CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trò x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất Nếu  x0 , y0  nghiệm hệ  y0 , x0  nghiệm S  x  y c) Cách giải: Đặt  điều kiện S  P quy hệ phương trình  P  x y ẩn S , P Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình sau:  x  y  xy  a)  3 x  y   2  x  y    c)  3   x y 6 3  x  y  19 b)   x  y   xy   x y  xy   x  y  xy  d)   x   y   Giải: S  x  y a) Đặt  điều kiện S  P hệ phương trình cho trở thành:  P  x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2S  P    S  P  2     3S   S  S  3P    S  S  8     2S  3S  6S  16    S    2S  S     S   P  Suy x, y hai nghiệm phương trình: X  X   X  0, X  x  x    y  y  S  x  y b) Đặt  điều kiện S  P hệ phương trình cho trở thành:  P  x y  S  S  3P   19  SP  8S S   SP  8S      S    8S   19  P  6  S  24S  25   S   P   Suy x, y hai nghiệm phương trình: X  X    X1  3; X  2 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm  x; y    2;3 ,  3; 2  c) Đặt a  x , b  3 2   a  b    a b  b a  y hệ cho trở thành:   a  b  S  a  b Đặt  điều kiện S  P hệ cho trở thành  P  ab   S  3SP   3SP S  2  36  3P   3P    P   S   S  Suy a, b nghiệm phương trình: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a   x  a   x  64 X  X    X  2; X     b   y  64 b   y  Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm  x; y    8; 64  ,  64;8   xy  S  x  y d) Điều kiện:  Đặt  điều kiện S  P hệ phương  x, y  1  P  x y trình cho trở thành:  S  3; P   S  3  S  P      2 S   S  3   14  S  S   S  P   16 3  S  14; P   S  32 3  S  14; P   S  3    2 4  S  8S  10   196  28S  S  S  30 S  52  S  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    3;3  P   x  y  Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình sau: 2   x  y  xy  a)    x y 4 xy  2 x  y  x  y  c)   x  y  x2  y      x  y  1      xy  b)   x  y 1      x2 y       x3 y 1  y   x y   y   xy  30  d)  2  x y  x 1  y  y   y  11  Giải: a) Đặt x  a, y  b điều kiện a, b  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  a  b  2ab  Hệ phương trình trở thành:  Ta viết lại hệ a  b   (a  b)  4ab(a  b)  2a 2b  2ab  phương trình thành:   a  b  S  a  b Đặt  điều kiện  P  ab S  4P hệ cho trở thành  S , P    256  64 P  P  P   S  P4ab2 x y4   S  Ngồi ta giải ngắn gọn sau:   x  y   xy  16    x  y  xy  16   x  y   x  y  ( x  y )2   x  y  x   x  Vậy hệ có cặp nghiệm  x; y    4;  b) Điều kiện: x  y  Biến đổi phương trình (1): x2  y  xy xy    x  y  1  xy  x y x y Đặt x  y  S , xy  P ta có phương trình: S  2P  2P 1  S  S  2P  2SP  S   S (S  1)  P( S  1)   ( S  1)( S  S  P)  Vì S  P, S  suy S  S  P  Do S  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Với x  y  thay vào (2) ta được:  1  y   y  y  0, y  2 xy  x  y    x  y  x  y  x  y  (không x y thỏa mãn điều kiện) Xét x  y   Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   1; 0 ,   2;3 c) Điều kiện: xy  Hệ cho tương đương:  1  1 1  x  y   x  y       x  y x y     2 1 2 1  1 x  y    9   x  x    y  y   x2 y     1  1  x     y    S x  y  Đặt   x    y    P    x  y  Hệ trở thành: S  S 1  x   2; y    x y  2P   S  5, P    1 5   x  x  3; y  y    3  x  1; y   Vậy hệ cho có nghiệm:  3 ; y 1 x    3   3  ;1  x; y   1; ,     http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  xy  x  y  x  y  xy   30 d) Hệ tương đương với :   xy  x  y   x  y  xy  11 Đặt xy  x  y   a; xy  x  y  b Ta thu hệ:   xy  x  y    ab  30  a  5; b   xy  x  y     xy x  y     a  b  11  a  6; b      xy  x  y     xy    xy  x  y    x  2; y  x  y  TH1:      xy   xy  x  y   x  1; y   ( L)   x  y    xy    21  21 ( L)  ;y x  x  y   xy  x  y    2 TH2:       xy   21  21  xy  x  y   ;y x   2   x  y    21 21  Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;  ,  2;1 ,  ;  2   II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương trình + Tính chất.: Nếu  x0 ; y0  nghiệm hệ  y0 ; x0  nghiệm + Phương pháp giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình có dạng x  y   x  y   f  x; y      f  x; y   Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình sau:  x  x  y a)   y  y  x  x  1  y    y  x  1  b)  2  y  1  x    x  y  1  x  x   x   y c)   y  y   y   x d) Giải: a) Điều kiện: x, y  Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được:  y     x2  x  y  y   y  x    x Vì  x y x y   x  y  1    x  y  1   x y 0   x y 0 nên phương trình cho tương đương với: x  y Hay x2  2x  x   x2  x  2x  x   x   x 1 x  x 1   x   x       3 3  Vậy hệ có cặp nghiệm:  x; y    0;0  , 1;1 ,  ;  2   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  xy  x  y   yx  y  b) Hệ cho   2   yx  y  x   xy  x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: xy  y  x    x  y    x  y  x  y     x  y  x  y  xy    x  y   x  y  xy   x  y  + Nếu x  y thay vào hệ ta có: x  x     x  y  + Nếu x  y  xy    1  x 1  y   15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x  y  x  x  12    x  5   y    Đặt 2 a  x  5, b  y   a  b   a  b   a  b   2ab  ab  1 Ta có:      a   b    15 ab   a  b   1  a  b  8   ab  31 2 a  b  Trường hợp 1:    x; y    3;  ,  2;3 ab  1 a  b  8 Trường hợp 2:  vô nghiệm ab  31 Vậy nghiệm hệ cho là:  x; y    2;  ,  3;3 ,  2;3 ,  3;  1 c) Điều kiện: x   ; y   2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Để ý x  y   nghiệm Ta xét trường hợp x  y  1 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được:   x  3x   x   y  y   y   y  x  ( x  y)  x  xy  y   4( x  y )  2 x  y 2x 1  y 1 0    ( x  y )  x  xy  y   0 x y x   y    Khi x  y xét phương trình: x3  x   x    x3  x  x    x( x  1)  2x     x  x2   0 x0 2x 1 1 x   1  Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x  y  HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp + Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: ax  bxy  cy  d  +  , ex  gxy  hy  k   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ax  bxy  cy  dx  ey  +  ,  gx  hxy  ky  lx  my 2 ax  bxy  cy  d +  … 2 gx  hx y  kxy  ly  mx  ny Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình đẳng cấp bậc n : a1 x n  ak x nk y k  an y n  Từ ta xét hai trường hợp: y  thay vào để tìm x + y  ta đặt x  ty thu phương trình: a1t n  ak t nk  an  + Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x, y Chú ý: ( Ta đặt y  tx ) Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình sau:  x  x  y  y a)  2  x    y  1 2  5 x y  xy  y   x  y   b)   x, y  2 xy x  y   x  y        Giải:  x3  y  x  y a) Ta biến đổi hệ:  2  x  y  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  x2 2 y  xy  xy  Với y  ta biến đổi hệ phương trình thành  2 x  xy  y   y Đặt a  x2 ; b  xy hệ phương trình trở thành y  2a  b  b 2ab  b  (3)   2 2a  2ab  b  2a (4) 2a  2b  b   a Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta  a  1 a2  a     a  2 TH 1: a  1  b  2b   ( VN)  x2    x   TH : a   b  ta có hệ phương trình  y  y   xy   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y)  41)  4;   1  x  1  x  Điều kiện:      y  y  0  y  Cách 1: Đặt t  x  1,  t  Lúc hệ pt thành: t  3t   y  y  t  3t  y  y   2 2 2  x   x  y  y  2  x   x  y  y  2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  t  y   t  ty  y  3(t  y)   Vì t  ty  y  3(t  y )   t   y  3 t  y  y  có    y  3   y  y    y  3 y   y   3  y  3 y  1  Từ phương trình (1) ta suy ra: nên phương trình vơ nghiệm Vậy t  y  x   y Thay x   y vào phương trình (2) có: x   x  2   x   x       x2    x2     x2    x   y 1   x  3 Vậy hệ pt có nghiệm  x; y    0;1 Cách 2: Phương trình (2)  x   x   y  y  f  x   g  y  Xét f  x  miền  1;1 ta có  f  x   Ta lại có: g  y   y   y   13 y2 y  y 1 Vậy f  x   g  y  Dấu xảy  x   1, x   Thay vào phương trình (1) có nghiệm  x; y    0;1 (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm  x; y    0;1 42) Vì x  khơng phải nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x ta thu được: x3  x  3x   x3   y   y  1  1  1    1     x  x 3  y   3 2y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đặt a   , b   y suy y a3  a  b3  b   a  b   a  ab  b2  1   a  b Thay vào pt thứ ta được:    x  3   15  x     x7 y x7  x2 3 x7 15  x   15  x  111 98 43) Dễ thấy xy  không thỏa mãn hệ   1  x    y    x  y Với xy  viết lại hệ dạng:   2  x  y  xy  x  y  14  Điều kiện để phương trình x  y  xy  x  y  14  (ẩn x) có  7 nghiệm 1   y    y  24 y  56   y  1;   3 Điều kiện để phương trình x  y  xy  x  y  14  (ẩn y) có  10  nghiệm là:    x    x  28 x  56   x   2;   3 đồng biến  0;   nên t  f  x  f  y   f   f 1  Xét hàm số f  t   2t  x  Kết hợp với phương trình thứ ta được:  nghiệm hệ y 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 0 “Để chứng minh hàm số f  x  đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1  x2 D Chứng minh: f  x1   f  x2  x1  x2 0” Ngược lại để chứng minh hàm số f  x  nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1  x2 D Chứng minh: f  x1   f  x2  x1  x2 44) 0” Điều kiện xác định x  1 ;y2 2  x  13  x    y  3 y  Ta viết lại hệ thành:   4 x   y   Đặt a  x  1, b  y  suy 2a  a  2b3  b  a  b Từ phương trình thứ hệ ta có:  x   y2 Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 y   y   6(*) Đặt t  y  y  t  thay vào ta có: 2t  16   t  t  1   y  Vậy hệ có nghiệm  x; y    ;6  2  45) 4y  x  13 x  y    13  Điều kiện:  2 x  y  x   y  Đặt a  13 x  y , b  x  y Khi ta hệ phương trình: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 5 x  b  (1)  a  4b  x a  2b  x     a  2b   a  2b  (2) a  2b  b  x  y  b  x  y  b  x  y  (3)     2 Thế (1) vào (3) ta được: x  8y  (4) Thế (4) vào phương trình 3  19 y   y y  x  y  x  y  ta được:   3 4 y  69 y  19   Giải y  69  545 từ tính x  24  545  69  545  Thử lại ta thấy  x; y    24  545;  nghiệm cần tìm   46) Ta tìm cách loại bỏ 18y Vì y  khơng nghiệm phương trình (2) nên tương đương 72 x y  108 xy  18 y Thế 18y từ phương trình (1) vào ta thu được:   xy    21   3 2 x y  72 x y  108 xy  27    xy   21    xy   Thay vào phương trình (1) ta tìm x, y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word   y  0( L)    xy   27 3  y   3  x  3 18    xy   27  y     x  3  18         Vậy hệ cho có nghiệm  x; y      3 ; 4 47) Điều kiện: x  2, y         1   ,  ;     4  Phương trình (1) tương đương: 2  x  x   x   y  1 y   y   f    x 1  f y 1 Đặt a   x , b  y   a  a  b3  b  a  b  x  y   x   y thay vào ta có: a  2b  5 2y  y     a  2b     a  1; b  y    3  65 23  65 233  23 65   a  ;b    y  32   65  23  65 233  23 65   ;b  y  a   32  Vậy hệ có nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word   23 65  185 233  23 65   23 65  185 233  23 65  ; ;  ,    16 32 16 32      x; y    1;  ,  48) Điều kiện: x  Ta có (1) tương đương x   x2  y  y    y2 1  y  y2 1  y  x  x    y  y  Từ ta rút x   y Thay vào (2) ta được: y  y y 1  35 12 Bình phương hai vế (điều kiện y  ) Khi ta có: y2  Đặt y2 y2 1 y2 y2 1 y2 y4  y2  y2 y2  35   35         2 y   12  y 1 y   12    t  Phương trình tương đương: 49  t   ( L)   35  12 t  2t        25 12   t   12  y  y 25   y  12 y    Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương  5  5 Vậy hệ có nghiệm  x; y     ;  ,   ;   4  3 49) Triển khai phương trình (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word (1)  x y  xy   x  xy  y   x y  x  y   8xy   x  1 y  1  8 xy Nhận thấy x  0, y  không nghiệm hệ Phương trình (1) là: Đặt x2  y   8 x y x y  a;  b Hệ cho tương đương: x 1 y 1  x    a     x 1   2      x  1  y  1   b   a  b     y      y     4     1 x     x       8  a   x    ab     y  1     y    b     y  2    Vậy hệ có nghiệm  x; y    1;      , 1;  ,  3; 1 ,  3; 1 50) Ta có: ( x  y)  1  1  x  y 2  x   y2  x2  y  x  y  ( x  y)2    2 Mặt khác ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x  2y x  xy  y  x  y   ( x  y )   12  x  2y x  xy  y  Từ suy x2  y x  xy  y   x  2y  x  2y Dấu xảy x  y  Thay vào phương trình lại ta thu được: x  x3  3x  x     x  1  x3  3x  1   x   y   1 Hệ có cặp nghiệm:  x; y   1;   2 51) Cộng theo vế pt hệ ta được:  x     y     z    (*) 3 Từ suy số hạng tổng phải có số hạng khơng âm, khơng tính tổng quát ta giả sử:  z     z  Thế phương trình thứ hệ tương đương: x3  16  12  z    12.22  x  Thế phương trình thứ hai hệ tương đương: y  16  12  x    12.22  y  Do từ  x     y     z    *  x  y  z  thử lại thỏa mãn 3 Vậy  x; y; z    4;4;4  nghiệm hệ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 52) Phương trình (1) hệ có dạng:  x2   y Do x   y   nên suy vào phương trình (2) ta có:   x2   y   x   y   y  x  thay ( x  2)  ( x  2) ( x  2)    x  x x 2  x    x  x  1  y   Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;  53) Theo bất đẳng thức cô si ta có:  x x x y 1 x x y        x  y x  3y  x  y x  3y   x  3y   y 2y 11 2y    x  3y  x  3y    x  3y     Tương tự ta có: x y 1 x 3     x  3y  x  y  x y 1 x 3     y  3x  x  y    1 x y     Dấu xảy  x  3y x  y   x  y thay vào phương trình thứ ta được: x  y  Từ suy   2 y  ( x  4) y  y  x  x    1 x  x  y   4( x  1)  y    1  x  54) Điều kiện:  x  y   Phương trình thứ hệ viết lại thành: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x  ( y  4) x  y  y  y     ( y  4)  4(2 y  y  y )   y  y   x  2y Từ ta tính được:  x  y  2y  Vì x  y  y   ( y  1)2   nên không thỏa mãn Thay x  y vào phương trình thứ hai ta được: 1 x  x   x2  x  2 Ta có: x  x  5  (2 x  1)   ; 2 1 x 1   2x    x  x     1   x  x  3  2 4  Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy 1 Suy x  ; y  55) Từ phương trình (2) ta suy x  Phương trình (1) viết lại sau: x2   y  y  1 x  y3  y      y  y  1   y  y    y  y  1  x   y2  Từ tính được:  x  y 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Thay y  x  vào phương trình ta thu được: x( x  4)  x   x Chia phương trình cho x  ta có: x 2x  1 x 4 x 4 t  x  ta có 2t  3t     t  x2   Đặt t  Với t   x  x   vô nghiệm Với t   x   y 1 Vậy hệ có nghiệm  x; y    2;1 Điều kiện: x  56) Ta viết lại phương trình (1) thành: x  ( y  2) x  y  y  y  Tính 2 x  2y    y    y  16 y  16 y   y  y     x   y  2y   Thay y   x vào phương trình ta thu được:  x   x   x  x  9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có:   3 x   x   1.( x  1)  1  x  1  x 2 33 2x   33 x  10 4.4.( x  2)     x    2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Từ suy   x 1  2x   x  10 x  2x  2 Mặt khác ta có: x  x   (2 x  5)   x    Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy x  Suy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;1 Mặt khác ta thấy x  2; y  nghiệm hệ Vậy  x; y    2;3  nghiệm hệ 57) Đặt a  x  y  ,b  x  y  x y     3( x  y )  13 5 ( x  y )  2 ( x  y)   Hệ   nên ta có: ( x  y  )  x  y   x y 5(a  2)  3b  13 5a  3b  23   a  b  a  b   a  a   Giải hệ ta tìm   b  3 b   Từ ta tìm nghiệm hệ:  1     11    ;  x; y     ,  ;   ,  ; 2   4  2   58) Từ phương trình (2) ta suy xy   x, y dấu Từ phương trình (1) ta suy x, y  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x2   y y   x2 x 2 y  y 2 x    Dấu xảy 2 x  y  2 Bài toán trở thành: Giải hệ phương trình:  x  y   ( x  y )  12( x  1)( y  1)  xy  Ta có: ( x  y )3  12( x  1)( y  1)  xy   ( x  y )3  12( x  y )  21  12 xy  xy Đặt t  x  y  t   x  y   ta thu  x  y  xy   x  y  t  1 Ta có: ( x  y )3  12( x  y )  21  12 xy  xy  ( x  y )  12( x  y )  21  12  x  y   x2  y    x  y   t  6t  12t  Ta có t  6t  12t    t    Khi t   x  y  nghiệm hệ 59) Từ phương trình hệ ta suy x, y  Xét phương trình: x3  y   x  y  xy  xy  x  y  Ta có: x3  y   x  y  xy   x  y   x  y  xy    x  y   x  y   xy    Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:  x  y   xy  2 x3  y   x  y  xy  xy  x  y   x  y   x  y   xy  x x  y  x  y xy Suy  xy  x  y  Ta có  y  xy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy x3  y   x  y  xy  xy  x  y  Dấu xảy x  y Thay vào phương trình (2) ta thu được: x  x    x  x   x   x  3  Suy x  hoặc: x   x   x  3 2x   x   x  3 Do x  nên pt vô nghiệm 2 Tóm lại: Hệ có nghiệm: x  y  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... 78 x   13 * t   78  y  13 Suy hệ phương trình có cặp nghiệm:  78 78   78 78  ( x; y )   3,1 ;  3,  1 ;  , ;  ,      13 13   13 13   b) Phương trình (2) hệ. .. x y PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG Biến đổi tương đương phương pháp giải hệ dựa kỹ thuật như: Thế, biến đổi phương trình dạng tích,cộng trừ phương trình hệ để tạo phương trình hệ có dạng đặc... Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;  ,  2;1 ,  ;  2   II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương