Chuyờn bi dng HSG toỏn 8 Tính giá trị của biểu thức đại số Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình A. Biểu thức đại số thông thờng Ví dụ 1 : a. Cho biểu thức f(x) = 2x 3 3x 2 + 1 . Tính f(0) ; f(1) ; f(n) b. Cho biểu thức A = 2xy 2 + x 2 2 tại x = 1 và y = 2 Giải : Dễ dàng Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức B = x 4 17x 3 + 17x 2 17x + 20 tại x = 16 Giải : Cách 1 : Thay x = 16 vào biểu thức B và tính Cách 2 : Vì 17 = 16 + 1 = x + 1 nên ta thay 17 bằng x + 1 trong B ,ta có : B = x 4 ( x + 1)x 3 + ( x + 1)x 2 ( x + 1)x + 20 = x 4 x 4 x 3 + x 3 + x 2 x 2 x + 20 B = 20 x = 20 16 = 4 Bài tập : Tính giá trị các biểu thức sau a. f(x) = x 3 30x 2 31x + 1 tại x = 31 b. g(x) = x 5 15x 4 + 16x 3 29x 2 + 13x tại x = 14 c. h(x) = x 14 10x 13 + 10x 12 10x 11 + . + 10x 2 10x + 10 tại x = 9 d. K(x) = ( 4x 2 + 2x 1)( x 2 1) + 3( x 2 5)( 5 x 2 ) ( x 2 8) 2 + 2x + 8 tại x = 2 e. p(a) = ( a 3 + 2a 2 + 2a + 1)( a 3 2a 2 + 2a 1) với a = 3 B. Biểu thức đại số có điều kiện Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức A = x 4 2x 3 + 3x 2 2x + 2 với x 2 x = 3 Giải : A = x 4 x 3 x 3 + x 2 + 2x 2 2x + 2 = x 2 ( x 2 x) x( x 2 x) + 2( x 2 x) + 2 = 3x 2 3x + 6 + 2 = 3( x 2 x) + 8 = 3.3 + 8 = 9 + 8 = 17 Ví dụ 2 : Tính giá tị của biểu thức B = x 4 + x 2 y 2 + y 4 với x 2 + y 2 = 25 và xy = 12 Giải : B = ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 = ( x 2 + y 2 + xy)( x 2 + y 2 xy) = ( 25 + 12)( 25 12) = . Ví dụ 3 : Cho a 2 + b 2 + c 2 = 5 , Tính giá trị của biểu thức C = ( 2a + 2b c) 2 + ( 2b + 2c a) 2 + ( 2c + 2a b) 2 Giải : Ta có ( 2a + 2b c) 2 = 4a 2 + 4b 2 + c 2 + 8ab 4ac 4bc ( 2b + 2c a) 2 = 4b 2 + 4c 2 + a 2 + 8bc 4ab 4ac ( 2c + 2a b) 2 = 4c 2 + 4a 2 + b 2 + 8ac 4bc 4ab Từ đó C = 9( a 2 + b 2 + c 2 ) = 9.5 = 45 Ví dụ 4 : Cho a + b = ab , tính giá trị của biểu thức D = ( a 3 + b 3 a 3 b 3 ) 3 + 27a 6 b 6 Giải : Ta có a + b = ab ( a + b) 3 = a 3 b 3 a 3 + b 3 + 3ab( a + b) = a 3 b 3 a 3 + b 3 a 3 b 3 = 3ab( a + b) = 3ab.ab (a 3 + b 3 a 3 b 3 ) 3 = 27a 6 b 6 (a 3 + b 3 a 3 b 3 ) 3 + 27a 6 b 6 = 0 . Vậy D = 0 1 Chuyờn bi dng HSG toỏn 8 Ví dụ 5 : Cho 2 2 2 0 14 a b c a b c + + = + + = Tính giá trị của biểu thức E = a 4 + b 4 + c 4 Giải : Ta có 14 2 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = a 4 + b 4 + c 4 + 2( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . Vậy ta có : a 4 + b 4 + c 4 = 196 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . Lại có 0 2 = a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( ab + bc + ca ) = 14 + 2( ab + bc + ca) . Từ đó ab + bc + ca = 7 49 = ( ab + bc + ca ) 2 = a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2 ( ab 2 c + a 2 bc + abc 2 ) 49 = a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2abc( a + b + c) . Vậy : a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 = 49. Do đó a 4 + b 4 + c 4 = 196 2.49 = 196 98 = 98 Ví dụ 6 : Cho 2 2 2 3 3 3 1(1) 1(2) 1(3) a b c a b c a b c + + = + + = + + = Tính giá trị của biểu thức A = a + b 2 + c 3 Giải : 1 3 = ( a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3( a + b)( b + c)( c + a) . mà a 3 + b 3 + c 3 = 1 nên ta có ( a + b)( b + c)( c + a) = 0 . Vậy a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0. Nếu a + b = 0 thay vào (1) ta có c = 1 c 2 = 1 thay vào (2) đợc a = b = 0 A = 1 Nếu b + c = 0 thay vào (1) ta có a = 1 a 2 = 1 thay vào (2) đợc b = c = 0 A = 1 Nếu a + c = 0 thay vào (1) ta có b = 1 b 2 = 1 thay vào (2) đợc a = c = 0 A = 1 Vậy A = 1 Ví dụ 7 : Cho 2 2 x y a x y b + = + = Tính giá trị biểu thức M = x 3 + y 3 theo a , b Giải : Ta có a 3 = ( x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy( x + y) = M + 3axy . Vậy : M = a 3 3axy Lại có a 2 = ( x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy = b + 2xy xy = ( a 2 b )/2. Thay vào M ta có M = a 3 3a( a 2 b)/2 = ( 3ab a 3 )/2 Ví dụ 8 : Cho 3 2 3 2 3 19 3 98 a ab b a b = = Tính giá trị biểu thức N = ( a 2 + b 2 ) 3 Giải : Ta có : 19 2 = a 6 6a 4 b 2 + 9a 2 b 4 và 98 2 = b 6 6a 2 b 4 + 9a 4 b 2 19 2 + 98 2 = a 6 + 3a 4 b 2 + 3a 2 b 4 + b 6 = ( a 2 + b 2 ) 3 . Vậy N = 19 2 + 98 2 Ví dụ 9 : Cho 0 2 x y z a b c a b c x y z + + = + + = tính giá trị biểu thức N = 2 2 2 2 2 2 a b c x y z + + 2 Chuyờn bi dng HSG toỏn 8 Giải : Từ GT 0 2 = 2 2 x y z bcx acy abz a b c abc + + + + = ữ ữ . Vậy bcx + acy + abz = 0 Lại có 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ab bc ca a b c abz bcx acy x y z x y z xy yz xz x y z xyz + + + + = + + + + + = + + + ì ữ ữ do bcx + acy + abz = 0 nên N = 4 Ví dụ 10 : Cho ( ) ( ) ( ) 2 13 169 27 2 a x y x z z y x y z x z = + + = + + + , Tính P = 2a 2 8a + 1 Giải : Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 169 27 27 2 a z y x y z x z x y x z x y x y x z = = = + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 169 27 27a x z x y x z x y x y x z x z x y = = = + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 169 27 196a x y x z x z x y x y + = = + + + + + + Vậy a = 14 Từ đó thay vào tính đợc P Bài tập : 1. Cho x + y = 3 , tính A = x 2 + 2xy + y 2 4x 4y + 1 2. Cho a + b = 1 , tính B = a 3 + b 3 + 3ab( a 2 + b 2 ) + 6a 2 b 2 ( a + b) 3. Cho x + 1 = 1 , tính C = x 3 + y 3 + 3xy 4. Cho x 2 2y 2 xy với y( x + y) 0, tính giá trị biểu thức K = x y x y + 5. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc . Tính giá trị của biểu thức D = 1 1 1 a b c b c a + + + ữ ữ ữ 6. Cho 1 1 1 0 a b c + + = , Tính giá trị biểu thức E = 2 2 2 ab bc ac c a b + + 7. Cho x 2 + 9y 2 4xy = 2xy | x 3 | . Tính F = ( ) ( ) ( ) 5 1 5 x y x x + + 8. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc và a + b + c 0 , tính H = ( ) 2 2 2 2 a b c a b c + + + + 3 Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 8 9. Cho ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a x bc a b c y b c a  + − =    − −  =  + −  , TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Q = x + y +xy 10. Cho a + b + c = 0 , tÝnh S = a b b c c a c a b c a b a b b c c a − − −     + + + +  ÷ ÷ − − −     4 . biểu thức B = x 4 17 x 3 + 17 x 2 17 x + 20 tại x = 16 Giải : Cách 1 : Thay x = 16 vào biểu thức B và tính Cách 2 : Vì 17 = 16 + 1 = x + 1 nên ta thay 17 . giá trị các biểu thức sau a. f(x) = x 3 30x 2 31x + 1 tại x = 31 b. g(x) = x 5 15 x 4 + 16 x 3 29x 2 + 13 x tại x = 14 c. h(x) = x 14 10 x 13 + 10 x 12 10 x