SKKN toán giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất image marked

22 4 0
  • Loading ...
1/22 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/08/2019, 19:50

MỤC LỤC Phần A Phần B Mở đầu I Lý chọn đề tài II.Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2 I Cơ sở lý luận II Thực trạng vấn đề trước sử dụng sáng kiến kinh nghiệm III Các biện pháp tiến hành Cơ sở lý thuyết Hướng dẫn học sinh tiếp cận giải số toán xác suất 2.1 Những tốn xác suất có khơng gian mẫu mơt tả cụ thể 2.2 Những tốn chọn vật (người ) không liên quan đến xếp 2.3 Những toán liên quan đến xếp 12 2.4 Những toán sử dụng quy tắc nhân 14 2.5.Bài tập tự luyện Phần C 18 IV.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 Kết luận 20 I Kết luận 20 II Kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 21 A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Xác suất chuyên ngành có tính hấp dẫn cao áp dụng phổ biến sống Xác suất ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học khác Toán học, Vật lý, Khoa học kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin ngành kinh tế Trong trường phổ thơng đòi hỏi học sinh phải biết giải tốn xác suất áp dụng vào mơn học đặc biệt môn sinh học, vật lý Trong năm gần toán xác suất chủ đề có mặt kỳ thi Bộ Giáo dục Đào tạo quy định Chính nên tơi trọng vào việc dạy kỹ lý thuyết cho học sinh phân dạng loại tốn xác suất từ dễ đến khó có hệ thống móc nối kiến thức cũ để học sinh có hứng thú học, say mê tìm hiểu giải dạng tập chương trình phổ thơng Với mong muốn giúp em học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác nhau, tơi chọn đề tài "Giúp học sinh lớp 11 tiếp cận giải số tập xác suất" II Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu số vấn đề liên quan đến đến nội dung xác xuất trình bày sách giáo khoa nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên mơn rút kinh nghiệm q trình giảng dạy III Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh trung lớp 11 bậc trung học phổ thông; - Nội dung phần xác suất chương trình tốn trung học phổ thơng IV Phương pháp nghiên cứu: - Xây dựng sở lý thuyết; - Điều tra, quan sát; - Thực nghiệm sư phạm; - Tổng kết rút kinh nghiệm; - Xây dựng hệ thống tập có phân loại dạng tập, xếp ví dụ, tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời đưa số đặc điểm nhận dạng dạng tập để lựa chọn cách giải cho phù hợp B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Do đặc thù chuyên ngành nên toán xác suất có nhiều điểm khác biệt so với tốn đại số, giải tích, hình học Trong chương trình tốn học phổ thơng chương trình sách giáo khoa đưa xác suất vào dạy lớp 11,với đa số học sinh việc làm quen, áp dụng giải tốn xác suất bỡ ngỡ thấy khó Đứng trước tốn xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong khơng dám làm - Phần xác suất chương II "Tổ hợp xác suất" lớp 11 phân ban có mục đích trang bị cho học sinh khái niệm như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… đồng thời đưa quy tắc tính xác suất để vận dụng vào tốn thực tiễn - Để học tốt xác suất học sinh phải nắm vững khái niệm xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn tình cụ thể Trên thực tế học sinh khó hiểu khái niệm định nghĩa, sách tham khảo nội dung khơng có nhiều, khai thác kỹ học sinh lại phải đọc thêm nhiều lý thuyết sách giáo khoa Thực tế đòi hỏi giáo viên phải có phương pháp dạy hợp lý phát huy tính sáng tạo học sinh II Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Xác suất khái niệm khó nên học sinh lười nghiên cứu, ứng dụng thực tế lớn học sinh học thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo tập nhiều học sinh chưa tốt Qua thực tiễn giảng dạy nhận thấy: đa số em chưa hiểu thấu đáo khái niệm như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… em biết giải toán xác suất số kiểu tập quen thuộc độc lập Đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt quy tắc để giải tình cụ thể III Các biện pháp tiến hành giải vấn đề CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ a Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu: Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) thí nghiệm hay hành động mà lặp lặp lại nhiều lần điều kiện giống nhau, kết khơng dự đốn trước xác định tập hợp tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử, ký hiệu Ω b Xác suất biến cố: Định nghĩa : Giả sử phép tốn thử T có không gian mẫu Ω tập hợp hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T ΩA tập hợp kết mô tả A xác suất A số ký hiệu P(A), xác định công thức: P ( A)  A   A  số phần tử tập ΩA Ω - Biến cố chắn (luôn xảy thực phép thử T) có xác suất - Biến cố (không xảy thực phép thử T) có xác xuất 1.2 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1.2.1 Quy tắc cộng xác suất a Biến cố hợp Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Nếu “biến cố A biến cố B xảy ra”, kí hiệu A  B gọi hợp hai biến A B Nếu kí hiệu ΩA ΩB tập hợp mơ tả A B tập hợp mô tả biến cố A  B ΩA  ΩB Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak liên quan đến phép thử T Biến cố “ có biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra, ký hiệu A1  A   A k , gọi hợp k biến cố b Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Hai biến cố xung khắc ΩA  ΩB =  c Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy là: P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) (1) Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak đôi xung khắc ta có: P ( A1  A2   Ak )  P ( A1 )  P ( A2 )   P ( Ak ) (2) d Biến cố đối  Cho biến cố A biến cố “ Khơng xảy A”, ký hiệu A¸ gọi biến cố đối A   Cho biến cố A xác suất biến cố đối A¸ là: P( A)   P( A) (3) 1.2.2 Quy tắc nhân xác suất a Biến cố giao Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Biến cố “ Cả A B xảy ra”, ký hiệu A.B, gọi giao hai biến cố A B Nếu ΩA ΩB tập hợp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết thuận lợi cho AB ΩA  ΩB Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak liên quan đến phép thử T Biến cố “ tất k biến cố A1, A2, …, Ak xảy “, ký hiệu A1A  A k , gọi giao k biến cố b Biến cố độc lập Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố c Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy là: P ( AB )  P ( A).P ( B ) Một cách tổng quát : Cho k biến cố A1, A2, …, Ak độc lập ta có: P ( A1 A2 Ak )  P ( A1 ).P ( A2 ) P ( Ak ) HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT: 2.1.Những tốn xác suất có khơng gian mẫu mơ tả cụ thể : Để học sinh làm quen với khái niệm không gian mẫu biến cố trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp kết thuân lợi biến cố, công thức xác suất cổ điển sau phân tích hướng dẫn em làm tập sau: Ví dụ 1: Gieo quân súc sắc, tính xác suất để số chấm mặt suất chia hết cho Hướng dẫn học sinh: Phép thử T: ‘‘Gieo quân súc sắc’’ Không gian mẫu: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} gồm phần tử Xét biến cố A: Số chấm mặt suất chia hết cho Tập kết thuận lợi A : ΩA= {3; 6} gồm phần tử Xác suất biến cố A là: P(A) = = = Ví dụ 2: Gieo xúc sắc lần liên tiếp Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai xúc sắc Hướng dẫn học sinh: Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai xúc sắc’’ Không gian mẫu: Ω = {(1,1); (1,6); ;(6,1); (6,6)} gồm 6.6=36 phần tử Xét biến cố A: tổng số chấm mặt xuất hai xúc sắc Tập kết thuận lợi A : ΩA = {(2,6); (3,5); (4;4); (5,3); (6;2)}  A  Xác suất A: P(A) = Bài 3: Có hai hộp, hộp đựng thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên hộp thẻ Tính xác suất để tích hai số ghi thẻ rút số chẵn Tơi dẫn dắt học sinh tìm lời giải: Phép thử T: ‘‘Rút ngẫu nhiên hộp thẻ’’ Không gian mẫu: Ω = {(1,1); (1,6); ;(6,1); (6,6)} gồm 6.6=36 phần tử Xét biến cố A: "Tích hai số ghi thẻ rút số chẵn" Tập kết thuận lợi A : ΩA = {(1,2); (1,4); (1;6); (2,1); (2;2); (2,3); (2;4); (2;5); (2,6); ; (6;6)} Đếm tất kết liệt kê ta |ΩA| = 27 Qua việc phân tích tơi nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng, có tốn làm theo cách liệt kê trực tiếp có q nhiều kết khiến ta khơng đếm hết Từ gợi mở để học sinh tìm hướng giải khác cho tốn Sẽ có nhiều hướng giải em đưa ra, khéo léo dẫn dắt để em nắm cách giải sau: Cách thứ nhất: Tìm biến cố đối biến cố A Ta có lời giải sau Phép thử T: ‘‘Rút ngẫu nhiên hộp thẻ’’ Không gian mẫu: Ω = {(1,1); (1,6); ;(6,1); (6,6)} gồm 6.6=36 phần tử Gọi B biến cố: " tích hai số ghi thẻ rút số lẻ" ΩB = {(1,1); (1,3); (1,5); (3,1); (3,3); (3;5); (5,1); (5,3); (5,5)} |ΩB| = Xác suất biến cố B là: P(B) = = Xét biến cố A: "Tích hai số ghi thẻ rút số chẵn". A = B Xác suất biến cố A là: P(A) = - P(B) = Cách thứ 2: Tính số phần tử không gian mẫu số phần tử ΩA dựa theo toán đếm số phần tử Đồng thời nhấn mạnh cho học sinh cách giải tốn hay dùng Ta có lời giải sau: Gọi A biến cố: " tích hai số ghi thẻ rút số chẵn" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω| = 6.6 = 36 Số phần tử ΩA là: |ΩA| =C 13 C 13 + C 13 C 13 + C 13 C 13 = 27 Xác suất biến cố A là: P(A) = = Hoặc: Gọi A biến cố: " tích hai số ghi thẻ rút số chẵn" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω| = 6.6 = 36 Số cách lấy thẻ có tích số ghi thẻ số lẻ là: C 13 C 13 = Số phần tử ΩA là: |ΩA| = 36 - = 27 Xác suất biến cố A là: P(A) = = 2.2 Những toán chọn vật (người, ) khơng liên quan đến xếp: Mỗi tập tính xác suất gắn liền với toán đếm, loại tập xác suất liên quan đến chọn vật không yêu cầu xếp vật chọn thường đơn giải hơn, nên chọn để dạy cho em học sinh trước Để học sinh tiếp thu tốt, giải loại toán thành thạo, trước tiên cần củng cố cho học sinh hai quy tắc đếm bản, dấu hiệu để sử dụng hai quy tắc này, đặc biệt nhấn mạnh: Nếu sau hành động cơng việc hồn thành, dùng quy tắc cộng Nếu sau hành động công việc dang dở, dùng quy tắc nhân Tiếp theo cần cố cho học sinh cách dùng công thức C kn , công thức đếm số tập gồm k phần tử tập hợp gồm n phần tử, cơng thức tính số cách chọn k đối tượng từ tập hợp gồm n đối tượng Do đó, để tránh nhầm lẫn cần biết đối tượng chọn lấy từ tập nào, tập có phần tử phần tử lấy có tính chất Chọn cho học sinh giải ví dụ sau: Ví dụ 1: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp tính xác suất để : a Chọn viên bi xanh viên bi vàng b Chọn viên bi màu Hướng dẫn học sinh: Do học sinh tiếp cận với tốn tính xác suất, nên cần trang bị cho học sinh số kỹ làm bài, thông qua tập cần trang bị cho em biết cách tìm số phần tử khơng gian mẫu số kết thuận lợi cho biến cố, vậy, cần đưa hệ thống câu hỏi: - Phép thử gì? (câu trả lời mong đợi: Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp có 15 viên bi), - Số phần tử không gian mẫu tổng số kết xảy ra? Hay số cách chọn viên bi từ hộp, tính số phần tử khơng gian mẫu? (Câu trả lời mong đợi: C 152 ) - Biến cố câu a toán biến cố nào? (Câu trả lời mong đợi: Chọn viên bi xanh viên bi vàng) - Số cách chọn bao nhiêu? (C 15 C 14 ) - Số kết thuận lợi cho biến cố bao nhiêu? Tại ? (bằng C 15 C 14 , số kết thuận lợi cho biến cố số kết làm cho biến cố xảy ra) - Biến cố câu b biến cố nào? (Chọn viên bi màu) - Biến cố B xảy nào? (Khi viên bi màu xanh hai viên bi màu đỏ, viên bi màu vàng) - Số kết thuận lợi cho biến cố bao nhiêu? Tại ? (bằng C 25 + C 26 + C 24 , số kết thuận lợi cho biến cố số kết làm cho biến cố xảy ra) Lời giải: Gọi A biến cố "Chọn viên bi xanh viên bi vàng" Gọi B biến cố "Chọn viên bi màu" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω|=C 152 = 105 a Số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 15 C 14 = 20 Xác suất biến cố A P(A) = = b Số phần tử ΩB là: |ΩB| = C 25 + C 26 + C 24 = 31 Xác suất biến cố B P(B) = B   Ví dụ 2: Có 10 người gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tìm xác suất để chọn nam nữ, đồng thời số nam nhiều số nữ Phân tích tốn: Mục đích tốn giúp em biết cách phân chia trường hợp dựa tính chất phần tử lấy Cần hướng em đến việc tách số thành tổng số khác 0, vẽ bảng phân chia trường hợp đảm bảo số lượng nam nhiều số nữ Cụ thể: = + = + = + Bảng Số nam chọn Số nữ chọn Từ kết bảng suy có trường hợp xảy biến cố: Chọn nam, nữ; nam nữ Lời giải: Gọi A biến cố "Chọn người có nam nữ, đồng thời số nam nhiều số nữ" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω| = C 106 = 210 Chọn người có nam nữ, đồng thời số nam nhiều số nữ cần chọn: nam nữ; nam nữ Số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 56 C 14 + C 46 C 24 =114 Xác suất biến cố A P(A) = = Ví dụ 3: Đội văn nghệ trường THPT Nông Cống gồm 15 người có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người lập thành tốp ca có nam nữ Tính xác suất để lập tốp ca có nữ Phân tích tốn: Mục đính ví dụ mong muốn học sinh tránh nhầm lẫn tìm khơng gian mẫu Bởi đa số học sinh đứng trước tốn thường tính số phần tử khơng gian mẫu C 156 khơng ý đến tính chất đối tượng chọn "chọn tốp ca có nam nữ" Số phần tử khơng gian mẫu ví dụ số cách chọn người có nam nữ nên |Ω| = C 157 C 79 Đồng thời thơng qua ví dụ hướng học sinh đến cách tìm xác suất biến cố đối biến cố đối có trường hợp Lời giải: Gọi A biến cố "Chọn tốp ca có nam nữ, đồng thời số nữ người" Gọi B biến cố "chọn nữ" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω|= C 157 - C 79 = 6399 Để tốp ca chọn có nam nữ đồng thời số nữ cần chọn nữ 6nam nữ nam Số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 19 C + C 29 C 56 = 225 Xác suất biến cố A P(A) = = Ta thấy biến cố B biến cố đối biến cố A Xác suất biến cố B là: P(B) = P( A ) = - P(A) = Nhận xét: Qua ví dụ cần nhấn mạnh cho học sinh biến cố đối biến cố A biến cố không xảy A Dấu hiệu để sử dụng biến cố đối đề có cụm từ "ít ", "nhiều ", "khơng q";"ít hơn" Ví dụ 4: Có hộp, hộp thứ đựng cầu đỏ cầu trắng; hộp thứ hai đựng cầu đỏ cầu trắng Lấy ngẫu nhiên hộp a Tính xác suất để lấy cầu màu trắng b Tính xác suất để cầu lấy khác màu Phân tích tốn: Mục đích ví dụ mong muốn học sinh tránh bị nhầm lẫn sử dụng cơng thức C kn Trước tốn nhiều học sinh tính số phần tử khơng gian mẫu |Ω|= C 202 , lý em bị sai nghĩ cầu lấy từ 20 cầu ban đầu Cần phân tích cho học sinh thấy cầu lấy từ tập hợp cầu, mà lấy từ 10 hộp lấy từ 10 từ hộp 2, nên số phần tử không gian mẫu |Ω| = C 101 C 101 Thứ tính số phần tử thuận lợi cho biến cố, học sinh lúng túng khơng biết tính nào, cần phân tích cho học sinh thấy để xảy biến cố câu a, cần lấy cầu trắng từ trắng hộp lấy trắng từ trắng hộp 2; để xảy biến cố câu b cần lấy cầu cho; lấy hộp màu trắng, lấy hộp màu đỏ; lấy hộp màu đỏ, lấy hộp màu trắng Lời giải: Gọi A biến cố "lấy cầu màu trắng" Gọi B biến cố "2 lấy khác màu" Mỗi kết phép thử cách lấy cầu từ hộp thứ nhất, cầu từ hộp thứ Số phần tử không gian mẫu là: |Ω|= C 101 C 101 = 100 a Để hai cầu lấy màu trắng cần lấy trắng từ hộp trắng từ hộp Số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 16 C 14 = 24 Xác suất biến cố A P(A) = = 0.24 b Có cách lấy cầu khác màu: lấy đỏ từ hộp trắng từ hộp 2; lấy trắng từ hộp đỏ từ hộp Số phần tử ΩB là: |ΩB| = C 14 C 14 + C 16 C 16 = 60 Xác suất biến cố B là: P(B) = = 0.6 Ví dụ 5: Trường THPT Nơng Cống I có 15 Đồn viên ưu tú, khối 12 có nam nữ; khối 11 có nam nữ; khối 10 có nam nữ Đồn trường chọn nhóm gồm học sinh Đồn viên ưu tú để tham gia lao động Nghĩa trang liệt sỹ Tính xác suất để nhóm chọn có nam nữ, đồng thời khối có học sinh nam Lời giải: Gọi A biến cố "chọn nhóm có nam nữ, đồng thời khối có học sinh nam" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω|= C 154 = 1365 Biến cố A xảy khi: - Chọn nam khối 12, nữ khối 12, nam khối 11, nam khối 10 - Chọn nam khối 12, nam khối 11, nữ khối 11, nam khối 10; - Chọn nam khối 12; n1m khối 11; nam khối 10, nữ khối 10 Số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 13 C 13 C 12 C 12 + C 13 C 12 C 13 C 12 + C 13 C 12 C 12 C 12 = 96 Xác suất biến cố A P(A) = = Nhận xét: tập nhằm mục đích cố lưu ý nêu từ ví dụ đến ví dụ 4, nên cho học sinh lập bảng để tìm trường hợp xảy biến cố Khối 12 Khối 11 Khối 10 Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ 1 1 1 1 1 1 Ví dụ 6: Đội niên xung kích trường THPT Nơng Cống gồm Đoàn viên nam Đoàn viên nữ, có Đồn viên nam ủy viên ban chấp hành Đồn trường cần chọn nhóm Đoàn viên kiểm tra việc thực nội quy nhà trường sáng thứ Tính xác suất để Đồn viên chọn có nam, nữ, ủy viên ban chấp hành Phân tích tốn: Ở tốn cần phân tích cho học sinh thấy đối tượng chọn thuộc nhóm: Đồn viên nam khơng ủy viên; đồn viên nữ; ủy viên ban chấp hành chọn ủy viên ban chấp hành tính chất có nam thỏa mãn Đồng thời kẻ bảng cần lưu ý với học sinh rằng, đồn viên nam, có đồn viên khơng ủy viên đồn viên ủy viên để tránh trường hợp số học sinh tính sai số kết thuận lợi cho biến cố nghĩ đội có nam khơng ủy viên nam ủy viên khơng đọc kỹ đề Bảng trường hợp: Nam không ủy Ủy viên BCH Nữ viên (7) (2) (6) 1 1 Lời giải: Gọi A biến cố "chọn nhóm có nam nữ, ủy viên BCH" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω|= C 153 = 445 Biến cố A xảy khi:Chọn nam không ủy viên, nam ủy viên, nữ;hoặc chọn nam ủy viên, nữ; chọn nam ủy viên nữ Số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 17 C 12 C 16 + C C 16 + C 12 C 26 = 120 Xác suất biến cố A P(A) = = Ví dụ 7: Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Cần phân cơng đội niên tình nguyện thành đội giúp đỡ tỉnh miền núi Tính xác suất để đội có nam nữ? Phân tích tốn: Đây toán chia tổ, cần làm cho học sinh thấy sau phân tổ thứ nhất, số đối tượng để chọn nhóm thứ bị giảm nhằm tránh cho em khỏi bị sai dùng công thức C kn Lời giải: 10 Gọi A biến cố "chọn đội có nam nữ" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω| = C 155 C 105 C = 756756 Số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 124 C 13 C 48 C 12 C C = 207900 Xác suất biến cố A P(A) = = Ví dụ 8: Cho tập E = {} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm số tự nhiên đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số Phân tích tốn: Qua ví dụ cần cho học sinh thấy đối tượng lấy phép thử số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập E Đối tượng chọn để xảy biến cố số từ số lập được, có số khơng có chữ số Do cần phải tính loại số trước tính |Ω| |ΩA| Lời giải: Từ tập E ta lập A 35 = 60 số tự nhiên gồm chữ số đơi khác Trong đó, có A 34 = 24 số khơng có chữ số 5, 36 số có chữ số Gọi A biến cố "viết số có số có chữ số 5" Số phần tử khơng gian mẫu là: |Ω| = C 602 = 1770 Số cách viết số có số có chữ số là: |ΩA| = C 241 C 361 = 864 Xác suất biến cố A P(A) = = Ví dụ 9: Nhà trường dùng 20 quển sách gồm sách toán giống hệt nhau, sách lý giống hệt nhau, sách hóa giống hệt để phát phần thưởng cho 10 học sinh có An Bính em sách khác thể loại Tính xác suất để hai sách An nhận giống hai sách Bính nhận Phân tích tốn: Đứng trước tập nhiều học sinh lúng túng khơng biết tính khơng gian mẫu nào, cần phân tích cho em rằng: Phép thử "chia quà ngẫu nhiên cho 10 học sinh học sinh sách khác thể loại" Có nghĩa phải phân chia 20 sách thành 10 phần khác phần có sách khác loại, chia ngẫu nhiên cho 10 em học sinh Trong 10 phần quà có phần quà sách toán lý; phần quà sách lý hóa; phần quà sách tốn hóa Khi cần chọn đối tượng học sinh nhận phần quà tương ứng Lời giải: Ta chia 20 sách thành 10 phần, phần sách khác loại kết sau: - phần mà phần có sách toán sách lý; - phần mà phần có sách hóa sách lý; - phần mà phần có sách tốn sách hóa Gọi A biến cố "hai sách An nhận giống hai sách Bính nhận được" Số phần tử khơng gian mẫu là: |Ω|= C 102 C 38 C = 2520 11 Số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 38 C + C 28 C 16 C + C 28 C 36 C = 784 Xác suất biến cố A P(A) = = Qua ví dụ ta thấy tốn tính xác suất liên quan đến việc chọn đối tượng đó, phải xét trường hợp xảy biến cố, phần đa sử dụng công thức C nk , sau giải thí dụ cần cho học sinh cố lại dấu hiệu để nhận biết dạng tồn có cụm từ "chọn ngẫu nhiên"; hay "lấy ngẫu nhiên" vài đối tượng có tính chất đấy, khơng có xếp đối tượng Cũng cần nhấn mạnh với học sinh để tránh nhầm lẫn tính khơng gian mẫu cần đọc kỹ tính chất đối tượng lấy Cũng thơng qua ví dụ học sinh nhận thấy việc tính số phần tử không gian mẫu, số kết thuận lợi cho biến cố gắn liền với tốn đếm, qua em biết cách vận dụng khối kiến thức toán đếm vào toán xác suất Lúc tơi chuyển sang dạy tốn dạng 2.3 Những toán liên quan đến xếp: Đa số toán dạng cần em phải sử dụng thành thạo khéo léo quy tắc đếm Để học sinh tiếp cận dẽ dàng hơn, ví dụ tơi đưa theo ý tưởng từ dễ đến khó, từ tốn xếp tường minh đến phức tạp (sự xếp có tính chọn lựa) Lần lượt cho học sinh giải ví dụ sau: Ví dụ 1: Một học sinh có 12 sách đơi khác nhau, có sách tốn; sách văn; sách anh Xếp sách kệ dài Tính xác suất để môn xếp kề Lời giải Gọi A biến cố "Các môn xếp kề nhau" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω|= 12! Số phần tử ΩA là: |ΩA| = 3!.2!.4!.6! Xác suất biến cố A P(A) = = Ví dụ 2: Có bạn nam bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên thành hàng ngang Trong bạn có bạn tên An Bình a Tính xác suất để An Bình ln ngồi kề b Tính xác suất để An Bình ln ngồi kề Phân tích tốn: Mục đích toán nhằm hướng em học sinh ôn tập lại cách đếm số cách sếp tập hợp có kèm theo điều kiện, từ vận dụng vào tốn tính xác suất Giáo viên cần nhắc lại cho em cách đếm phải ưu tiên thứ tự cho đối tượng "đặc biệt" trước Với phải ưu tiên xếp cho Bình An trước, xếp thứ tự cho người lại Bài tập hình thành cho em suy nghĩ việc dùng biến cố đối, trường hợp việc đếm kết cách trực tiếp phức tạp khó khăn Lời giải: Gọi A biến cố "An Bình ngồi kề nhau" 12 Gọi B biến cố"An Bình khơng ngồi kề nhau" Số phần tử không gian mẫu là: |Ω|= 8! =40320 a Xem An - Bình khối ngồi với học sinh kia, xếp khối An - Bình bạn lại có 7! Cách xếp Mỗi lần đổi chỗ An - Bình 2! cách Số cách xếp để An - Bình ngồi kề là: |ΩA| = 7!.2! = 10080 Xác suất biến cố A P(A) = = 0.25 b Biến cố B biến cố đối biến cố A nên, xác suất biến cố B là: P(B) = - P(A) = 0.75 Ví dụ 3: Tại giải bóng chuyền VTV cúp gồm 12 đội bóng tham dự, có đội bóng nước ngồi, đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên đề chia thành bảng A, B, C bảng đội Tính xác suất để đội bóng Việt Nam bảng khác Lời giải: Gọi A biến cố: "3 đội bóng Việt Nam bảng khác Số cách chia 12 đội thành bảng bảng đội là: |Ω| = C 124 C 48 C = 34650 Có 3! cách chia đội Việt Nam vào bảng A, B, C Với cách chia ấy, có C 39 cách chọn đội số đội lại vào bảng A; C 36 cách chọn đội vào bảng B; C cách chọn đội vào bảng C Số phần tử ΩA là: |ΩA| = 3!.C 39 C 36 C = 1080 Xác suất biến cố A P(A) = = Ví dụ 4: Có em bé lên đoàn tàu lượn gồm toa Mỗi em bé độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tìm xác suất để toa có người, toa có người, toa lại khơng có Lời giải: Gọi A biến cố: "xếp người lên tàu toa có người, toa có người, toa lại khơng có ai" Mỗi người có cách chọn toa nên có 44 cách xếp người lên đồn tàu toa suy khơng gian mẫu: |Ω| = 44 Số cách chọn toa có người, toa có người, toa lại khơng có A4 , số cách chọn người chung toa C4 , nên số phần tử ΩA là:  A  A42 C43 Xác suất biến cố A là: P(A) = = Đây loại tập khó nên để cố tơi cho học sinh làm thêm ví dụ sau, vừa cho em cố bài, vừa thể cho em thấy đặc điểm toán xác suất có tính chất tương tự ta thay đổi đối tượng phép thử Ví dụ 5: Trong kỳ thi THPT quốc gia, trường THPT Nông Cống có thí sinh dự thi hội đồng thi X Biết hội đồng thi X có phòng thi, phòng thi nhiều thí sinh việc xếp thí sinh vào phòng thi ngẫu nhiên 13 Tính xác suất để có thí sinh trường THPT Nơng Cống xếp vào phòng thi Lời giải Có cách chọn phòng cho học sinh Số phần tử khơng gian mẫu là: |Ω| = 85 = 32768 Gọi A biến cố: "Có thí sinh trường THPT Nơng Cống xếp vào phòng thi" Có C 35 cách chọn thí sinh số thí sinh trường THPT Nơng Cống 1; có cách chọn phòng thi cho thí sinh Ứng với cách chọn trên, ta có cách chọn phòng thi cho thí sinh lại Do đó, số phần tử ΩA là: |ΩA| = C 35 8.7.7 = 3920 Xác suất biến cố A là: P(A) = = 2.4 Những toán sử dụng quy tắc nhân xác suất: Trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm biến cố giao, biến cố độc lập, quy tắc nhân xác suất sau học sinh phân tích giải tốn sau: Ví dụ 1: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia 0,2 Tính xác suất để lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia lần Lời giải: Gọi A biến cố người xạ thủ bắn trúng bia A biến cố người xạ thủ khơng bắn trúng bia Ta có P(A) = 0,2 P( A ) = 1- 0,2 = 0,8 Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần không trúng hai lần sau P1 = 0,2  0,8  0,8  0,128 Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần lần không trúng P2 = P1 Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 3, lần lần không trúng P3 = P1 Vậy xác suất để lần bắn người xạ thủ bắn trúng lần P = 0,128 = 0,384 Nhận xét: Mục đính tập giúp học sinh đưa nhận xét : Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A phải đồng thời thoả mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau, ta coi biến cố A biến cố giao biến cố A1 , … , An độc lập tương ứng Sau sử dụng quy tắc nhân xác suất để tìm xác suất biến cố A Những tập sau nhằm mục đích để em rèn luyện cách vận dụng quy tắc nhân xác suất: 14 Ví dụ 2: Xạ thủ A bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng A lần bắn Xạ thủ B bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng 10 B lần bắn Tìm xác suất để mục tiêu không trúng đạn 10 Lời giải 10 Gọi A2 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai P( A2 )  10 A1, A2 độc lập A  A1  A2 biến cố A bắn trượt hai lần bắn P( A)  P( A1 ).P( A2 )  ( ) 10 Gọi B1 biến cố B bắn trượt lần bắn thứ P( B1 )  10 Gọi B2 biến cố B bắn trượt lần bắn thứ hai P( B2 )  10 Gọi B3 biến cố B bắn trượt lần bắn thứ ba P( B3 )  10 B  B1  B2  B3 biến cố B bắn trượt ba lần bắn P( B)  P( B1 ).P( B2 ) P( B3 )  ( )3 10 A, B độc lập A  B biến cố mục tiêu không trúng đạn Gọi A1 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ P( A1 )  32 P( A  B)  P( A).P( B)  10 Ví dụ 3: Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy Lớp học có đủ ánh sáng bóng đèn sáng Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng Lời Giải: Gọi A, B, C tương ứng biến cố “ lớp có bóng đèn sáng ”, “ lớp có bóng đèn sáng ” “ lớp có bóng đèn sáng ” Mỗi bóng có xác suất sáng P(A) = 3   ; 4 Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: P(B)= C     ; 4 4 P(C) = C     4 4 Gọi X biến cố lớp có đủ ánh sáng Ta có : P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,8305 Ví dụ 4: Có lơ hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Xác suất để sản phẩm chất lượng tốt lơ hàng Hãy tính xác suất để: 15 a) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt b) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt Lời giải: Gọi “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Khi ta có: a) Gọi biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt” Suy Do ba biến cố b) Gọi độc lập nên ta có biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt” Suy Do xung khắc biến cố B; A độc lập nên ta có Ví dụ 5: Trong bình thứ đựng viên bi đỏ viên bi đen Trong bình thứ hai đựng bi đỏ viên bi đen Lấy ngẫu nhiên viên bi bình thứ viên bi bình thứ hai Gọi A biến cố lấy viên bi đỏ, B biến cố lấy ba viên bi không màu C biến cố lấy bi đỏ từ bình thứ hai a Tính xác suất biến cố A b Tính xác suất để lấy ba viên bi màu Lời giải a Lấy bi từ bình thứ đựng 10 viên bi (3 viên bi đỏ viên bi đen), viên bi từ bình thứ hai đựng 10 viên bi ( bi đỏ viên bi đen) Gọi A biến cố lấy viên bi đỏ Biến cố A xảy ta lấy bi đỏ từ bình thứ bi đỏ từ bình thứ hai C32 Xác suất lấy bi đỏ bình thứ là:  C10 15 16 2 Vậy xác suất biến cố A là: P( A)    15 75 Xác suất lấy bi đỏ bình thứ hai là: b Gọi E biến cố lấy bi màu Biến cố E xảy ta lấy bi đỏ hay bi đen Xác suất lấy bi đen tronng bình thứ là: Xác suất lấy bi đen tronng bình thứ hai là: Do xác suất lấy bi đen : C72  C102 15 7   15 25 Mà hai biến cố lấy bi đỏ bi đen hai biến cố xung khắc Vậy xác suất lấy bi màu P( E )  23   75 25 75 Do B biến cố bi không màu chứng tỏ B biến cố biến cố E nên ta có: P( B)   P( E )  52 75 Ví dụ 6:Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn Xác suất để trúng ba viên vòng 10 0,008 , xác suất để viên trúng vòng 0,15 xác suất để viên trúng vòng 0,4 Biết lần bắn độc lập với Tìm xác suất để viên đạn đạt 28 điểm Lời giải: Gọi A biến cố “ viên trúng vòng 10” Khi từ giả thiết ta có : 0,008 = (P(A))3 => P(A) = 0,2 (1) Gọi B biến cố “ viên trúng vòng 9” C biến cố “ viên trúng vòng 8”, D biến cố “ viên trúng vòng 8” Theo giả thiết ta có : P(C) = 0,15 ; P(D) = 0,4 (2) Rõ ràng A, B, C, D biến cố đôi xung khắc với nên ta có : 1= P(A  B  C  D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) (3) Từ (1), (2), (3) suy P(B) = 1- (0,2 +0,15 + 0,4) = 0,25 (4) Gọi X biến cố “vận động viên đạt 28 điểm” Để đạt 28 điểm thì: - Hoặc viên trúng vòng 10, viên vòng Theo quy tắc cộng nhân xác suất điều xảy với xác suất C32 (0,2)2(0,15) - Hoặc viên trúng vòng viên trúng vòng 10 Theo quy tắc cộng nhân xác suất điều xảy với xác suất C32 (0,2)(0,25) 17 - Hoặc viên trúng vòng 10, viên trúng vòng Điều xảy với xác suất: C32 (0,2)2(0,25) - Hoặc ba viên điều trúng vòng 10 với xác suất theo giả thiết 0,008 Theo quy tắc cộng nhân xác suất biến cố xung khắc, ta có: P(X) = C32 (0,2)2(0,15) + C32 (0,2)(0,25) + C32 (0,2)2(0,25) +0,008 = 0,0935 Vậy vận động viên bắn súng đạt 28 điểm với xác suất 0,0935 Nhận xét: Qua ví dụ nêu ra, cần làm cho học sinh sáng tỏ số nhận định sau: Muốn sử dụng quy tắc nhân phải khẳng định hai biến cố độc lập Vậy hai biến cố thường độc lập phép thử nào? Tất nhiên nêu tất mà đưa số trường hợp quen thuộc - Gieo hai đồng tiền gieo đồng tiền hai lần biến cố xảy lần gieo độc lập với biến cố xảy lần gieo Tương tự súc sắc - Hai xạ thủ bắn sung bắn trúng hay trượt người không ảnh hưởng tới người Do biến cố liên quan đến người độc lập với biến cố liên quan đến người Tương tự người bắn hai phát sung - Có hai hòm đựng bóng Lấy từ hòm bóng biến cố lấy bóng hòm độc lập với biến cố lấy bóng hòm Tương tự toán lấy bi, lấy cầu - Học sinh làm thi trắc nghiệm, việc trả lời câu hỏi độc lập với Chú ý rằng: Nếu A B độc lập ; B; A độc lập 2.5 Bài tập tự luyện: Bài 1: Đội tuyển học sinh giỏi cấp trường mơn Tiếng Anh trường X có học sinh nam khối 12, học sinh nữ khối 12, học sinh nam khối 11 Cần chọn học sinh thi IOE cấp tỉnh Tính xác suất để chọn học sinh khối 12 khối 11, đồng thời có học sinh nam học sinh nữ Bài 2: Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C, D, E, F vao thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi thẻ là: a) Cạnh lục giác b) Đường chéo lục giác c) Đường chéo nối đỉnh đối diện lục giác Bài 3: Chọn ngẫu nhiên số 50 số tự nhiên: 1; 2; 3; 4….50 a) Tính xác suất biến cố A: số có số bội b) Tính xác suất biến cố B: số có số số phương Bài 4: Đội văn nghệ trường THPT Nông Cống gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Chọn học sinh hát quốc ca lễ chào 18 cờ Tính xác suất để bạn chọn có đủ khối số học sinh khối 10 số học sinh khối 11 Bài 5: Cho 10 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng, chọn ngẫu nhiên điểm tính xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác Bài 6: kỳ thi thử trường X có mơn tthi thự luận môn thi trắc nghiệm, giáo viên phải coi thi môn Một giáo viên bốc thăm ngẫu nhiên để coi thi Tính xác suất để giáo viên coi thi mơn thi trắc nghiệm Bài 7: Một công nhân phải theo dõi hoạt động hai máy dệt A B Xác xuất để người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong thời gian máy dệt B Tính xác suất để người công nhân can thiệp máy Bài 8: Một đề thi trắc nghiệm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm, câu có phương án trả lời có phương án Tính xác suất để bạn A làm điểm Bài 9: Một người bỏ ngẫu nhiên bốn thư vào bốn phong bì thư đề sẵn địa Tìm xác xuất để có thư bỏ địa Bài 10:Một nhóm gồm người đàn ông, người phụ nữ đứa bé xếp vào bàn dài Tính xác suất để: a Đứa bé người đàn ông b Mỗi nhóm ngồi cạnh c người phụ nữ ngồi xen kẽ người đàn ông Bài 11: Biết xác suất để học sinh thi đậu lần thi thứ nhất, thứ hai 0,9 0,6 Tính xác suất để học sinh thi đậu kì thi, biết học sinh phép thi tối đa lần Bài 12:Có hai hộp: (I) (II) Hộp (I) có bi đỏ bi vàng Hộp (II) có bi đỏ bi vàng Chọn ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để lấy bi đỏ IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN Trong năm phân công dạy khối 11, thấy học sinh nản phải học làm tốn xác suất Điều làm tơi suy nghĩ tơi tìm tòi, tham khảo đọc tài liệu để tìm cách dạy cho riêng nhằm khuyến khích học sinh học thúc đẩy niềm say mê, tính sáng tạo ham tìm tòi học sinh Để kiểm tra tính hiệu sáng kiến, năm học 2015 2016 này, phân công giảng dạy lớp 11C3, 11C4, 11C6 BGH trường THPT Nông Cống I, sử dụng sáng kiến để dạy lớp 11C3, 11C4, lớp 11C6 dạy theo lối cũ, thấy em lớp 11 C3; 11C4 dễ dàng tiếp cận, giải toán xác suất tốt so với em lớp 11C6 Kết qua kiểm tra thử lớp sau: Lớp Sĩ số Điểm trở lên Điểm từ Điểm 19 11C6 11C4 11C3 43 43 46 đến Số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 11.6 % 23 53.5 % 15 34.9 % 10 23.3% 26 60.5 % 16.3 % 14 30.4 % 27 58.7 % 10.9% Như tơi thấy cách triển khai tốn mang lại hiệu khả quan Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận: Việc giải toán toán xác suất học sinh phổ thơng tốn khó nên để tạo hứng thú cho hoc sinh cần thiết, mục tiêu hướng tới tạo niềm say mê cho học sinh để học sinh có động lực giải dạng toán xác suất chương trình THPT mơn có liên quan Chính đòi hỏi tơi tìm kiếm phuơng pháp giải hay, đơn giản, sát với nội dung học học sinh Tôi mạnh dạn dạy phần để gây hứng thú, chủ động tích cực học sinh Đó nhu cầu cần thiết người học toán: - Khả vận dụng, khả liên hệ kết nối kiến thức - Khả tư tự học - Tính sáng tạo đổi mới, ham học tích luỹ kiến thức biết liên hệ, vân dụng vào thực tế II Những kiến nghị: - Về phía nhà trường: Các thành viên tổ tìm tài liệu hay, giới thiệu nhà trường mua cho giáo viên tham khảo - Về phía Sở: có buổi tập huấn chun mơn mơn học có hiệu hơn, mời thầy giáo đầu ngành tập huấn chuyên môn cho trường - Những sáng kiến đạt giải cao nên phổ biên rộng rãi để đồng nghiệp học tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Thị Thu Hương 20 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số giải tích 11 NXB Giáo dục 2008 Bài tập Đại số giải tích 11 NXB Giáo dục 2008 Khai thác mạng Internet 22 ... Nông Cống gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Chọn học sinh hát quốc ca lễ chào 18 cờ Tính xác suất để bạn chọn có đủ khối số học sinh khối 10 số học sinh khối 11 Bài 5: Cho... em học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác nhau, tơi chọn đề tài "Giúp học sinh lớp 11 tiếp cận giải số tập xác suất"... tiếp cận, giải toán xác suất tốt so với em lớp 11C6 Kết qua kiểm tra thử lớp sau: Lớp Sĩ số Điểm trở lên Điểm từ Điểm 19 11C6 11C4 11C3 43 43 46 đến Số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 11. 6
- Xem thêm -

Xem thêm: SKKN toán giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất image marked , SKKN toán giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất image marked

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn