Bài tập Toán học rời rạc Chơng 1 Tập hợp và phép đếm I. Tập hợp 1. Viết lại các tập hợp sau dới dạng liệt kê : a. {x | x R x 2 = 1} b. {x | x N x 2 = 2} c. {x N : x - 1 chia hết cho 3 và 1 < x 2 < 50 } 2. Định nghĩa bằng thuộc tính các tập hợp sau : a. {0, 3, 6, 9, 12} b. {m, n, o, p, q} c. {tháng giêng, tháng hai, tháng năm, tháng bảy} d. {- 6, - 5, -4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e. {3, 6, 9, 12, 15 .} f. {a, aba, ababa, abababa, .} g. { ., 1/8, 1/4, 1/2, 4, 8, .} 3. Các khẳng định sau đúng hay sai ? h. x {x} i. {x} {x} j. {x} {{x}} k. {x} l. {x} {x} m. {x} 4. Xác định tập nào trong các tập hợp sau là bằng nhau, hữu hạn, vô hạn. n. { x R : 1 < x < 2 } o. { x Z : x 2 + 2 < 30} p. { n N : 2 n = n 2 } q. { x : x = 1 hoặc x = 2} r. { x R : (x - 3/2) < 1/2} s. {z C : z 2 + 8 = 6z} t. { x R : x 3 < 8} { x R : x 5 > 1} 5. Nếu X, Y, Z rời nhau từng đôi một và A X Y và B X Z, chứng minh A B X. 6. Biểu thức nào đúng đối với mọi tập hợp A, B và C. Chứng minh hoặc cho phản ví dụ. 1 Bài tập Toán học rời rạc a. A B = B A b. (A - B) C = (A C) - B c. A - (B C) = (A - B) (A - C) d. A (B C) = (A B ) (A C) e. A - (B C) = (A - B) (A - C) f. A - (B - C) = (A - B) - C g. (A - B) - C = (A - C) - B 7. Chứng minh sự tơng đơng của 3 mệnh đề sau đây : a. X A B b. (X - A) (X - B) = c. (X - A) B 8. Tìm A x B và |A x B| với : a. A = {0}, B = {a, b, c} b. A = {}, B = c. A = {}, B = {{}} 9. Cho A = {a, {b}} và B = {a, b, {a, b}}. Hãy xác định các tập sau : A B, A B, P(A), B P(A), A x B và (A x B) (B x A). 10. Chứng minh qui tắc kết hợp của phép toán hiệu đối xứng : (A B) C = A (B C) 11. Đúng, sai ? Cho phản ví dụ a. A A = A b. A (B C ) = (A B) (A C) c. A (B C) = (A B ) (A C ) d. A (A A) = A 12. Các tập con của đờng thẳng thực R gọi là các khoảng đợc định nghĩa bởi [a, b] = {x R : a < x < b} (a, b) = {x R : a < x < b} [a, b) = {x R : a < x < b } Chứng minh các tập hợp sau đây là hợp của các khoảng : a. R - (1, 2) b. [1, 3] (2, 4) c. { x R : x 4 - x 2 < 0} d. e. (1, 100) - ([2, 4) (16, 18]) f. R - Z 13. Chứng minh nếu "cặp có thứ tự" (,) đợc định nghĩa bởi (x, y) = {{x}, {x, y}} thì (x 1 , x 2 ) = (y 1 , y 2 ) kéo theo x 1 = y 1 và x 2 = y 2 . 2 Bài tập Toán học rời rạc 14. Chứng minh nếu "cặp có thứ tự" (,) đợc xác định bởi (x,y) = {{x,0},{ y,1}} thì tính chất trong câu 13 vẫn đúng. Hãy đa ra một tổng quát hoá để định nghĩa bộ n. 15. Chỉ ra bằng phản ví dụ các định nghĩa sau về cặp có thứ tự là không đúng a. (x,y) = x {x, y} b. (x,y) = {{x}, x y} 16. Một bệnh viện giữ các bản ghi về 1000 bệnh nhân đợc tiếp nhận trong một năm. Dữ liệu đợc lu trữ gồm có tên, địa chỉ, ngày sinh, ngày nhập và ngày ra viện, điều kiện chẩn đoán và chữa trị và việc chữa bệnh có thành công hay không. Hãy mô tả tích Cartesian của các tập hợp trong đó mỗi bản ghi là một thành phần. Dùng u i (r) để biểu thị thành phần thứ i của bản ghi r, viết các điều sau đây bằng ký hiệu tập hợp. a. Tập hợp các bệnh nhân 50 tuổi hoặc hơn nhập viện b. Tập hợp các bệnh nhân đã nhập viện hơn một lần trong năm c. Tập hợp các bệnh nhân ở trong bệnh viện ít nhất hai tuần. d. Tập hợp các bệnh đã đợc chẩn đoán e. Tập hợp các bệnh đã chữa khỏi 17. Nghịch lý Russel : Chỉ ra sự mâu thuẫn trong định nghĩa tập X sau đây : X là tập hợp chứa các phần tử là tập hợp không thuộc chính nó (X = {A | A A}). 18. Xây dựng các tập hợp dựa trên các ý tởng sau và tìm ra nghịch lý của nó : a. Một thợ cắt tóc tuyên bố : Chỉ cắt tóc cho ngời nào không tự cắt. b. Tồn tại một thực tế là có những tỉnh trởng không sống trong tỉnh của mình. Vì vậy chính phủ quyết định thành lập một tỉnh mới và buộc mọi tỉnh trởng không sống trong tỉnh của mình phải về sống trong tỉnh đó ! II. phép đếm 19. Có bao nhiêu ngời có tên họ viết tắt bằng 3 chữ cái khác nhau, trong đó không có chữ cái nào đợc lặp lại. 20. Tính số xâu đối xứng gơng có độ dài n. 21. 10 ngời cả cô dâu và chú rể cùng chụp ảnh. Tính số phơng án chụp để : a. mọi kiểu ảnh đều có cô dâu b. có cô dâu và chú rể c. hoặc có cô dâu, hoặc có chú rể (không loại trừ) 22. Có bao nhiêu xâu độ dài 10 có hoặc 5 số 0 hoặc 5 số 1 liền nhau. 23. Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1000 : a. Có đúng 3 chữ số thập phân ? b. Có một số lẻ các chữ số thập phân c. Có ít nhất một chữ số bằng 9 d. Không có các chữ số lẻ e. Là thuận nghịch 24. Trong dãy các só từ 1 đến 1000 có bao nhiêu chữ số sau đợc dùng 3 Bài tập Toán học rời rạc a. 0 b. 1 c. 2 d. 9 25. Trong bao nhiêu ngời thì chắc chắn có ít nhất 6 ngời trùng con giáp ngày sinh. 26. Cần bao nhiêu ngời để chắc chắn có 2 ngời sinh trùng thứ và trùng tháng (có thể khác năm sinh) 27. Với d+1 số nguyên có ít nhất 2 số khi chia cho d có cùng số d. 28. Cho 5 điểm toạ độ nguyên. Chứng minh có ít nhất một điểm giữa của một cặp đỉnh nào đó có toạ độ nguyên. 29. Chỉ ra rằng nếu có 5 điểm phân biệt trong một hinh vuông cạnh bằng 2 thì có ít nhất hai điểm có khoảng cách bé hơn hoặc bằng 2 . 30. Trong một mạng n máy tính, mỗi máy nối với ít nhất một máy khác. Chứng minh rằng có ít nhất 2 máy mà số các máy khác nối với chúng là bằng nhau. 31. Trong dãy n số liên tiếp có ít nhất một số chia hết cho n. 32. Một bữa tiệc có ít nhất 2 ngời. Chứng minh rằng có hai ngời có số ngời quen bằng nhau. 33. Một lớp 25 sinh viên thuộc 3 nhóm A, B, C. Chỉ ra rằng : a. Có một nhóm số sinh viên không ít hơn 9. b. Hoặc nhóm A có ít nhất 3 sv và nhóm B ít nhất 19 sv, hoặc nhóm C có ít nhất 5 sv. 34. *Trong n+1 số nguyên dơng bất kỳ không vợt quá 2n có ít nhất 2 số nguyên tố cùng nhau ? 35. *Chỉ ra rằng trong dãy m số nguyên bất kỳ tồn tại dãy con liên tiếp có tổng chia hết cho m. 36. Chứng minh trong 11 số nguyên dơng bất kỳ có ít nhất hai số có cùng chữ số cuối cùng. Trong 91 số có ít nhất 10 số có cùng chữ số cuối cùng. 37. Chứng minh rằng biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ phải lập lại từ một điểm nào đó trở đi. 38. Viết chơng trình liệt kê tất cả dãy con không tăng (không giảm) của một dãy bất kỳ. III. hoán vị và tổ hợp không lặp 39. 8 ngời cùng dự thi, chiếm 3 giải nhất, nhì, ba. Hỏi có bao nhiêu khả năng chiếm giải ? 40. 8 ngời cùng dự thi, chọn ra 3 ngời. Hỏi có bao nhiêu khả năng chọn ? 41. Có n sinh viên nam và n sinh viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng sao cho nam nữ đứng xen kẽ nhau ? 42. Một tập hợp 10 phần tử, có bao nhiêu tập con với số phần tử lẻ. 43. Có thể tạo đợc bao nhiêu đề thi trắc nghiệm (mỗi đề 20 câu hỏi) từ một tập 40 câu hỏi. 44. Có bao nhiêu đa giác đều n cạnh khác nhau nội tiếp trong vòng tròn (Hai đa giác gọi là nh nhau nếu nó có thể nhận đợc từ nhau bằng cách quay một góc nào đó). 45. Trong một lớp có 10 sinh viên nam và 20 sinh viên nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 4 Bài tập Toán học rời rạc 6 ngời trong đó số sinh viên nam ít hơn nữ. 46. Có bao nhiêu cách chia bộ bài 52 quân cho 4 ngời chơi (mỗi ngời 13 quân) ? 47. Nếu X là một tập hợp có 10 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con 4 phần tử của X có tính chất : a. Các tập con rời nhau từng đôi một. b. Không có hai tập con nào chung nhau hơn một phần tử. 48. *Nếu X là một tập hợp có 10 phần tử, tìm số phần tử của họ tập các tập con 4 phần tử của X có tính chất : a. Các tập con rời nhau từng đôi một. b. Không có hai tập con nào chung nhau hơn một phần tử. 49. Cho p là số nguyên tố và k là số nguyên sao cho 1 k p-1. Chứng minh C(p,k) chia hết cho p. 50. Có bao nhiêu hạng thức trong khai triển của (x + y) 100 . 51. Tính hệ số của hạng thức x 100 y 49 trong khai triển (2x 3y) 150 . 52. *Tìm công thức tính hệ số của x k trong khai triển của (x + 1/x) 100 . 53. *Tìm công thức tính hệ số của x k trong khai triển của (x 2 - 1/x) 100 . 54. *Cho n là số nguyên dơng. Tìm hệ số nhị thức lớn nhất C(n,r), trong đó r là số nguyên không âm nhỏ hơn hoặc bằng n. 55. Dùng lý thuyết tổ hợp chứng minh : C(n, k) = C(n, n-k). 56. Chứng minh : C(n, k-1) = C(n+2, k+1) 2C(n+1, k+1) + C(n, k+1) bằng : a. Biến đổi số học b. Lý thuyết tổ hợp 57. Cho n k r 0. Chứng minh công thức C(n,k)*C(k,r) = C(n,r)*C(n-r, k-r) bằng : a. Biến đổi số học b. Lý thuyết tổ hợp 58. *Cho n, k là các số nguyên dơng. Chứng minh rằng )k,kn(C)i,in(C k i 1 0 ++=+ = a. Bằng lý thuyết tổ hợp b. Bằng hằng đẳng thức Pascal. 59. Cho n nguyên dơng. Chứng minh công thức C(2n, 2) = 2C(n, 2) + n 2 bằng : a. Biến đổi số học b. Lý thuyết tổ hợp 60. *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh rằng 1 1 2 = = n n k n)k,n(Ck (Gợi ý : Tính bằng 2 cách số phơng án chọn hội đồng và thêm vào chọn chủ tịch hội đồng đó). 5 Bài tập Toán học rời rạc 61. *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh : )n,n(Cn)k,n(Ck n k 112 1 2 = = (Gợi ý : Tính bằng 2 cách số phơng án chọn hội đồng n uỷ viên từ n giáo s toán học và n giáo s tin học và thêm vào chọn chủ tịch hội đồng đó là giáo s toán). 62. Chứng minh số các tập con có số phần tử lẻ của một tập hợp bất kỳ cũng bằng số tập con có số phần tử chẫn. 63. Trong mặt phẳng Oxy, một con bọ di chuyển bằng cách nhảy từng bớc một với độ dài 1 đơn vị theo chiều dơng của trục x hoặc trục y. Chứng minh rằng số cách của con bọ có thể di chuyển từ gốc toạ độ đến điểm (m, n) bằng C(m+n, n). (Gợi ý : Mỗi đờng đi có thể đợc biểu diễn bởi một xâu nhị phân 0,1, trong đó 0: đi theo truc x, 1: theo trục y). 64. áp dụng hằng đẳng thức VanDermonde tính : C(20,10) IV. Hoán vị và tổ hợp có lặp 65. Có bao nhiêu phơng án chọn có hoàn lại lần lợt 5 phần tử từ tập hợp có 3 phần tử ? 66. Có bao nhiêu xâu gồm 6 chữ cái ? 67. Hàng ngày một sinh viên chọn một chiếc bánh để ăn từ một gói có 6 loại bánh. Hỏi có bao nhiêu cách anh sinh viên chọn bánh trong 7 ngày của một tuần, nếu có kể tới thứ tự của những chiếc bánh đợc chọn ? 68. Có bao nhiêu cách chọn 8 đồng xu từ một hộp chứa 100 đồng 1 xu giống nhau và 80 đồng 5 xu giống nhau ? 69. Có bao nhiêu cách cất 300 bản sách giống nhau vào 3 giá sách ? 70. Phơng trình x + y + z + t = 20 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm ? 71. Phơng trình x + y + z = 19 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x 3, y 4 ? 72. Phơng trình x + y + z + u + v = 18 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x 3, y 4, u, v 6 ? 73. Bất đẳng thức x + y + z 11 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm ? (Gợi ý : đa thêm biến t sao cho x + y + z + t = 11) 74. Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1.000.000 có tổng các chữ số bằng 19 ? 75. Có bao nhiêu số nguyên dơng nhỏ hơn 1.000.000 có tổng các chữ số bằng 13 và chứa đúng một chữ số 9 ? 76. Tìm giá trị k sau khi đoạn chơng trình sau đợc thực hiện : k := 0; for i 1 := 1 to n for i 2 := 1 to i 1 . . . . . for i m := 1 to i m-1 k := k + 1; 6 Bài tập Toán học rời rạc 77. Trong không gian Oxyz, một con bọ di chuyển bằng cách nhảy từng bớc một với độ dài 1 đơn vị theo chiều dơng của 1 trong 3 trục x, y hoặc z. Tính số cách để con bọ có thể di chuyển từ gốc toạ độ đến điểm (2, 3, 4). (Gợi ý : Biểu diễn đờng đi của con bọ bằng 3 hộp chứa số bớc theo 3 trục). 78. Có bao nhiêu cách chia cỗ bài 52 quân cho 4 ngời chơi, mỗi ngời 9 quân ? (Gợi ý : Chỗ bài còn thừa là ngời chơi thứ 5). 79. Có bao nhiêu cách xếp 300 cuốn sách khác nhau lên 3 kệ sách theo : a. Không cố định số lợng trên từng kệ, không tính đến vị trí của từng cuốn sách. b. Chia đều mỗi kệ 100 cuốn sách, không tính đến vị trí của từng cuốn sách. c. Chia đều mỗi kệ 100 cuốn sách, tính đến vị trí của từng cuốn sách. d. Không cố định số lợng trên từng kệ, tính đến vị trí của từng cuốn sách. 80. Có bao nhiêu số hạng khác nhau trong khai triển của (x 1 + x 2 + . . . + x m ) n sau khi cộng các số hạng đồng dạng với nhau ? 81. Tìm khai triển (x + y + z) 4 . 82. Tìm hệ số của x 3 y 2 z 5 trong khai triển (x + y + z) 10 . 83. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển của (x + y + z) 100 ? 84. Nêu chứng minh hoàn chỉnh về công thức tính số tổ hợp lặp chập k. 85. Chứng minh công thức tính số phơng án phân chia n vật khác nhau vào k hộp khác nhau. V. Sinh hoán vị và tổ hợp 86. Chứng minh đối với mỗi hoán vị bất kỳ có duy nhất 1 hoán vị liền sau. 87. Chứng minh tính đúng đắn của cách tìm hoán vị liền sau. 88. Tìm hoán vị liền sau theo thứ tự từ điển của các hoán vị sau : a. 45231 b. 6714235 c. 12453 d. 31528764 89. Sắp xếp dãy các hoán vị sau theo thứ tự từ điển : 234561, 231456, 165432, 156423, 543216, 541236, 231465, 314562, 654321, 654312. 90. Chứng minh đối với mỗi tổ hợp bất kỳ có duy nhất 1 tổ hợp liền sau. 91. Chứng minh tính đúng đắn của cách tìm tổ hợp liền sau. 92. Tìm tổ hợp chập 4 liền sau của 6 phần tử theo thứ tự từ điển của các tổ hợp sau : a. 4231 b. 1423 c. 1253 d. 5264 93. Sắp xếp dãy các tổ hợp chập 4 sau theo thứ tự từ điển : 4561, 2314, 3145, 6543, 6543, 4356, 7 Bài tập Toán học rời rạc 2314, 1654, 1564, 5432, 5412. 94. Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n. Xâu liền sau của xâu s đợc tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0. Thay s[i] bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0. áp dụng cách tìm xâu liền sau của xâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử. 95. Hãy xây dựng thuật toán dựa trên thứ tự từ điển và viết chơng trình sinh ra chỉnh hợp chập k từ tập n phần tử. (Gợi ý : kết hợp 2 thuật toán hoán vị và sinh tổ hợp chập k) 96. Viết hoàn chỉnh chơng trình sinh hoán vị bằng một NNLT nào đó. 97. Viết hoàn chỉnh chơng trình sinh tổ hợp chập k bằng một NNLT nào đó 98. áp dụng thuật toán sinh tổ hợp chập r để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử. 99. Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n. Xâu liền sau của xâu s đợc tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0. Thay s[i] bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0. áp dụng cách tìm xâu liền sau của xâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử. 8 Bài tập Toán học rời rạc Chơng 2 Quan hệ I. tính chất của Quan hệ 1. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) bằng các phơng pháp : liệt kê, ma trận, đồ thị: a. aRb a + b = 2k b. aRb a b = 3k (k N ) c. aRb a mod 3 > b mod 3 2. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {, {{, {{}}, {, {}}, {, {}, {{}}}) bằng các phơng pháp : liệt kê, ma trận, đồ thị : a. {(a, b) : a,b A và a = b} b. {(a, b) : a,b A và a b} c. {(a, b) : a,b và a b} d. {(a, b) : a,b A và b = P(a)} 3. Các quan hệ R sau đây (trên tập con ngời) thoả những tính chất nào trong các tính chất : phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu nếu (a,b) R, khi và chỉ khi : a. a cao hơn b ? b. a và b sinh cùng ngày ? c. a và b cùng tên ? d. a và b có cùng ông ? 4. Với câu hỏi trên, ở đây quan hệ R (trên tập số nguyên) đợc xác định : a. Là quan hệ khác nhau () b. Là quan hệ đồng d modulo 7 ((mod 7)) c. xy 1 d. x = y + 1 hay x = y 1 e. x là bội số của y f. x và y cùng âm hoặc cùng không âm g. x = y 2 h. x y 2 5. Có bao nhiêu quan hệ trên tập n phần tử là : a. Phản xạ b. Đối xứng c. Phản đối xứng 9 Bài tập Toán học rời rạc d. Phản xạ và đối xứng 6. Có bao nhiêu quan hệ bắc cầu trên tập n phần tử với n = 1, 2, 3 ? 7. Để chứng minh khẳng định nếu R là đối xứng và bắc cầu thì R có tính chất phản xạ, một sinh viên đã chứng minh : a A, lấy (a,b) R. Vì R đối xứng nên (b,a) R. Do R bắc cầu (a,a) R, vậy R phản xạ. Hãy chỉ ra sai lầm trong chứng minh trên. II. Quan hệ ngợc và quan hệ hợp thành 8. Cho R và S lần lợt là các quan hệ cha và chị đợc xác định trên tập hợp của con ngời (còn sống hoặc đã chết). Hãy mô tả chính xác các quan hệ sau đây. a. R -1 b. S -1 c. RoS d. SoR e. R oR -1 f. SoS g. R -1 oS 9. Cho A = {1, 2, 3} và B = {1, 2, 3, 4}, R = {(1,2), (2,3), (3,4)} là quan hệ từ A đến B, S = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3), (4,3)} là quan hệ từ B đến A. Hãy xác định các quan hệ sau đây : a. R -1 b. S -1 c. RoS d. SoR e. R oR -1 f. SoS g. R -1 oS 10. Chứng minh rằng, đối với bất kỳ hai quan hệ (nhị nguyên) R và S ta đều có : (RoS) -1 = S -1 o R -1 . 11. Giả sử R và S là hai quan hệ có tính chất phản xạ trên tập A. Chứng minh hoặc bác bỏ các khẳng định sau đây : a. R S là phản xạ b. R S là phản xạ c. RoS là phản xạ d. R\S là không phản xạ e. R S là không phản xạ (Quan hệ R đợc gọi là không phản xạ nếu a A có (a, a) R) 12. Chứng minh rằng R là phản xạ khi và chỉ khi R -1 là phản xạ. 13. Chứng minh rằng R là đối xứng khi và chỉ khi R -1 là đối xứng. 14. Chứng minh rằng R là phản đối xứng khi và chỉ khi R R -1 là tập con của quan hệ đờng 10 . Bài tập Toán học rời rạc Chơng 1 Tập hợp và phép đếm I. Tập hợp 1. Viết lại các tập hợp sau dới dạng liệt kê : a. {x | x. bằng ký hiệu tập hợp. a. Tập hợp các bệnh nhân 50 tuổi hoặc hơn nhập viện b. Tập hợp các bệnh nhân đã nhập viện hơn một lần trong năm c. Tập hợp các bệnh