3 CẤP SỐ CỘNG I/ ĐỊNH NGHĨA + = + ∈ ¥ * n 1 n u u d (n ) ĐỊNH NGHĨA HOẠT ĐỘNG 1 Mỗi nhóm hãy cho một ví dụ cấp số cộng Cấp số cộng U 1 d 1,-3,-7,-11,-15 1 -4 5,10,15,20,… 5 5 2,7 ;2,7 ;2,7 ;2,7 2,7 0 Một số ví dụ về cấp số cộng §3 CẤP SỐ CỘNG HOẠT ĐỘNG KHÁM PHÁ Bạn An chơi trò xếp que diêm thành hình tháp ,cách xếp thể hiện như sau: Hỏi nếu có 100 tầng thì tầng đáy có bao nhiêu que diêm ? Tầng 1 - - - - - - - - - - - - - Tầng 2 Tầng 3 Tầng 4 Tầng 100 (tầng đáy) 1 que 3 que 5 que 7 que Có bao nhiêu que ? ? §3 CẤP SỐ CỘNG II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT ĐỊNH LÝ 1 Nếu cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n, được xác định bởi công thức : n 1 u u (n 1)d = + − n 2 ≥ với ( * ) §3 CẤP SỐ CỘNG ĐỊNH LÝ 1 Nếu cấp số cộng (U n ) có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n, được xác định bởi công thức : II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT n 1 u u (n 1)d = + − n 2 ≥ với ( * ) CHỨNG MINH Sử dụng phương pháp quy nạp : Khi n = 2 thì u 2 =u 1 +d (đúng). Giả sử công thức ( * ) đúng với n = k ,tức là u k = u 1 + (k-1)d. Ta chứng minh ( * ) đúng với n = k+1,tức ta chứng minh :u k+1 = u 1 + kd. ta có : u k+1 =u k +d ( định nghĩa cấp số cộng ) <=> u k+1 = u 1 + (k-1)d + d ( theo gt quy nạp ) <=> u k+1 = u 1 + kd -d + d <=> u k+1 = u 1 + kd ( điều phải chứng minh ) Vậy : u k = u 1 +(n-1)d với n 2 ≥ HOẠT ĐỘNG 2 Bạn An chơi trò xếp que diêm thành hình tháp ,cách xếp thể hiện như sau: Hỏi nếu có 100 tầng thì tầng đáy có bao nhiêu que diêm ? Tầng 1 ? - - - - - - - - - - - - - Tầng 2 Tầng 3 Tầng 4 Tầng 100 (tầng đáy) 1 que 3 que 5 que 7 que Có bao nhiêu que ? Qua định lý 1 vừa học ta trở lại bài toán tính số que diêm của tầng đế ( tức là tính u 100 ). Tóm tắt :Với u 1 =1,d = 2 .Tính u 100 Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát: u 100 = 1+(100-1).2 = 199 Vậy tầng đế có 199 que diêm BÀI GIẢI §3 CẤP SỐ CỘNG ĐỊNH LÝ 1 II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT n 1 u u (n 1)d = + − n 2 ≥ với VÍ DỤ : Cho cấp số cộng (u n ) biết u 1 = -5,d = 3. a/ Tính u 15. b/ Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng ? c/ Biểu diễn các số hạng u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 trên cùng trục số .Nhận xét vị trí của mỗi điểm u 2 ,u 3 ,u 4 so với hai điểm liền kề a/ u 15 = -5 +(15-1).3 = 37 b/ u n = -5 +(n-1).3 <=> 100 = -5 +(n-1).3 <=>100 = -5 +3n -3 <=>108 = 3n . <=> n = 36 GIẢI c/ u 1 u 2 u 3 u 5 u 4 -5 -2 1 4 7 u 4 là trung điểm của đoạn u 3 u 5 hay 3 5 4 u u u 2 + = tương tự với u 3 và u 2 §3 CẤP SỐ CỘNG III/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG : ĐỊNH LÝ 2 : Trong cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là k 1 k 1 k u u u .(k 2) 2 − + + = ≥ CHỨNG MINH : giả sử (u n ) là cấp số cộng với d là công sai Theo định nghĩa cấp số cộng : u k-1 = u k – d (1) u k+1 = u k + d (2) Cộng (1) với (2): u k-1 + u k+1 = 2u k <=> k 1 k 1 k u u u .(k 2) 2 − + + = ≥ . Số d gọi là công sai Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi VD : 5,5,5,5,5,5,5 với U 1 =5 và d = 0 + = + ∈ ¥ * n 1 n u u d (n ) Công thức truy. 1 Nếu cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n, được xác định bởi công thức : n 1 u u (n 1)d = + − n 2 ≥ với ( * )