Bài tập Toán học rời rạc Bài tập chơng 2 Quan hệ I. tính chất của Quan hệ 1. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) bằng các phơng pháp : liệt kê, ma trận, đồ thị: a. aRb a + b = 2k b. aRb a b = 3k (k N ) c. aRb a mod 3 > b mod 3 2. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {, {{, {{}}, {, {}}, {, {}, {{}}}) bằng các phơng pháp : liệt kê, ma trận, đồ thị : a. {(a, b) : a,b A và a = b} b. {(a, b) : a,b A và a b} c. {(a, b) : a,b và a b} d. {(a, b) : a,b A và b = P(a)} 3. Các quan hệ R sau đây (trên tập con ngời) thoả những tính chất nào trong các tính chất : phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu nếu (a,b) R, khi và chỉ khi : a. a cao hơn b ? b. a và b sinh cùng ngày ? c. a và b cùng tên ? d. a và b có cùng ông ? 4. Với câu hỏi trên, ở đây quan hệ R (trên tập số nguyên) đợc xác định : a. Là quan hệ khác nhau () b. Là quan hệ đồng d modulo 7 ((mod 7)) c. xy 1 d. x = y + 1 hay x = y 1 e. x là bội số của y f. x và y cùng âm hoặc cùng không âm g. x = y 2 h. x y 2 5. Có bao nhiêu quan hệ từ tập m phần tử vào tập n phần tử ? 6. Có bao nhiêu quan hệ trên tập n phần tử là : a. Phản xạ b. Đối xứng c. Phản đối xứng 1 Bài tập Toán học rời rạc d. Phản xạ và đối xứng 7. *Có bao nhiêu quan hệ bắc cầu trên tập n phần tử với n = 1, 2, 3 ? 8. Để chứng minh khẳng định nếu R là đối xứng và bắc cầu thì R có tính chất phản xạ, một sinh viên đã chứng minh : a A, lấy (a,b) R. Vì R đối xứng nên (b,a) R. Do R bắc cầu (a,a) R, vậy R phản xạ. Hãy chỉ ra sai lầm trong chứng minh trên. II. Quan hệ ngợc và quan hệ hợp thành 9. Cho R và S lần lợt là các quan hệ cha và chị đợc xác định trên tập hợp của con ngời (còn sống hoặc đã chết). Hãy mô tả chính xác các quan hệ sau đây. a. R -1 b. S -1 c. RoS d. SoR e. R oR -1 f. SoS g. R -1 oS 10. Cho A = {1, 2, 3} và B = {1, 2, 3, 4}, R = {(1,2), (2,3), (3,4)} là quan hệ từ A đến B, S = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3), (4,3)} là quan hệ từ B đến A. Hãy xác định các quan hệ sau đây : a. R -1 b. S -1 c. RoS d. SoR e. R oR -1 f. SoS g. R -1 oS 11. Chứng minh rằng, đối với bất kỳ hai quan hệ (hai ngôi) R và S ta đều có : (RoS) -1 = S -1 o R -1 . 12. Giả sử R và S là hai quan hệ có tính chất phản xạ trên tập A. Chứng minh hoặc bác bỏ các khẳng định sau đây : a. R S là phản xạ b. R S là phản xạ c. RoS là phản xạ d. R\S là không phản xạ e. R S là không phản xạ (Quan hệ R đợc gọi là không phản xạ nếu a A có (a, a) R) 13. Chứng minh rằng R là phản xạ khi và chỉ khi R -1 là phản xạ. 14. Chứng minh rằng R là đối xứng khi và chỉ khi R -1 là đối xứng. 15. Chứng minh rằng R là phản đối xứng khi và chỉ khi R R -1 là tập con của quan hệ đờng chéo = {(a,a) | a A}. 16. Chứng minh rằng nếu R là quan hệ phản xạ trên tập A thì R R 2 . 17. Cho R là quan hệ có tính chất phản xạ và bắc cầu. Chứng minh rằng R n = R với mọi n. 18. Cho R là quan hệ phản xạ trên tập A. Chứng minh rằng R n cũng có tính chất phản xạ với mọi n. 19. Tìm ví dụ R không phản xạ nhng R 2 phản xạ. 20. *Cho R là quan hệ đối xứng. Chứng minh rằng R n cũng có tính chất đối xứng với mọi n. 2 Bài tập Toán học rời rạc III. Quan hệ tơng đơng 21. Cho A là một tập không rỗng và R là một quan hệ tơng đơng trên A. Chứng minh rằng tồn tại một hàm f có A là miền xác định sao cho (x,y) R nếu và chỉ nếu f(x) = f(y). 22. Cho R là quan hệ trên tất cả các cặp số nguyên dơng đợc sắp sao cho ((a,b),(c,d)) R nếu và chỉ nếu a + d = b + c. Chứng minh rằng R là một quan hệ tơng đơng. 23. Cho R là quan hệ trên tất cả các cặp số nguyên dơng đợc sắp sao cho ((a,b),(c,d)) R nếu và chỉ nếu ad = bc. Chứng minh rằng R là một quan hệ tơng đơng. 24. R đợc gọi là quan hệ vòng quanh nếu aRb và bRc kéo theo cRa. Chứng minh R là quan hệ phản xạ và vòng quanh nếu và chỉ nếu nó là một quan hệ tơng đơng. 25. Trong số các tập hợp của các tập con sau, tập hợp nào là phân hoạch của tập các số nguyên ? a. Tập con các số chẵn và tập con các số lẻ b. Tập con các số nguyên dơng và tập con các số nguyên âm c. Tập con các số nguyên chia hết cho 3, tập con các số nguyên chia hết cho 3 còn d 1, tập con các số nguyên chia hết cho 3 còn d 2. d. Tập con các số nhỏ hơn -100. tập con các số nguyên có trị tuyệt đối không vợt quá 100 và tập con các số nguyên lớn hơn 100. 26. Cho R là một quan hệ tơng đơng, kí hiệu [a] là lớp tơng đơng chứa phần tử a. Hãy chứng minh các khẳng định sau là tơng đơng : a. aRb b. [a] = [b] c. [a] [b] 27. Chứng minh rằng {(x, y) | x y Q} là một quan hệ tơng đơng (Q là tập số hữu tỷ) trên R. Tìm [1], [1/2] và [] 28. Giả sử R 1 , R 2 là các quan hệ tơng đơng trên tập A. Cho P 1 , P 2 là 2 phân hoạch tơng ứng với R 1 , R 2 . Chứng minh rằng R 1 R 2 nếu và chỉ nếu P 1 là cái mịn của P 2 (mỗi tập con của P 1 chứa trong tập con nào đó của P 2 ) 29. Một vòng đeo tay có 3 hạt cờm, mỗi hạt có màu hoặc đỏ, trắng hoặc xanh. Định nghĩa một quan hệ R giữa các vòng đeo tay nh sau : (B 1 , B 2 ) R nếu và chỉ nếu B 2 nhận đợc từ B 1 bằng cách quay nó hoặc quay rồi lấy ảnh gơng. a. Chứng minh R là một quan hệ tơng đơng b. Xác định các lớp tơng đơng của R. 30. Cho p(n) là kí hiệu số các quan hệ tơng đơng khác nhau trên một tập n phần tử (và cũng chính là số các phân hoạch của một tập n phần tử). Chứng minh : p(n) = = 1 0 n j C(n-1, j) p(n-j-1) với p(0) = 1. 31. Cho tập A. Viết chơng trình tính : a. Số các quan hệ bắc cầu trên A b. Số các quan hệ tơng đơng trên A 3 Bài tập Toán học rời rạc IV. Bao đóng 32. Chứng minh rằng bao đóng đối với tính chất P của quan hệ R = {(0,0), (0,1), (1,1), (2,2)} là không tồn tại nếu P là tính chất : a. Không có tính phản xạ b. Có một số lẻ phần tử 33. Chứng minh rằng bao đóng của quan hệ R đối với tính chất P nào đó nếu tồn tại, là giao của tất cả các quan hệ chứa R và có tính chất P. 34. Chứng minh rằng bao đóng đối xứng của một bao đóng phản xạ của một quan hệ bất kỳ cũng chính là bao đóng phản xạ của bao đóng đối xứng của quan hệ đó. 35. Chứng minh rằng bao đóng bắc cầu của bao đóng đối xứng của bao đóng phản xạ của một quan hệ R là quan hệ tơng đơng nhỏ nhất chứa R. 36. Cho R là quan hệ chứa cặp (a,b) nếu a và b là các máy tính có đờng nối trực tiếp. Khi nào thì (a,b) thuộc : a. R 2 b. R 3 c. R* 37. Tìm bao đóng bắc cầu của quan hệ {(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b), (d,a)} 38. Dùng thuật toán Warshall tìm bao đóng bắc cầu của quan hệ : {(1,1), (1,4), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2), (3,4), (4,2)} 39. Tìm quan hệ nhỏ nhất chứa quan hệ {(1,2), (1,4), (3,3), (4,1)} và có các tính chất sau : a. phản xạ và bắc cầu b. đối xứng và bắc cầu c. phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 40. Mô phỏng thuật toán Warshall để tìm bao đóng phản xạ của bao đóng bắc cầu. 41. Viết chơng trình tìm bao đóng của quan hệ R theo tính chất P, với P là tính : a. phản xạ b. đối xứng c. bắc cầu 42. Viết chơng trình tìm quan hệ tơng đơng nhỏ nhất chứa R. 4 . Bài tập Toán học rời rạc Bài tập chơng 2 Quan hệ I. tính chất của Quan hệ 1. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {1, 2, 3, 4, 5,. nhiêu quan hệ từ tập m phần tử vào tập n phần tử ? 6. Có bao nhiêu quan hệ trên tập n phần tử là : a. Phản xạ b. Đối xứng c. Phản đối xứng 1 Bài tập Toán